C e qu ’ il n ’ est pas possible de ne pas savoir faire en arrivant en

(1)

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1

C e qu ’ il n ’ est pas possible de ne pas savoir faire en arrivant en

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Lyc´eeLaBruy`ere 30avenue deParis 78000 Versailles

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2013, Recueil d’exercices de prérentrée.

(2)

La liste d’exercices de ce document a pour but de consolider les techniques de calcul que vous êtes censés maîtriser à l’issue de la Terminale. Ces exercices doivent être faits à la main sans aide d’aucune machine quelle qu’elle soit, ni d’aucun formulaire ! Si vous bloquez sur certaines questions calculatoires, il est impératif de revoir la partie de votre cours correspondante.

D’autres questions nécessitent un peu de recherche mais sont largement abordables avec les connaissances de Terminales seules.

Seule la dernière partie sur les relations entre ensembles empiète sur une partie du programme de première année et demande de bien manipuler les quantificateurs et le voca- bulaire ensembliste, néanmoins elle reste accessible à votre niveau.

1.1 Logique

1.1.1 Test 0.

(1) Une maman dit à son fils : « Les élèves bons en maths sont de bons élèves. » Son fils lui dit alors : « Je suis un bon élève donc je suis bon en maths. » Que pensez vous de l’affirmation du fils ?

(2) Parmi les personnes possédant un ordinateur, certains ne sont pas des mathématiciens.

Les non-mathématiciens qui vont à la piscine tous les jours n’ont pas d’ordinateur.

Peut-on affirmer que certains possesseurs d’ordinateurs ne vont pas à la piscine tous les jours ?

(3) Les habitants d’une certaine île sont divisés en deux groupes : le groupe de ceux qui disent toujours la vérité, et le groupe de ceux qui mentent tout le temps. Vous rencontrez une personne sur cette île qui vous dit :« Je mens toujours. » Est ce un habitant de l’île ?

(4) Quelle question peut-on poser à un habitant de l’île de la question précédente pour savoir s’il possède un crocodile ou non ?

2

(3)

1.2 Calculs algébriques ³

1.1.2 Test 1. La vitre brisée.

Une vitre a été brisée par l’un des cinq frères d’une famille. Lorsqu’on les interroge, voici ce que chacun répond :

— John : « C’est soit Henry, soit Thomas, »

— Henry : « Ni Ernest, ni moi n’avons brisé la vitre »

— Thomas : « Henry et John mentent, »

— David : « Non, deux de mes frères parmi John, Henry et Thomas mentent et l’autre dit vrai, »

— Ernest : « Non, David, ce que tu dis n’est pas vrai. »

On décide d’appeler leur père, un homme honnête, qui ajoute que deux de ses fils mentent toujours et que les trois autres sont honnêtes.

Qui a brisé la vitre ? 1.1.3 Test 2. Identifiez le caissier.

Une organisation comporte un patron, un adjoint, un caissier, un porte-parole, un avo- cat conseil et un sténographe. Les noms des employés par ordre alphabétiques sont : M.

Brun, M. Courant, Mlle Gonord, Mme Jones, Mlle Léonard et M. O’Connor.

Identifiez le caissier sachant que :

— l’adjoint est le petit-fils du patron,

— le caissier est le gendre du sténographe,

— le porte-parole est la demi-sœur de Mlle Gonord,

— M. Brun est célibataire,

— M. Courant a 25 ans,

— M. O’Connor est le voisin du patron.

1.1.4 Test 3. Question de poids.

Bob dit « Je suis plus riche que Ken et Ken est plus riche que Max. » A son tour, Ken dit « Max est plus riche que moi et Max est plus riche que Bob. » Max affirme « Ken est plus riche que moi, et Bob et moi sommes aussi riches l’un l’autre. »

En supposant qu’à chaque fois, le moins riche des deux ne ment pas, rangez Bob, Ken et Max dans l’ordre croissant de leurs richesse.

1.2 Calculs algébriques

1.2.1 Test 1. Opérations algébriques, proportionnalité.

(1) Simplifier les expressions suivantes :a=6−1×2+3×0−6 : 2 ; b=(6−1)×(2+3)×0−(6 : 2); c=6−(1×2)+3×((0−6) : 2).

(4)

(3) Simplifier les fractions suivantes :

3 2+⁷₄

1 3−2 ;

6

15 +2×₁₀³

1

4 −²₃ ;

3

1

2+¹3 + ⁵⁶⁻4²⁹ 3

1 2−²₇ .

(4) Simplifier les expressions suivantes :

√ 3²; p

(−3)²; √

(−2)(−8); (

√ 18)³.

(5) Le nombren! est défini comme le produit desnpremiers entiers consécutifs avec la convention 0!=1. On a doncn!=1×2×3× · · · ×(n−1)×nlorsquen∈N^∗. On le prononce factorielle n.

Calculez : 2!, 3!, 4!, 5!, ^7!_4!.

(6) Calculez : ^7!−6!_5! , ^4!

