La factorisation de x pl x F p [x] selon la trace

(1)

arXiv:math/0607413v1 [math.NT] 18 Jul 2006

La factorisation de x

^p

l

− x ∈ F

_p

[ x ] selon la trace

Roland Bacher

Résumé: Nous décrivons quelques factorisations de polynômes sur des corps finis. Ces factorisation sont liées à la trace, aux compositions de polynômes et aux coefficients binomiaux. Comme conséquence nous obtenons la description des polynômes irréductiblesQ∈F₂[x] tels que les polynômes Q(1 +x+x²) (ou Q(x+x²)) sont également irréductibles.

Abstract: We present a few factorizations of polynomials over finite fields. These factorizations are related to traces, compositions of polynomials and binomial coefficients. As a corollary we obtain a description of all irreducible polynomials Q ∈ F₂[x] such that Q(1 +x+x²) (or Q(x+x²)) remain irreducible.

1 R´ esultats principaux

Pour p un nombre premier, les racines du polynôme x^p^l −x ∈ F_p[x] sont les éléments du corps fini F_p_l = F_p[x]/(R) à q = p^l éléments où R ∈ F_p[x]

est un polynôme irréductible de degrél. Rappelons la définition de la trace relative trl(ρ) = Pl−1

k=0ρ^p^k ∈ F_p d’un élément ρ ∈ F_p_l. C’est donc la trace de l’application x 7−→ ρx, considérée comme endomorphisme F_p−linéaire de F_p_l. Pour F = Pd

j=0α_jx^j ∈ F_p[x] un polynôme irréductible de degré d divisant l nous posons trl(F) = trl(ρ) = −_d^l^α_α^d−1

d pour d´efinir sa trace relative o`u ρ∈F_p_l est une racine de F.

Dans la suite, on identifiera généralement deux diviseursF, Gd’un polynôme P ∈F_p[x] siG=λF pour λ∈F^∗_p. L’ensemble des diviseurs d’un polynôme P sera défini comme l’ensemble des polynômes moniques divisantP.

Le r´esultat suivant est, au moins partiellement, bien connu, voir par exemple la proposition 3.4.7 dans [1].

Théorème 1.1 (i) Le polynôme

−α+

l−1

X

k=0

x^p^k ∈F_p[x]

est le produit de tous les facteurs irr´eductibles F divisant x^p^l −x dont la trace relative est trl(F) =α.

(2)

(ii) Pour α∈F_p etd un diviseur de l=df, le polynˆome

−α+

f−1

X

k=0

x^p^dk ∈F_p[x]

divise −dα+Pl−1

k=0x^p^k ∈F_p[x].

Notre preuve démontre une légère généralisation du théorème 1.1 : On peut rempla¸cer le corps primaireF_p par le corps fini F_q à q=pêéléments.

La factorisation partielle X^p^l−X =

p−1

Y

α=0

−α+

l−1

X

k=0

X^p^k

!

∈F_p[X]

est l’ingrédient principal de l’algorithme 3.4.8 dans [1] permettant la factorisation dansF₂[x]. La caractérisation des diviseurs irréductibles de−α+ Pl−1

k=0x^p^k ∈F_p[x] en fonction de leurs traces simplifie légèrement l’étude de cet algorithme.

Avant de passer en caract´eristique 2, mentionnons encore le r´esultat suivant (probablement bien connu) qui est valable pour un corps commutatif quelconque.

Proposition 1.2 Considérons deux polynômes Q, R ∈ K[x] à coefficients dans un corps commutatif K. Supposons Q irréductible. Alors son degré deg(Q) divise le degré de tout facteur irréductible F ∈ K[x] du polynôme composéQ◦R ∈K[x].

La proposition 1.2 associe donc `a une paire de polynˆomes Q, R ∈K[x]

avec Q irr´eductible une partition Pa

j=1r_j du degré de R obtenue en con- sidérant les degrés (rj deg(Q)) = deg(Fj) des a facteurs irréductibles (pas nécessairement distincts) du polynôme composé Q◦ R = F₁· · ·Fa. Un cas particulier amusant est la partition associée à Q◦Q pour Q ∈ K[x]

irréductible. Y-a-t-il des restrictions sur les partitions obtenues à partir de Q◦Q? (Cela semble être le cas sur le corpsF₂: Les partitionsl= 1+1+. . .+1 n’apparaissent pas pourQ∈F₂[x] irréductible de degrél∈ {2, . . . ,8}.) On peut également se poser des questions sur les fréquences (asymptotiques) des partitions associées à Q◦Q(respectivementQ◦R) pourQirréductible etQ(respectivementR) de degré grand etc.

