AP 1 - Révisions de 1S sur les suites et les fonctions E

(1)

AP 1 - Révisions de 1S sur les suites et les fonctions

E XERCICE 1

1. On considère la suite numérique (u n ) de premier terme u 0 = 4 et de raison 5.

a. Calculer u 100 .

b. Calculer la somme S = u 0 + u 1 = u 2 + ... + u 100 . 2. On considère la suite géométrique (v n ) telle que v 4 = 1

2 et v 5 = 3 8 . a. Calculer v 0 et v 1 1.

b. Calculer ∑ ⁸

i = 0

v i .

E XERCICE 2

On injecte dans le sang d’un malade une dose de médicament. On suppose que ce médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite éliminé progressivement, la concentration diminuant de 30% chaque heure. On note c n la concentration en mg/L, n heures après l’injection. On donne c 0 = 4.

1. a. Calculer c 1 et c 2 .

b. Donner l’expression de c n + 1 en fonction de c n . Quelle est la nature de la suite (c n ) ? c. En déduire l’expression de c n en fonction de n.

d. Quelle est la concentration 18 h après l’injection ?

2. On souhaite maintenir la concentration du médicament au dessus de 3 mg/L pendant 18 heures, et pour cela on pra- tique 1 heure après la première injection, puis toutes les heures, une injection de 1 mg/L du médicament. On note K n

la valeur de la concentration, n heures après l’injection ( n ∈ N ).

a. Justifier que, pour tout n ∈ N , K n + 1 = 0, 7K n + 1.

b. Soit d n = K n − 10

3 . Démontrer que (d n ) est une suite géométrique de raison 0, 7. Calculer d 0 . c. Déterminer d n puis K n en fonction de n.

d. Quelle est la concentration du médicament 18 heures après l’injection ? (arrondir au centième).

e. Que semble-t-il se passer à long terme (on ne demande pas de démonstration) ?

E XERCICE 3

Soit la suite (u n ) définie par récurrence par u 0 = 1 et u _n+1 = 5u n

5 + 3u n

. 1. a. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .

b. Conjecturer la limite de (u n ) quand n tend vers l’infini.

2. La suite (v n ) est définie, pour n ≥ 0 par : v n = 5 u n + 2.

a. Calculer v 0 , v 1 et v 2 .

b. Démontrer que v n est une suite arithmétique. Donner son premier terme et sa raison.

3. Exprimer v n puis u n en fonction de n.

4. Démontrer la conjecture établie à la question 1.b.

E XERCICE 4

On considère la fonction f (x) = −x ³ + 2x ² − x + 5, définie sur R . 1. Dresser le tableau de variation de f .

2. Montrer que l’équation de la tangente (T ) à la courbe représentative C f de f , au point d’abscisse 0, est y = −x + 5.

3. Etudier la position de C f par rapport à (T ).

(2)

E XERCICE 5

Dans un repère orthonormé (O ;I , J), on a tracé la parabole P , courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f (x) = 1

2 x ² − 2x + 3.

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

- 1 - 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

Un point A a pour coordonnées (0; − 3). Soit m un réel et M le point de P d’abscisse m.

1. a. Calculer f ^′ (m) en fonction de m.

b. En déduire qu’une équation de la tangente T m à la parabole P en M est : y = (m − 2)x − 1 2 m ² + 3.

2. Pour quelles valeurs de m la tangente T m passe-t-elle par A?

E XERCICE 6

Soit h la fonction définie par h(x) = 2x ² + 2x − 1 x ² + 5x + 6

1. Déterminer les variations de h sur son domaine de définition.

2. Résoudre h(x) = 10.

3. Résoudre h(x) < 5.

2

(3)

Résultats ou indices

Ex.1 1.a 504 1.b. 25654. 2.a. q = d f r ac34 2.b. 512 81 (1 − ( 3

4 ) ⁹ ).

