Le domaine d'application des modèles phénoménologiques est relativement vaste et regroupe théoriquement l'ensemble des problèmes d'écoulement souterrain à différentes échelles. Il n'est pas concevable, dans un ouvrage de synthèse, de passer en revue les différents types de problèmes rencontrés. Nous nous bornerons donc à choisir deux exemples qui nous paraissent constituer deux pâles encadrant les autres cas. Ces deux exemples nous amèneront plus tard à introduire des nuances adaptées à chaque cas, dans le traitement mathématique.
Le premier exemple concerne l'étude des ressources en eau, le second répond aux besoins du génie civil.
6.1. Les modèles de ressources en eau
Ces modèles s’adressent aux structures hydrogéologiques à grande échelle, et plus particulièrement au cas des bassins sédimentaires comportant éventuellement plusieurs aquifères superposés. L'échelle du modèle peut varier dans d'assez larges proportions, disons, pour fixer les idées, de quelques km2 (cas d'une nappe alluviale locale) à quelques centaines de milliers de km2 (cas d'un grand bassin sédimentaire).
Dans de tels systèmes, la conceptualisation des écoulements fait généralement appel à la notion de structure multicouche. L'alternance de couches sédimentaires de lithologie variée amène à définir des aquifères où s'effectue l'essentiel des
circulations souterraines subhorizontales, et des semi-perméables séparant les aquifères où les circulations horizontales sont négligeables, mais qui assurent les transferts de l'eau entre aquifères, à l'échelle régionale.
L'idéalisation d'une telle structure conduit au modèle multicouche constitué par un empilement de couches subhorizontales où l'écoulement est bidimensionnel (écoulement en nappe), reliées entre elles par des écoulements sub-verticaux monodimensionnels.
Remarquons que la schématisation multicouche ne constitue qu'une simplification, en vue d'un allègement des calculs ultérieurs, d'une structure tridimensionnelle en mettant à profit les contrastes de perméabilité souvent rencontrés dans la nature.
FIGURE 4 : SCHEMA DE LA STRUCTURE MULTICOUCHE DES AQUIFERES TERTIAIRES, CRETACES ET JURASSIQUES DU BASSIN AQUITAIN
Lorsque ces contrastes n'existent pas, ou bien lorsqu'il s'avère nécessaire de décrire le comportement hydrodynamique d'un aquifère dans son épaisseur, on peut avoir recours à une modélisation tridimensionnelle complète, ce qui, en fait, revient à accroître le nombre de couches. Remarquons enfin que la schématisation multicouche constitue une première discrétisation spatiale du domaine d'étude.
La figure 4 illustre les différentes démarches pour parvenir à cette schématisation, sur l'exemple de la modélisation des aquifères tertiaires et jurassiques du bassin aquitain. Dans cet exemple, huit couches aquifères ont été retenues pour couvrir une superficie cumulée de 250.000 kM2 (Besbès, 1976).
Une bonne identification de la structure conditionne la représentativité du modèle. Le travail du modélisateur doit donc débuter par une étude hydrogéologique approfondie dont la conclusion amènera à proposer une ou parfois plusieurs
interprétations qui seront traduites à travers le modèle. Il convient cependant de noter que le choix de la bonne structure dépend du problème posé, comme nous l'avons déjà indiqué.
Les modèles de ressources en eau peuvent exiger la prise en compte d'un vaste domaine étendu. Cela est d'autant plus vrai que le modèle intéressera des aquifères plus profonds, dont les conditions aux limites physiques se situeront parfois à grande distance. Il n'est pas rare, dans ces conditions, de traiter des superficies de
plusieurs dizaines de milliers de kM2 (exemple du bassin aquitain, déjà cité).
Les nappes superficielles ou phréatiques sont en général, tout au moins sous les climats où les précipitations sont suffisantes, en relation avec le réseau
hydrographique pérenne qui constitue les limites hydrauliques, ce qui réduit l'extension du modèle.
