PLAN VECTEURS

(1)

VECTEURS

PLAN

1 VECTEURS ... 1

1.1 CADRE MATHEMATIQUE ... 1

1.1.1 Bipoint ... 1

1.1.2 Segment ... 1

1.1.3 Vecteur ... 1

1.1.4 Espace Vectoriel de dimension n... 2

1.1.5 Base dans un espace vectoriel de dimension n ... 3

1.1.6 Repère ... 3

1.2 DEFINITIONS ASSOCIEES ET PROPRIETES ... 4

1.2.1 Relation de Chasles ... 4

1.2.2 Norme d’un vecteur ... 4

1.2.3 Colinéarité ... 4

1.2.4 Coplanarité ... 5

1.2.5 Vecteurs et parallélogrammes... 5

2 CALCUL VECTORIEL ET APPLICATIONS ... 6

2.1 PRODUIT SCALAIRE ... 6

2.1.1 Définition ... 6

2.1.2 Orthogonalité ... 6

2.1.3 Angle de vecteurs... 6

2.2 PRODUIT VECTORIEL ... 7

2.2.1 Définition ... 7

2.2.2 Colinéarité ... 7

2.2.3 Base directe ... 7

2.2.4 Propriétés géométriques du produit vectoriel ... 7

2.2.5 Produit mixte ... 8

2.3 APPLICATIONS GEOMETRIQUES ... 8

3 CHAMPS ET OPERATEURS ... 9

3.1 DEFINITIONS... 9

3.1.1 Champ scalaire : fonction de points ... 9

3.1.2 Champ vectoriel : coordonnées fonctions de points... 9

3.2 OPERATEURS DIFFERENTIELS DU 1^ER ORDRE... 9

3.2.1 L’opérateur nabla ... 9

3.2.2 Gradient d’une fonction d’un point ...10

3.2.3 Divergent d’un vecteur fonction d’un point ...10

3.2.4 Rotationnel d’un vecteur fonction d’un point ...10

(2)

1 Vecteurs

Pour repérer la position d’un point sur une carte, nous devons la munir d’une origine et d’un système de coordonnées ; il en est de même si on veut caractériser un déplacement d’un point vers un autre (mis à part que cette fois la position de l’origine est une donnée superflue) : la notion de vecteur a été créée pour cela (deux pas vers l’est, cinq pas vers le sud…).

Dans ce chapitre on sera amené à travailler dans un espace à deux dimensions (classiquement : un plan) ou trois (notre espace physique). Dans ces espaces, nous aurons besoin pour nous repérer d’autant de coordonnées qu’il y a de dimensions. Aussi souvent que possible, des définitions, résultats ou calculs généraux seront illustrés par des schémas en deux ou trois dimensions.

Nous travaillerons avec deux types d’objets : des vecteurs (assimilables à des listes de nombres réels) et des nombres réels seuls (que nous nommerons aussi « scalaires »)

1.1 Cadre mathématique 1.1.1 Bipoint

Soit deux points A et B. Le bipoint (A, B) est le couple formé de ces deux points (le terme couple contient la notion d’ordre). Dans le bipoint (A, B) A est l’origine, B est l’extrémité.

Soit quatre points A, B, C et D coplanaires. Dire que les bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents, c’est dire que les milieux des segments [AD] et [BC] sont confondus.

On a alors : AB = CD ; AC = BD ; (AB)//(CD) ; (AC)//(BD) ABDC est ainsi un parallélogramme

Cette définition est intuitive et fait appel au bon sens géométrique, en deux ou trois dimensions.

1.1.2 Segment

On appelle segment [A, B] l’ensemble des points de la droite (AB) situés entre A et B.

La droite (AB) est automatiquement munie de deux sens : « de A vers B » et « de B vers A », et il existe ce qu’on nomme des segments orientés : par exemple AB

 , ensemble des points du segment, orienté de A vers B.

