1 Heures de vol

L3 MAPI3 2014–2015

TD 7. Tests d’hypoth` eses

1 Heures de vol

Le temps de vol d’un certain type d’avion sur un trajet fix´ e poss` ede une moyenne de 16,25 heures depuis la mise en service de ces avions. La distribution du temps de vol a un ´ ecart type de 1,5 heures. Des mesures r´ ecentes couvrant 120 vols donnent une moyenne de 15 heures 56 minutes.

1. Donner un intervalle de confiance pour le temps moyen de vol (risque 5%).

2. Y-a-t-il une diff´ erence significative avec la moyenne annonc´ ee ?

3. Mˆ emes questions si l’on ne suppose plus que l’´ ecart-type est connu, mais que 1,5 est sa valeur estim´ ee sur les 120 vols.

2 Loi exponentielle

Soit X

, . . . , X

un n-´ echantillon d’une loi de fonction de r´ epartition F. On note F l’ensemble des fonctions de r´ epartition F

, θ > 0 o` u F

(x) = (1 − exp(−x/θ)) 1

(x). Soit α ∈]0, 1[ et θ

> 0. On suppose que F = F

.

1. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance T de θ. Que dire de l’estimation de θ par la m´ ethode des moments ?

2. Prouver que

suit la loi χ

(2n). En d´ eduire un intervalle de confiance bilat` ere pour θ de risque α.

3. Bˆ atir un test de “θ = θ

” contre “θ 6= θ

”.

3 Puissance

Quelle est l’effectif n´ ecessaire n, pour qu’avec une erreur de premi` ere esp` ece de 5%, on d´ etecte un diff´ erence de moyenne ´ egale ` a 0.6 fois l’´ ecart type, avec une erreur de deuxi` eme esp` ece inf` erieur ` a 1%. ?

4 Test de Student

Soient a, b ∈ R et σ ∈ R

. Soient (X

)

et (Y

)

2n variables al´ eatoires ind´ ependantes.

On suppose que, pour j = 1 . . . n, X

(respectivement Y

) suit la loi normale de moyenne a et d’´ ecart type σ (respectivement de moyenne b et d’´ ecart type σ).

1. Quelle est la vraisemblance associ´ ee aux observations Z := (X

, . . . , X

, Y

, . . . , Y

) ? Calculer les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆ a, ˆ b, σ ˆ

.

2. Montrer que ˆ a et ˆ b peuvent s’´ ecrire sous la forme ˆ

a = 1

n hv

, Zi ˆ b = 1

n hv

, Zi

o` u h·, ·i d´ esigne le produit scalaire sur R

et v

, v

sont des vecteurs de R

` a pr´ eciser.

Montrer que ˆ σ

est un estimateur biais´ e. Proposer un estimateur sans biais de σ

. Dans

la suite on appelle S

cet estimateur.

3. V´ erifier que S

=

kZ − av ˆ

− ˆ bv

k

, o` u k · k d´ esigne la norme euclidienne sur R

. Quelle est la loi de :

T =

√ n(ˆ a − ˆ b − (a − b))

√ 2S .

On justifiera sa r´ eponse

4. Construire un test d’hypoth` ese de H

a = b contre H

a 6= b bas´ e sur T . Application num´ erique :

n = 100;

n

X

i=1

x

= 150, 4

n

X

i=1

y

= 160, 2

n

X

i=1

x

= 120, 11

n

X

i=1

y

= 110, 33.

5 Fruitier

Un producteur de fruits a constat´ e sur des r´ ecoltes de plusieurs ann´ ees, qu’en moyenne le poids d’une pomme d’une vari´ et´ e A, est sup´ erieur de 12 grammes au poids d’une pomme d’une vari´ et´ e B . Il veut savoir si cette diff´ erence subsiste si l’on utilise un nouveau type d’engrais.

On admet que dans tous les cas le poids d’une pomme suit une loi normale de variance 66. Le

producteur p` ese 25 pommes de la vari´ et´ e A et de la vari´ et´ e B . Ces 50 pommes ont toutes ´ et´ e

trait´ ees avec le nouvel engrais. Il observe alors un poids moyen de 116 grammes pour la vari´ et´ e

A et de 109 grammes pour la vari´ et´ e B . Tester si le nouvel engrais am´ eliore de fa¸con identique

le rendement pour les vari´ et´ es A et B .