Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Jeudi 27 Octobre 2011
Analyse R´ eelle
Dur´ee 2 h 15 – sans document I
Soit E un espace de Banach sur R. On d´esigne par B sa boule unit´e, par E0 son dual et parB0 la boule unit´e de E0.
Soit`une forme lin´eaire surE0. On suppose que la restriction`|B0 de``aB0est continue pour la topologie pr´efaible (E0, E) et on veut montrer qu’il existex2E tel que`(⇠) =h⇠, xi pour tout ⇠2E0, autrement dit quej(x) =`pour l’injection canonique j de E dans E00. 1) On munitE0 de la topologie pr´efaible (E0, E) et on suppose que ': E0⇥R! R est une forme lin´eaire continue sur E0⇥R. Montrer que la fonction ⇠ 7! '(⇠,0) est une forme lin´eaire sur E0 continue pour la topologie pr´efaible (E0, E) et en d´eduire l’existence d’un y2E tel que '(⇠,0) =h⇠, yi.
On pose ↵= '(0,1). Montrer que '(⇠, t) ='(⇠,0) +t'(0,1) =h⇠, yi ↵t.
2) Soit k 2N. On munit E0 de la topologie pr´efaible (E0, E) et on consid`ere l’ensemble Hk ={(⇠, t)2B0⇥R:t >`(⇠)+2 k}. Montrer queHk est convexe et ferm´e dans le produit E0⇥Ret que (0,0)2/ Hk. En d´eduire, au moyen du th´eor`eme de Hahn-Banach, qu’il existe une forme lin´eaire continue' sur E0⇥R telle que '(0,0)>supHk'(⇠, t).
Montrer qu’il existeyk 2E et↵tels que'(⇠, t) =h⇠, yki ↵t. Montrer que (0,2 k)2Hk
et en d´eduire que 2 k↵ <0, puis que si xk:= 1
↵yk, on a (⇠, `(⇠) + 2 k)2Hk, donc 1
↵'(⇠, `(⇠) + 2 k) =h⇠, xki `(⇠) 2 k <0 pour tout ⇠2B0, puis que sup⇠2B0|h⇠, xki `(⇠)|62 k.
Montrer que
kxk xmk= sup
⇠2B0|h⇠, xki h⇠, xmi|62 k+ 2 m
et en d´eduire que la suite (xk) est une suite de Cauchy dansE, qui converge vers un ´el´ement x2E, et enfin que `(⇠) =h⇠, xi pour tout ⇠ 2E0.
II
1) SiK est une fonction de L2(R2) et f 2L2(R), montrer que pour presque tout x on a Z
K(x, y)f(y)dy
2
6Z
|K(x, y)|2 dy.
Z
|f(y)|2 dy et en d´eduire que la fonction TKf : x 7! R
K(x, y)f(y)dy est dans L2(R) et v´erifie kTKfk2 6 kfk2.R
|K(x, y)|2 dx dy, puis que TK est un op´erateur lin´eaire de L2(R) dans lui-mˆeme.
Soient H un espace de Hilbert s´eparable et A 2 L(H) un op´erateur lin´eaire continu.
On rappelle qu’une base hilbertienne de H est une famille (en) de vecteurs de norme 1
deux-`a-deux orthogonaux qui engendre un sous-espace vectoriel dense, et que si (en) est une base hilbertienne de H, on a kxk2 =P
n|hx, eni|2 pour tout x de E. 2) Montrer que si (en) et (up) sont deux bases hilbertiennes de H, on a
X
n
kAenk2 =X
n,p
|hAen, upi|2 =X
n,p
|hA⇤up, eni|2 =X
p
kA⇤upk2 et en d´eduire que siP
nkAenk2 <+1pour une base hilbertienne (en), on a, pour toute base hilbertienne (up) :P
pkAupk2 =P
pkA⇤upk2 =P
nkAenk2. On dit qu’un tel op´erateur est unop´erateur de Hilbert-Schmidt.
3) Soient A un op´erateur de Hilbert-Schmidt et (en) une base hilbertienne. Si Pn est l’op´erateur de projection orthogonale sur l’espace vectoriel engendr´e par (e1, e2, . . . , en) et x un vecteur deH, montrer quePnAest de rang fini, que
kAx PnAxk2 =X
k
|hAx PnAx, eki|2 = X
k>n
|hAx, eki|2 = X
k>n
|hA⇤ek, xi|2
6 X
k>n
kA⇤ekk2.kxk2
et en d´eduire que kA PnAk6⇣P
k>nkA⇤ekk2⌘1/2
.
En d´eduire que limn!1kA PnAk= 0, puis que A est un op´erateur compact.
4) Soit A un op´erateur lin´eaire de Hilbert-Schmidt sur l’espace de Hilbert H = L2(R).
Montrer qu’il existe une base hilbertienne (fn) de H et une suite ( n) qui converge vers 0 telle que A⇤Afn = nfn, que n = hA⇤Afn, fni = kAfnk2, et en d´eduire que les n sont r´eels positifs et que P
n n <+1.
On consid`ere alors les fonctions gn : (x, y) 7!Afn(x).f¯n(y) sur R2. Montrer que les gn sont deux-`a-deux orthogonales dansL2(R2) et que kgnk2 = n. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral (gn) converge dans L2(R2) ; on pose Kn =P
m6ngm et K =P
n2Ngn. 5) Montrer que, pourp2N, n>p et presque tout x,
Z
Kn(x, y)fp(y)dy= X
m6n
Z
Afm(x) ¯fm(y)fp(y)dy = X
m6n
Afm(x)hfp, fmi=Afp(x)
et en d´eduire queTKfp = limn!1TKnfp =Afp, puis que ker(A TK) est un sous-espace vectoriel ferm´e de H contenant tous les fp. Conclure que A=TK.