1.1.3 Vecteur

« Définition géométrique » Vecteur (du latin vector venant de vehere, transporter) : On nomme vecteur AB l’ensemble de tous les bipoints équipollents au bipoint (A, B).

Le vecteur AB ne représente donc pas une position, mais un déplacement (à partir de n’importe quelle origine) : une distance : AB ; une direction : orientation de la droite (AB) dans l’espace ; un sens : de A vers B.

× B A ×

À partir de maintenant, il devient indispensable de relier la notion de vecteur à celle de coordonnées : un déplacement est quantifiable si tant est que l’on ait un « quadrillage » de notre espace par des séries d’axes parallèles, orientés et munis d’une échelle.

AB AB

AB AB AB

(3)

Définition générale :

Un vecteur, que l’on notera d’une manière générale u , se définit par une liste ordonnée de nombres

réels, appelés coordonnées du vecteur : .

1 2

n

u u u

u

 

 

= 

 

 

. Le nombre n est la dimension du vecteur.

Dans le plan, en dimension 2, on notera x

u y

=  

 , et dans l’espace, de dimension 3, x

u y

z

  

= 

   .

1.1.4 Espace Vectoriel de dimension n

Définition : On appelle groupe tout couple (E, ∗) dans lequel E désigne un ensemble et ∗ une loi de composition interne définie dans E vérifiant les propriétés suivantes :

- la loi ∗ est associative

- il existe un élément neutre pour la loi ∗ (c’est-à-dire 0 si la loi ∗ est l'addition)

- tout élément de E admet un symétrique pour la loi ∗ (un opposé dans le cas de l'addition) Lorsque la loi ∗ est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.

Définition : Soit

E

un ensemble muni d'une loi de composition interne, notée +, et d'une loi de composition externe, notée ⋅ ; (

E

_{, +,}_⋅) est un espace vectoriel réel, ou ℝ-espace vectoriel, lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées :

- (

E

, +) est un groupe commutatif

-

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, ,

; ; ;

2, 2,

1

x y

x x x y x y x x x x x

∀ ∈ ∀ ∈

⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = × ⋅

λ µ ℝ

λ λ λ λ µ λ µ λ µ λ µ

E

Propriétés immédiates pour l'espace vectoriel (

E

_{, +, ⋅) :}

( ) ( )

; ;

, ² , ² ;

, 0 0 , 0 0 , , 0 0 ou 0

, , ou 0 0 ou

x x x x x

x y x x x x y x y

λ λ λ λ λ

λ µ λ µ λ µ λ λ λ

∀ ∈ ⋅ = ∀ ∈ ⋅ = ∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ⇒ = =

∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ⋅ ⇔ = = ⋅ = ⋅ ⇔ = =

ℝ ℝ

ℝ

E E

E

* Addition vectorielle :

Soit .

1 2

n

u u u

u

 

 

= 

 

 

et .

1 2

n

v v v

v

 

 

= 

 

  , alors

.

1 1

2 2

n n

u v u v u v

u v +

 

 

 + 

+ = 

 

 + 

Élément neutre : le vecteur nul . 0 0 0

0

  

=  

  

: u+ =0 u

Dans des domaines physiques, la somme de plusieurs vecteurs porte le nom de résultante.

* Produit d’un vecteur par un scalaire (nombre réel ici) :

Du latin scala : échelle

Soit .

1 2

n

u u u

u

 

 

= 

 

 

et un réel a, alors ...

...

1 2

n

a u a u a u

a u

×

 

 

 × 

 

⋅ = 

 

 × 

 

On s’autorisera écrire ce produit a u× ou même au.

(4)

Lorsque u n'est pas le vecteur nul, l'ensemble des vecteurs a u⋅ où a décrit ℝ est appelé droite vectorielle engendrée par u. Lorsque

( )

^{u v}^, ^≠

( )

0 0 et lorsque ces deux vecteurs ne sont ^, pas multiples l'un de l'autre, l'ensemble des vecteurs a u⋅ + ⋅b v où (a, b) décrit ℝ² est appelé plan vectoriel engendré par u et v.