Les conséquences de l'ampleur d'un modèle sont de deux ordres:
- En premier lieu, le problème posé peut ne concerner qu'une petite partie du domaine d'étude. Il en résultera vraisemblablement une hétérogénéité dans la connaissance des caractéristiques du système se traduisant par une
concentration des données sur quelques secteurs particuliers. Cette situation rend délicat l'emploi des techniques d'estimation, telles que le krigeage (Delhommne. 1976) auxquelles on pourrait avoir recours pour l'introduction des paramètres dans le modèle. Par ailleurs, la représentativité du modèle calé à l'aide d'une information hétérogène risque d'être compromise dans certains secteurs.
- En second lieu, comme nous le verrons au chapitre suivant, les techniques de calcul qui sont employées ne diffèrent pas selon l’étendue du domaine
modélisé. La mise en oeuvre de ces techniques, fondées sur la discrétisation spatiale, conduira ainsi à adopter un ordre de grandeur identique pour le nombre des éléments discrets ou mailles quel que soit le type de problème envisagé; ce nombre étant en fait déterminé plus par la capacité de traitement des ordinateurs et la quantité de données à saisir que par la question posée.
6.2. Les modèles de génie civil
Nous classerons, dans cette catégorie, les modèles destinés à traiter les
écoulements de manière souvent détaillée, sur des domaines d'extension modeste pouvant représenter, par exemple, la zone d'influence d'un aménagement. Tel sera, par exemple, le cas du rabattement de nappe autour d'une fouille, de la prévision du débit d'exhaure nécessaire à son assèchement, ou bien encore de la recherche de la surface libre de l'écoulement à l'intérieur d'une digue en terre en vue de l'étude de sa stabilité.
Les caractéristiques de tels modèles par rapport au cas précédent sont les suivantes:
- L'extension limitée du domaine d'étude permet une meilleure connaissance des grandeurs le concernant (plus grand nombre de mesures, répartition spatiale plus homogène). Parfois même, le milieu aura été créé artificiellement avec des matériaux de propriétés définies à l'avance; ce sera, par exemple, le cas pour une digue en terre.
- Les contours définissant les différents éléments des structures (noyaux imperméables d'une digue, drains de pied, drains de tête, etc.) auront
généralement une influence notable sur les résultats et devront donc pouvoir être représentés avec une précision suffisante.
- Les hypothèses simplificatrices utilisées à grande échelle pourront, dans certains cas, ne pas être valables. L'hypothèse de Dupuit qui, en assimilant l'écoulement en nappe à un écoulement à deux dimensions, amène à négliger la composante verticale de l'écoulement, est par exemple inacceptable à
l'intérieur d'une digue ou au voisinage d'un ouvrage de captage. En toute rigueur, le problème devra être traité de manière tridimensionnelle, ou bien ramené à deux dimensions dans un plan vertical si les structures de
l'écoulement le permettent (problème plan ou axisymétrique).
- La question des conditions aux limites est en général compliquée par rapport au cas précédent. Etant donné la taille réduite du domaine d'étude, certaines limites physiques réelles de l'écoulement risquent de se trouver hors de portée d'une extension raisonnable du modèle. Il en résulte que des limites artificielles sans signification physique nette devraient parfois être
adoptées, ce qui restreindra la validité du modèle à des conditions définies d'emploi.
Entre ces deux types de structures qui viennent d’être rapidement évoquées se placent un certain nombre de cas intermédiaires parfois difficiles à traiter. Il s'agit, en général, de problèmes qui associent la nécessité d'une représentation
détaillée de l'écoulement en quelques points particuliers localisés et celle d'avoir à prendre en compte un vaste domaine d'étude pour atteindre, par exemple, les limites hydrauliques du système. Il n'existe pas de méthodes pleinement satisfaisantes pour faire face à ce genre de question.
Une méthode souvent employée consiste à combiner les deux types de modèles, en réalisant d'abord l'étude à l'échelle régionale avec l'outil approprié, puis à en extraire une ou plusieurs portions que l'on modélise plus finement en réglant les conditions aux limites sur les résultats du modèle régional. Ce procédé est en général très lourd. Une autre méthode qui peut paraître meilleure considère une discrétisation de l'espace de taille variable permettant de raffiner localement l'information. Ceci ne peut malheureusement être fait, comme nous en verrons des exemples plus loin, qu'au
prix d'une complication appréciable de la structure du modèle et des outils informatiques.
6.3. Cas particulier des systèmes aquifères: écoulement en nappe
Les structures géologiques confèrent la plupart du temps aux systèmes aquifères des conditions qui privilégient l'extension horizontale devant l'extension verticale.
