Sur quelques théorèmes d'arithmétique

B ULLETIN DE LA S. M. F.

L AGUERRE

Sur quelques théorèmes d’arithmétique

Bulletin de la S. M. F., tome 1 (1872-1873), p. 77-81

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- 77 -

M É M O I R E S ET C O M M U N I C A T I O N S

Sur quelques théorèmes d1arithmétique; par M. LAGUERRE.

[Séance du 22 janvier 1875)

1. On connaît la proposition suivante : « y(m) désignant combien il y a de nombres premiers à m et non supérieurs à m, on a

m==o(rf)+cp(d')+9(^)+ ...,

d, (]\ à" désignant la suite des diviseurs de m, parmi lesquels figurent i et m lui-même (*). )>

Cette proposition peut se généraliser ainsi qu'il suit :

Désignons en général par (m, , ) , où m désigne un nombre entier et k une quantité réelle quelconque commensurable ou incommensurable, le nombre des entiers premiers avec m et non supérieurs à - , ; on voit que,

K

si k == i, on a (m, m) = y (m).

(*) Voy. SERRET, Algèbre supérieure, t. II, p. 15.

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Cela posé, je dis que l'on a m désignant un nombre entier et (~\ la partie entière du quotient -,,

K-

<" œ-O.lH^H". ?)-+(-.?).

la somme contenue dans le second membre s'étendant à tous les diviseurs 1, d, d', ..., m du nombre m.

Pour le démontrer, je vais faire voir que si la proposition est vraie pour une valeur quelconque de k, elle est vraie pour toute autre valeur.

Soit <:o la valeur de k pour laquelle la formule est supposée vérifiée; con- cevons, par exemple, que k^ diminue d'une façon continue, le premier mem- bre de^la relation (1) ne pourra changer que si k passe par une valeur qui donne à-, une valeur entière; dans ce passage, ( , - ) augmentera d'une

K \k/

unité; le second membre ne peut changer que L' l'une ou plusieurs des quantités » acquièrent une valeur entière, et, comme alors y- a aussi une

K K

valeur entière, puisque m est un multiple de d, on voit que la solution de la question consiste à examiner ce qui se passe quand .- est un entier.

ii

Or, quand -, est un entier, il peut se faire qu^un certain nombre d^ ex- pressions de la forme , soient aussi des entiers; supposons-les rangées par

K,

ordre décroissant de grandeur, en sorte qu'elles forment la série

m m^ m, y.

~r» T~» "i"» •••i 7»

k k k k

^ désignant la plus petite de ces fractions (il est clair d*ailleurs que y.

K

peut être égal à m).

Cela posé, ^ est nécessairement premier avec p. ; car, si a désignait un h

(A

diviseur commun, ^ et î seraient des nombres entiers et v- ne serait pas

Ct K K

le dernier terme de la série. Il n'en est pas de même relativement aux termes précédents 5 en effet, si l'on pose ^== e, y. et é étant premiers entre

(

eUx, on en déduit -r- désignant un quelconque des termes qui précè-

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, {A , m' m'e , é e . , , . e . dent - ) e == -7-== —» dou —7==—; et, comme la fraction — estir-

k] k y. m u. y.

réductible, on en conclut que e' et m' sont respectivement des multiples de e et de m et ont par conséquent un facteur commun.

2. Voyons maintenant quels changements subit le second membre quand -.- prend une valeur entière.

(

Les différentes expressions telles que m', - , ) ne changent pas de va- leur; la série des nombres non supérieurs à -.- renferme en plus, il est

K

vrai, le nombre e'; mais, comme il n'est pas premier avec m', la somme n'est pas changée; l'expression (^, ^ J seule change, et augmente précisé- ment d'une unité, puisque u. et v, sont premiers entre eux.

K

La proposition est donc vraie, si elle est vraie pour une valeur quelconque de k , et comme elle l'est évidemment pour une valeur de k supérieure à m, puisque les deux termes de la relation (1) se réduisent à zéro, elle est démontrée.

5. Je veux maintenant tirer de la relation m==s®(rf), que j'ai rappelée au commencement de cette note, et dont je viens de donner une nouvelle démonstration indépendante de la formule qui exprime y(»n) au moyen de ses facteurs premiers (*), une démonstration de cette formule elle-même.

M. Dedekind (Théorie des nombres de DIBICHLET, p. 594) a, il est vrai, donné un théorème remarquable qui permet de résoudre cette question.

Ce théorème s'énonce ainsi qu'il suit : « 7(?i) désignant un nombre égal à 0, si n est divisible par un carre, dans le cas contraire, égal à zh 1 sui- vant que le nombre des facteurs de n est pair ou impair, si deux fonctions f(m) et y(m) sont liées par la relation suivante

(2) /•(m)^s^(^,

op, dans le second membre, la sommation s'étend à tous les diviseurs du nombre entier m, on a réciproquement

(5) ^^sxÇ?)^),

la sommation s'étendant également à tous les diviseurs de m. r

De la formule (5), on déduit facilement l'expression connue de y (m), (*) On connaît d'autres démonstrations indépendantes également de cette formule ; voir, notamment^ OIRICHLET, Théorie des nombres, p. 25.