1.1.5 Base dans un espace vectoriel de dimension n

Définitions : Soit une famille

(

^{e e}¹^, ²^,...,^eⁿ

)

de n vecteurs de

E

. On dit que cette famille est une base de l'espace vectoriel réel (

E

_{, +,}_⋅) si pour tout vecteur u de

E

il existe un unique n-uplet

(

x x₁^, ₂^,...,xn

)

tel que u=x e1 1+x e2 2+ +... x e_{n n} .

(

x x₁^, ₂^,...,xn

)

est alors nommé n-uplet des coordonnées de u dans cette base.

La famille de vecteurs , , ...,

. . .

1 0 0

0 1 0

0 0 1

     

     

     

forme dans

E

ce qu’on appelle sa base canonique.

. .

1 2

n

u u u

u

 

 

= =

 

 

. . . ... .

...

... ... ...

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0

0

0 0 0 1

u u u un

       

       

+ + + +

       

       

.

Remarque : les coordonnées d'un vecteur dans la base canonique sont appelées ses composantes.

En dimension 2, la base canonique du plan est

( )

^{i j}^, ^avecⁱ⁼^{ }^{ }_{ }¹₀ ^et

j  

= 

  0

1 . Le vecteur u  

= 

−

  5

2 s’écrit dans cette base comme une somme unique avec ses deux composantes : u =5i −2 . j

En dimension 3, la base canonique de l’espace est

( )

^{i j k}^{, ,} ^avec

i

  

= 

   1 0 0

, j

  

= 

   0 1 0

et k

  

= 

   0 0 1

. Le vecteur 4 5 2 u

  

= 

  

s’écrit dans cette base comme une

somme unique avec ses trois composantes : u= +4i 5j+2 . k

1.1.6 Repère

Dans un espace physique, il est nécessaire de repérer les positions d’objets. On choisira donc arbitrairement un point origine O (dont on décidera que toutes les coordonnées valent 0) puis une base de vecteurs.

La liste (origine, base) est nommée repère et permet d’attribuer à tout point M de l’espace une liste unique de coordonnées, puisque ce seront celles, par définition, du vecteur OM .

(5)

1.2 Définitions associées et propriétés 1.2.1 Relation de Chasles

* Soit, dans un repère, trois points A, B et C. Alors on a : AB+BC = AC En effet dans notre espace physique un vecteur exprime un déplacement.

« Se déplacer de A vers B puis de B vers C », c’est « se déplacer de A vers C ».

L’addition vectorielle est un cumul de déplacements.

* Une conséquence de la relation de Chasles en dimension 3 : AB

B A

x x

y y

z z

−

 

 

= − 

 − 

 

En effet, grâce à la relation de Chasles :

A B B A

AB AO OB

x x x x

y y y y

z z z z

− −

     

     

= + = −  +  = − 

−     − 

     

* On démontre aisément que l’addition vectorielle : - est commutative : OA AB AB OA+ = +

- est associative : ^OA⁺

(

^{AB BC}⁺

) (

⁼ ^{OA AB}⁺

)

⁺^BC

- possède un élément neutre : OA 0 OA+ = - permet d’exprimer l’opposé d’un vecteur :

Dire que v est l’opposé de u, c’est dire que u+ =v 0. On notera donc -u l’opposé de u Les coordonnées de -u sont alors les opposées de celles de u et on aura également :

AB BA

− = et 0 AA= . On définit donc aussi la soustraction vectorielle : ^u^{− = + −}^v ^u

( )

^v ^.

1.2.2 Norme d’un vecteur

Par définition, c’est le réel positif : u = u₁² + + +u₂² ... u_n² Remarques :

- Il en découle que a u. = ×a u et que 0 =0.