Ceci a pour conséquence que, à l'échelle régionale, la composante verticale de
l'écoulement peut être le plus souvent négligée au profit des composantes horizontales ou subhorizontales. Cette approximation, connue des hydrogéologues sous le nom
d'hypothèse de Dupuit, est justifiée par l'absence de variations significatives de la charge (ou cote piézométrique) le long de la verticale au sein d'un aquifère, ce qui permet de ramener à deux le nombre des variables d'espace dont dépend la fonction h. Il convient toutefois de noter qu'à une échelle plus locale, notamment au voisinage
d'ouvrages de captage, l'approche bidimensionnelle peut être tout à fait illicite et que seul un modèle tridimensionnel peut se révéler dans ce cas efficace.
Nous allons examiner comment il convient d'adapter les équations obtenues précédemment au cas de l'écoulement en nappe.
Cas de l'écoulement: équation de diffusivité à deux dimensions
Le Volume élémentaire Représentatif (VER) adapté à l'écoulement en nappe doit considérer le domaine d'écoulement sur toute sa hauteur mouillée entre les cotes z1, et z2 (fig. 5). Le niveau z1, représente le substratum imperméable de la nappe, le niveau z2, figurant soit le recouvrement imperméable d'une nappe captive, soit la surface piézométrique d'une nappe libre dont la cote s'identifie alors avec la charge h.
En exprimant, pour la clarté de l'exposé, l'équation de diffusivité à trois dimensions dans un repère cartésien. Ox, Oy, Oz supposé repère principal d'anisotropie pour la perméabilité et en intégrant selon la verticale Oz supposée elle-même direction principale d'anisotropie, il vient successivement:
t q
soit, en intégrant et en tenant compte de δh/δz = 0 (hypothèse de Dupuit):
∫
qui devient, en posant:
dz
: Transmissivité de l'aquifère suivant les directions Ox et Oy
dz
: Coefficient d'emmagasinement (sans dimension)
∫
FIGURE 5 : VOLUME ELEMENTAIRE REPRESENTATIF (VER) ADAPTE A L'ECOULEMENT EN NAPPE
Remarquons que la notion de transmissivité ainsi introduite s'étend au cas des nappes libres dans la mesure où l'on admet que cette transmissivité peut dépendre de la cote piézométrique h et de la répartition de la perméabilité de l'aquifère selon la verticale:
La notion d'emmagasinement n'est par contre pas directement transposable au cas de la nappe libre dans la mesure où le volume élémentaire représentatif présente un volume variable assujetti aux variations de h, ce qui rend inapplicable l'équation de continuité dans les hypothèses où nous l'avons introduite en 4.1.. On montre toutefois qu'il est possible d'étendre la notion de coefficient d'emmagasinement au cas de la nappe libre en lui substituant la valeur de la porosité de drainage du milieu poreux.
Le stockage et le déstockage d'eau correspondent alors à des phénomènes
d'humidification ou de drainage du milieu selon le sens de déplacement de la surface libre en fonction du temps. Signalons, pour terminer, que les mécanismes
d'humidification-drainage ne sont pas instantanés, et ceci d'autant plus que le milieu est plus finement divisé et que, par voie de conséquence, ce modèle peut constituer une simplification irréaliste si l'on cherche à représenter des évènements intervenant sur un court laps de temps.
Cas du transfert de matière: équation de dispersion à deux dimensions
Le traitement à deux dimensions de l'équation de diffusivité est rendu possible par l'invariance de la charge selon la verticale au sein d'un aquifère. Rien ne permet de transposer cette hypothèse au cas de la concentration en éléments dissous. Au
contraire, l'hétérogénéité verticale de la perméabilité horizontale qui était sans conséquence sur le niveau piézométrique joue un rôle fondamental sur la vitesse de transfert du polluant qui risque ainsi d'être différente selon les variations
lithologiques des roches constituant l'aquifère. La figure 6 illustre le cheminement d'une substance dans un milieu présentant une hétérogénéité verticale de perméabilité.