Ex.2 1.a. c 1 = 2, 8 mg/L, c 2 = 1, 96 mg/L 1.b. raison 0, 7. 1.c. c n = 4 × 0, 7 ⁿ 1.d. c 1 8 ≈ 6, 5 × 10 ⁻ ³ mg/L. 2.a. Réponse donnée. 2.b.

d 0 = 2

3 . 2.c. d n = 2

3 × 0, 7 ⁿ . K n = 2

3 × 0, 7 ⁿ + 10

3 2.d. K 18 ≈ 3, 33 mg/L.

Ex.3 1.a. u 1 = 5

8 , u 2 = 5

11 , u 3 = 5

14 . 1.b. 0. 2.a. v 0 = 7, v 1 = 10 et v 2 = 13. 2.b. v 0 = 7 et la raison vaut 3. 3. v n = 6 + 3n , u n = 5 3n + 5 . 4. Réponse donnée.

Ex.4 1. Décroissante jusqu’à − 1, croissante entre − 1 et 1

3 , décroissante ensuite. f ( − 1) = 9 et f ( 1

3 )

= 131

27 . 2. Réponse donnée 3. La tangente est au dessus de la courbe pour x > 2 et en dessous pour x < 2.

Ex.5 1.a. f ^′ (m) = 1

2 m ² − 2m + 3 1.b. Réponse donnée. 2. pour − p 12 et p

12. Ex.6 1. Croissante jusqu’à -3 (valeur interdite), croissante entre − 3 et − 13 − p 33

AP 1 - Révisions de 1S sur les suites et les fonctions E

AP 1 - Révisions de 1S sur les suites et les fonctions

E XERCICE 1

1. On considère la suite numérique (u n ) de premier terme u 0 = 4 et de raison 5.

a. Calculer u 100 .

b. Calculer la somme S = u 0 + u 1 = u 2 + ... + u 100 . 2. On considère la suite géométrique (v n ) telle que v 4 = 1

2 et v 5 = 3 8 . a. Calculer v 0 et v 1 1.

b. Calculer ∑ 8

i = 0

v i .

E XERCICE 2

1. a. Calculer c 1 et c 2 .

b. Donner l’expression de c n + 1 en fonction de c n . Quelle est la nature de la suite (c n ) ? c. En déduire l’expression de c n en fonction de n.

d. Quelle est la concentration 18 h après l’injection ?

2. On souhaite maintenir la concentration du médicament au dessus de 3 mg/L pendant 18 heures, et pour cela on pra- tique 1 heure après la première injection, puis toutes les heures, une injection de 1 mg/L du médicament. On note K n

la valeur de la concentration, n heures après l’injection ( n ∈ N ).

a. Justifier que, pour tout n ∈ N , K n + 1 = 0, 7K n + 1.

b. Soit d n = K n − 10

3 . Démontrer que (d n ) est une suite géométrique de raison 0, 7. Calculer d 0 . c. Déterminer d n puis K n en fonction de n.

d. Quelle est la concentration du médicament 18 heures après l’injection ? (arrondir au centième).

e. Que semble-t-il se passer à long terme (on ne demande pas de démonstration) ?

E XERCICE 3

Soit la suite (u n ) définie par récurrence par u 0 = 1 et u n+1 = 5u n

5 + 3u n

. 1. a. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .

b. Conjecturer la limite de (u n ) quand n tend vers l’infini.

2. La suite (v n ) est définie, pour n ≥ 0 par : v n = 5 u n + 2.

a. Calculer v 0 , v 1 et v 2 .

b. Démontrer que v n est une suite arithmétique. Donner son premier terme et sa raison.

3. Exprimer v n puis u n en fonction de n.

4. Démontrer la conjecture établie à la question 1.b.

E XERCICE 4

On considère la fonction f (x) = −x 3 + 2x 2 − x + 5, définie sur R . 1. Dresser le tableau de variation de f .

2. Montrer que l’équation de la tangente (T ) à la courbe représentative C f de f , au point d’abscisse 0, est y = −x + 5.

3. Etudier la position de C f par rapport à (T ).

E XERCICE 5

Dans un repère orthonormé (O ;I , J), on a tracé la parabole P , courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f (x) = 1

2 x 2 − 2x + 3.

