DS4 - Corrigé
Certains calculs intermédiaires sont omis dans ce corrigé. Ils doivent figurer dans une copie !
Exercice 1 : Question de cours, 3 points
Solution : apprendre le cours.
Plus précisément, pour ces questions, on trouvera les réponses aux pages 6 et 7 du cours de géométrie.
Exercice 2 : Deux droites
On dispose des représentations paramétriques de deux droites :
(d) :
x = −t + 1 y = 2t − 2 z = t − 4
(t∈R) (d0) :
x = 2u − 1 y = −5u
z = 3u + 2
(u∈R)
Le vecteur−→u (−1,2,1)est un vecteur directeur de(d)et le vecteur−→
u0(2,−5,3)est un vecteur directeur de(d0). Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires ainsi (d) et(d0) ne sont pas parallèles.
Il reste à montrer qu’elles ne sont pas sécantes. On résout le système :
−t + 1 = 2u − 1 2t − 2 = −5u
t − 4 = 3u + 2
⇔
−t − 2u = −2 2t + 5u = 2
t − 3u = 6 On opère les combinaisons : L2 ←L2+ 2L1 et L3 ←L3+L1
⇔
t − 2u = −2 u = −2
− 5u = 4
⇔
t − 2u = −2 u = −2 10 = 4 Le système n’a pas de solution donc les droites ne sont pas sécantes.
Les droites (d) et (d0)ne sont ni sécantes ni parallèles donc elles ne sont pas coplanaires.
Exercice 3
On a f(x) =p
u(x) avecu(x) =x2+ 2ex.
On sait que pour tout x∈R, ex >0 ainsi u(x)>0.
Par ailleurs, u est la somme de deux fonctions dérivables sur R ainsi elle est dérivable sur R et :
u0(x) = 2x+ 2ex On en déduit que f est dérivable surR avec :
f0(x) = u0(x) 2p
u(x) = 2x+ 2ex 2√
x2+ 2ex = x+ex
√x2+ 2ex
On a g(x) = x
ex2 + 1 ainsi g est une fonction quotient.
La seule difficulté est de dériver u(x) = ex2 =ev(x) avec v(x) =x2 donc v0(x) = 2x.
On sait que v est dérivable surR donc u l’est aussi etu0(x) = v0(x)ev(x) = 2xex2. En appliquant la formule de dérivation d’un quotient, il vient alors :
g0(x) = 1×(ex2 + 1)−x×2xex2
(ex2 + 1)2 = ex2 −2x2ex2 + 1 (ex2 + 1)2
g0(x) = (1−2x2)ex2 + 1 (ex2 + 1)2
Exercice 4 : Une limite
On doit déterminer lim
x→1
(2x−1)n−1
x−1 où n est un entier non nul fixé.
Cette limite est celle d’un taux d’accroissement :
Soit f définie par f(x) = (2x−1)n, on a f(1) = 1 ainsi (2x−1)n−1
x−1 = f(x)−f(1) x−1 . f est une fonction dérivable surRdonc en particulier ena= 1ainsilim
x→1
f(x)−f(1)
x−1 =f0(1).
Or f0(x) = n×2×(2x−1)n−1 d’où f0(1) = 2n, il vient alors :
x→1lim
(2x−1)n−1 x−1 = 2n
Exercice 5 : Étude d’une section
1. Voir figure.
2. On utilise la relation de Chasles et les propriétés de la figure :
−→LP =−→
LG+−→
GP or −→
LG=−−→
GF car L est le symétrique de F par rapport à G,
=−→
GF+−→
GP or−−→
GF =−−→
HEcar FGHE est un carré donc un parallélogramme,
=−−→
HE+−−→
GH +−−→
HP or −−→
HP = 13−−→
HGpar hypothèse.
=−−→
HE+−−→
GH + 13−−→
HG=−−→
HE+−−→
GH −13−−→
GH =−−−→
EH+23−−→
GH
−→LP =−−−→
EH+23−−→
GH
−−→M P =−−→
M H+−−→
HP or −−→
M H = 12−−→
EH car M est le milieu de [EH],
= 12−−→
EH+−−→
HP or −−→
HP = 13−−→
HGpar hypothèse.
= 12−−→
EH+13−−→
HG= 12−−→
EH−13−−→
GH
−−→M P = 12−−→
EH− 13−−→
GH 3. D’après le résultat de la question précédente, on a :
−12−→
LP =−12(−−−→
EH+23−−→
GH) = 12−−→
EH−13−−→
GH =−−→
M P On en déduit que −−→
M P et−→
LP sont colinéaires ainsi L, M et P sont alignés
4. (a) Les points L, I, C et G sont tous dans le plan (CGF) ainsi pour montrer que (LI) et (CG) sont sécantes il suffit de prouver qu’elles ne sont pas parallèles.
On va le démontrer, par l’absurde.