2!˙3!, ^6!

2!˙4! et ^2!4!8!

(4!)²˙(3!)³.

(7) Ecrire le nombre suivant à l’aide de factorielles : ^1×3×5×7_2×4×6

(8) Un produit coûte 25 euros. On applique une réduction de 20%.

— Quel est le prix de ce produit après réduction ?

Quelques mois après, une hausse de la TVA entraîne une augmentation de 20% du prix de ce produit.

— Quel est le prix après les deux variations du prix ?

(5)

1.2 Calculs algébriques ⁵

(9) On suppose que le prix du pain double tous les six ans. Par quel facteur le prix du pain est-il multiplié en trois ans ? Et en vingt ans ?

(10) Une quantité A est inversement proportionnelle à une quantité B. Si on double B, quelle est l’évolution en pourcentage deA?

(11) Développez (x+a)²et (x−a)²

(12) Développez (x+a+b)²et (x+a−b)².

(13) Complétez les pointillés :x²−6x−7=(x−3)²+. . .

(14) Complétez les pointillés : 3x²−8x−¹

3 =3(x−⁴

3)²+. . .

(6)

3x²−7x+4=. . .(x−. . .)²+. . .

(16) Soitaetcdeux réels non nuls. En interprétantx²+^b_axcomme le début d’une identité remarquable, complétez les pointillés :

ax²+bx+c=a(x−. . .)²− . . . 4ac.

(17) Simplifier l’expression suivante : x⁻²x⁴ x⁻³

(18) On posex=−3 ety=8. Calculer

p|4x−3y|

3x

(19) Simplifier les nombres suivants (4×3)⁻⁶×8

9³ ; (4×3)¹⁰+4⁹

8⁴ ; 8⁻²

4⁻⁴

!⁴

(20) Simplifier lorsqu’elles sont définies, les expressions : ^(xy)_x2y³⁴, (x³)⁻², ^(3x)_2x4³y^y⁻¹⁻²

(7)

1.2 Calculs algébriques ⁷

(21) Simplifier, lorsqu’elle est définie, l’expression x²−16 x−4 .

(22) Développer, simplifier et réduire l’expression (2a−1)²−(a−3)(2a+1).

(23) Simplifier en réduisant au même dénominateur, lorsqu’elle est définie, l’expression

x x−1+¹_x.

(24) Développer et simplifier l’expression (a−b

√

3)²(a+b

√

3)²(le plus rapidement possible !) .

(25) Factoriser l’expression (2x−1)(x+3)−x(2−4x).

1.2.2 Test 2. Equations du premier et second ordre, polynômes (1) Résoudre dansRl’équation : 3x−7=1−5x

(8)

(3) Factoriser l’expression 3x²−7x+4.

(4) Un rectangle a une aire de 20m²et un périmètre de 18m.

Déterminer sa longueur et sa largeur ?

(5) Exprimer le polynôme P(x) de degré 3 dont les racines sont −1,2 et 4 et tel que P(0)=8.

1.2.3 Test 3. Ordre, inégalités, inéquations, valeur absolue.

(1) Ranger dans l’ordre décroissant (sans l’aide de la calculatrice) les nombres suivants

−⁵

3, −√

2, ²²₇, π, ²³₈, ₋₅⁹

(2) Lequel des deux nombres

√ 6+√

10 ou

√ 5+√

12 est le plus grand ?

(9)

1.2 Calculs algébriques ⁹

(3) Montrer que sia<balorsa< ^2a₃⁺^b et^a−4b₃ <−b.

(4) Pour quelles valeurs dexa-t-on 3x+2>1 ? ( donner une réponse sous forme d’intervalle)

(5) Résoudre l’inéquation : 5x+2>2x−7 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle).

(6) Résoudre l’inéquation : ^2x_x₊⁺₃¹ <3 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles).

(10)

(7) Résoudre l’inéquation :x(x+2)<(2x−1)(x+2) ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles).

(8) Simplifier

√ x².

(9) Résoudre l’équation :|3x−7|=8.

(10) Résoudre l’équation :|3x−7|=|−2x+1|.

(11)

1.2 Calculs algébriques ¹¹

(11) Quels sont les nombres réelsxtels quex²∈[2,9] ?

(12) Complétez la phrase suivante : les nombres réelsxtels que|x−3| ≤6 sont les nombres appartenant à l’intervalle . . . .

(13) Complétez la phrase suivante : les nombres réels x tels que |3x+1| < 2 sont les nombres appartenant à l’intervalle . . . .

(14) Complétez la phrase suivante en remplaçantaetbpar les valeurs correspondantes : les nombres réelsxappartenant à l’intervalle [2,6] sont les nombresxvérifiant|x−a| ≤ b.

(15) Pour quelles valeurs dexa-t-on 3x²−2x>1 ? ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles)

(16) Résoudre l’inéquation :|3x−7|<2 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles).

(12)

(17) Résoudre l’inéquation :|2x−5| ≥ 3 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles).

