Démontrez le théorème de Bernoulli dans le cas d'un liquide parfait, incompressible, etc.

Mécanique des uides : uide parfait (PC*)

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Question de cours

Démontrez le théorème de Bernoulli dans le cas d'un liquide parfait, incompressible, etc.

Exercice Siphon

On considère le dispositif représenté ci con- tre, alimenté par un débit D constant.

Déterminez le comportement du dispositif en fonction de D .

Solution

tant que le niveau est sous h 2 , il monte. Quand il atteint h 2 , début siphon.

Ligne de courant depuis entrée siphon : ^v ₂

+ ^p _ρ

= ^v ₂

+ ^p _ρ

. Si juste avant siphon, v A = 0 et p A = p atm + ρg (z − h 1 ) . Avec p B = p atm car dans le jet, on a v B = p

2g (z − h 1 ) . Le débit de sortie vaut donc d = v B s = s p

2g(z − h 1 ) .

• Si s p

2g(h 3 − h 1 ) < D , le dispositif déborde.

• Si s p

2g(h 2 − h 1 ) > D , le niveau descend jusqu'à z min tel que s p

2g(z min − h 1 ) = D ______________________________________

Question de cours

Démontrez le théorème de Bernoulli dans le cas d'un liquide parfait, incompressible, etc.

Exercice Hélice

On modélise une souerie par le dispositif représenté ci contre.

Dans tout l'exercice, l'air sera supposé être un u- ide parfait, homogène et incompressible tant qu'il est susamment loin de l'hélice. On ne tiendra pas compte de la pesanteur.

1. Déterminez la diérence de pression P 2 − P 1

de part et d'autre de l'hélice.

2. En déduire par un bilan de quantité de mouve- ment la force exercée par l'hélice sur le uide, puis la puissance fournie par l'hélice.

3. Retrouver ce résultat par des considération énergétiques.

1

Solution

Bernoulli à gauche et à droite :

p

ρ = ^p _ρ

+ ^v

₂ et ^p

_ρ + ^v ₂

= ^p _ρ

+ ^v

2 apres

2 . Conservation du débit : v avant = v apres et on a P 2 − P 1 = ¹ ₂ ρv ² ₂ .

Système = système ouvert +ce qui rentre entre t et t+dt + ce qui sort entre t et t+dt.

quantité de mouvement à l'instant t : −−−−→ p ouvert (t) + S avant v avant dtρv avant − u → x

quantité de mouvement à l'instant t+dt : −−−−→ p ouvert (t + dt) − S apres v apres dtρv apres − u → x

et S _apres = S _avant v _apres = v _avant donc ^dp _dt = 0 , donc

F _helice−jet = −F _pression = (P ₂ − P ₁ ) S = ¹ ₂ Sρv ² ₂

et puissance = force x vitesse = ¹ ₂ Sρv _avant v ² ₂ = ¹ ₂ D _m v ² ₀ . ______________________________________

Exercice Jet d'eau sur une plaque

Un jet d'eau de section transervse e × l arrive avec une vitesse v 0 − u → x sur une plaque inclinée de masse M . On considère qu'il donne naissance à deux jets de sections e 1 × l et e 2 × l et de vitesse v 1 et v 2 . On suppose le liquide parfait et incompressible, son écoulement irrotationnel et on négligera les eets de la pesanteur.

1. Déduire de la conservation de la matière une relation entre e , e ₁ , e ₂ , v ₀ , v ₁ et v ₂ .

2. Déduire du théorème de Bernouilli une sec- onde relation entre e , e 1 et e 2 .

3. En appliquant un bilan de quantité de mou- vement à un système convenablement choisi, déterminez l'expression de e 1 , e 2 et de la force

−

→ F appliquée par le jet sur la plaque.

4. On considère à présent que la plaque est at- tachée à un axe colinéaire à − → u z autour duquel elle peut tourner librement. On note d la dis-

tance du centre de gravité de la plaque à l'axe.

Déterminez l'angle α en négligeant le poids du uide.

Solution

1. Conservation de la matière : débit entrant ( lev 0 ) = débit sortant ( le 1 v 1 + le 2 v 2 ) donc ev 0 = e 1 v 1 + e 2 v 2 . 2. Théorème de Bernoulli : dans les jets libres, p = p 0 donc ^v ₂

+ ^p _ρ

= ^v ₂

+ ^p _ρ

= ^v ₂

+ ^p _ρ

car toutes les hypothèses pour théorème général. On a donc v 0 = v 1 = v 2 soit e = e 1 + e 2 avec la relation précédente.

