MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 20 (du lundi 18 au vendredi 22 mars)
lyc´ee Chaptal
R´evision : cours sur les groupes.
Toute l’alg` ebre lin´ eaire hors d´ eterminants Le groupe sym´ etrique
GroupeS(X) des permutations d’un ensembleX;S(X) etS([[1;n]]) sont isomorphes si Card(X) =n. Support, condition de commutativit´e de deux permutations,k-cycles, transposition.
D´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints ; en produit de transpositions.
D´efinition de la signature, cas des cycles. La signature est un morphisme de groupes, le noyau est le groupe altern´e.
D´ eterminants (cours seul)
Applications multilin´eaires altern´ees. D´efinition, propri´et´es, expression dans une base. Cons´equence : dimension de l’espace des formes n-lin´eaires altern´ees sur un espace de dimensionn.
Questions de cours
Q.1 Si Card(X) =n, d´emontrer que les groupes (S([[1;n]]),◦) et (S(X),◦) sont isomorphes.
Q.2 Expliciter en d´etail S2, S3et S4.
Q.3 Toute permutation se d´ecompose (de fa¸con unique `a l’ordre des facteurs pr`es) en produit de cycles de supports disjoints.
Q.4 [facultative]D´emontrer que la signature est un morphisme de groupe de (Sn,◦) dans ({−1,1},×).
Q.5 D´emontrer qu’une formen-lin´eaire est altern´ee si et seulement si elle est sym´etrique.
Q.6 Siϕest une formen-lin´eaire altern´ee, etσ∈Sn, montrer queϕ(uσ(1),· · ·, uσ(n)) =ε(σ)ϕ(u1,· · · , un).
Q.7 Expression d’une formen-lin´eaire altern´ee surE (dimE=n) dans une baseB= (e1,· · ·, en) deE.
Q.8 L’ensemble Λn∗E (dimE=n) des formesn-lin´eaires altern´ees surE est un espace vectoriel de dimension 1.
A venir : d´` eterminants.