Si l'on choisit de représenter, au moyen du modèle, une concentration moyenne selon la verticale, calculée à partir de la vitesse moyenne de l'écoulement déduite de la loi de Darcy appliquée à deux dimensions, on sera conduit à reporter l'effet de l'hétérogénéité sur la dispersion et le problème deviendra celui de l'estimation du coefficient de dispersion. On constate d'ailleurs que le coefficient de dispersion à retenir dépend de la distance parcourue, phénomène mis en évidence expérimentalement, dénommé effet de parcours (Dieulin, 1980).
Malgré cet inconvénient notable du modèle, on utilise cependant fréquemment l'équation de dispersion à deux dimensions faute de disposer d'information suffisante sur l'hétérogénéité verticale et pour éviter d'avoir à manipuler un modèle
tridimensionnel toujours lourd.
L'équation de dispersion devient dans ce cas, en l'exprimant dans un repère cartésien Ox, Oy:
Rappelons que cette équation doit être complétée par la relation liant F,
concentration massique dans la fraction immobile à C concentration volumique dans l'eau mobile. Vx et Vy sont dans ce cas les composantes de la vitesse de Darcy, moyenne
horizontale.
Dans la mesure où le tenseur de dispersion
D
admet comme direction principale la vitesse de Darcy, il devra être considéré la plupart du temps sous sa forme générale:
FIGURE 6 : SCHEMA DE PROPAGATION D'UN POLLUANT DANS UN MILIEU PRESENTANT UNE HETEROGENEITE DE PERMEABILITE (K1 < K2)
6.4. Les conditions aux limites
Les conditions aux limites concernent les règles d'échange des flux entre le domaine modélisé et le milieu extérieur. Dans le cadre de nos préoccupations, il s'agira d'un flux d'eau, d'un flux de matière migrant avec l'eau, ou encore d'un flux de chaleur.
D'une manière générale, il est avantageux pour la représentativité du modèle que les limites du domaine d'étude coïncident avec des limites physiques où la description des flux puisse être effectuée de manière conceptuelle à partir des observations sur le terrain. Nous avons vu que cela n'est pas toujours commodément possible, et oblige parfois à étendre le domaine du modèle au-delà de la zone d'intérêt.
Soulignons que la description des conditions aux limites, fait partie de la définition de la structure du modèle et en conditionne par conséquent fortement la validité; cette remarque est évidente si l'on considère que c'est justement à travers les limites que s'établit le bilan d'un aquifère.
Cas des modèles d'écoulement
On ramène schématiquement les conditions aux limites d'un modèle d'écoulement à deux cas qu'il est possible de combiner entre eux:
- Conditions de charges ou de niveaux piézométriques imposés: On admet, dans ce cas, que le niveau piézométrique le long d'un contour (linéaire ou surfacique) est déterminé par une cause extérieure. Les situations naturelles justiciables d'un tel traitement sont variées et concernent plusieurs degrés d'échelle de la modélisation. Il peut s'agir à l'échelle locale ou régionale d'un plan d'eau libre (lac, réservoir, cours d'eau, etc.), d'un seuil autorisant le déversement d'une nappe (source), mais encore à l'échelle régionale d'une zone de nappe libre suffisamment alimentée pour que la piézométrie moyenne imposée par le réseau hydrographique drainant puisse être considérée comme invariante.
La figure 7 illustre différentes configurations possibles.
- Conditions de débits imposés: Les échanges avec le milieu extérieur sont dans ce cas réglés par la connaissance a priori du flux d'eau traversant une
portion donnée de limite. Diverses configurations relèvent de ce type de condition aux limites: zone d'alimentation de piedmont à l'amont d'un
aquifère, infiltration à partir d'un cours d'eau non directement connecté à la nappe, ligne de courant de l'écoulement souterrain suffisamment éloignée de la zone d'intérêt de l'étude pour qu'elle puisse être raisonnablement considérée comme invariante. Ce dernier cas est particulièrement utile lorsqu'il est nécessaire d'interrompre le domaine d'étude avant d'atteindre une limite hydraulique réelle de la nappe. La figure 8 schématise quelques exemples de conditions de flux imposé.
- Conditions mixtes: charge imposée avec limitation du débit. L'existence d'une condition de charge ou piézométrie imposée implique la possibilité d'un
échange de flux quelconque entre l'aquifère et le milieu extérieur, ce qui peut, dans certains cas, ne pas correspondre au comportement réel du système.
