On montre, en mathématique, que l'équation de diffusivité et l’équation de la dispersion possèdent une solution et une seule lorsque l'on s'est donné:
- un domaine d'intégration correspondant au domaine d'étude de l'écoulement saturé,
- des conditions à la limite de type potentiel imposé (condition de Dirichlet) et/ou de type flux imposé (condition de Neuman),
- des conditions initiales: carte piézométrique et/ou carte des concentrations à l'instant t correspondant au début de la simulation.
La recherche de solutions explicites formulables au moyen des fonctions classiques de l'analyse mathématique n'est cependant possible que pour un nombre restreint de cas présentant des configurations simples et fait appel à des techniques que l'enseignement actuel des mathématiques néglige de plus en plus. En pratique, on se limite à l'utilisation de quelques solutions-types (cinq ou six) devenues classiques et l'on fait appel dans les autres cas aux techniques de l'analyse numérique, qui sont d'un usage courant depuis la généralisation des moyens informatiques.
Nous ne reprendrons pas, dans le cadre de cet ouvrage, la description des solutions classiques, en priant le lecteur de se reporter aux nombreux ouvrages spécialisés d'hydrogéologie et d'hydraulique (Bear, 1979, Marsily, 1981). Nous
insisterons, par contre, particulièrement sur la mise en oeuvre des méthodes numériques appliquées aux problèmes de ressources en eau.
7.1. Principes généraux des méthodes numériques appliquées à l'hydrogéologie
Les méthodes proposées font toutes appel au principe de discrétisation de
l'espace et éventuellement du temps. Le problème posé est celui de la recherche d'une fonction définie en chaque point x,y,z de l'espace, et à chaque instant t obéissant, dans un certain domaine, à une équation aux dérivées partielles et à certaines
conditions aux limites. Il s'agira, par exemple, de la fonction niveau piézométrique h(x,y,t) relative à un écoulement en nappe, solution de l'équation de diffusivité ou
encore de la fonction concentration C(x,y,t), solution de l'équation de la dispersion.
Nous nous placerons, pour la suite de l'exposé, dans le cas bidimensionnel correspondant à la notion d'écoulement en nappe.
Par le canal de la discrétisation, c'est-à-dire du découpage de l'espace en éléments géométriques discrets, le problème général de la recherche de la solution γ(x,y) en tout point de l'espace, est transformé en celui de la recherche d'une
fonction Γ(x,y), constituée par la réunion des fonctions Γi(x,y) définies chacune sur un élément i du domaine. Les fonctions Γi auxquelles on cherche à donner a priori une représentation mathématique simple (on choisit habituellement des polynômes) sont appe-lées fonction d'approximation. La solution γ est alors connue par son approximation Γ dont la valeur dépend de la forme mathématique adoptée pour les différents Γi et de la discrétisation du domaine. La validité de la méthode est subordonnée à l'erreur de discrétisation γ-Γ qui doit tendre vers 0 lorsque le nombre d'éléments discrets tend vers l’infini.
Lorsque l'on choisit des fonctions constantes (polynôme de degré zéro) pour fonctions d'approximation, les éléments étant en général rectangulaires ou carrés, la méthode est appelée méthode des différences finies. Lorsque l'on emploie des fonctions d'approximation polynomiales de degré supérieur ou égal à 1, la méthode prend le nom de méthode des éléments finis. Dans l'un ou l'autre des cas, la méthode aboutit finalement à un ou plusieurs systèmes d'équations linéaires dont les inconnues sont les valeurs approchées de la fonction recherchée en un nombre donné de points du domaine.
Nous présentons, dans le cadre de cet ouvrage, un développement relatif à la mise en oeuvre des différences finies, bien adapté à l'étude des ressources en eau. La
méthode des éléments finis sera plus rapidement évoquée en insistant particulièrement sur les avantages qu'elle peut représenter pour le traitement des problèmes de type particulier.
7.2 Traitement des systèmes aquifères monocouches par la méthode des différences finies
Soit un domaine D plan figurant l'extension d'un aquifère assimilable à une nappe unique d'extension subhorizontale. La discrétisation de l'espace est réalisée dans un premier temps au moyen d'une grille d'éléments carrés ou mailles de côté a (figure 11).