- Dans un espace de dimension n quelconque, la distance AB est par définition la norme du vecteur AB . Pour n = 3 : AB= AB =

(

xB−xA

) (

²+ yB−yA

) (

²+ zB−zA

)

²

- On appelle module le résultat d’un tel calcul (norme = module d’un vecteur, module d’un nombre complexe, valeur absolue = module d’un réel).

- Dans un plan muni d’un repère à angles droits, et à unités de longueurs égales, la distance AB devient la longueur du segment [AB] (théorème de Pythagore).

- déf : une base normée contient uniquement des vecteurs de norme 1 (ce qui est le cas dans les bases dites canoniques présentées au-dessus, parmi de multiples possibilités).

1.2.3 Colinéarité

Deux vecteurs et u v sont colinéaires, c’est dire qu’il existe un réel a non nul tel que v=a u. .

Cette définition introduit la notion de parallélisme d’objets dans un espace et définit dans un plan ou dans l’espace une direction par la connaissance d’un vecteur directeur dont tous les multiples sont portés par des droites parallèles (dire que deux droites ont même direction, c’est dire qu’elles sont parallèles). Cette notion de parallélisme est donc propre à (c’est une propriété de) la

proportionnalité des coordonnées de deux vecteurs.

(6)

* Exemple :

2 6

1,5 et 4,5

1 3

u v

−

   

   

=  = − 

   − 

   

sont colinéaires (donc de même direction) car v= −3u. On l’a visualisé en 1.1.4, dans le plan :

le produit d’un vecteur par un réel est un vecteur de même direction que le premier.

Attention, il n’est pas forcément de même sens : v=a u. et u sont de sens contraires ssi a < 0.

1.2.4 Coplanarité

Dans un espace à trois dimensions au moins, on énonce la condition nécessaire et suffisante pour que trois vecteurs représentent une seule et unique direction planaire (dimension 2) :

Dire que trois vecteurs , et u v w sont coplanaires, c’est dire qu’il existe un couple (unique, d’ailleurs) (a, b) de réels non tous nuls tels que w=a u. +b v. .

w est ce qu’on nomme une combinaison linéaire de u et de v. Au vu de la définition d’une base : a et b sont les

coordonnées du vecteur w dans la base

( )

^{u v}^, ^.

Deux vecteurs non nuls forment une base du plan ssi ils ne sont pas colinéaires

Trois vecteurs non nuls forment une base de l’espace (n = 3) ssi ils ne sont pas coplanaires.

1.2.5 Vecteurs et parallélogrammes

Dire que ABCD est un parallélogramme, c’est dire, par définition, que AB DC= . Conséquence : les quatre points A, B, C et D sont coplanaires.

Propriétés :

- Diagonales : AB AD AC+ = et on rappelle que AD AB BD− = - Centre : Si I est le milieu de [BD], alors il est aussi celui de [AC].

Justification : d’une part, AB AD AC+ = par définition du point C ; d’autre part, AB AD AI IB AI ID 2AI+ = + + + = car I est le milieu de [BD] ;

donc AC 2AI= : I est le milieu de [AC]. I est appelé centre du parallélogramme.

w= − +3u 2v

u v

(7)

2 Calcul vectoriel et applications

2.1 Produit scalaire

Il s’agit d’une opération entre deux vecteurs, notée , renvoyant un scalaire comme résultat.

2.1.1 Définition

Soit deux vecteurs u et v de même dimension n, de coordonnées (ui)1≤i≤n et (vi)1≤i≤n. Leur produit scalaire est le nombre réel :

i n i i i

u v u v

=

⋅ =

∑

1

Remarque : On définit la norme d’un vecteur comme étant le nombre réel positif : u = u ⋅u Lois de calcul avec le produit scalaire:

⋅ = ⋅

u v v u ; ^{u a v}^⋅

( ) ( )

^. ⁼ ^{a u v}^. ^{⋅ = × ⋅}^a

( )

^{u v} ^;