(18) Soit√ tun nombre tel que 0<t<1. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants : t, t, t², t³, t√

t

(19) Soita,b,ctrois nombres réels aveca,0.

On suppose que pour tout réelx, ax²+bx+c≥0. Etablir queb²−4ac≤0.

(20) Etablir quelque soient les réelsxety, l’inégalitéx²+xy+y²≥0.

1.2.4 Test 4. Logarithme, exponentielle, sinus, cosinus (1) Définir, pourx>0, le nombre lnx.

(2) Simplifier les nombres suivants : e^{5 ln 2}, 2 ln 4−3 ln 2, ln(2+ √

3)+ln(2−

√ 3)

(13)

1.2 Calculs algébriques ¹³

(3) Simplifier pourn∈Nl’expression ln((n+1)!)−ln(n!)

(4) On suppose quea²+b²=7ab. Etablir l’égalité ln_a₊_b

3

= ¹₂(lna+lnb).

(5) Deux nombresxetysont reliés pary= √ 1+e^2x. Exprimerxen fonction dey.

(6) Deux nombresxetysont reliés pary=ln(e^x+1).

Exprimerxen fonction dey.

(7) Deux nombresxetysont reliés pary=e^x−e^−x e^x+e^−x. Exprimerxen fonction dey.

(14)

(8) Exprimezyen fonction dexsachant que ln(e^y−e^x)=y+ln 2−ln(e^y+e^x)

(9) Sachant que 2 ln(x−2y)=lnx+lny, déterminer x y.

(10) Résoudre dansR^∗l’équation : (lnx)²−4 lnx−5=0.

(15)

1.2 Calculs algébriques ¹⁵

(11) Résoudre dans ]1,+∞[ l’inéquation : ln(1+x)<2 ln(x−1)

(12) Donner les valeurs de cos(^7π₃) et de sin(^5π₄)

(13) On donne cost= q

2

3. Calculer cos 2t−sintsin 2t.

(14) Exprimer √

2(1−cos 2x) en fonction de sinx

(16)

(15) Résoudre dansRl’équation : cosx+2 sin(x)=⁷₂

(16) Résoudre dansRl’équation : cosx+cos²(3x)=2+sin²x

1.2.5 Problèmes.

(1) Une droiteDcoupe la courbe d’équationxy=1 en deux pointsAetB. Elle coupe les axes du repère orthonormé enCetD. Montrer queAC=BD.

(2) Des nombresaetbsont les racines de l’équationx²−px+q=0.De quelle équation sont solutions les nombresa+¹_b etb+¹_a?

(17)

1.2 Calculs algébriques ¹⁷

(3) Déterminer trois entiers en progression géométrique dont la somme est 21 et la somme des inverses est ₁₂⁷.

(4) On allume deux bougies en même temps. L’une se consume en quatre heures et l’autre en cinq heures. Après combien de temps, le rapport de leur longueur sera-t-il de¹₃?

(5) Résoudre le système

(x²+y²+x+y= 8 xy+x+y= 5

(18)

(6) Une certaine opération, affine, appliquée àxdonney. La même opération appliquée à ydonne 3x². Déterminery.

(7) Une carte indique l’emplacement d’un trésor quelque part le long d’une route droite.

Quatre villes A,B,C,Dsont raccordées dans cet ordre par cette route. La carte indique :

— DepuisA, parcourir la moitié de la distance àC.

— Parcourir ensuite, un tiers de la distance ‘aD.

— Le trésor est alors situé au quart de la distance qui vous sépare deB.

On donneAB=6 kms,BC=8 kms et le trésor est à mi-chemin entreAetD. Quelle distance sépare les villesCetD?

(19)

1.3 Géométrie ¹⁹

(8) On dispose de deux sabliers, l’un de sept minutes et l’autre de onze minute. Un œuf à la coque nécessite quinze minutes de cuisson. Comment pouvez vous procéder pour cuire un œuf à l’aide de ces deux sabliers uniquement ?

(9) Un immeuble comporte vingt étages. L’ascenseur de cet immeuble est doté de deux boutons uniquement. L’un fait monter de treize étage et l’autre fait descendre de huit étage. Ces boutons ne fonctionnent pas s’il n’y a pas assez d’étages à monter ou descendre. Vous êtes au 13-eme étage. Comment atteindre le 8-eme étage ?

1.3 Géométrie

1.3.1 Test 1. Nombres complexes

(1) Quelles sont les coordonnées des pointsPetQet des vecteurs~uet~v?

(20)

Q

P ~u

~v

(2) Mettre sous formea+ibles nombres complexes 3−5i

1+i et (2+i)³.

(3) Représenter les nombres suivants dans le plan complexe :z1=(2+i)³, z2= 3−5i 1+i

(21)

1.3 Géométrie ²¹

(4) Mettre sous la forme trigonométrique les nombres complexes :√ 21−i

1+iet (1+i√ 3)⁻².

