DM 6

DM n

6

Exercice

Le service de d´epannage d’un grand magasin dispose d’´equipes intervenant sur appel de la client`ele. Pour des causes diverses les interventions ont lieu parfois avec un retard. On admet que les appels se produisent ind´ependamment les uns des autres et que, pour chaque appel, la probabilit´e d’un retard est 0,25.

1. Un client appelle le service `a 4 reprises. On d´esigne par X la variable al´eatoire qui est ´egale au nombre de fois o`u ce client a du subir un retard.

(a) D´eterminer la loi de probabilit´e deX? Calculer son esp´erance et sa variance.

(b) Calculer la probabilit´e de l’´ev`enement : “le client a subi au moins un retard”.

2. Au cours des ann´ees 2002 et 2003, le service apr`es-vente enregistre une succession d’appels. Le rang du premier appel pour lequel l’intervention s’effectue avec retard en 2002 (resp. 2003) d´efinit une variable al´eatoire Y (resp.

Z).

(a) D´eterminer les lois deY et Z.

(b) CalculerP(Y ≤k), pour toutk∈N^∗. (c) On poseT =max(Y, Z).

i. On verra dans le chapitre sur les couples de variables al´eatoires discr`etes, que siY etZ sont deux variables al´eatoires ind´ependantes (ce qui est le cas dans cet exercice), alors pourk∈N^∗

P(max(Y, Z)≤k) =P((Y ≤k)∩(Z≤k)) =P(Y ≤k)P(Z≤k).

CalculerP(T ≤k), pour toutk∈N^∗. ii. D´eterminer la loi deT.

1

Exercice facultatif

Pour tout entier natureln, on poseu_n=

n

Y

k=0

1 + 1

2^k

= (1 + 1)

1 +1

2 1 +1 4

· · ·

1 + 1 2ⁿ

. 1. Donner, sous forme d’entiers ou de fractions simplifi´ees, les valeurs deu0, u1 etu2.

2. (a) Montrer que, pour tout entier natureln, on a :

u_n≥2.

(b) Exprimerun+1 en fonction deun puis en d´eduire les variations de la suite (un).

(c) ´Etablir que, pour tout r´eelxstrictement sup´erieur `a −1, on a : ln(1 +x)≤x.

(d) En d´eduire, pour tout entier natureln, un majorant de ln(u_n).

3. En utilisant les questions pr´ec´edentes, montrer que la suite (u_n) converge vers un r´eel `, ´el´ement de 2,e²

. 4. On se propose dans cette question de d´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral (`−un).

(a) Justifier que la suite (ln(un))_n∈Nconverge et que l’on a : ln(`) =

+∞

X

k=0

ln

1 + 1 2^k

.

(b) Montrer que, pour toutndeN, on a ln

` u_n

=

+∞

X

k=n+1

ln

1 + 1 2^k

.

(c) En d´eduire que

∀n∈N, 0≤ln `

u_n

≤ 1 2ⁿ. (d) D´eduire de la question pr´ec´edente que∀n∈N,

0≤`−un≤`

1−e⁻²¹ⁿ . (e) Justifier que, pour tout r´eelx, on a

1−e^−x≤x.

En d´eduire que∀n∈N,

0≤`−u<sub>n</sub>≤ ` 2ⁿ. Conclure quant `a la nature de la s´erie de terme g´en´eral (`−un).

2