(

u v+ ⋅ = ⋅ + ⋅

)

w u w v w ; 0⋅ =u 0 Attention :

( ) ( ) ( )

^{u v w}^⋅ ^{≠ ⋅}^{v w u}^{≠ ⋅}^{u w v}

2.1.2 Orthogonalité

Dire que deux vecteurs sont orthogonaux, c’est dire que leur produit scalaire est nul.

u ⊥v ⇔ u v⋅ =0 Base orthonormée :

Base : Tout vecteur se décompose de manière unique selon ces n vecteurs, Orthogonale : leurs produits scalaires deux à deux sont nuls,

Normée : leur norme vaut 1. Par exemple, la base canonique est orthonormée.

2.1.3 Angle de vecteurs

Le produit scalaire nous permet de déterminer l’angle géométrique entre deux vecteurs, qui définissent un plan que nous munirons d’une base orthonormée

( )

^{i j}^, à angle droit et où les unités de longueur sont les mêmes.

Soit dans cette base les deux vecteurs ¹

2

 

= 

  u u

u et ¹

2

 

= 

  v v

v .

Modules et arguments : ρ_u = u = u₁²+u₂² , ^θ^u ⁼

( )

^{i u}^, ^,^ρ^v ⁼ ^v ⁼ ^v¹²⁺^v²²^,^θ^v ⁼

( )

^{i v}^,

On a : .cos .sin

u u

ρ θ

=



 =

1 2

et .cos .sin

v v

ρ θ

=



 =

1 2

, donc :

( ) ( )

cos . cos sin . sin cos .cos sin .sin cos

u u v v u u v v u v u v u v u v v u

u v⋅ =ρ θ ρ θ ρ+ θ ρ θ ρ ρ= θ θ + θ θ =ρ ρ θ θ− En notant ϕ^l’angle

( )

^{u v}^, , nous obtenons :

u v ⋅ = u × v × cos ϕ

De cette expression, on déduit immédiatement :

* Inégalité de Schwarz :

( ) ( ) ( )

^{u v}^⋅ ²^{≤ ⋅ × ⋅}^{u u} ^{v v}

* Critère d’orthogonalité : u v⋅ = ⇔0 angle droit… si

( )

^{i j}^, est aussi à angle droit !

(8)

2.2 Produit vectoriel

Il s’agit d’une opération entre deux vecteurs, notée ∧ , renvoyant un vecteur comme résultat.

2.2.1 Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs, en dimension 3, est le vecteur :

u v u v w u v u v u v u v u v

−

 

 

= ∧ = − 

 − 

 

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

Voici un moyen mnémotechnique pour réaliser cette opération : 1. Répéter la 1^ère ligne des coordonnées sous la 3^ème ligne

2. La 1^re coordonnée du résultat est le déterminant formé par les coordonnées 2 et 3 3. La 2^de coordonnée du résultat est le déterminant formé par les coordonnées 3 et 1 4. La 3^ème coordonnée du résultat est le déterminant formé par les coordonnées 1 et 2

Exemple :

( )

− × − × −

       

− ∧   = × − ×  = 

       

     × − − ×   

       

2 1 1 2 5 3 17

1 3 5 1 2 2 1

5 2 2 3 1 1 7

Remarque : dans la base canonique

(

^{i j k}^{, ,}

)

^,ⁱ ^{∧ =}^j ^k^, ^j^{∧ =}^k ⁱ^, ^k^{∧ =}ⁱ ^j

2.2.2 Colinéarité

Dire que deux vecteurs sont colinéaires, c’est dire que leur produit vectoriel est nul.

2.2.3 Base directe

Une base

(

^{u v w}^{, ,}

)

de l’espace est dite directe, par convention, lorsque ses trois vecteurs respectent la « règle des trois doigts » de la main droite (u pour le pouce, v pour l’index, w pour le majeur).

Soit deux vecteurs u et v, non colinéaires, d’un espace vectoriel

E

de dimension 3.