(5) Quel est le module du nombre complexe−1+²₃i?

(6) Calculer le module et un argument deu=

√ 6−i√

2

2 etv=1−i.

En déduire le module et un argument dew=u v.

(22)

(7) Résoudre dansCl’équationz²+2z+2=0.

(8) Faire le produit du nombre complexe de module 2 et dont un argument est π 3 par le nombre complexe de module 3 et dont un argument est −5π

6 .

(9) Simplifier le nombre complexe





 1+i√

3 2







2013

.

(10) Développer (z−e^it)(z−e^−it).

(23)

1.3 Géométrie ²³

(11) Simplifier le nombre complexe :

cos_2n^π +isin_2n^πn

oùn∈N^∗.

1.3.2 Test 2. Géométrie analytique : équation de droite, équation de plan, distance.

(1) Quelle est la pente (le coefficient directeur) de la droiteDd’équation 3y+4x=2 ?

(2) Déterminer une équation de la droite passant par les points de coordonnées (2,3) et (1,5).

(3) Quelle est la distance entre

— les points de coordonnées (2,3) et (5,−1) ?

— les points de coordonnées (127,438) et (25,438) ?

(4) Déterminer une équation de la droite passant par le pointPde coordonnées (−5,−1) et de pente 0.

(5) Déterminer une équation de la droite passant par le pointPde coordonnées (−7,3) et de pente−¹

2. La représenter.

(24)

(6) Déterminer les points d’intersection de la droitedd’équation ¹₂x−3y+¹₃ =0 avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

1.3.3 Test 3. Géométrie analytique : calcul vectoriel.

(1) Exprimer le vecteur~v(−2,1) en fonction des vecteurs~k(1,−2) et~l(−2,3).

(25)

1.3 Géométrie ²⁵

(2) Représenter le vecteur~u+2~v−w~ où~u(−2,3),~v(−1,2) etw(−1,~ 4)

(3) Les vecteurs~u(−2,1) et~v(−1,4) sont-ils colinéaires ?

(4) Les vecteurs~u(−2,3) et~v(¹₂,−³

4) sont-ils colinéaires ?

(5) Déterminer les réelsapour lesquels les vecteurs~u(a,1) et~v(−6,a−5) sont colinéaires.

(6) Déterminer les réels a pour lesquels les vecteurs~u (a,−1) et~v (a+1,a−3) sont colinéaires.

(26)

(7) Donner un vecteur directeur de la droiteDd’équation 3y+4x=2.

(8) Donner un vecteur normal à la droiteDd’équation 2y+3x−2=0.

(9) Déterminer une équation de la droitedpassant par (1,1) et perpendiculaire à la droite d’équation 4x+5y−9=0.

(10) Déterminer une équation du cercle de centreP(−1,7) et de rayon 3.

(11) Déterminer le centre et le diamètre du cercle d’équation (x−1)²+(y+1)²=7.

(12) Déterminer le centre et le diamètre du cercle d’équationx²+y²+2x−4y−4=0.

(27)

1.3 Géométrie ²⁷

(13) Exprimer le vecteur~v(−2,3) en fonction des vecteurs~i(1,0) et~j(0,1).

(14) Exprimer le vecteur~v(−2,3) en fonction des vecteurs~k(1,1) et~`(1,−1).

(15) Exprimer le vecteur~v(−2,3,−1) en fonction des vecteurs~j (1,1,1), ~k (1,1,0) et

~`(0,1,−1).

(16) Déterminer une équation du plan Ppassant par les points A(1,0,0), B(−1,1,0) et C(−1,0,2)

(17) Déterminer une équation du planPpassant par (1,1,1) et dont un vecteur normal est

~u(−1,2,4)

(28)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité

1.4.1 Test 1. Suites

(1) Pour toutn∈N, on poseun=n+(−1)ⁿ. Donneru17.

(2) Pour toutn∈N, on poseun=n². Exprimeru2petu2p+1en fonction dep.

(3) Pour toutn∈N, on poseun= ⁿ²⁺_2n⁶ⁿ⁻¹²₊₆ . Exprimerup−3en fonction dep.

(4) Pour toutn∈N, on poseun=2ⁿ+3ⁿ. Exprimeru2pen fonction dep.

(5) Pour toutn∈N, on poseu_n=2n²+3n−1. Exprimeru_2p₊₁−u_2pen fonction dep.

(6) Pour toutn∈N, on poseun= ⁽^√_n!²⁾ⁿ. Exprimer ^u_u^2p+3

2p−1 en fonction dep.

(29)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité ²⁹

(7) Pour toutn∈N, on poseun=cos(nπ). Donner les valeurs deu2petu2p+1.

(8) Pour toutn∈N, on poseu_n=sin(n^π₂). Exprimeru_2petu_2p₊₁en fonction de p.

(9) Simplifier sinnπet cosn^π₂ lorsquenest un entier ?

(10) On poseu0 =−3 et pour toutn∈N, un+1 =un+1. Donnezu503.

