Topologie Feuille 18
Exercice18.1
Montrer queC\ {0}est dense dansC.
Exercice18.2
Montrer queE =
x+iy∈C/ x, y∈R, x2+y2≤3, x3+y3−3xy≥0 est un compact deC.
Exercice18.3
Montrer queU ={(x, y, z)∈R3 / ln(x2+y2+ 1) sin(z)< ex+zetx+y−z >1}est un ouvert deR3.
Exercice18.4
SiF est un fermé d’un espace métrique, montrer qu’il existe une suite décroissante d’ouverts(Un)n∈Ntelle que F = \
n∈N
Un.
Exercice18.5
On noteE =`∞(R)etF =R(N). F est-il un ouvert ou un fermé deE?
Exercice18.6
E est unK-espace vectoriel normé, oùKest égal àRouC. AetBsont deux parties deE. On suppose queA est ouvert. Montrer queA∩B =A∩B.
Exercice18.7
SoitAune partie non vide d’un espace-vectoriel norméE.On noteδ(A)le diamètre deA.
Montrer queδ(A) =δ(A).A-t-onδ(A) =δ( ˚A)?
Exercice18.8
SoitF un sous-espace vectoriel d’unK-espace vectoriel norméEtel queF˚6=∅. Montrer queF =E.
Exercice18.9
Eest unK-espace vectoriel normé etF est un fermé deE.
1. SoitKune partie compacte deE.
Montrer queF +K ={f +k /(f, k)∈F×K}est fermé.
2. On poseF ={(x, 0)/ x∈R}etK={(x, ex)/ x∈R}. Montrer queF etKsont deux fermés deR2mais queF+Kn’est pas fermé dansR2.
Exercice18.10
SoitAetBdeux ouverts d’un espace vectoriel norméE.
Montrer queA+B est ouvert. Est-ce vrai avec des fermés ?
Exercice18.11
Soit A une partie d’unK-espace vectoriel norméE. Montrer queAest compact si et seulement si toute suite d’éléments deAadmet une valeur d’adhérencedansE.
Exercice18.12
SoientEunK-espace vectoriel normé etAune partie deE. On dit que`∈ Eest un point d’accumulation de Asi et seulement si`∈A\ {`}.Montrer que l’ensemble des points d’accumulation deAest un fermé.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE XVIII - TOPOLOGIE
Exercice18.13
On dit qu’un point ad’une partieA est isolé dansA si et seulement si il existe un voisinageV deatel que V ∩A={a}.
SoitAune partie sans point isolé. SoitB une partie dense dansA. Montrer que pour touta ∈Aet pour tout voisinageV dea, V ∩Best infini.
Exercice18.14
SoitAune partie convexe d’un espace vectoriel norméE.Montrer queA˚etAsont aussi convexes.
Exercice18.15
Théorème du point fixe
SoitAune partie complète non vide deEetf :A−→Aune applicationk-contractante oùk∈[0,1[.
1. Montrer qu’il existe au plus un vecteur`∈E tel quef(`) =`(on dit que`est un point fixe def).
2. Soit(xn)∈ANune suite vérifiant la relation de récurrence suivante :∀n∈N, xn+1=f(xn), avecx0∈A.
(a) Montrer que, pour toutn∈N, d(xn, xn+1)≤knd(x0, x1).
(b) Montrer que(xn)converge et que sa limite est un point fixe def.
Exercice18.16
SoitU un ouvert non vide deR. On considère la relationU surU définie par :
∀x, y∈U, (xU y)⇔([x, y]⊂U), où[x, y]désigne le segment joignantxàymême lorsquex > y.
1. Démontrer queU est une relation d’équivalence surU.
2. Démontrer que les classes d’équivalence deU sont des intervalles ouverts deR.Justifier que l’ensemble quo- tientU/U est dénombrable.
3. Qu’a-t-on ainsi démontré ?
Exercice18.17
`∞(R)désigne l’ensemble des suites bornées de réels ; c’est un espace vectoriel normé si on le munit de la norme infinie.
Parmi les ensembles suivants, déterminer lesquels sont des fermés de`∞(R):
− l’ensemble des suites croissantes bornées,
− l’ensemble des suites bornées admettant0pour valeur d’adhérence,
− l’ensemblePT des suitesT-périodiques, oùT ∈N∗,
− la réunion [
T∈N∗
PT.
Exercice18.18
On noteE =`1(C) =¶
(zn)∈CN/ X
|zn|converge©
et on noteAl’ensemble des suites géométriques(un) deE telles que
+∞
X
n=0
un= 1.
Aest-il fermé ?Aest-il ouvert ?
Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea
