La notion de vecteurs de l'espace est la même que celle dans le plan. D'ailleurs, à la naissance du calcul vectoriel, ces deux notions se confondent. Les vecteurs sont principalement utilisés par les physiciens et les ingénieurs surtout dans la seconde moitié du 19 è siècle et au début du 20 è.
Les vecteurs sont des forces, des déplacements, des vitesses, des champs électriques, des champs magnétiques…
Astronome de formation, Hamilton a grandement contribué au développement du calcul vectoriel.
C'est lui qui emploie pour la première fois en 1843 le terme vecteur qui vient du latin vector, qui " transporte ".
D'autres scientifiques ont travaillé à la théorie du calcul vectoriel :
Grassmann ( 1809 - 1877 ) , Maxwell ( 1831 - 1879 ) Gibbs ( 1839 - 1879 ), Heaviside ( 1850 - 1925 ).
1 Repérage dans l'espace.
On appelle repère de l'espace tout quadruplet ( O ;
→
i , →j , Åk ) constitué d'un point O de l'espace et de trois vecteurs Åi , Åj , et Åk non coplanaires.
La droite passant par O et de vecteur directeur Åi est l'axe des abscisses, noté ( O ; Åi ) ou ( Ox ).
La droite passant par O et de vecteur directeur Åj est l'axe des ordonnées, noté ( O ; Åj ) ou ( Oy ).
La droite passant par O et de vecteur directeur Åk est l'axe des cotes, noté ( O ; Åk ) ou ( Oz ).
On dit que le triplet ( Åi , Åj , Åk ) est une base de l'espace.
Cas particulier :
Un repère orthonormal ( O ;
→
i , →j , Åk ) est défini par un point d'origine et trois vecteurs orthogonaux deux à deux et de norme 1.
Remarque :
Notons I le point tel que ÄOI = Åi Notons J le point tel que ÄOJ = Åj Notons K le point tel que ÄOK = Åk
Alors les plans ( OIJ ) , ( OJK ) et ( OIK ) sont appelés les plans de coordonnées ou plans de bases.
Tout vecteur Åu admet dans ce repère trois coordonnées x ; y ; et z telles que Åu = x Åi + y Åj + z Åk . On note Åu ( x ; y ; z ). Les coordonnées d'un point de l'espace sont appelées abscisse, ordonnée, et cote.
Exemple 1 : tracé d'un tétraèdre et d'un repère quelconque.
Exemple 2 : tracé d'un pavé droit et d'un repère orthogonal.
Exemple 3 : tracé d'un cube et d'un repère orthonormé.
Tous les résultats de la géométrie plane concernant les coordonnées s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisième coordonnée.
Dans un repère ( O ; →i , →j , Åk ) donné, si Åu et Åv ont pour coordonnées ( x ; y ; z ) et ( x' ; y' ; z ' ) alors La somme des deux vecteurs est : voir feuille annexe.
Le produit d'un vecteur par un réel k est : voir feuille annexe.
Les coordonnées d'un point M sont : voir feuille annexe.
Åu = Å0 ⇔ x = y = z = 0
L'égalité de deux vecteurs se traduit par : voir feuille annexe.
Les coordonnées d'un vecteur ÄAB sont : voir feuille annexe.
Les coordonnées du milieu I du segment [ AB ] sont : voir feuille annexe.
La norme d'un vecteur Åu dans un repère orthonormé est : voir feuille annexe.
La distance entre deux points dans un repère orthonormé s'écrit : voir feuille annexe.
E1 Savoir utiliser les coordonnées. P 257 n ° 30 et 31.
2 Equations cartésiennes de plans.
On appelle équation cartésienne d'un ensemble E de points de l'espace une relation R vérifiée par les coordonnées ( x ; y ; z ) de tous les points de cet ensemble et seulement de ces points.
Si un point M appartient à E alors ses coordonnées vérifient la relation R.
Si les coordonnées d'un point M vérifient la relation R alors M appartient à l'ensemble E.
Une équation du plan passant par le point C ( 0 ; 0 ; c ) et parallèle au plan ( x O y ) est z = c.
Une équation du plan passant par le point B ( 0 ; b ; 0 ) et parallèle au plan ( x O z ) est y = b.