(11) On poseu0 =5 et pour toutn∈N, un+1= ²₃un. Exprimezunen fonction den.

(12) On poseu0 =5 et pour toutn∈N, un+1= _u¹_n. Donnezu51etu86.

(13) On poseu0 =3 et pour toutn∈N, un+1=(un)². Exprimezunen fonction den.

(14) Trouver une formule pour 1+2+3+. . .+(p−1)+p.

(30)

(15) Calculer la somme : 100²−99²+98²−97²+96²−95²+. . .+2²−1.

(16) Calculer (très rapidement) la somme 1+3+5+7+. . .+21+23.

(17) Calculer (très rapidement) la somme 2+5+8+11+. . .+23+27.

(18) Donnez une formule pour 1+q+q²+. . .+qⁿ⁻¹+qⁿen fonction deqetn.

(19) Calculer (très rapidement) la somme 1+2+2²+. . .+2⁷

(20) Simplifiez la somme−2+2²−2³+. . .+2¹²−2¹³.

(21) Simplifiez la somme

√

2−2+2

√

2−4+4

√

2+. . .−64+64

√ 2.

(22) Simplifier la fraction : (2n)!(n+1)!

(2n+1)!(n−1)!.

(31)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité ³¹

(23) Simplifier la fraction : 2(n+2)!−n!

(n+1)(n+1)!.

1.4.2 Test 2. Fonctions

(1) Soitgla fonction définie parg(x)= ^3x_2x²⁺2^2x−8−x .

— Quel est le domaine de définition deg?

— Calculerg(2).

(2) Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions suivantes : f(x)= √

x(4−x), g(x)= _x(x^2x−12−2x+1), h(x)= ^√_1−2x^5x ₂.

(3) Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions suivantes : f(x)=ln|x|, g(x)= √

ln(1−x), h(x)= ^√^√_2−x^x−1.

(32)

(4) Représenter la fonction définie surRparx7→x²−x−2.

(5) Soient f etgles fonctions définies surRpar f(x)=7x−4 etg(x)=3x². Déterminer les points d’intersection des courbes de f et deg.

(33)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité ³³

(6) Représenter graphiquement la fonction définie surRpar f(x)= √ x+1.

(7) Représenter graphiquement la fonction définie surRpar f(x)= x²−1

.

(34)

(8) Représenter graphiquement la fonction définie surRpar f(x)= √ x²−1.

(9) Représenter graphiquement la fonction définie surRpar f(x)=x|x|.

(35)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité ³⁵

(10) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x,y) tels quex+y≥1.

(11) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x,y) tels quex−y≤1.

(36)

(12) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x,y) tels quey= x+|x|

2 .

(13) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x,y) tels quey= |x| −x 2 .

(37)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité ³⁷

1.4.3 Test 3. Limites

(1) Pour tout entier natureln, on posexn=n(3−₅²_n). Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(2) Pour tout entier natureln, on posexn=ln(1−¹

2ⁿ). Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(3) Pour tout entier natureln, on posexn= ₍₁₊ⁿ^√³₂₎_n. Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(4) Pour tout entier naturel non nuln, on posexn =n²ln(1−_n¹₂). Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(38)

(6) Pour tout entier naturel non nuln, on posexn =

1+^{ln 3}_n n

. Quelle est la limite de la suite (x_n) ?

(7) Pour tout entier natureln, on posex_n =(−1)ⁿ 2−_n¹₊₁

. Etudier la limite de la suite (x_n).

(8) Pour tout entier natureln, on posex_n= _n⁽⁻¹⁾^√_n₊ⁿ₁. Etudier la limite de la suite (x_n).

(9) Etudier la limite lim

x→+∞

x³+1 x²−x+1

x→0

1 x

1 2+x−1

2

!

x→−1

x²+x (x−2)(x+1)

x→2

x³+x²−5x−2 x²−4

(39)

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité ³⁹

x→³₂

4x²−9 2x−3

x→1

x³−1 x−1

x→1

xⁿ−1

x−1 oùn∈N^∗

x→0ln sinx x

!

x→0e⁻^x¹²

x→+∞

ln√ x x

x→−∞x²e^−x

(40)

x→2 x−2

x→2

ln(₂^x) x−2

x→0

e^x−1 x

(4) Donnez une équation de la tangente au point d’abscisse 2 de la courbe représentative de la fonction définie par f(x)=e^2x−4

(5) Donnez une équation de la tangente au point d’abscisse 4 de la courbe représentative de la fonction définie par f(x)= ^√¹_x

(6) En quels points la courbe représentative de la fonction définie parf(x)=x³−3x²+1 admet-elle une tangente de pente−3.

