CONCOURS COMMERCE (IAE) MATHS ET LOGIQUE CALCULS
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I – Calculs simples
Un certain nombre de formes de calculs reviennent régulièrement : questions de proportions, de pourcentages, calculs d’aires ou de volumes, formules triangulaires (vitesse = distance / temps, dépense = quantité × prix unitaire, …)
1) Aires et volumes
* Avec le bois d’une caisse creuse cubique d’un mètre vingt de côté, combien peut-on construire de caisses cubiques complètes réalisée avec ce même bois de 40cm de côté ?
Dans une face de 1,20 m de côté, on peut découper 9 faces de 40 cm de côté.
Un cube ayant 6 faces, la grande caisse donnera 54 faces de 40 cm, permettant de construire 9 cubes.
* Un homme attache une vache avec une corde dans son jardin carré de 20 mètres de côté. La corde mesure 10 mètres de longueur (sans compter le noeud), et elle est attachée à un piquet situé au milieu du jardin. Au bout d’une semaine, la vache est toujours attachée et a brouté toute la pelouse accessible. Quelle surface de pelouse reste-t-il dans le jardin (approximativement) ?
Aire du jardin : 20² = 400 m² ; aire mangée par la vache : πr² ≈ 3,14×10² ≈ 314 m². Il reste environ 86 m².
2) Formules triangulaires
* Un marathonien met 1h30 pour faire 25 fois le tour d’un parc rectangulaire mesurant 300 m par 120 m. Quelle est sa vitesse ?
v = distance/temps = 25×(300+120)×2/1,5 = 25×(300+120)×4/3 = 100×420/3 = 100×140 = 14000 m/h = 14 km/h
* Un artisan est payé 8€ de l’heure et 50% en plus pour toute heure supplémentaire effectuée au-delà des 8h journalières obligatoires. Aujourd’hui il a perçu 80€ de salaire. Combien de temps a-t-il travaillé ?
prix horaire × nb heures = salaire
Pour les 8 premières heures, 8€/h×8h = 64€.
Il reste 16€ de salaire, qu’il a touchées au prix de 12€/h. 16/12 = 4/3 h = 1h + 1/3h = 1h20min.
Aujourd’hui, il a donc travaillé 9h20 min
3) Arithmétique
* la somme de trois entiers consécutifs est 195. Quelle est la valeur du plus petit des trois ?
[la somme de la somme de trois entiers consécutifs] est un grand classique ; il est bon d’en connaître la généralité : si on appelle n celui du milieu, alors leur somme est (n-1) + (n) + (n+1) = 3n.
Appliquons cela à notre exemple : 3n doit valoir 195, donc n = 65, et donc le plus petit des trois vaut 64.
* Si x et y sont des entiers impairs, parmi les propositions suivantes, laquelle nous donne un entier pair ? a. x(y – 2) b. xy + 4 c. (x + 2)(y – 4) d. 3x + 5y e. x(x + 4)
[avec p « pair » et i « impair » : p×p = p ; p×i = p ; i×i = i p+p = p ; p+i = i ; i+i = p]
réponse : d.
* La somme des carrés de deux nombres vaut 208 et leur produit vaut 58. Combien vaut leur somme ? [produits remarquables : bien connaître (a+b)² = a² + b² + 2ab]
a²+b² = 208 et ab = 58 donne a²+b²+2ab = 324. Donc (a+b)² = 324, donc a+b peut valoir 18.
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2 4) Proportions et pourcentages
* Quand la production d'un objet double, son prix de revient baisse de 20%. Le prix de revient unitaire est 100 € pour 1000 objets produits. Si on fabrique 8000 objets, quel est le prix de revient unitaire ?
Le prix de revient est de 100 € par article pour 1000 articles produits.
8000 articles représentent 3 doublements successifs de la production. Le prix de revient unitaire a donc été multiplié par 0,8 trois fois de suite. On atteint donc 51,2 € par article.
II – Mise en équation
On retrouvera les mêmes thèmes que dans la partie précédente, mais dans des situations plus complexes.
Il conviendra de nommer « x » la réponse souhaitée, puis de réécrire l’énoncé avec x.
* Aline possède 4 fois plus de livres que Bénédicte. Si Aline décidait de donner 12 de ses livres à Bénédicte, alors elle posséderait 2 fois plus de livres que Bénédicte. Combien de livres Aline possède-t-elle ?
Soit x le nombre de livres d’Aline ; on notera ici aussi b celui de Bénédicte. La première phrase donne x = 4b.
La deuxième phrase se traduit par : x-12 = 2(b+12).
On remplace ici x par 4b : 4b-12 = 2(b+12) 2b = 36 b = 18 x = 72
* Dans une famille il y a 3 fils. Le second est de 2 ans plus jeune que l’aîné et l’âge du plus jeune est égal à la moitié de l’âge du second. La somme des âges des 3 frères est égale à 27. Quel est l’âge du second frère ? Soit a, b, c les âges des trois frères. La première proposition donne a = b+2 et la seconde b = 2c.
Dans a+b+c = 27, remplaçons a par b+2 puis b par 2c. On obtient : 2c+2 + 2c + c = 27, soit c = 5.
Réponse : b = 10