3. Système = système ouvert +ce qui rentre entre t et t+dt + ce qui sort entre t et t+dt.

quantité de mouvement à l'instant t : −−−−→ p _ouvert (t) + lev ₀ dtρv ₀ − u → _x quantité de mouvement à l'instant t+dt : −−−−→ p ouvert (t + dt) − le 1 v 1 dtρv 1

−

→ n ⁰ + le 2 v 2 dtρv 2

−

→ n ⁰ Régime stationaire : −−−−→ p ouvert = −−→

cste donc ^{d −−−−→ p}

_dt = −le 1 v 1 ρv 1

−

→ n ⁰ + le 2 v 2 ρv 2

−

→ n ⁰ − lev 0 ρv 0 − u → x

• Forces extérieures :

Pression : lLp 0 − → n car pression tube f erme − pression contact plaque = 0 − pression contact plaque

∗ Plaque sur jet = - jet sur plaque et comme uide parfait, eort purement normal : −F − → n

2 Daniel Suchet - 2012

PFD : −le 1 v ₁ ρv ₁ − →

n ⁰ + le ₂ v ₂ ρv ₂ − →

n ⁰ − lev ₀ ρv ₀ − u → _x = lLp ₀ − → n − F − → n et − u → _x = cosα − → n − sinα − →

n ⁰ et on trouve avec v ₀ = v ₁ = v ₂

( −e 1 + e 2 + esinα = 0

−leρv ² ₀ cosα = lLp 0 − F ⇔

( e _1/2 = ¹ ₂ e (1 ± sinα) F = lLp 0 + leρv ₀ ² cosα

4. TMC : poids : M poids = −mgdsinα − → u z . Force : M F = F l = l ² Lp 0 + l ² eρv ² ₀ cosα . Pression extérieure enlève le terme en l ² Lp 0 . Equilibre : l ² Lp 0 + l ² eρv ₀ ² cosα = M gdsinα donc tanα ' ^l

_{M gd} ^eρv

.

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Exercice Force de pression dues au vent sur un hangar

On considère un hangar, modélisé par un demi cylindre de rayon R et de longueur L , soumis à un vent dont la vitesse loin du hangar est donnée par v ∞ − u → x . Sur un côté du hangar, une ouverture inniment ne est aménagée sur tout la longueur et on note A un point de cette ouverture. Dans le hangar, l'air est au repos et la pression uniforme. On suppose l'air comme un uide parfait et son écoulement comme incompressible et irrotationnel.

1. Commentez rapidement les hypothèses.

2. Montrez que la vitesse − → v de l'écoulement peut être écrite comme − → v = −−→

gradφ et déterminez l'équation vériée par le potentiel φ.

3. On cherche des solutions de l'équation précédente par analogie avec l'électrostatique.

(a) Démontrez qu'en l'absence de charge, le potentiel électrostatique vérie la même équation que φ .

(b) Rappelez le potentiel électrostatique crée par une charge ponctuelle en tout point de l'espace et tracez en rapidement les lignes de champ.

(c) Rappelez le potentiel électrostatique crée par un dipole en tout point de l'espace et tracez en rapidement les lignes de champ.

(d) En déduire qu'on peut chercher φ sous la forme

φ( − → r ) = Arcosθ + B ^cosθ _r

+ ^C _r + D 4. Déterminez l'expression du champ de vitesse.

5. En déduire la force de pression Spar unité de longueur exercée par l'air sur le hangar.

Solution 1. Hypothèses 2. −→

rot − → v = − →

0 ⇒ − → v = −−→

gradφ et div − → v = 0 ⇔ ∆φ = 0 3. Analogies

(a) Maxwell Gauss : div − →

E = −∆V = 0 (b) Une charge crée V = _4π ^q

0

1

r . Le champ associé vérie − → E = _4π ^q

0

1 r

−

→ u r donc dr rdθ

∧ E r

0

= 0 ⇔ rE r dθ = 0 ⇔ θ = cste

(c) Un dipole crée V = _4π ^p

0

cosθ

r

. Le champ associé vérie − → E = _4π ^p

0





2cosθ/r ³ sinθ/r ³

0



 donc dr rdθ

∧

E _r E θ

= 0

dr

r = 2 ^cosθdθ _sinθ = 2 ^d(sinθ) _sinθ

⇒ r = r 0 sin ² θ

(d) Par linéarité, on peut prendre une CL de toutes les solutions précédentes. r cosθ = x marche aussi, donc on peut l'ajouter.

3 Daniel Suchet - 2012

4. φ( − → r ) = Arcosθ + B ^cosθ _r

+ ^C _r + D

−

→ v =





Acosθ − 2B ^cosθ _r

− _r ^C

−Asinθ − B ^sinθ _r

0



 =









v _∞ cosθ 1 − ^R _r

−v _∞ sinθ

1 + ^R _r

0









−

→ v (r = ∞) = −→ v _∞ donc A = v _∞

v _r (r = R) = 0 ∀θ donc 2B = R ² A et C = 0

5. Bernouilli donne ^v ₂

+ ^p _ρ = cste = ^v

₂

+ ^p _ρ

donc p(R, θ) = p _∞ + ^ρ ₂ v ² _∞ 1 − 4sin ² θ

= p _∞ + ^ρ ₂ v _∞ ² − 2ρv _∞ ² sin ² θ . Pour θ = π , p(R, θ) = p A donc p ext (R, θ) = p A − 2ρv ² _∞ sin ² θ .

Sur un morceau LRdθ , la force vaut p A LRdθ − u → r − p A − 2ρv ² _∞ sin ² θ

LRdθ − → u r . Seule la composante suivant − → u z

compte ie 2ρv _∞ ² sin ² θLRdθ (sinθ) . La force totale par unité de longueur vaut donc 2ρv ² _∞ R ´ π

0 sin ² θsinθdθ = −2ρv _∞ ² R ´ π

0 1 − cos ² θ

d(cosθ) = 2ρv ² _∞ R h

−cosθ + ^cos ₃

^θ i π 0

= ⁸ ₃ ρv ² _∞ R ___________________________________________

4 Daniel Suchet - 2012