(7) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=(x²+2x−5)³

(41)

1.5 Dérivation et intégration ⁴¹

(8) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=(x³−3x)(2−x²)

(9) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= 1 x⁴−x²+1

(10) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= 2x−1 3x+2

(11) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= x−2 x²+3

(12) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= x 1−x

2

(13) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=

√x−1

√x+1

(14) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=xe^−x

(42)

(16) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=e⁻¹²^x²

(17) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=e^xsin^x

(18) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=xln(x)−x

(19) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=ln(1+x²)

(20) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=x³²

(21) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= ^sin_x^x

(22) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=sinxlnx

(23) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=ln(sinx)

(43)

1.5 Dérivation et intégration ⁴³

(24) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= ¹₃(sinx)³

(25) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)= ¹₃sin 3x

(26) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f(x)=xlnx−x

1.5.1 Test 3 (1) Calculer

Z 5

−1

0 dx

(2) Calculer Z 2

3

(−2) dx

(3) Calculer Z 2

3

(1+x³)dx

(4) Calculer Z 2

1

(1+ √ x)dx

(44)

(5) Calculer Z 2

1

(s²+ 1 s²)ds

(6) Calculer Z 1

−1

(1+x²)²dx

(7) Calculer Z 16

8

1 xdx

(8) Calculer Z a²+1

a²−1

1

1+tdt (a>1)

(9) Calculer Z 3

2

1 1−tdt

(10) Calculer Z 3

1

t 1+2t²dt

(45)

1.5 Dérivation et intégration ⁴⁵

(11) Calculer Z 8

1

x²³dx

(12) Calculer Z 3

2

x³−1 x−1 dx

(13) Une unité d’aire étant fixée, quelle est l’aire de la régionDdu plan définie parD= {(x,y)|x∈[−1,1], 0≤y≤1−x²}.

(14) Vérifier quet7→ t³

1+t³ est une primitive de la fonctiont7→ 3t² (1+t³)²

(15) Calculer Z 2

0

x² (1+x³)²dx

(16) Vérifier quet7→ln|cost|est une primitive de la fonctiont7→tantsur ]−^π

2,^π₂[.

(17) Calculer Z ^π₄

π 6

tanxdx.

(46)

Calculer Z 6

0

f(s)ds.

(19) Calculer Z e

1

lnt t dt

(20) Calculer Z ^π₆

0

cos 2xdx

(21) Calculer Z ^π₃

0

(sinx)²dx

(22) Calculer Z ¹₂

0

e^−2tdt

(23) Déterminer géométriquement la valeur de l’intégrale Z 1

0

√ 1−t²dt

(47)

1.6 Probabilités ⁴⁷

(24) La figure suivante représente la courbe représentative d’une fonction f.

→

i

→

j

0 x

y

On pose pourx>0, F(x)=Z x 0

f(t)dt.CalculerF(⁵₂).

(25) Sans les calculer, ranger les intégrales suivantes dans l’ordre croissant : Z ^π₃

π 4

costdt, Z ^π₃

π 4

cos²tdt, Z ^π₃

π 4

sintdt, Z ^π₃

π 4

cos²tsintdt,

1.6 Probabilités

1.6.1 Test 1. Probabilités élémentaires

(1) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Décrire de manière ensembliste les événements :

—A: « le numéro de la face est pair »

—B: « le numéo de la face est supérieur ou égal à 3 »

—C: « le numéro de la face est pair ou supérieur à 3 »

(48)

(2) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Quelle est la probabilité d’observer un numéro pair ou supérieur à 3 ?

(3) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Quelle est la probabilité d’observer un numéro pair supérieur à 3 ?

(4) On lance une pièce équilibrée trois fois de suite.

(49)

1.6 Probabilités ⁴⁹

(5) On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que cette carte ne soit ni un coeur, ni de couleur noire ?

(6) Parmi 100 étudiants, 30 font des maths, 20 de la physique et 10 font des maths et de la physique. On sélectionne un étudiant au hasard.

Quelle est la probabilité qu’il fasse des maths ou de la physique ?

(7) On lance deux dés parfaits à six faces.

Quelle est la probabilité qu’une face portant le numéro 2 apparaît si la somme des faces obtenues est de 6 ?

(50)

(8) Dans un lot de 12 articles, quatre sont défectueux. On prélève au hasard trois articles l’un après l’autre sans les remettre.

Quelle est la probabilité que les trois articles soient défectueux ?

(9) Trois colis contenant des ampoules sont expédiés à un service technique. Le premier colis contient 10 ampoules parmi lesquelles quatre sont défectueuses. Le second colis contient six ampoules parmi lesquelles une seule est défectueuse. Le troisième colis contient huit ampoules parmi lesquelles trois sont défectueuses. Un agent sélectionne un colis au hasard et prélève une ampoule.

Quelle est la probabilité que l’ampoule prélevée soit défectueuse ?

(10) L’ampoule prélevée se révèle défectueuse.

Quelle est la probabilité qu’elle provienne du premier colis ?

(11) On lance une pièce équilibrée trois fois de suite à pile ou face. On considère les évé- nements :

—A: « le premier lancer donne face »

—B: « le deuxième lancer donne face »

—C: « deux faces à la suite sont observés »

(51)

1.6 Probabilités ⁵¹

Vérifier queAetBsont indépendants, puis queAetCsont indépendants maisBetC ne le sont pas.