Dans une base directe

(

^{i j k}^{, ,}

)

, l’orientation du système

(

^{u v u}^{, ,} ^∧^v

)

est directe.

Dans une base indirecte

(

^{i j k}^{, ,}

)

, l’orientation du système

(

^{u v u}^{, ,} ^∧^v

)

est indirecte.

2.2.4 Propriétés géométriques du produit vectoriel

Soit deux vecteurs dans un plan

( )

^{i j}^, ^: ^,

0 0

′

   

   ′

=  = 

   

   

x x

u y v y .

On a :

0 0

 

 

= ∧ = 

 ′− ′ 

 

w u v

xy x y

Une relation en découle : utilisons les coordonnées polaires de u et v.

cos cos

sin , sin

u v

ρ θ ρ θ

′ ′

   

   ′ ′

=  = 

   

 0   0 

,

( )

cos sin sin cos sin cos cos sin sin

u v ρρ ρρ

ρρ θ θ ρρ θ θ θ θ θ θ θ θ

 

   

 

  ′  ′

∧ = =  =  

 ′ ′− ′ ′  ′ − ′   ′− 

     

0 0 0

(9)

Nous déduisons la relation suivante pour calculer le module du produit vectoriel :

u v ∧ = × × u v sin ϕ

On admettra que dans tous les cas le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls et non colinéaires est orthogonal au plan défini par ces deux vecteurs.

Lois de calcul avec le produit vectoriel :

( ) ( )

^. ^. ^.

( )

∧ = ∧ = ∧

u a v a u v a u v ^v^{∧ = − ∧}^u

(

^u ^v

)

u⋅ ∧ = ⋅ ∧ =

(

u v

)

v

(

u v

)

⁰

En reprenant la formule du produit scalaire vous pourrez retrouver l’identité de Lagrange :

( )

2 2 2 2

∧ + ⋅ =

u v u v u v

2.2.5 Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs u v, ,etw est le réel

(

^u^{∧ ⋅}^v

)

^w^.

Trois vecteurs non nuls sont coplanaires ssi leur produit mixte est nul.

2.3 Applications géométriques Aire du parallélogramme

Trois points A, B, C de l’espace de coordonnées connues définissent le parallélogramme ABDC par l’intermédiaire des vecteurs AB et AC .

L’aire de ABDC vaut AC×BH, donc AC×AB×|sin

(

AC AB |, c’est à dire ^,

)

AB∧AC . Aire du triangle

L’aire du triangle ABC se calcule donc par 1

AB AC

2 ∧ .

Volume du parallélépipède

Soit le parallélépipède de bases parallèles et isométriques ABDC et SB’D’C’ telles que AS BB= ′=CC′=DD′.

La hauteur de ce volume se mesure orthogonalement au plan (ABC) – direction représentée par le vecteur unitaire _k de la figure ci- contre – et vaut : AS×|cos

( )

^AS^,^k |, c’est à dire AS⋅k .

On remarque ensuite que AB AC∧ et k sont colinéaires.

Alors son volume est la valeur absolue du produit mixte

(

^{AB AC AS}^∧

)

^⋅

Volume de la pyramide

S forme avec le parallélogramme ABDC une pyramide.

Trois pyramides de même volume, dont SABDC, remplissent exactement notre parallélépipède.

Ainsi, le volume de la pyramide SABDC est : ¹₃

(

^{AB AC AS}^∧

)

^⋅

Volume du tétraèdre

Soit le tétraèdre de base le triangle ABC et de sommet S. Son volume est ¹₆

(

^{AB AC AS}^∧

)

^⋅

(10)

3 Champs et opérateurs

3.1 Définitions

3.1.1 Champ scalaire : fonction de points

Étant donné un point M de coordonnées x, y et z dans un espace à trois dimensions, on peut définir une fonction scalaire f de ces trois variables : ^f

( ) (

^M ⁼ ^{f x y z}^{, ,}

)

Exemple : potentiel électrique en un point de l’espace : fonction de la position de ce point.

