Licence LPAI, 2009-2010, Torricelli, un peu d’histoire – Daniel Huilier +Vidange réservoir
Evangelista Torricelli (1608-1647, Physicien, Mathématicien italien)
Formule d'hydrodynamique des fluides parfaits, qui exprime la conservation de l'énergie, exprimée par Torricelli (http://fr.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricelli):
Dans un vase contenant un fluide parfait (eau non visqueuse : dry water en anglais), d'un trou pratiqué à la hauteur h en-dessous de la surface horizontale, le liquide s'écoule avec une vitesse indépendante de sa masse volumique (pas de différence entre le mercure et l'eau !) : c'est la loi de Galilée sur la chute des corps translatée en hydrodynamique. Bien sûr la vitesse est V= 2gh, traduite de la simple chute libre.
Démonstration
On considère une cuve remplie d'un liquide parfait et incompressible, dans laquelle a été percé un trou de petite taille à une hauteur h en dessous de la surface libre du liquide. On note A un point choisi au hasard sur la surface libre du liquide et B un point pris au niveau du jet libre généré par le trou.
On suppose que le trou est assez petit pour que :
le diamètre du trou soit négligeable devant la hauteur h de liquide au dessus du trou, de manière à ce que h puisse être considéré comme constant au niveau du trou ;
la surface s du trou soit négligeable devant la surface libre S du liquide ; la conservation du débit impose que vAS = vBs, d'où vA =vB(s/S)<<vB ; on peut donc considérer que la hauteur h ne varie pas au cours du temps, et que l'écoulement du liquide est permanent.
L'ensemble du liquide participant à l'écoulement, on peut relier les points A et B au travers d'une ligne de courant.
En admettant enfin que le champ de pesanteur est uniforme à l'échelle de la cuve, il est alors possible d'appliquer le théorème de Bernoulli au niveau des points A et B :
2 B B
B 2 A A
A v
2 gz 1 p
2 v gz 1
p +ρ + ρ = +ρ + ρ
Or la pression au niveau de la surface libre du liquide pA et la pression au niveau du jet libre pB sont toutes deux égales à la pression atmosphérique p0, et d'autre part on peut négliger la vitesse du liquide au point A : vA = 0.
On en déduit l'expression de la vitesse du liquide au point B : gh
2 ) z z ( g 2
vB = A − B =
.
En considérant les différentes hypothèses nécessaires à l'établissement de cette formule, l'analogie avec la chute libre doit être interprétée avec précaution.
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Vidange d’un réservoir cylindrique
Un réservoir de forme cylindrique et de section S est rempli d'eau qui s'écoule par un orifice de section s situé au fond du réservoir. Pour un temps t≤0on maintient le niveau constant (z=H)) en apportant un certain débit en haut du réservoir pour compenser celui qui s'écoule en bas.
A partir de l'instant t = 0 on supprime le débit apporté en haut de façon à vider le réservoir.
1. Etablir la relation entre la vitesse v du jet et le temps: v = v(t) 2. Déterminer le temps nécessaire pour vider le réservoir.
L'écoulement est non visqueux et la relation S >> s permet de négliger l'accélération du fluide dans le réservoir.
• Données:
o Réservoir de section cylindrique de section S, percé au fond d'un trou de section s
o niveau à t = 0, z = H
• Hypothèses:
o S >> s
o fluide incompressible (car eau)
• Approche: Approche intégrale, sur un volume de contrôle s'identifiant au volume intérieur de la cuve et délimité par la cote z = H..
• Outils de résolution:
o Equation de continuité sous forme intégrale
o Relation de Bernouilli
o définition de la vitesse
1. Ce problème est caractérisé par la hauteur h du niveau de la cuve (pour ) et la vitesse v(t) du jet.
A partir des équations de continuité et de Bernouilli, on ne peut déterminer directement v(t), la vitesse du jet , mais on a une relation entre v(t) , vitesse à l'orifice, et , vitesse à la surface de la cuve.
0 t≥
) t ( vh
• L'équation de continuité:
∫∫∫
V∂∂ρdV+∫∫
S(ρv).ndS=0 tr r
appliquée aux conditions de ce problème (stationnaire et incompressible) donne:
s ).
t ( v S ) t (
vh =
Soit vh s v=S
L'écoulement étant irrotationnel, incompressible et stationnaire on peut appliquer la relation de Bernoulli entre un point de la surface (A) et un point au niveau de l’orifice (B):
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) t ( 2 v p 1 ) t ( 2 v ) 1 t ( gh
pA +ρ + ρ 2h = B + ρ 2
Mais pA =pB =patmospherique
D'où en tenant compte de la relation entre v(t) et vh(t) exprimée par l'équation de continuité:
gh 2 ) 1 s) ).((S t (
v2h 2 − =
or on a 1 s
S >> , ce qui implique
2 2
s 1 S s
S ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
≅⎛
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ soit la racine physiquement valide pour
) : t ( vh
gh S 2 vh =−s
On a , par intégration de la vitesse on détermine alors (axe z dirigé vers le haut, h >0, v
) h ( v
vh = h vh(t)
h < 0):
) t ( gh S 2 s dt ) dh t (
vh = =−
dt . g S 2 s h dh =−
Par intégration:
Cte t g S 2 h s
2 =− +
en prenant en compte la condition initiale à t = 0, h = H, on obtient:
2
H t . g S 2 2
h s ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛− +
=
Enfin, on déduit de 2gh S
vh = s , de vh s
v=S , et de l'équation précédente:
gH 2 Sgt
) s t (
v =− +
2. Pour déterminer le temps nécessaire pour vider le réservoir, il suffit de résoudre h(tvid) = 0 :
g H 2 s tvid = S
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