Nous avons vu que la fonction niveau piézométrique h(x,y) est solution de l'équation de diffusivité sur ce domaine, soit:
t
en choisissant le repère Ox,Oy parallèle aux éventuelles directions principales d'anisotropie.
Nous choisirons pour approximation de h des fonctions constantes Hi définies sur chaque maille i, et nous ferons les calculs en admettant que la valeur en est attribuée au centre de la maille.
On procèdera de même pour les différents paramètres de l'équation, en définissant sur chaque maille i:
- une transmissivité Ti (éventuellement deux, Txi et Tyi , si le milieu est anisotrope),
- un coefficient d'emmagasinement Si
- un débit total algébrique prélevé Qi.
En écrivant que les fonctions d'approximation satisfont localement, c'est-à-dire pour chaque maille, à l'équation de diffusivité, on obtient, comme on va le voir, un système d'équations linéaires définissant les valeurs Hi au centre des mailles. Une méthode générale peut être proposée; nous décrirons, dans ce mémoire, une démarche plus physique faisant appel aux lois élémentaires de l'écoulement en milieu poreux.
Isolons une maille donnée i du domaine avec ses quatre voisines, que nous désignerons par les notations N (nord), E (est), S (sud), et W (ouest) (figure 12).
- Le principe de continuité implique la conservation du débit d'eau entrant algébriquement par les quatre limites de la maille i, ce qui s'écrit:
QN + QE + QS + QW = Qi + Qemi
où Qemi désigne le débit emmagasiné dans la maille i.
- La loi de Darcy permet d'exprimer chaque composante du débit entrant en fonction de la transmissivité et du gradient hydraulique:
)
où TN représente la transmissivité de l'aquifère entre la maille i et sa voisine dans la direction du N. Hi et HN sont les approximations de la charge respectivement sur la maille i et sur la maille N
- Enfin l'équation d'état fournit l'expression du débit emmagasiné:
dt S dH a
Q
emi=
2 i ioù Si est le coefficient d'emmagasinement sur la maille i. Tous calculs faits, l'expression (2) devient:
FIGURE 11 : DISCRETISATION SPATIALE D'UN DOMAINE D AU MOYEN DE MAILLES CARREES DE COTE a
FIGURE 12 : BILAN DES FLUX EN EAU SUR LA MAILLE i
Le même travail peut être exécuté pour chaque maille du modèle mettant en oeuvre les n valeurs Hi (i=l,n) des fonctions d'approximation attribuées aux n mailles, ce qui conduit à un système différentiel linéaire du premier ordre, dont les n fonctions
inconnues du temps sont les fonctions Hi.
Pour simplifier les écritures, nous adopterons la notation matricielle:
dt
en définissant les vecteurs:
piézométrie :
et les matrices T et S construites respectivement à partir des transmissivités et des coefficients d'emmagasinement.
Propriétés de la matrice des transmissivités T
Les transferts de l'eau aux frontières de la maille sont régis par les paramètres TN, TE, TS et TW représentant la transmissivité de la nappe dans les quatre directions N, E, S et W, parfois désignées sous le nom de transmissivités de passage. Ce sont elles en particulier qu'il conviendra d'ajuster au cours du calage du modèle pour assurer l'adéquation entre les niveaux piézométriques calculés et observés. On préfère en général, plutôt que d'introduire quatre paramètres par maille, engendrer les
transmissivités de passage par le calcul à partir d'une transmissivité unique moyenne attribuée à chaque maille.
La transmissivité de passage Tij entre deux mailles notées i et j est alors fonction des transmissivités Ti et Tj de chacune des mailles:
)
Plusieurs formulations peuvent être proposées pour la fonction f, qui doit cependant être obligatoirement symétrique afin de respecter la réciprocité du calcul des échanges entre mailles:
- moyenne arithmétique :
2
Remarquons que la dernière formulation par la moyenne harmonique correspond à la règle de composition des transmissivités pour les écoulements en série. Tij est alors la transmissivité du milieu homogène équivalent formé à partir de deux autres milieux homogènes de transmissivités Ti et Tj.