3.1.2 Champ vectoriel : coordonnées fonctions de points

Étant donné un point M de coordonnées x, y et z dans un espace à trois dimensions, on peut définir trois fonctions scalaires P, Q, R des trois variables x, y et z. Ces trois fonctions sont les trois

coordonnées d’un vecteur V au point M. On pourra l’écrire :

( ) ( )

( )

, , , , , , V M

 

 

= 

 

 

P x y z Q x y z R x y z

Exemple : champ électrique en un point : vecteur dont les coordonnées sont des fonctions de la position de ce point.

3.2 Opérateurs différentiels du 1^er ordre 3.2.1 L’opérateur nabla

nabla, noté ∇, est un opérateur de dérivation partielle applicable « sous forme vectorielle ».

En dimension 3, il se note : x

y z

∂ 

 ∂ 

∂ 

∇ = ∂ 

 

∂

 

∂

 

Attention : ce n’est pas un vecteur ! (à titre de comparaison, l’opérateur somme ∑ n’est pas un nombre)

L’opérateur nabla est un objet mathématique qui va agir – par dérivation – sur l’objet que l’on placera à sa droite (à l’instar de

∑ , qui additionne les termes que l’on écrira à sa droite)

(11)

3.2.2 Gradient d’une fonction d’un point

Soit un champ scalaire : une fonction f de trois variables, définie et différentiable en un point M. On définit le vecteur gradient de f en M : ^{grad f M}

( )

^{= ∇ =}^f ^∂_∂^f_x^.ⁱ ⁺^∂_∂^f_y^.^j⁺^∂_∂^f_z^.^k

L’opérateur « gradient » s’applique à un scalaire. Son résultat est un vecteur.

exemple : en électrostatique, on a : ^{E M}

( )

^{= −}^grad ^{V M}

( )

Règles de calculs que vous démontrerez à titre d’exercice :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

; .

. . ;

1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 1 1

grad f f grad f grad f grad f grad f

grad f f f grad f f grad f U U Cste grad U grad U

λ λ λ

+ = + = ∀ ∈

= + = + ⇔ =

ℝ

3.2.3 Divergent d’un vecteur fonction d’un point

Soit un champ vectoriel :

( )

, , , , , , P x y z V Q x y z R x y z

 

 

= 

 

 

, dont les coordonnées sont définies et différentiables en

un point M. On définit le divergent (ou la divergence) de V en M : ^{divV M}

( )

^V ^P ^Q ^R

x y z

∂ ∂ ∂

= ∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

L’opérateur « divergent » s’applique à un vecteur. Son résultat est un scalaire.

(

¹ ²

) ( )

¹

( )

² ^;

( )

^. ^.

( )

^;

( )

^. ^.

( ) ^{( )}

div V +V =div V +div V div λV =λdiv V ∀ ∈λ ℝ div f V = f div V +grad f ⋅V

3.2.4 Rotationnel d’un vecteur fonction d’un point

Soit un champ vectoriel :

( )

, , , , , , P x y z V Q x y z R x y z

 

 

= 

 

 

, dont les coordonnées sont définies et différentiables en un point M.

On définit le vecteur rotationnel de V en M :

R Q

y z

x P

P R

rot V V Q

y z x

R Q P

z x y

∂ ∂

 

 − 

∂∂  ∂ ∂ 

   

∂ ∂

 

∂   

= ∇ ∧ =∂∂∂     ∧  =∂∂∂ −−∂∂∂ 

L’opérateur « rotationnel » s’applique à un vecteur. Son résultat est un vecteur.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ⁽ ^{( )} ⁾

;

; ;

1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 0 0

rot V V rot V rot V rot V rot V

rot f V f rot V grad f V

div V V V rot V V rot V div rot V rot grad f

λ λ

+ = + =

= + ∧

∧ = ⋅ − ⋅ = =