Une équation du plan passant par le point A ( a ; 0 ; 0 ) et parallèle au plan ( y O z ) est x = a.
Remarques :
z = 0 est une équation cartésienne du plan ( OIJ ).
y = 0 est une équation cartésienne du plan ( OIK ).
x = 0 est une équation cartésienne du plan ( OJK ).
Démonstrations : voir feuille annexe.
E2 Savoir travailler avec des équations cartésiennes de plans.
N ° 1 Soit P le plan d'équation cartésienne y = 5.
1 ) Donner les coordonnées de trois points appartenant à P.
2 ) Combien existe-t-il de points appartenant à P : a ) dont l'abscisse est égale à -2 ?
b ) dont l'ordonnée est égale à 3 ? c ) dont la cote est égale à 0 ?
3 ) Expliquer pourquoi les points du plan P dont l'abscisse est égale à 4 sont alignés.
N ° 2 Soit ( O ; Åi , Åj , Åk ) un repère orthonormal de l'espace.
Soit A le point de l'axe ( Ox ) tel que OA = 2.
Soit C le point de l'axe ( Oy ) tel que OC = 5.
Soit G le point de l'axe ( Oz ) tel que OG = 3.
Soit OABCGDEF le parallélépipède rectangle défini à l'aide des points ci dessus.
1 ) Déterminer les coordonnées de chaque sommet.
2 ) Déterminer une équation cartésienne de chacun des plans contenant une face de ce parallélépipède.
3 ) a ) Quelle est l'intersection des plans ( ABE ) et ( DAO ) ?
b ) En déduire un système d'équations cartésiennes caractérisant la droite ( AD ).
4 ) Déterminer de même un système d'équations cartésiennes caractérisant la droite ( DE ) puis la droite ( BC ).
3 Equation cartésienne d'une sphère.
Soit R un réel strictement positif.
Soit O un point de l'espace.
La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R.
Soit R un réel strictement positif.
Soit O un point de l'espace.
Une équation cartésienne de la sphère de centre O et de rayon R est : x² + y² + z² = R²
Démonstration : voir feuille annexe.
E3 Savoir déterminer une équation d'une sphère.
Soit S la sphère de centre O et de rayon 3 et soit B la boule de centre O et de rayon 3.
1 ) Déterminer une équation cartésienne de S.
2 ) Pour chacun des points A, B, C et D donnés ci dessous, indiquer s'il appartient à la sphère S et si ce n'est pas le cas, préciser s'il appartient à la boule B.
A ( - 1 ; 2 ; - 2 ) B ( 1,5 ; 0,5 , -0,2 ) C ( 5 ; 2 ; 0 ) D ( - 4 ; 2/3 ; 2 ).
3 ) Soit a un réel et E le point de coordonnées ( 3 ; 2 ; a ). Déterminer l'ensemble des réels a tels que : a ) le point E appartient à la sphère S.
b ) le point E appartient à la boule B. c ) le point E n'appartient pas à la boule B.
4 Equation cartésienne d'un cylindre de révolution.
Un cylindre de révolution d'axe D est une surface engendrée par la rotation d'une droite parallèle à l'axe D autour de cette droite.
Cette droite est appelée génératrice du cylindre.
La distance entre l'axe et la génératrice est le rayon du cylindre.
Dessin : voir feuille annexe.
Soit R un réel strictement positif.
( 1 ) Une équation cartésienne d'un cylindre d'axe ( Oz ) et de rayon R est : x² + y² = R².
( 2 ) Une équation cartésienne d'un cylindre d'axe ( Oy ) et de rayon R est : x² + z² = R².
( 3 ) Une équation cartésienne d'un cylindre d'axe ( Ox ) et de rayon R est : y² + z² = R².
Démonstration : voir feuille annexe.
Attention : dans l'espace, une relation de la forme x² + y² = R² n'est pas une équation cartésienne d'un cercle.
E4 Savoir déterminer une équation d'un cylindre de révolution.
P 257 n ° 35.
Autre exercice.
1 ) a ) Soit C1 le cylindre d'équation cartésienne : x² + z² = 6.