Des études faites sur la répartition statistique des transmissivités dans un aquifère (Delhomme, 1976) ont montré que la moyenne géométrique représentait bien la tendance spatiale des valeurs mesurées ponctuellement. Néanmoins, les transmissivités que l'on sera conduit à affecter aux mailles d'un modèle ne seront
qu'exceptionnellement mesurées sur le terrain et l'on devra procéder par calage, ce qui réduit l'intérêt d'une recherche approfondie sur la meilleure formulation du calcul des transmissivités de passage.
Dans ces conditions, la matrice des transmissivités 1 possède les propriétés suivantes :
- elle est symétrique,
- elle est diagonalement dominante: le terme diagonal se présente comme la somme changée de signe des termes non diagonaux : (TN + TE + TS + TW)
- la ligne (ou la colonne) ne comporte au maximum que cinq termes non nuls, conférant à la matrice une structure de bande. La largeur de bande dépend de
l'ordre dans lequel sont rangées les mailles au moment de l'établissement des équations de bilan.
Ces propriétés générales entraînent des conséquences quant aux méthodes de résolution des systèmes linéaires associés à la matrice T.
Introduction des conditions aux limites
Les conditions aux limites de charge imposée et de débit imposé peuvent être facilement incorporées au système d'équations (4).
- Cas du débit imposé (figure 13). Considérons la maille i, dont la bordure N vient, par exemple, en limite du domaine modélisé, sachant qu'un débit Q 0 imposé par les conditions extérieures transite à travers cette limite.
L'équation du bilan des flux s'établit alors comme suit:
dt
On constate que la contribution du coefficient TN disparaît, tandis que le débit total prélevé devient au second membre Qi-Q0.
- Cas du niveau piézométrique imposé (figure 14). Supposons que les conditions extérieures fixent le niveau piézométrique de la maille i à la valeur Hoi. Il n'est plus nécessaire d'écrire l'équation du bilan des flux pour cette maille i et la dimension du problème se trouve diminuée de 1. Les mailles voisines de i voient, par contre, leurs équations modifiées, comme le montre l'exemple de la maille j supposée située au S de i:
On constate que le terme diagonal demeure inchangé, mais que le terme non diagonal associé à TN disparaît en apportant la contribution TN Hoi au débit prélevé Qj.
La prise en compte des conditions aux limites ne modifie donc pas la forme du système d’équations T restant identiques.
FIGURE 13 : BILAN DES FLUX EN EAU SUR LA MAILLE i AVEC UNE LIMITE A DEBIT IMPOSE AU NORD
FIGURE 14 : BILAN DES FLUX EN EAU SUR LA MAILLE i AVEC UNE LIMITE A CHARGE IMPOSEE AU NORD
Solution en régime permanent
Dans les conditions de régime permanent, on admet que les termes du bilan en eau de la nappe, exprimés dans les conditions aux limites et dans le débit algébrique prélevé, sont invariants dans le temps et l'on recherche l'état stationnaire correspondant.
Le système d’équations devient alors:
Q H T * =
L'existence de la solution est conditionnée par les propriétés de la matrice T. On montre que si le modèle ne possède aucune maille dont la charge est imposée, le déterminant de T est nul; il ne peut alors y avoir de solution que si le bilan de la nappe est par ailleurs bouclé, C'est-à-dire que si la somme des composantes de Q est nulle. Il devient dans ce cas possible de fixer arbitrairement la valeur d'une des inconnues, ce qui entraîne l'existence d'une infinité de solutions correspondant à une famille de cartes piézométriques parallèles entre elles. Par contre, lorsqu'il se trouve au moins une maille dont le niveau piézométrique est imposé, le système admet une solution unique.
Méthodes de calcul numérique de la solution
L'analyse numérique propose de nombreuses méthodes de résolution des systèmes linéaires dont l'exposé dépasse le cadre de nos propos (Gastinel. 1966; Korganoff, 1967; Remson, 1971). Nous nous limiterons ici à quelques principes généraux issus de l'expérience.
On distingue deux types de méthodes:
- les méthodes directes organisées autour d'un algorithme qui conduit à la solution définitive après exécution des calculs. L'algorithme type est celui de Gauss-Jordan, appelé aussi méthode de substitution;
- les méthodes itératives qui font appel à un algorithme répétitif au moyen duquel on converge vers la solution par itérations successives. L'algorithme de Gauss-Seidel amélioré par sur-relaxation en constitue la méthode type.
