Universit´e de Strasbourg
TP SCILAB
Agr´egation Externe de Math´ematiques Ann´ee 2012-2013
TP1: Interpolation de Lagrange
Le but de ce TP est d’impl´ementer l’interpolation de Lagrange, de la valider et d’observer son comportement sur diff´erents exemples. Diff´erentes impl´ementations sont envisag´ees. Il est forte- ment conseill´e de tester les fonctions au fur et `a mesure. Il est conseill´e de commencer par une impl´ementation et d’en faire d’autres suivant le temps qui reste.
1 Diff´ erents calculs du polynˆ ome de Lagrange et tests
1. D´efinir une fonctioninterp_lag(x,y)1qui renvoie le polynˆome d’interpolation de Lagrange, o`u x est le vecteur repr´esentant les n+ 1 points distincts a ≤ x0, x1, . . . , xn ≤ b et y est le vecteur repr´esentant lesn+ 1 valeursy0, y1, . . . , yn. Le r´esultat renvoy´e est soit un polynˆome, soit un vecteur. Pour cela, on commencera par construire un maillage uniforme xx de 101 points de l’intervalle [a, b] sur lequel on ´evaluera les polynˆomes d’interpolation et les fonctions interpol´ees. Ce maillage pourra aussi ˆetre un argument de la fonction interp_lag.
On comparera l’utilisation de trois bases de polynˆomes pour le calcul du polynˆome d’interpolation
• la base des monˆomes 1,x,. . .,xn,
• la base des polynˆomes de Lagrange de degr´en v´erifiant ln,i(xj) =δij,
• la base de Newton 1,x−x0, (x−x0)(x−x1),. . . (x−x0)(x−x1). . .(x−xn−1).
On pourra s’aider de la partie 2, pour comprendre les diff´erentes ´etapes algorithmiques qui sont mises en jeu.
2. Validation des polynˆomes d’interpolation. Pour valider chacune des techniques de calcul du polynˆome d’interpolation, on testera les points suivants :
(a) V´erifier, pourn= 10 que le polynˆome d’interpolation est exact si on interpole la fonction xk, 0≤k≤n.
(b) Calculer le polynˆome d’interpolation en des points uniform´ement r´epartis sur [0,1] de la fonction f(x) = exp(x) pour diff´erents nombres de points jusqu’`a 10 et v´erifier que le polynˆome d’interpolation converge vers la fonction. On ´evaluera pour ceci la norme l∞ sur le maillagexx. (On utilisera la fonctionhornerpour ´evaluer un polynˆome en un plusieurs points).
(c) Tracer le polynˆome d’interpolation en des points uniform´ement r´epartis sur [0,1] de la fonction f(x) = cos 2πx pour un nombre de points d’interpolation allant de 2 `a 10.
Superposer `a la solution exacte.
(d) Faire de mˆeme pour la fonction f(x) = 1/(1 + 16x2) pour des points d’interpolation uniform´ement r´epartis sur [−1,1].
1en r´ealit´e il y aura des variantesinterp lag newton,. . .
(e) On reprendra la mˆeme fonction avec les points d’interpolation de Chebyshevxi = cos((i+
1/2)π/(n+ 1)), i = 0, . . . n. Repr´esenter les points de Chebyshev pour N=9 sur l’axe desx.
(f) Comparer les r´esultats avec l’interpolation par splines cubiques (on cherchera de l’aide sur la fonction interp)
2 Suggestions pour le calcul du polynˆ ome de Lagrange
1. Calcul du polynˆome d’interpolation dans la base des monˆomes.
(a) Ecrire une fonction qui prend en entr´ee le vecteur compos´e des points d’interpolation en ordre croissant et qui retourne la matrice de Vandermonde associ´ee.
(b) Ecrire une fonction qui calcule les coefficients du polynˆome d’interpolation dans la base des monˆomes pour des valeurs d’interpolation et la matrice de Vandermonde des points d’interpolation donn´es et retourne le polynˆome d’interpolation d´efini `a l’aide de poly.
(c) Que se passe-t-il quandn augmente?
2. Calcul du polynˆome d’interpolation dans la base de Lagrange
(a) Programmer une fonction qui prend en entr´ee le vecteur xdes points d’interpolation et retourne la liste des polynˆomes de Lagrange en ces points d’interpolation (on utilisera la fonctionlist pour cr´eer la liste et la fonction poly pour d´efinir les polynˆomes).
(b) Programmer une fonction qui prend en entr´ee la liste des polynˆomes de Lagrange et les valeurs aux points d’interpolation et retourne le polynˆome d’interpolation.
3. Calcul du polynˆome d’interpolation dans la base de Newton.
(a) Programmer une fonction qui prend en entr´ee le vecteur xdes points d’interpolation et retourne la liste des polynˆomes de Newton en ces points d’interpolation (on utilisera la fonctionlist pour cr´eer la liste et la fonction poly pour d´efinir les polynˆomes).
(b) Programmer une fonction prenant pour argument deux tableaux de points x et y de longueurn+1 et retournant les diff´erences divis´ees de Newton (lesγidu cours) d´efinissant le polynˆome d’interpolation.
(c) Ecrire une fonction prenant pour argument la liste des polynˆomes de Newton et le vecteur des diff´erences divis´ees et retournant le polynˆome d’interpolation.
