Coefficients thermoélastiques

Coefficients thermoélastiques

Une mole d’un gaz obéit à l’équation ^{PV =RT}

(

)

1) Quelle est l’équation pour n moles ? 2) Quelles sont les unités de R et a ?

3) Exprimer la compressibilité isotherme 1

T T

V V P χ ∂

∂

⎛ ⎞⎟

=− ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ . 4) Dépend-elle de n ?

II11.

On suppose le champ de pesanteur localement uniforme gG =−geG_z , où eG_z

est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante.

Constantes et données numériques.

Constante des gaz parfaits : R=8, 3 J K⁻¹ mol⁻¹ ; accélération de la pesanteur : ;

1 0

h

9, 8 m s 2

g = ⁻

air sec : masse molaire : ; capacité thermique massique à pression constante

; rapport des capacités thermiques à et V constants : . 29 g mol 1

Ma = ⁻

3 1

1, 0 10 J K kg

cp = × ^{− −} P γ =c_p/c_v =1, 4

Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations verticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.

1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l'altitude z.

a) Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression P z( ), la masse volumique ρ( )z et . g

b) On considère l'air sec comme un gaz parfait ; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de température . Déterminer et à l'aide de , , , g, R et .

T0

( )

P z ρ⁽z⁾ P( )0 ρ(0) M_a T₀

2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplace verticalement dans l'atmosphère supposée être en équilibre hydrostatique mais non isotherme a priori. On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type « bulle de savon » d'effet négligeable. La pression dans la bulle est supposée être à tout instant égale à la pression extérieure correspondant à l'altitude où se trouve la bulle.

Avant d'être déplacée, la bulle de volume est en équilibre à l'altitude et sa température et sa pression sont égales à celles de l'air environnant, soit et .

V0 z₀

( )0

T z P z( ₀)

a) La bulle est déplacée à la hauteur . En supposant son évolution adiabatique et réversible, et les variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la variation de volume en fonction de , , , et du coefficient de compressibilité adiabatique défini par

z0 +

δV V₀ ρ g h

χQ 1

Q dV

χ =−V dP pour une transformation adiabatique réversible.

b) Déterminer la poussée d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle ; on introduira le gradient relatif de masse volumique : ^1d

dz ρ ρ .

c) En déduire l'équation du mouvement de la bulle.

d) Quelle condition doit vérifier le gradient de masse volumique pour que l'équilibre de l'air en soit stable ? Déterminer dans ce cas la pulsation des oscillations d'une bulle autour de l'altitude . La pulsation est appelée « pulsation de Väisälä-Brunt ».

z0

( )z0

Ω z₀ Ω( )z₀

3. On considère l'air comme un gaz parfait.

a) Expliciter à l'aide du coefficient . Traduire la condition de stabilité sur le gradient de masse volumique sous la forme d'une condition relative au gradient de température .

χQ γ =c_p/c_v

/ dT dz

b) Montrer alors qu'une atmosphère isotherme est stable. Déterminer dans ce cas la pulsation en fonction de g,

et .

( )z0

Ω γ ρ₀/p₀

c) Calculer numériquement Ω( )z₀ et la période τ correspondante pour une température de 15 °C . III25.

Une mole d’un gaz de volume V , pression P et température absolue T obéit à l’équation d’état de Dieterici :

( ) ^exp

(

P V b RT

− = −RTV

)

DS : coefficients thermoélastiques, page 1

1) Montrer que R est la constante des gaz parfaits.

2) Quelle est l’équation pour n moles ?

3) Exprimer en fonction de ^V , ^T, ^a, ^b et ^R son coefficient de dilatation isobare ¹

P

V V T

∂

⎛ ⎞⎟

α = ⎜⎜⎜⎝∂ ⎟⎟⎠ .

Réponses

I. 1) ^{pV =nRT}

(

)

2

( 2

T V

RT V a χ =

− ) ; 4) non.

II. 1.a) dP =−ρgdz ; 1.b) ^{P =P(0)exp}

(

)

(

)

2.b)

V QV g δ =χ ρ h

1 1d _Q

mg h gh

dz

ρ χ ρ ρ

⎛ ⎞⎟

Π ≈ ⎜⎜⎜⎝ + + ⎠⎟⎟ ; 2.c) h g ^1d _Q g h dz

ρ χ ρ ρ

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

; 2.d) ¹d _Q 0

dz g ρ χ ρ

ρ + < ; 1

Q

g d g

dz ρ χ ρ ρ

⎛ ⎞⎟

Ω= − ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ ; 3.a) χQ ¹P

= γ ; ^{dT 1 1 g 1 1 Mg}

dz P RT

ρ

γ γ

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟

⎜ ⎜

>⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ; 3.b)

2 1

Mg 1

RT γ

⎛ ⎞⎟

Ω= ⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ ; 3.c) Ω=0, 01824 rad/s τ =344 s.