Déterminer l'axe de révolution et le rayon de C1.
1 ) b ) Vérifier que les points A ( -2 ; 8 ; 2 ) et B ( 5 ; 0 ; - 1 ) appartiennent au cylindre C1. 2 ) Déterminer une équation cartésienne du cylindre C2 d'axe ( Ox ) et passant par le point A.
3 ) Déterminer une équation cartésienne du cylindre C3 d'axe ( Oz ) et passant par le point B.
5 Equation cartésienne d'un cône de révolution.
Soit ∆ une droite passant par l'origine du repère.
Un cône de révolution de sommet O et d'axe ∆ est une surface engendrée par la rotation, autour de l'axe ∆, d'une droite passant par O et formant un angle aigu θ avec l'axe ∆ ( 0 < θ < 90 ° ).
Cette droite est appelée génératrice du cône.
Toute droite passant par O et formant en angle aigu θ avec l'axe ∆ du cône est aussi une génératrice du cône.
( 1 ) Une équation cartésienne d'un cône de sommet O et d'axe ( Oz ) est : x² + y² = z² tan² θ ( 2 ) Une équation cartésienne d'un cône de sommet O et d'axe ( Oy ) est : x² + z² = y² tan² θ ( 3 ) Une équation cartésienne d'un cône de sommet O et d'axe ( Ox ) est : y² + z² = x² tan² θ.
Démonstration : voir feuille annexe.
E5 Savoir déterminer des équations cartésiennes de cônes de révolution.
1 ) Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( O ; →i , →j , Åk ) , on considère le point A ( 6 ; - 4 ; 2 ).
Déterminer une équation cartésienne du cône de révolution K de sommet O et d'axe ( Oz ), qui passe par le point A. On précisera l'angle formé par l'axe et une génératrice de ce cône.
2 ) Soit K1 le cône de sommet O dont les génératrices forment un angle θ1 = π
3 avec l'axe ( Ox ).
A ) Déterminer une équation du cône K1.
B ) Vérifier que les points A' ( -2 ; 3 ; 3 ) et B ( 6 ; 2 ; 4 ) appartiennent au cône K1. 3 ) Déterminer une équation cartésienne du cône K2 de sommet O et d'axe ( Oz ) et passant par le point A' . 4 ) Déterminer une équation cartésienne du cône K3 de sommet O et d'axe ( Oy ) et passant par le point B.
5 ) a ) On considère le point A'' ( 1 ; 0 ; 1 ).
Déterminer une équation du cône de révolution K de sommet O et d'axe ( Oz ) passant par le point A''.
b ) Déterminer l'intersection du cône K et de la sphère S de centre O et passant par le point A''.
6 ) Le cylindre C a pour axe ( Oz ) et son cercle de base a pour rayon 3.
Le cône K a pour axe ( Ox ) et ses génératrices font un angle de π
3 avec ( Ox ) de sommet O.
Y a t il des points communs à C et à K situés dans le plan d'équation z = 1 ?
E6 Exercice 4 du sujet du bac 2004 aux Antilles Guyane sur 5 points à faire en 40 min…
On considère le tétraèdre ABCD ; on note I le milieu du segment [ AB ] et J celui de [ CD ].
1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; - 1 ), ( D ; 1 ) }.
Exprimer ÄIG1 en fonction de ÄCD . Placer I, J et G1 sur une figure. ( 0 ,75 point ).
b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( D ; 2 ) }.
Démontrer que G2 est le milieu du segment [ ID ]. Placer G2. ( 0,5 point ).
c. Démontrer que IG1DJ est un parallélogramme.
En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J. ( 0,75 point ).
2. Soit m un réel. On note Gm le barycentre du système de points pondérés { ( A ; 1 ), ( B ; 1 ), ( C ; m − 2 ), ( D ; m ) }.
a. Préciser l'ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentre Gm existe. ( 0,5 point ).
Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l'ensemble E.
b. Démontrer que Gm appartient au plan ( ICD ). ( 0,75 point )
c. Démontrer que le vecteur m ÄJGm est constant. ( 0,75 point ).
d. En déduire l'ensemble F des points Gm lorsque m décrit l'ensemble E. ( 1 point ).