Pour P, Q ∈ F_q[x] à coefficients dans le corps fini à q =pê éléments, Q irréductible de degrél, le nombre de facteurs irréductibles distinctsF ∈F_q[x]

divisantQ◦Rde degré un diviseur dedlest évidemment donné par le nombre de facteurs irréductible du plus grand diviseur commun entreQ◦Retx^q^dl−x (modQ)◦R.

(3)

Le premier cas non-trivial, obtenu en choisissant Rparmi les polynômes x+x²,1+x+x²∈F₂de degré 2 à coefficients dansF₂admet une description plus simple, donnée par le résultat suivant. (Les cas Q(x²) = (Q(x))² et Q(1 +x²) = (Q(1 +x))²∈F₂[x] sont sans intérêt.)

Th´eor`eme 1.3 SiQ=x^2m+P2m−1

j=0 αjx^j ∈F₂[x]est irréductible de degré pair l = 2m, alors les polynômes Q(x+x²), Q(1 +x+x²) ∈ F₂[x] sont irréductibles de degré2l si la trace tr_l(Q) =α_2m−1 de Q vaut 1 et les deux polynômes Q(x+x²), Q(1 +x+x²) ∈F₂[x] se décomposent en un produit de deux polynômes irréductibles de degré l et de même trace sinon.

Si Q = x^2m+1 +P2m

j=0α_jx^j ∈ F₂[x] est irréductible de degré impair l= 2m+ 1, alors le polynômeQ(1 +α_2m+x+x²)∈F₂[x]est irréductible de degré2l et le polynôme Q(α_2m+x+x²)∈F₂[x]se décompose en un produit de deux polynômes irréductibles de degré l et de traces différentes.

Le théorème 1.3 est relié à une jolie factorisation dex²²ⁿ⁻¹+1∈F₂[x] qui semble nouvelle. Nous l’appellerons la factorisation de Pascal car elle fait intervenir la réduction modulo 2 des coefficients binomiaux ^m_k

= _k!(m−k)!^m!

constituant le triangle de Pascal.

Th´eor`eme 1.4 On a

2ⁿ−1

Y

k=0



1 +

k

X

j=0

k j

x²^j



=x²²ⁿ⁻¹+ 1∈F₂[x].

L’outil principal pour prouver les théorèmes 1.3 et 1.4 est un mono¨ıde décrit dans le chapitre 3. On l’obtient en considérant un certain sous-espace vectoriel⊂F_p[x] qui est stable pour la composition des polynômes.

2 Preuves du th´ eor` eme 1.1 et de la proposition 1.2

Preuve du th´eor`eme 1.1: En posant X =Pl−1

k=0x^p^k dans l’identit´e triviale XQp−1

α=1(X−α) =X^p−X∈F_p[X] on a

p−1

Y

α=0

−α+

l−1

X

k=0

x^p^k

!

=

l

X

k=1

x^p^k−

l−1

X

k=0

x^p^k =x^p^l−x . Le polynˆome−α+P_l−1

k=0x^p^j divise doncx^p^l−x dansF_p[x].

Par d´efinition de la trace relative tr_l(F) =Pl−1

k=0ρ^p^k d’un diviseur irr´eductible F de −α+Pl−1

k=0x^p^k, la racine ρ ∈ F_pl de F est ´egalement une racine de −tr_l(F) +Pl−1

k=0x^p^k. Le polynˆome irr´eductible F ∈ F_p[x] divise donc

−trl(F) +Pl−1

k=0x^p^k ∈F_p[x]. Ceci d´emontre l’assertion (i).

(4)

Posons q =p^d et considérons le corps F_q à q =p^d éléments. Les argu- ments utilisés dans la preuve de l’assertion (i) montrent qu’on a également

Y

α∈F_q

−α+

f−1

X

k=0

x^q^k

!

=x^q^f −x=x^p^l−x∈F_p[x].