ABCDEFGH est un cube donc BCGF est un carré ainsi (BF) est parallèle à (CG). On en déduit que si (LI) était parallèle à (CG) elle serait aussi parallèle à (BF) ce qui est absurde car (LI) coupe (BF) en I.
Ceci prouve donc que (LI) et (CG) sont sécantes Voir figure pour la construction du point d’intersection K.
(b) D’après le résultat de la question 3., le point L est sur la droite (MP) donc il est sur (MPI). On en déduit que (LI) ⊂ (M P I) puis que K, qui appartient à (LI), est sur (MPI).
Les points P et K sont tous deux simultanément sur (MPI) et (CGH) ainsi : l’intersection de (MPI) et (CGH) est la droite (PK)
(c) ABCDEFGH est un cube, donc les plans (BFE) et (CGH) sont parallèles et on sait aussi que (MPI) coupe (CGH) selon la droite (KP). On en déduit, d’après le théorème de section des plans parallèles que (MPI) coupe (BFE) selon une droite parallèle à (KP).
Or cette droite contient le point I car ce point est simultanément sur (MPI) et sur (BFE).
On trace donc la parallèle à (KP) passant par I.
Voir figure pour la construction.
Montrer que le plan (MPI) coupe le plan (BFE) selon une droite parallèle à (KP).
Construire cette droite et son point d’intersection Q avec (EA).
(d) D’après les résultats des questions précédentes, les points M, P, K, I et Q sont sur les faces du cubes et aussi sur le plan (MPI). La section du cube par ce plan est donc représentée par le polygone MPKIQ.
Exercice 6 : 4 points
1. Pour montrer que les vecteurs −→u(1,2,−4), −→v(2,3,−2)et −→w(2,4,−7) forment une base de l’espace, il suffit de montrer qu’ils ne sont pas coplanaires. Pour cela, on va montrer que l’égalité a~u+b~v+c ~w=~0 n’est vraie que poura=b =c= 0.
Coordonnée par coordonnée l’égalité a~u+b~v+c ~w=~0est équivalente au système :
a +2b +2c = 0 2a +3b +4c = 0
−4a −2b −7c = 0
L2←L2−2L1
⇐⇒
L3←L3+4L1
a +2b +2c = 0
−b = 0 6b +c = 0
⇐⇒
a +2b +2c = 0
b = 0
c = 0 ⇐⇒
a = 0
b = 0 c = 0
Les vecteurs −→u,−→v et −→w ne sont pas coplanaires, ils forment donc une base de l’espace.
2. Pour montrer que les vecteurs −→u(1,1,2), −→v(2,−2,5) et −→w(1,−7,4) sont coplanaires, on cherche des nombres a, bet c, non tous nuls, tels que a~u+b~v+c ~w=~0.
Coordonnée par coordonnée l’égalité a~u+b~v+c ~w=~0est équivalente au système :
a +2b +c = 0 a −2b −7c = 0 2a +5b +4c = 0
L2←L2−L1
⇐⇒
L3←L3−2L1
a +2b +2c = 0
−4b −8c = 0 b +2c = 0
⇐⇒
L2←L2+4L3
a +2b +2c = 0 0 = 0
b +2c = 0 ⇐⇒
On constate maintenant que pour c= 1, on a b=−2et a= 3 ce qui montre que :
les vecteurs−→u, −→v et−→w sont reliés par la relation 3~u−2~v+w~ =~0, ils sont donc coplanaires
Feuille1DS4Ex 11.2.3.Ex 2non secEx 31.2Ex 41.Ex 51.2.3.4.(a)4.(b)4.(c)4.(d)Ex 61.2.Total1,001,001,001,002,001,501,502,001,001,001,000,501,001,001,002,002,0021,51011001,510,510,50000,250,57,25210,51021,510,511000001010,53010,5011,51,50111210,54000011,51,5010,50020,585000021,50,51110,51,596010,5011,50,50,510,751000,511,510,757000,5011,50,510,51000680,511121,51,52111010,250,752219,591110,501,511110,250110,2510111021,50010,500,2500008,2511010,501,51,51,50110,500008,51201111,51,51,51100,500,251,51,513,2513110121,51,5110,751000,51,513,7514111121,51,51,5111010,2501,50,516,7515000121,51,5010,510,250001,5212,2516111121,51,521110011,5117,51701111,510,51110,250,75101800111,51,511,51110001,50,512,51900000,510,50,51100004,520011121,50,521110,250,751115210,511121,51,521110,251112220,752211111,51,51,50,5111000012152311111,51,51,51,51110,500,2512218,75241100,5210,510,50000007,5250,51100,51,51010,500,250007,25260,511121,51,51110011,52701111,51,51,51,5110010,510013,52811111210,51001111,52910,50,50,5110010,75100001210,25300,511121,5121110,2510,51217,75310,5110,2521,50,50,5110,750,250011012,2532111121,51,501110,25002216,2512,07 non paral.
moy