Un point A a pour coordonnées (0; − 3). Soit m un réel et M le point de P d’abscisse m.

1. a. Calculer f ′ (m) en fonction de m.

b. En déduire qu’une équation de la tangente T m à la parabole P en M est : y = (m − 2)x − 1 2 m 2 + 3.

2. Pour quelles valeurs de m la tangente T m passe-t-elle par A?

E XERCICE 6

Soit h la fonction définie par h(x) = 2x 2 + 2x − 1 x 2 + 5x + 6

1. Déterminer les variations de h sur son domaine de définition.

2. Résoudre h(x) = 10.

3. Résoudre h(x) < 5.

2

Résultats ou indices

Ex.1 1.a 504 1.b. 25654. 2.a. q = d f r ac34 2.b. 512 81 (1 − ( 3

4 ) 9 ).

Ex.2 1.a. c 1 = 2, 8 mg/L, c 2 = 1, 96 mg/L 1.b. raison 0, 7. 1.c. c n = 4 × 0, 7 n 1.d. c 1 8 ≈ 6, 5 × 10 − 3 mg/L. 2.a. Réponse donnée. 2.b.

d 0 = 2

3 . 2.c. d n = 2

3 × 0, 7 n . K n = 2

3 × 0, 7 n + 10

3 2.d. K 18 ≈ 3, 33 mg/L.

Ex.3 1.a. u 1 = 5

8 , u 2 = 5

11 , u 3 = 5

14 . 1.b. 0. 2.a. v 0 = 7, v 1 = 10 et v 2 = 13. 2.b. v 0 = 7 et la raison vaut 3. 3. v n = 6 + 3n , u n = 5 3n + 5 . 4. Réponse donnée.

Ex.4 1. Décroissante jusqu’à − 1, croissante entre − 1 et 1

3 , décroissante ensuite. f ( − 1) = 9 et f ( 1

3 )

= 131

27 . 2. Réponse donnée 3. La tangente est au dessus de la courbe pour x > 2 et en dessous pour x < 2.

Ex.5 1.a. f ′ (m) = 1

2 m 2 − 2m + 3 1.b. Réponse donnée. 2. pour − p 12 et p

12.

Ex.6 1. Croissante jusqu’à -3 (valeur interdite), croissante entre − 3 et − 13 − p 33

8 , décroissante entre − 13 − p 33

8 et − 2 (valeur interdite) , décroissante entre − 2 et − 13 + p

33

8 , croissante ensuite. 2. − 12 − p 22

4 et − 12 + p 22

4 . 3. Indication : calculer h(x) − 5, puis étudier son signe.

]

−∞ ; − 23 − p 157 6

[

∪ ] − 3; − 2[ ∪

b. Calculer ∑ ⁸

Soit la suite (u n ) définie par récurrence par u 0 = 1 et u _n+1 = 5u n

On considère la fonction f (x) = −x ³ + 2x ² − x + 5, définie sur R . 1. Dresser le tableau de variation de f .

2 x ² − 2x + 3.

1. a. Calculer f ^′ (m) en fonction de m.

b. En déduire qu’une équation de la tangente T m à la parabole P en M est : y = (m − 2)x − 1 2 m ² + 3.

Soit h la fonction définie par h(x) = 2x ² + 2x − 1 x ² + 5x + 6

4 ) ⁹ ).

Ex.2 1.a. c 1 = 2, 8 mg/L, c 2 = 1, 96 mg/L 1.b. raison 0, 7. 1.c. c n = 4 × 0, 7 ⁿ 1.d. c 1 8 ≈ 6, 5 × 10 ⁻ ³ mg/L. 2.a. Réponse donnée. 2.b.

3 × 0, 7 ⁿ . K n = 2

3 × 0, 7 ⁿ + 10

Ex.5 1.a. f ^′ (m) = 1

2 m ² − 2m + 3 1.b. Réponse donnée. 2. pour − p 12 et p