UNIVERSIT ´E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ee 2013/2014
Licence Informatique L1 Analyse
Feuille d’exercices 8
Exercice 1. D´eterminer le comportement des fonctions suivantes pourx→0 a)ϕ:R>0→R, x 7→ √
xln2(x) b)ϕ:R∗→R, x 7→ x2ex1
Exercice 2. On consid`ere la fonction
f :R>0→R, x 7→ ln(x)−x.
a) D´eterminer les extremaux locaux.
b) D´eterminer le comportent def pourx→0 etx→ ∞.
c) Tracer le graphe def.
Exercice 3. On consid`ere la fonction
f :R→R, x 7→ ex−1−x.
a) D´eterminer les extremaux locaux.
b) En d´eduire que
ex≥x+ 1 ∀x∈R.
Exercice 4. On consid`ere la fonctionϕ:R→Rd´efinie par
ϕ(x) =
e−x12 six6= 0,
0 six= 0.
a) Montrer queϕest d´erivable etϕ0(0) = 0.
b) Soitn∈Narbitraire. Montrer queϕest nfois d´erivable etϕ(n)(0) = 0.
Exercice 5. Soitf :R→Rune fonction continue telle que f(x+y) =f(x)·f(y) ∀x, y∈R. Supposons quef(1) =e. Montrer quef(x) =ex pour toutx∈R. Indication : commencer par montrer quef(n) =en pour toutn∈N.
1