Nous en donnerons deux exemples parmi les plus courants (figure 9).
Le long de l'affleurement AA’, les précipitations sont supérieures au flux d'eau pouvant s'écouler dans la nappe; la charge est constante, voisine de la cote du sol.
Le long de la ligne de contact nappe-rivière AA', la charge est constante imposée à la valeur H0 FIGURE 7 : EXEMPLES DE CONDITIONS AUX LIMITES DE TYPE "CHARGE IMPOSEE"
Le long de AA', les précipitations sont inférieures aux possibilités d'écoulement de la nappe; l'alimentation est définie par le taux d'infiltration de la pluie.
La rivière est déconnectée de la nappe; l'alimentation l'aquifère le long de AA' est définie par l'infiltration percolant à travers la zone non saturée. FIGURE 8 : EXEMPLE DE CONDITIONS AUX LIMITES DE TYPE "DEBIT IMPOSE"
Le débit QNAP percolant de la nappe vers la rivière est limité à la valeur Q 0 (QO <0) dans la situation 2 où nappe et rivière sont déconnectées.
Les sources A et A' débitent, la charge
est imposée au niveau des exutoires. La source A' est tarie, le débit est imposé à zéro.
FIGURE 9 : EXEMPLES DE CONDITIONS AUX LIMITES "MIXTES"
(CHARGE IMPOSEE AVEC DEBIT LIMITE)
Une source est bien représentée par un potentiel imposé correspondant à la cote de l'émergence tant que celle-ci débite; mais si le régime d'écoulement de la nappe subit une modification entraînant une baisse du niveau piézométrique au-dessous de l'émergence, il y a tarissement de l'exutoire sans que, pour autant, il y ait admission d’eau de l'extérieur vers l'intérieur comme le permettrait la représentation de la source par une condition de charge imposée. Dans cette nouvelle configuration, une condition de débit imposé nul doit être substituée à la première.
Un échange nappe-rivière peut également être traité par une condition de charge imposée correspondant à l'altitude du fil de l'eau aussi longtemps que la rivière reste en connexion avec la nappe (figure 9, cas 1). En cas d'étiage prononcé de la nappe, l'approfondissement de la surface piézométrique peut provoquer l'apparition d'une zone non saturée à travers laquelle le transfert de l'eau n'est plus régi par les lois entrant dans la conception du modèle d'écoulement de la nappe (figure 9, cas 2). On pourra admettre, en première approximation, que le débit d'alimentation de la nappe en provenance de la rivière prend une valeur constante dépendant des caractéristiques physiques de l'aquifère et des matériaux constituant le lit. Là encore, une condition de débit imposé doit être substituée à une charge imposée.
Cas des modèles de transfert de matière (ou de chaleur)
Dans les cas qui nous occupent, c'est-à-dire la modélisation des systèmes aquifères de perméabilité notable, le transfert par convection est prédominant devant le transfert par dispersion. Les mécanismes réglant les échanges de matière aux limites sont donc régis au premier chef par les caractéristiques de la vitesse de l'écoulement à travers les limites.
- Cas d'un flux d'eau entrant: Il est, dans ce cas, nécessaire de définir la concentration de l'eau en provenance du milieu extérieur; le flux de matière est alors représenté par le produit de la composante normale de la vitesse de Darcy et de cette concentration (figure 10, cas a).
- Cas d'un flux d'eau sortant: Le transfert de matière est indépendant des conditions extérieures et se trouve défini par la vitesse de Darcy et la
concentration des eaux de nappe à l'exutoire déterminé par le modèle (figure 10, cas b).
Le cas du transfert de chaleur relève du même type de traitement, à ceci près que les échanges par conduction pure peuvent ne pas être négligeables, en particulier
lorsque l'écoulement est faible, ou même nul. Ainsi les fuites thermiques au toit et au mur des aquifères devront le plus souvent être prises en compte.
6.5. Cas du milieu fissuré
Il existe actuellement deux approches des écoulements en milieu fissuré: l'une prenant en compte les fissures élémentaires une par une, l'autre considérant un milieu
Il existe actuellement deux approches des écoulements en milieu fissuré: l'une prenant en compte les fissures élémentaires une par une, l'autre considérant un milieu