La trace tr_f,F_q(F) = Pf−1

k=0ρ^q^k ∈ F_q (o`u F(ρ) = 0 pour ρ ∈ F_q_f) d’un diviseur irr´eductible F = P

jα_jx^j ∈ F_q[x] de −α +Pf−1

k=0x^q^k est donc

´egalement donn´ee par α ∈ F_q. Le produit Qd−1 s=0

P

jα^p_j^sx^j

est une puissance (d’exposant un diviseurd) d’un polynˆome irr´eductibleG∈F_p[x] divisible parF. Sa trace trl(G) =Pl−1

k=0ρ^p^k =Pf−1 k=0

ρ^p^dk+ρ^p^dk+1+. . .+ρ^p^dk+(d⁻¹⁾

= α+α^p+. . .+α^p^d⁻¹ vaut doncdαpourα∈F_p. L’assertion (ii) d´ecoule main-

tenant de l’assertion (i). ✷

Preuve de la proposition 1.2: Soitρune racine d’un diviseur irr´eductible F de Q◦R ∈K[x]. Le corps K[ρ] = K[x]/(F) contient donc le sous-corps K[R(ρ)] qui est une extension de degr´e deg(Q) deK carR(ρ) est une racine

du polynˆome irr´eductibleQ∈K[x]. ✷

3 Le mono¨ıde de composition

Lemma 3.1 Pour A=ǫ_A+Pa

k=0α_kx^p^k et B =ǫ_B+Pb

k=0β_kx^p^k ∈F_p[x]

avec ǫA, α0, . . . , αa, ǫB, β0, . . . , βb ∈F_p on a

A◦B =ǫC +

a+b

X

k=0

γkx^p^k ∈F_p[x]

avec ǫC =ǫA+ǫBPa

k=0α_k et P_a+b

k=0γ_kx^k= Pa

k=0α_kx^k Pb

k=0β_kx^k . Preuve: Un calcul facile montre le résultat pour le cas particulier A = ǫA+x^pâ. Le cas général s’en déduit par linéarité. ✷

Associons au polynˆomeA=ǫ_A+Pa

k=0α_kx^p^k ∈F_p[x] (avecǫ_A, α₀, . . . , α_a∈ F_p) le symbole (ǫA,Pa

k=0αkx^k)∈F_p×F_p[x]. Par le lemme 3.1, le polynôme composéA◦B de deux tels polynômes de symboles (ǫA, α) et (ǫB, β) correspond au symbole (ǫ_A +α(1)ǫ_B, αβ). Ce produit munit donc l’ensemble Mp = F_p ×F_p[x] de ces symboles d’une structure de mono¨ıde associa- tive et distributive à gauche pour la structure d’espace vectoriel évidente (ǫA, α) +λ(ǫB, β) = (ǫA+λǫB, α+λβ) sur Mp. Nous appellerons Mp le mono¨ıde de composition. La projection sur le deuxième facteurF_p[x] deMp

est un morphisme de mono¨ıde sur le mono¨ıde commutatif multiplicatifF[x].

La section α 7−→ (0, α) ∈ Mp r´ealise F_p[x] comme sous-anneau de l’espace vectoriel Mp. Un autre sous-anneau commutatif (qui n’est cependant pas

(5)

de type fini) est défini par le sous-ensemble F_p×(x−1)F_p[x] du mono¨ıde Mp, augmenté de sa structure d’espace vectoriel. L’élément (0,1) ∈ Mp

est une identité bilatère tandis que la multiplication (à gauche ou à droite) par (0, x) correspond à l’action de l’automorphisme de Frobenius. Le sous- ensembleF_p×F^∗_p⊂ Mp est un sous-mono¨ıde isomorphe au groupe affine du corpsF_p. Mentionnons également que le mono¨ıdeMp possède des quotients commutatifs finis de la formeF_p×(F_p[x]/(G)) pourG∈F_p[x] un polynôme divisible parx−1.

Remarque 3.2 Toutes les définitions et propriétés énoncées dans ce chapitre restent valable en rempla¸cantp partout par une même puissanceq=pêd’un nombre premier et en travaillant sur le corps fini F_q à q éléments.