(12) Deux joueurs tirent indépendamment sur une cible. Le premier atteint la cible avec probabilité¹₄ tandis que le second l’atteint avec probabilité ²₅.

Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte ?

(13) On tire deux boules successivement sans remise d’une urne en contenant six blanches et cinq noires. Quelle est la probabilité d’obtenir une noire et une blanche ?

1.6.2 Test 2. Lois classiques

(1) Des courses entre trois chevauxA,B,Csont organisées. Les probabilités de remporter une course sont de¹₂ pourA,¹₃ pourBet¹₆ pourC.

Les chevaux courent deux fois de suite et on s’intéresse aux vainqueurs des courses.

Décrire l’ensemble des résultats possibles et calculer les probabilités de chaque résul- tat possible.

(52)

(2) On lance une pièce donnant pile avec probabilité ²₅ six fois de suite. On note X le nombre de piles obtenues sur les six lancers.

Quelle est la loi deX?

(3) On lance une pièce donnant pile avec probabilité ²₅six fois de suite.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins quatre piles ?

(4) On lance une pièce donnant pile avec probabilité ²₅six fois de suite.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un pile ?

(5) John lance six pièces à Pile ou Face. Marie fait de même mais avec cinq pièces seule- ment. Toutes les pièces sont équilibrées. Quelle est la probabilité que John obtienne plus de faces que n’en a obtenu Marie ?

(6) On lance trois pièces équilibrées à Pile ou Face. On noteY le nombre de Piles obtenues. CalculerP(Y≤2).

(53)

1.6 Probabilités ⁵³

(7) On lance une pièce jusqu’à obtenir Pile la première fois mais en faisant au plus 10 lancers. La probabilité d’obtenir Pile est³₇. On noteXle nombre de lancers effectués.

Déterminer les probabilitésP(X=1),P(X=2), . . . ,P(X=10).

(8) Les réacteurs d’un avion ont une défaillance en cours de vol avec probabilitéq=1−p.

Les défaillances sont indépendantes les unes des autres. Le vol se termine bien si la moitié des réacteurs fonctionnent. Pour quelles valeurs deples quadriréacteurs sont- ils préférables aux biréacteurs ?

(9) A partir de 7h, les bus passent tous les quarts d’heure à un arrêt donné. Ils passent donc à 7h, 7h15, 7h30, etc. Un usager arrive entre 7h et 7h30 à cet arrêt, l’heure d’arrivée de l’usager suivant une loi uniforme sur cette période (donc sur [0,30]). Quelle est la probabilité que l’usager attende moins de cinq minutes ? Plus de 10 minutes ?

(10) La durée (en minutes) d’une conversation téléphonique suit une loi exponentielle de paramètreλ = ₁₀¹. Quelqu’un passe juste devant vous à une cabine téléphonique.

Quelle est la probabilité d’attendre moins de dix minutes ? Et celle d’attendre entre 10 et 20 minutes ?

(54)

(1) Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : 5∈

#11 2 ,6

#

, 4∈

#

−4,9 2

"

, 3

2 −7 2

!

∈Z, −7 2 <

"

−3,−3 2

"

(2) Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : [1,2]⊂ {0,1,2,3};

( 0,−1,1

2,1 )

⊂[−1,1]; [−1,4[⊂

#

−3 2,9

2

"

(3) On noteE l’ensemble{−1,0,√

3,i,e}. Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :

−1∈E, {i} ∈E, {0,e} ∈E, {0,1} ⊂E, {−1,0,0,i,e,√

3,e}=E

(4) Identifier précisément les ensembles suivants : A={n∈N|∃p∈N,n=2p}; B=

x∈R

∃a∈Z,∃b∈N^∗,x= a b

;

C=( x∈R

x² 1+2x² =1

)

; D={n∈N|n²est impair}

(5) Ecrire sous forme ensembliste :

— l’ensembles des entiers relatifs impairs,

— l’ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont des rationnels.

(55)

1.7 Relations ensemblistes ⁵⁵

(6) Décrire à l’aide d’une propriété les ensembles suivants :

A={. . . ,−64,−27,−8,−1,0,1,8,27,64, . . .}; B={1,5,9,13,17,21,25, . . .}

(7) SoitT l’ensemble de la population,Hcelui des hommes, etFcelui des femmes.

Décrire en français les ensembles suivants :

—A={x∈T|x∈Hetxa un enfant}

—B={x∈T| ∃y∈F,xest marié ày}

—C={x∈T| ∃y∈T,∃z∈T,yest fils dexetzest fils dey}

—D={x∈T|xest fils dex}

—E={x∈T| ∀y∈T,xest plus âgé quey}

(8) Simplifier les ensembles suivants :

A=

"

−5 4,0

#

∩

"

1 8,5

4

#

; B=[−3,5]∩Z; C=[−1,1]∪]0,2[; D=]− ∞,1]∪[−2,+∞[

(56)

(9) Simplifiez les ensembles suivants : A=[−1,1]∩

"

−3 2,2

#

∩[−2,3]; B=[0,1]∪[−2,2]∪

"

−3,7 2

#

(10) On poseA={n∈Z|n²est impair}etB={n∈N| ∃p∈Z,n=2p}.