L'algorithme de Gauss-Jordan est sûr, et sa précision suffisante dans la plupart des cas avec les moyens de calcul modernes. Son principal inconvénient réside dans le fait que l'encombrement mémoire nécessaire et le temps de calcul croissent assez rapidement avec le nombre de mailles, en première approximation comme son carré. Son emploi peut ainsi devenir prohibitif pour les gros modèles, en particulier dans le cas de problèmes multicouches ou même tridimensionnels.
Les propriétés déjà évoquées de la matrice T impliquent la certitude théorique de la convergence de l'algorithme de Gauss-Seidel quelle que soit la nature du problème formulé par la méthode des différences finies. La convergence peut cependant être
difficile, en particulier lorsque la matrice T se trouve mal conditionnée par la présence de forts contrastes de transmissivités au sein de l'aquifère. La relative modestie du temps calcul et de l'encombrement mémoire nécessaires, même au prix d'un grand nombre d'itérations (proportionnel au nombre de mailles), en font une méthode universelle qui convient aux modèles de taille importante.
D'autres méthodes itératives peuvent être proposées, mais dont les performances par rapport à l'algorithme de Gauss-Seidel sont soumises à la géométrie du problème et à la répartition des conditions aux limites.
En conclusion, pour les application pratiques en hydrogéologie, nous pensons qu':U est raisonnable de se restreindre à un petit nombre de méthodes numériques
universelles qui conduisent au résultat dans tous les cas, même si elles ne mettent pas toujours à profit les avantages d'une configuration particulière. On pourra retenir les principes suivants:
- les modèles de taille modérée (inférieurs à 1000 mailles) se traitent bien au moyen de l'algorithme direct de Gauss-Jordan;
- au-delà, il devient préférable d'employer une méthode itérative peu
contraignante comme l'algorithme de Gauss-Seidel amélioré par sur-relaxation;
- en cas de difficulté de convergence, il peut être nécessaire de revenir à une méthode directe, même au prix d'un allongement de la durée des calculs.
Solution en régime transitoire
Le problème posé est la résolution d'un système différentiel linéaire du premier ordre:
en vue du calcul de l'évolution du vecteur H au cours du temps. Les méthodes classiques procèdent de proche en proche après découpage de la période de simulation en
intervalles de temps ∆t (ou pas de temps) non nécessairement égaux.
En posant l'approximation
t
= sur l'intervalle de temps [t,t+∆t], le système (6) devient:
t
Différentes possibilités s’offrent alors selon la date à laquelle on exprime la quantité TH pour chaque pas de temps:
- Méthode implicite: TH est exprimé à l'instant t+∆t, d'où l'on tire:
Il est également possible de recourir à une méthode mixte explicite-implicite formulable de la manière suivante:
t
Existence des solutions, stabilité
Le système d'équations discrétisées du régime transitoire possède toujours une solution unique dès que l'on se donne un état initial (carte piézométrique à l'instant t=0). La discrétisation du temps conduisant aux systèmes (8) ou (9) introduit cependant certaines restrictions dans la possibilité d'obtenir numériquement la solution. On montre que la méthode explicite n'est stable que si l'on opère avec des pas de temps dont la durée est inférieure à une valeur critique ∆tc qui dépend des paramètres
hydrodynamiques de l'aquifère. La valeur de ∆tc pour un problème donné s'obtient par la relation:
Pour les nappes présentant une forte diffusivité (T/S>>l) et lorsque les mailles sont de petite taille (100 à l000m), le pas de temps critique peut devenir relativement petit, de l'ordre de quelques heures, ce qui implique un grand nombre de pas de temps pour couvrir la période de simulation.
La méthode implicite est par contre inconditionnellement stable quel que soit le pas de temps.
Méthodes de calcul numérique de la solution
La méthode explicite, sous réserve de l'utilisation d'un pas de temps
suffisamment petit ne pose pas de problèmes de calcul numérique, l'obtention de Ht+∆t en fonction de Ht dans l'expression (8) ne demandant que des additions et multiplications matricielles.