4 Preuves des th´ eor` emes 1.3 et 1.4

Preuve du théorème 1.3: Considérons d’abord Q ∈ F₂[x] irréductible de degré pair l= 2m. Comme (Q₁Q₂)◦R= (Q₁◦R)(Q₂◦R), par l’assertion (i) du théorème 1.1 il suffit de montrer que le polynôme

P2m−1 k=0 x²^k

◦(ǫ+ x+x²) divise x²^2m+xet que le polynˆome

1 +P2m−1 k=0 x²^k

◦(ǫ+x+x²) est premier `ax²^2m+x(il divisera alorsx²^4m+xpar la proposition 1.2) pour ǫ∈F₂. En travaillant dans le mono¨ıdeM₂, on obtient (0,P_2m−₁

k=0 x^k)(ǫ,1 + x) = (2mǫ,1 +x^2m) = (0,1 +x^2m) correspondant `ax+x²^2m dans le premier cas. Le deuxi`eme cas, (1,P2m−1

k=0 x^k)(ǫ,1 +x) = (1,1 +x^2m), correspond à 1+x+x²^2m qui est premier àx+x²^2m. La proposition 1.2 (ou la factorisation (1 +x+x²^2m)(1 + (1 +x+x²^2m)²^2m⁻¹) = (1 +x+x²^2m) + (1 +x+x²^2m)²^2m = x+x²^4m) termine la preuve pourQirréductible de degré pair l= 2m. Nous laissons au lecteur le cas similaire où Qest irréductible de degré impair. ✷

Preuve du théorème 1.4: Considérons le polynômePh= 1+Ph k=0

h k

x²^k ∈ F₂[x] correspondant au symbole (1,(1 +x)^h) ∈ M₂. Les identités faciles (1,1 +x)(1,(1 +x)^h) = (1,(1 +x)^h)(0,1 +x) = (1,(1 +x)^h+1) ∈ M2 pour h ∈N montrent qu’on a P₁◦Ph =Ph◦(x+x²) =P_h+1 pour tout h ∈N. En itérant l’identitéP₁◦P_h = 1 +P_h+P_h² =P_h+1 on obtient

P_h+1 = 1 +P_h(1 +P_h) = 1 +P_hP_h−1(1 +P_h−1) =. . .

= 1 +P_hP_h−1. . . P₁P₀(1 +P₀) = 1 +xQh k=0P_k . Pour h+ 1 = 2ⁿ, on a donc l’´egalit´e

P₂ⁿ = 1 +x+x²²

n

= 1 +x

2ⁿ−1

Y

k=0

P_k

qui démontre le théorème. ✷

(6)

Remarque 4.1 Le produit

P₂ⁿ⁻¹· · ·P2ⁿ−1 = x²²ⁿ⁻¹+ 1

x²²ⁿ⁻¹⁻¹+ 1 ∈F₂[x]

s’identifie au produit de tous les polynômes irréductibles distincts de degré 2ⁿ dans F₂[x]. Le théorème 1.1 appliqué à P₂ⁿ−1 = 1 +P₂ⁿ−1

k=0 x²^k (ou le théorème 1.3 appliqué aux identités P_h+1 =P_h◦(x+x²)) montre qu’un tel polynôme irréductible F = P₂ⁿ

k=0αkx^k divise le dernier facteur P₂ⁿ−1 si et seulement si sa trace tr₂ⁿ(F) = α₂ⁿ−1 vaut 1. Mentionnons également que les formulesP_h+1=P_h◦P₁ =P_h◦(x+x²)pour h≥1illustrent et précisent le théorème 1.3.

Remarque 4.2 Pourp un premier quelconque (ou plus généralement pour q=pê une puissance d’un premier), les polynômes

Ph,α=−α+

h

X

k=0

h k

x^p^k ∈F_p[x]

ont également des propriétés intéressantes: Ph,α divise P_h+1,2α car

0 =

−α+P

k h k

ρ^p^k +

−α+P

k h k

ρ^p^kp

= −α+P

k h k

ρ^p^k−α+P

k h k−1

ρ^p^k =P_h+1,2α

pour ρ ∈ F_p une racine de P_h,α. Le polynˆome P_h,α divise donc P_pn,2^pn⁻^hα

pourh≤pⁿ. Il divise donc égalementx^p^2pn−xen appliquant le théorème 1.1

`

aP_pⁿ_,2^pn−hα = 2^pⁿ^−hα+x+x^p^pn. L’ensemble des polynˆomesPh,αcorrespond au sous-mono¨ıdeF_p×(1+x)^NdeMp. Il est donc ferm´e pour la composition et on aPh,α◦Pm,β =P_h+m,α+2hβ.

References

[1] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, 3-rd corr. print. Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 1996.

Institut Fourier, Laboratoire de Mathématiques, UMR 5582 (UJF-CNRS), 100, rue des Mathématiques, BP 74, 38402 St MARTIN D’HÈRES Cedex, France

Adresse courriel: Roland.Bacher@ujf-grenoble.fr