III. 2) ^P

(

)

+ α=

− −

.

DS : coefficients thermoélastiques, page 2

Corrigé

1) Il faut remplacer V par V/n : ^{PV =nRT}

(

)

2) R s’exprime en J.mol^–1.K^–1 et a en m³.mol^–1. 3)

( )

3

2 2 3 3

2

(2 )

2 1

(2 )

( 2 )

T

T

RT a V

RT aRT P RT aRT V

P V V V V V V V P VRT a

V V

RT V a

∂ χ

∂ χ

= − ⇒ =− + = − ⇒ =− ∂ =− −

∂

= −

V

4) 1

T T

V V P χ ∂

∂

⎛ ⎞⎟

=− ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ est indépendant de n, car V est proportionnel à n tandis que Pet T n’en dépendent pas.

II.

1.a) dP =−ρgdz

1.b) L’équation des gaz parfaits PV ^mRT

= M montre que ^{m MP}

V RT

ρ = = . La condition d’équilibre devient alors

( )

( )

( )

0 0

ln (0)

(0)exp (0)exp

P z

P

dP MPg dz RT

dP Mg

P RTdz

dP Mg

P RT dz

P Mg

P RTz

P P Mgz

RT Mgz ρ ρ RT

=−

=−

=−

=−

= −

= −

∫ ∫

2.a) _Q ^{1 1} _Q

S

V V

V V g

V P V gh

χ δ δ

ρ

∂

⎛ ⎞⎟

=− ⎜⎜⎜⎝∂ ⎟⎟⎠ =− ×− ⇒ =χ ρ h

2.b) Notons la masse volumique de l’atmosphère (et non celle de la bulle). ρ

1 1 1

( )( ) 1 d ( ) 1 d V 1 d _Q

V V g h V V g Vg h mg h gh

dz dz V dz

ρ ρ δ

ρ δρ δ ρ δ ρ χ ρ

ρ ρ ρ

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎛

⎜ ⎜ ⎜

Π= + + ≈ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ + ≈ ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠ Π ≈ ⎜⎜⎝ + +

ρ ⎞⎟⎟⎟⎠

2.c) 1 1 1

1 d _Q d _Q d

mh mg mg mg h gh mg g h h g g h

dz dz dz

ρ ρ ρ

χ ρ χ ρ χ ρ

ρ ρ ρ

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

=− +Π =− + ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ + ⎠

Q ⎟⎟⎟

2.d) L’équilibre de l’air est donc stable si 1

Q 0

d g

dz ρ χ ρ

ρ + < . Alors, 1

Q

g d g

dz ρ χ ρ ρ

⎛ ⎞⎟

Ω= − ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠ 3.a) Calcul de χ_Q :

1 1

ln ln ln dP dV 0 dP dV _Q dV _Q

PV cste P V cste

P V P V V dP

γ γ γ γ χ

= + = + = =− =− = γ

χ P Condition de stabilité : ¹d g 0

dz P ρ ρ ρ +γ <

Or 1 1 1 1

ln ln ln ln

MP M d dP dT g dT

P T

RT R dz p dz T dz P T dz

ρ ρ

ρ ρ

= ⇒ = − + ρ = − =− −

La condition de stabilité devient 1

g dT g 0 P T dz P

ρ ρ

− − +γ <

DS : coefficients thermoélastiques, page 3

1 1

1 1

dT g Mg

dz P RT

ρ

γ γ

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟

⎜ ⎜

>⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ =⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

3.b) Comme γ>1, cette condition est vérifiée pour une atmosphère isotherme. Alors

1 2 1

1 g Mg 1

g p RT

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎟

⎜ ⎜

Ω= − ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠ Ω= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟ ρ

γ γ

⎞

⎠

3.c) 0, 029 1 2

9, 8 (1 ) 0, 01824 rad/s 344 s

8, 3 288 1, 4

τ π

Ω= − = =

× Ω =

III.

1) Quand le volume tend vers l’infini, l’équation d’état devient approximativement PV , or le gaz tend vers un gaz parfait, donc R est la constante des gaz parfaits.

=RT

2) V est en réalité le volume molaire V n/ , donc l’équation d’état pour n moles est ^P

(

)

3) ^{P V}( ^−b)^=RTexp

(

)

Différentions à P constant :

( )

( ) ^{( )}

( )

( )

2

1 1

1

1 1

dV dT a dT dV

V b T RTV T V

a dT a

dV V b RTV T RTV

a

dV RTV

V a

VdT T

V b RTV

a a

RTV RTV

V a VT

V b RTV T V b RV

= + +

−

− = +

−

= +

− −

+ +

α = =

− −

− −

a

DS : coefficients thermoélastiques, page 4