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mais il est à remarquer que la démonstration de cette formule indiquée par M.Dedekind s'appuie précisément sur cette expression; pour éviter un cercle vicieux, il faudrait donc établir directement la relation (5), ce qui serait du reste facile en développant les considérations qui suivent.

4. Pour obtenir l'expression de ^(m), je considérerai une série de la forme

Soit

Wr^+A2)^+^)^+....

e(^)a;+6(^k2);ï²-^-ô(3)a;⁵4- ...

son développement effectué suivant les puissances croissantes de x ; il est clair que les coefficients d'une des séries déterminent ceux de l'autre, en

particulier on a évidemment

ô(m)===2/^),

la sommation s'étendant à tous les diviseurs du nombre entier m.

Supposons en particulier la fonction f tellement choisie que, m étant décomposé en facteurs premiers, en sorte que m === a^b^c'f..., on ait f^^^a9-) /'(^3).... La fonction f reste do reste arbitraire; ainsi/^cr) et f(ar/') peuvent n'avoir aucune relation entre elles, si a et a sont différents ; il en est de même de f(av•) et /'(^a), si les facteurs a et b ne sont pas les mêmes.

Cela posé, dans ces hypothèses, les différents diviseurs du nombre m^-a»^... étant les différents termes du produit

( l 4 - a + . . . 4 - aa'- l) ( ^ + ^ 4 - . . . + ^ ~l) . . . , il est clair que l'on aura

(4) 6 ( m ) = [ l + / ( a ) + . . . + ^^a-^l) ] l l + W + • • • + ^³-^l) ] . . . . 5. Cette formule offre un grand nombre d'applications.

Supposons, par exemple, que Fon ait f(a) --= f(b) = = . . . = = — 1 , et /W) ^ f(b^) ==...== 0, pour toutes les valeurs de a supérieures à l'unité.

On déduira évidemment de la formule (4), pour toute valeur de m supérieure à l'unité, e(m)==0; on a d'ailleurs ô (!)==!, et il est facile de voir que f ( m ) = = ^ ( m ) , A désignant la même fonction numérique dont j'ai parlé ci- dessus (n° 5) (*); on a donc l'expression suivante, due à Mœbius (loc. cit.} :

^ ^ x' x' -4- -JK(L-+

(

)

=i^~i~^^^=^~~i--x

•}--^

''''

(*) Cette remarquable fonction numérique, qui se préscn'c clans la formule de M. Dcdc- kind a aussi été étudiée par Mœbius (Sur un nouveau mode de réversion des séries; CRELLE, t IX) et par M. Tchebichef (Note sur différentes séries ; LIOUVILLÏ, 1" série, t. XVI).

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6. Supposons maintenant que Fon fasse, n désignant un entier quelconque, e(a)=ô(&)==...=-4,6(a")==e(^)==...=l, 6(a»+i)==ô(&"+i)=:...=-l, en sorte que 0 (a") soit, quel que soit le facteur a, égal à + i si n est divi- sible par n, égal à —1 si n est congru à + 1 suivant le module n, et dans tous les autres cas égal à zéro.

De la formule (4) il résulte que Q(m) est nul, à moins que m ne soit une puissance n^ exacte, auquel cas ô ( w ) = = l ; d'ailleurs f (m) est toujours égal à —-1, 0 ou +1 ; on déduit de là que, quel que soit l'entier n, la série

x -+- a;²" + x^ + x^ + ...

peut se mettre sous la forme

x xi ^ x*

T~=~x '

r^ + ^ î-Tïs

* rr^

—

les coefficients s étant toujours égaux à —1, 0 ou + 4 , et se déterminant d'ailleurs facilement d'après ce qui précède.

Pour n ==- 2, on a en particulier la formule suivante, donnée par M. Liou- ville (Journal de math., 2e série, t. 11^,

(G) ^+^+^+...=-^-^-^+^.

7. Pour revenir à l'objet principal de cette note, je ferai remarquer que, de la propriété fondamentale de la fonction s

(7) m==2c(rf).

résulte le développement suivant :

(

) ^^T^^^r^^^i^^-'^^

-

^

-

^^---'

Posons maintenant, quel que soit le nombre premier a, /([a")^:^-^—!), il est clair que, d'après la formule (4), on aura

6(m)=a'^^?...==w, et /"(m) ^c^-¹^--¹...(a—!)(&--!).

D'où, en se reportant à la formule (7),

^^^-^^...(flc-lKP-l).

Telle est l'expression que je voulais déduire de la relation (7) (*).

(*) Depuis que cette note a été écrite, j'ai reconnu que la proposition attribuée à M. Dedekind appartenait en réalité à M. Liouville. (Voy. Journal de math., 2« série, t. II, p.110.

Il 6