IdentifierA∪BetA∩B.

1.7.2 Test 2. Langage mathématique

(1) Formuler en langage mathématique (à l’aide des quantificateurs et des symboles ma- thématiques) les phrases suivantes :

— L’entiernest le carré d’un entier.

— Le cercle unité possède un point à coordonnées rationnelles.

— Tout élément de l’ensembleAest élément de l’ensembleB.

— Les ensemblesAetBne sont pas disjoints.

— Tout réel positif est un carrée.

— L’équation f(z)=0 ne possède pas de solution entière.

— La fonction f s’annule sur tout intervalle de longueur 2π.

— Tout intervalle ouvert deRcontient un nombre rationnel.

— Les ensemblesAetBsont distincts.

— La fonction f ne s’annule pas sur l’intervalle [a,b].

— Tout intervalle fermé deRd’amplitude 1 contient un nombre entier.

(57)

1.7 Relations ensemblistes ⁵⁷

(2) Formuler en français les phrases mathématiques suivantes :

—∀n∈N^∗, ¹_n <N

—∀n∈Z,∃k∈Z,n(n+1)=2k

—∃z∈C,z² =−3

—∀x∈R,∀y∈R,(x−y)(e^x−e^y)≥0

—∀a∈C^∗,∃z∈C,z⁵=a.

—∀n∈N,∃xn>n,f(xn)=0

—∀y∈[−1,1],∃t∈R,f(t)=y

—∀x∈R,f(x)=2

—∀x∈R,∀y∈R,f(x)= f(y)

(58)

(3) Décrire en français les ensembles suivants :

—A={x∈R| cosx= ¹₂}

—B={n∈Z| ∃a∈Z,∃b∈Z,n=a²+b²}

—C={z∈C| |z|= √ 2}

—D={z∈C| ∃a∈R,z=a+ia}

—E={a∈R| ∀x∈[−1,1],f(x)≤ f(a)}

(4) Reformulez les implications suivantes sous la forme « Si . . . alors . . . » :

— Toute fonction dérivable sur l’intervalle [a,b] est continue sur [a,b].

— La somme deux entiers impairs est un nombre entier pair.

— Je me fâche dès que je lis une bêtise.

— Le carré d’un nombre réel est positif.

(59)

1.7 Relations ensemblistes ⁵⁹

— Je prends mon parapluie chaque fois qu’il pleut.

— Le produit de deux nombres négatifs est positif.

— Faire des maths me suffit pour être heureux.

— Toute suite croissante et majorée est convergente.

— Je progresserai pourvu que je travaille régulièrement.

— La dérivée d’une fonction dérivable et croissante est positive.

— Il est nécessaire de posséder un permis pour conduire.

— La fonction f ne peut s’annuler qu’enx=0.

— Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

(5) SoitVl’ensemble des vaches, Mle sous ensemble des vaches marrons,Qcelui des vaches agées de quatre ans etT celui des vaches tachetées de blanc.

Ecrire de manière symbolique (en utilisant les quantificateurs et les symboles ensemblistes) les phrases suivantes :

— Une vache au moins est marron.

— Toutes les vaches sont âgées de quatre ans.

— Une des vaches marrons est tachetée de blanc.

— Toute vache âgée de quatre ans est tachetée de blanc.

— Toute vache tachetée de blanc est âgée de quatre ans.

— Une des vaches âgée de quatre ans n’est pas tachetée.

— Aucune vache n’est marron.

(60)

(6) Pour toutk∈N^∗, Fk=]¹_k,2+²_k[. Identifier \

k∈N^∗

Fk.

(7) Pour toutk∈N^∗, Fk=]¹_k,2−²

k[. Identifier \

k∈N^∗

Fk.

(8) Pour toutk∈N, Fk=[k,k+1[. Identifier[

k∈N

Fk.

(9) Pour toutk∈N^∗, Fk=]¹_k,2−²

k[. Identifier [

k∈N^∗

Fk.

(61)

1.7 Relations ensemblistes ⁶¹

(10) Pour toutk∈N^∗, Fk=]k,k+1[. Identifier\

k∈N

Fk.

(11) Pour toutk∈N^∗, F_k=]−¹_k,¹_k[. Identifier\

k∈N

F_k.

(12) Pour toutk∈N^∗, F_k=R\]−k,k[. Identifier\

k∈N

F_k.

(13) Définir des ensemblesFkdeux à deux distincts tels que\

k∈N

Fk=[0,1]

(14) Définir des ensemblesFkdeux à deux distincts tels que[

k∈N

Fk=[0,+∞[