MOUVEMENTS PLANS DANS UN CHAMP DE PESANTEUR OU ELECTROSTATIQUE UNIFORME

MOUVEMENTS PLANS

DANS UN CHAMP DE PESANTEUR OU ELECTROSTATIQUE UNIFORME

I - MOUVEMENTS DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

Considérons un solide S soumis à une impulsion initiale, donc ayant une vitesse initiale non nulle, faisant un angle  avec l’axe horizontal.

1) Les équations horaires du mouvement a) Choix du système et du référentiel

 Système étudié : un objet ponctuel de masse m

 Référentiel utilisé : le laboratoire (supposé galiléen)

b) De la deuxième loi de Newton à l’accélération

 Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système : le poids

 D’après la deuxième loi de Newton : Remarques :

 En supposant que le système est ponctuel, nous avons :

 L’accélération du système en chute libre est indépendante de sa masse.

 En considérant le vecteur champ de pesanteur comme uniforme ( ), l’accélération est alors constante : le mouvement peut être qualifié d’uniformément varié.

 Les coordonnées du vecteur accélération s’obtiennent par projection des vecteurs sur les trois axes du

repère cartésien (O ; , , ) : soit

c) De l’accélération à la vitesse

 Les vecteurs accélération et vitesse étant liés par

, nous obtenons :

 Par intégration, nous obtenons :

 Compte-tenu de l’orientation du vecteur vitesse initiale nous avons : Remarques :

 La vitesse selon l’horizontale est indépendante du temps : le mouvement horizontal est uniforme.

 La vitesse selon la verticale est une fonction affine du temps : comme pour une chute libre verticale, trois cas de figure se présentent alors :

 Au cours de la phase ascendante : v_z > 0 soit - g.t + v₀.sin > 0 soit ^

 Au sommet de la trajectoire, la vitesse du système est nulle : vz = 0 soit - g.t + v0.sin = 0 soit à la date ^

 Au cours de la phase descendante : vz < 0 soit - g.t + v0.sin < 0 soit ^

O

x z



d) De la vitesse à la position

 Les vecteurs vitesse et position étant liés par , nous avons :

 Par intégration, nous obtenons :

Si le système est parti de l’origine du repère, les équations horaires s’écrivent :

2) L’équation cartésienne de la trajectoire



Définition



Détermination de l’équation cartésienne

 Nous avons montré que x = (v0.cos).t donc

Remarque :

L’équation du mouvement étant de la forme z = a.x² + b.x + c, la trajectoire est parabolique.

3) Caractéristiques de la trajectoire

a) Notion de portée



Définition

z

x

k

v₀

 i

g

xS

xMax

h

O zMax



Détermination de la portée

En utilisant l’équation cartésienne, et sachant que l’origine des cotes est prise au départ du solide, nous obtenons :

1^ère solution : 2^ème solution :



Propriétés

 La portée est donc proportionnelle au carré de la vitesse initiale du solide.

 La portée est maximale lorsque sin(2) = 1 soit 2 = 90° [2] soit  = 45° []

 Déterminons la vitesse du solide lors de l’impact au sol, définie par :

 Nous avons :

 

 Lors de l’impact :  

Nous avons montré que _ donc _

Soit ^{ }

 soit ^ Pour cette date d’impact, nous avons :  Soit ^  soit 

 La vitesse du solide s’exprime donc par :

La vitesse du solide lors de l’impact est donc égale à la vitesse initiale (dans le cas d’une absence de force de frottement).

b) Notion de flèche



Définition



Détermination de la flèche

 L’abscisse xS du sommet S de la trajectoire peut s’obtenir en écrivant : ce qui donne, d’après l’équation cartésienne de la trajectoire :

Remarque:

Nous avions (§ 4°)a)2-) 

donc

 Réutilisons l’équation cartésienne de la trajectoire pour déterminer la flèche :

Remarque :

Si les frottements de l’air ne sont plus négligés :

 la trajectoire n’est plus parabolique,

 la portée et la flèche sont réduites.

II - MOUVEMENTS DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE UNIFORME

Considérons une particule supposée ponctuelle, de masse m et de charge q,

et possédant une vitesse initiale non nulle, faisant un angle  avec la parallèle aux plaques d’un condensateur source d’un champ électrostatique uniforme E.

1) Choix du système et du référentiel

 Système étudié : une particule supposée ponctuelle de masse m et de charge q

 Référentiel utilisé : le laboratoire (supposé galiléen)

2) De la deuxième loi de Newton à l’accélération

 Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système : le poids et la force de Coulomb Nous supposerons que le poids est négligeable devant la force de Coulomb.

 D’après la deuxième loi de Newton :

 Projetons cette relation vectorielle sur le repère cartésien (O ; , , ) :

Remarques :

Puisque le champ électrique est uniforme, alors E = Cte, donc l’accélération est constante : le mouvement est alors uniformément varié.

2) De l’accélération à la vitesse

 Les vecteurs accélération et vitesse étant liés par , nous avons :

 Par intégration, nous obtenons : soit

Remarque :

Puisque les coordonnées vy et vz ne sont pas nulles, le mouvement s’effectue dans le plan (O ; , ).

y

z P

N



3) De la vitesse à la position

 Les vecteurs vitesse et position étant liés par , nous avons :

 Par intégration, nous obtenons :

 Si le système est rentré dans le champ électrique au niveau de l’origine du repère, nous avons :

4) L’équation cartésienne de la trajectoire

 Nous avons montré que y = v0.cos.t donc

 Puisque

Remarques :

 L’équation du mouvement étant de la forme y = a.x² + b.x + c, la trajectoire est parabolique.

 La concavité de la parabole dépend du signe de la charge q.

4) Détermination de portée et de la flèche

La méthode de détermination de la portée et de la flèche est identique à celle vu dans le § I-3)