Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 04
Trajectoire Balistique d’un Obus dans le champ de pesanteur non uniforme de la Terre
Considérons la Terre comme une planète sans atmosphère, sphérique de rayon R, de masse M, dont on supposera la structure interne à symétrie sphérique. Nous prendrons l’énergie potentielle de gravitation nulle à l’infini. Soit un obus lancé par un canon depuis la surface de cette planète avec la vitesse initiale
−
→v0 faisant un angleαavec la verticale du lieu. Nous rappelons les résultats suivants :
– La trajectoire est plane, car le mouvement est à force centrale. Le plan de la trajectoire est défini par−→v0 et la verticale du lieu du tir ;
– la vitesse de libération est vL= q
2M G
R , oùGest la constante universelle de gravitation.
– la vitesse de vol circulaire estvc= q
M G R
– l’énergie mécanique ainsi que le moment cinétique sont conservés ;
– Nous prendrons dans le plan de la trajectoire un repérage polaire (r, θ). La trajectoire de l’obus sera considérée comme elliptique. Le centre de la Terre occupe la position de l’un des foyers ; – La trajectoire peut s’écrire : r= 1−ecos(θ−θ1
0)oùe est l’excentricité,0 < e < 1, le trie est effectué depuis la position(r, θ) = (R,0)
θ=θ0est la direction de l’apogée et θ=θ0+πest la direction du périgée ;
– si l’on nommeC la constante du moment cinétique C=Rv0sin(α), alors le paramètre de l’ellipse est p= GMC2 =R2v20GMsin2(α)
– nous considérons que la masse de l’obus est négligeable devant la masse de la Terre de sorte que la masse réduite pourra être identifiée à la masse mde l’obus ;
– Nous nous plaçons dans l’hypothèse où la vitesse v0 est inférieure de circularisation vc, nous défi- nissons ainsiT = vv0
c avecT <1
Exercice 1. A l’aide de MAPLE, après avoir introduit "ra" et "rp" distances des périgée et apogée au centre de la Terre, exprimeze2 ainsi quecos2(θ0)en fonction dep,Ret du demi-grand axe de l’ellipsea Exercice 2. De manière indépendante exprimezpen fonction deR, T, α
Exercice 3. l’énergie mécanique étant conservée et valant −GM m2a (rappelons que l’énergie potentielle vaut −GM mr ), Exprimezcos2(θ0)en fonction deαet T.
Exercice 4. Recherchez les conditions d’extremum.
En plus des cas triviaux α = 0 et α = π2, il existe deux autres valeurs de cos2(α) correspondant à un extremum. Nommons les "cos_carre_optimum_1" et "cos_carre_optimum_2". La seule valeur mathématiquement acceptable pourcos2(θ0)est celle qui est positive. Vérifiez que l’on obtient alors pour cet optimum :
cos2(α) =T2−1 T2−2 Exercice 5. Application numérique.
EvaluezαpourR= 6400kmetT = 0.99. Tracez enfin la trajectoire optimale.
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