La méthode implicite nécessite, pour sa part, la résolution d'un système
d'équations linéaires de matrice M = T − a2S / ∆t à chaque pas de temps, ce qui rend la quantité de calculs comparable à celle d'un régime permanent. La matrice a2S / ∆t étant diagonale, les propriétés énoncées pour T demeurent inchangées pour la matrice
M . Il en résulte que les méthodes numériques proposées pour le cas du régime permanent sont applicables au régime transitoire. La méthode directe de Gauss-Jordan perd
cependant son intérêt dans la mesure où la rapidité de convergence de la méthode itérative de Gauss-Seidel avec sur-relaxation est fortement augmentée par le fait que d'une part, le calcul étant mené de proche en proche d'un pas de temps à un autre, la solution initiale n'est jamais très éloignée de la solution finale, et que, d'autre part, la matrice M dont le poids de la diagonale est renforcé par la contribution du terme a2S / ∆t, confère de meilleures propriétés au processus itératif.
7.3. Traitement des systèmes aquifères multicouches
La méthode de traitement numérique de l'équation de diffusivité qui vient d'être exposée peut être sans difficulté adaptée au cas des systèmes aquifères multicouches.
Chaque couche figurant un aquifère individualisé est maillée à l'aide de mailles carrées de côté a, de telle sorte que les différentes mailles, lorsqu'elles existent, se correspondent en projection verticale (figure 15).
FIGURE 15 : DISCRETISATION SPATIALE D'UN DOMAINE BICOUCHE
FIGURE 16 : BILAN DES FLUX EN EAU SUR LA MAILLE i DANS LE CAS MULTICOUCHE
Le bilan des flux pour chacune des mailles s'établit alors comme suit, en prenant l'exemple d'une maille i quelconque (figure 16). Le principe de continuité permet
d'écrire:
où QN, QE, QS et QW représentent les échanges d'eau entre la maille i et ses voisines situées dans les directions N, E, S et W dans la même couche :
- Qi est le débit total algébrique prélevé dans la maille i, - Qemi est le débit emmagasiné,
- QH et QB figurent les débits échangés respectivement avec l'aquifère supérieur et l'aquifère inférieur à travers les semi-perméables, ou débits de drainance.
Aux débits de drainance près, les termes du bilan sont identiques au cas monocouche, et seront donc évalués de la même manière.
Calcul des débits de drainance
Soit HH et HB les niveaux piézométriques dans les mailles des couches supérieure et inférieure situées en regard de la maille i:
EH
où KH et KB sont les perméabilités des semi-perméables; EH, EB sont leurs épaisseurs.
En posant TH = a2(KH/EH) et TB = a2(KB/EB), on définit des coefficients de transfert verticaux, parfois appelés par abus de langage transmissivités verticales.
Remarque: La formulation du débit de drainance qui vient d'être proposée n’est en toute rigueur valable qu'en régime permanent, car elle néglige en effet la capacité de
stockage du semi-perméable en postulant que le débit vertical qui quitte l'aquifère supérieur est identique à celui qui pénètre dans l'aquifère inférieur. La modélisation complète est possible, mais d'une pratique peu courante due à l'importante complication des calculs; nous évoquerons plus loin quelques méthodes possibles.
Traitement numérique des équations de bilan des flux en multicouche
Le bilan des flux effectué pour l'ensemble des n mailles du modèle par la méthode précédente conduit au système différentiel linéaire suivant:
dt
Ce système possède la même forme mathématique que le système correspondant au cas monocouche, la matrice des transmissivités T étant simplement complétée par les termes TH et TB sans que ses propriétés en soient changées.
Tous les développements déjà faits concernant l'introduction des conditions aux limites, la recherche des solutions en régime permanent et en régime transitoire s'appliquent donc encore.
Quelques remarques s'imposent cependant sur la mise en oeuvre des méthodes numériques, dues à l'existence des termes de drainance:
- il convient de prendre garde à l'ordre de grandeur des coefficients de transfert verticaux TH et TB par rapport aux transmissivités de passage. En effet, dans leur définition interviennent non seulement les caractéristiques des semi-perméables, mais aussi la surface de la maille. Il importe donc de
- il convient de prendre garde à l'ordre de grandeur des coefficients de transfert verticaux TH et TB par rapport aux transmissivités de passage. En effet, dans leur définition interviennent non seulement les caractéristiques des semi-perméables, mais aussi la surface de la maille. Il importe donc de