T.S. AP n°1 – Révisions et approfondissement

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T.S. AP n°1 – Révisions et approfondissement

Exercice 1 ( D’après Polynésie juin 2013)

On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1

2 et telle que pour tout entier naturel n : u n+1 = 3 u _n

1+ 2 u _n

1.a. Calculer u 1 et u 2 .

b. Démontrer que pour tout entier naturel n , 0 < u n .

2. On admet que u n < 1 pour tout entier naturel n. Montrer que la suite (u n ) est croissante.

3. Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n , par v n = u _n 1−u _n ^. a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 3.

b. Exprimer, pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . c. En déduire que, pour tout entier naturel n , u _n = 3 ⁿ

3 ⁿ + 1 d. Déterminer la limite de la suite (u n ).

Exercice 2 (D’après Asie juin 2013)

Partie A

On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n : u _n+1 = 1+3 u _n

3 +u _n

On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u _n >1.

2. a. Établir que, pour tout entier naturel n, on a : u _n+1 −u _n = (1−u _n )(1+ u _n ) 3+ u _n b. Déterminer le sens de variation de la suite (u n ) .

Partie B

On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n : u _n+1 = 1+ 0,5 u _n

0,5 + u _n

On admet que tout les termes de cette suite sont définis et

strictement positifs.

1. On considère l’algorithme suivant :

Reproduire et compléter le tableau

suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3 . Les valeurs de u seront arrondies au millième.

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i 1 2 3

u

2. Pour n = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

i 4 5 6 7 8 9 10 11 12

u 1,008 3 0,997 3 1,000 9 0,999 7 1,000 1 0,999 97 1,000 01 0,999 996 1,000 001 Conjecturer le comportement de la suite (u n ) à l’infini.

3. On considère la suite (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n , par v n = u _n −1

u _n + 1 ^.

a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison – 1 3.

b. Calculer v 0 , puis v n en fonction de n.

4. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v n ≠1.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u _n = 1+ v _n 1−v _n . c. Déterminer la limite de la suite (u n ) .

Exercice n°3 : comparaisons

Partie A : Préambule

Soit f la fonction définie sur [0; +∞ [ par f (x) = x ³ −3x ² −3x −1.

1. Calculer la dérivée de f et en déduire les variations de f . 2. Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 4, on a 2n ³ > (n +1) ³ . Partie B : Conjecture

Soit n un entier naturel, on se propose de comparer 2 ⁿ et n ³ .

1. Avec une calculatrice, un tableur ou un logiciel de calcul formel, émettre une conjecture quant au résultat de cette comparaison.

2. En utilisant le préambule, montrer cette conjecture.

Partie C : Question ouverte

n! se lit " factorielle n ", et désigne l’entier naturel défini par la relation de récurrence : 0!=1, et (n+1)!= (n +1)×n!

Par conséquent, si n ≥ 1, n! désigne le produit de tous les entiers de 1 à n.

Soit n un entier naturel, comparer 3 ⁿ et n! .

Exercice n°4

Démontrer que, pour tout entier n1 : S _n = 1

1×2 + 1

2×3 + 1

3×4 +...+ 1

n(n+ 1) = 1 – 1 n+1

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T.S. AP n°1 – Révisions de premières

Exercice n°5

Les suites suivantes sont-elles croissantes ? Décroissantes ? 1. u n =n ² + 5n + 4. n ∈ℕ .

2. v n = −2 n+3

n+1 . n ∈ℕ . 3. w n = √ ^{2 n +5 . n ∈ℕ .}

4. t n = 2 ⁿ n

Exercice n°6

(u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 =5 et de raison 2.

1. Exprimer u n en fonction de n.

2. Calculer u 5 et u 10 .

3. Calculer les sommes suivantes : a. S 1 =u

+ u 1 +...+ u 5 .

b. S 2 =u

+ u 2 +...+ u 10 . c. S 3 =u

+ u 6 +...+ u 10 .

Exercice n°7

On reprend l'exercice précédent en utilisant la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 =1 et de raison 3.

Exercice n°8

Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 10 et u n+1 = 2

3 u n + 1.

1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .

2. Soit (v n ) la suite définie par v n = u n – 3. Calculer v 0 , v 1 , v 2 et v 3 . 3. Déterminer la nature de la suite (v n ) et préciser ses éléments caractéristiques.

4. Exprimer v n en fonction de n, puis u n en fonction de n.

5. Calculer S n =v

+ v 1 +...+ v n et en déduire S' n =u

+ u 1 +...+ u n .

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Résultats ou indices

Ex.1 : 1.a. 0,75;0,9. 1.b.Par récurrence 2. u

– u

= 2 u n ( 1−u n )

1+2u n

...3.b. v

=3 ⁿ . 3.d. 1.

Ex.2 : P.A.1.Par récurrence. 2.b.Décroissante. P.B.1. 0,8 ; 1,077 ; 0,976.3.b. v

= 1 3 et v _n = 1

3 × ( ⁻¹ 3 ) ^{n 4.c. 1.}

Ex.3 : P.A.1. f '(x)=3x ² – 6x – 3 .... f est décroissante sur [0;1+ √ 2 ] et croissante sur

[ 1+ √ 2 ;+ ∞] . 2. Déduit de ce qui précède. P.B.2.Par récurrence. P.C. Par récurrence, si n>7...

Ex.4 : Par récurrence.

Ex.5 : 1. Croissante 2. Croissante à partir d'un certain rang. 3. Croissante 4. Croissante.

Ex.6 : 1. 5+2n 2. 15 et 25. 3.a.60 b. 160 c. 120 Ex.7 : 1. 3 ⁿ 2. 243 et 59049. 3.a.364 b. 88572 c. 88452 Ex.8 : 1. u

= 23

3 , u

= 55

9 et u

= 137

27 ^{2. v}

^=7,v

⁼ 14

3 ^{, v}

⁼ 28

9 ^{et v}

⁼ 56

27 3. raison= 2 3 4.

S

=21 ( ^{1− ( 2 3 ) n+1} ) ^{et S}

⁼²¹ ( ^{1− ( 2 3 ) n+1} ) ^+3(n+1)

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