Se S er rv vi ic ce e d de es s E Ex xa am me en ns s

(1)

(1 pt)

(0,5 pt)

(0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt)

(0,5 pt) (0,5 pt)

(0,75 pt) (0,75 pt) (0, 5 pt) (0, 5 pt) (0, 5 pt) (0, 5 pt) (0, 5 pt) (0, 5 pt) (0, 25 pt) (0, 25 pt) (0, 5 pt)

(0, 5 pt) RéRéppuubblliiqquuee IIslslaammiiqquuee ddee MMaauurriittaanniiee

MiMinniissttèèrree ddee ll’’EEdduuccaattiioonn NNaattiioonnaallee D

Diirreeccttiioonn ddeess EExxaammeennss eett ddee ll’’EEvvaalluuaattiioonn

Se S er rv vi ic ce e d de es s E Ex xa am me en ns s

Ba B ac cc ca al la au ur ré éa at t 2 2 01 0 17 7

Se S es ss si io o n n N No or rm ma al le e

HoHonnnneeuurr –– FFrraatteerrnniittéé –– JJuussttiiccee

E

Exxeerrcciiccee 11 ((44 ppooiinnttss))

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;u, v).

1) a- Soit a un nombre réel, résoudre dans l’ensemble de nombres complexes l’équation d’inconnue z :

((((

¹⁺⁺⁺⁺^{i z}

))))

²⁻⁻⁻⁻^{2 a}

((((

⁺⁺⁺⁺^{1 z}

))))

^{− − +}^{− − +}^{− − +}^{− − +}^{( 1} ^i)(a²^{+ =}^{+ =}^{+ =}^{+ =}¹⁾ ⁰

b- Soient f et g les transformations données par leurs expressions complexes f : z→ = −→ = −→ = −→ = −z ' 1 iz et g : z→→→→z ''= −= −= −= −z i. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations f et g.

Dans le reste de l’exercice on considère les points I, M et ₁ M d’affixes respectives ₂ z₀= −= −= −= −1 i, z1= −= −= −= −1 iaet z₂= −= −= −= −a i où a====e , ⁱ^α^αα^α α∈α∈α∈α∈0, 2ππππ

2) a- Montrer que le triangle IM M est rectangle en I, isocèle et direct. ₁ ₂

b- Préciser les lieux géométriques de chacun des points M et ₁ M lors que ₂ αααα décrit l’intervalle 0, ππππ c- Ecrire z et z sous forme exponentielle pour ₁ ₂ αααα appartenant à l’intervalle 0,

2 ππππ

 

 

 

 .

3) Soit M₃ le point d’affixe z₃ ====i sinα +α +α +α +ia et soit G l’isobarycentre des points M ,₁ M et 2 M ₃ a- Vérifier que _G 1 cos ( 1 2sin )

z i

3 3

+ α − + α

= +

= + puis montrer que, pourα∈α∈α∈α∈0,ππππ, le point Gappartient à une ellipse ΓΓΓΓ dont on donnera une équation.

b- Préciser les sommets et l’excentricité de ΓΓΓΓ puis la construire dans le repère précédent.

EExxeerrccicice e 22 ((66 ppooiinnttss))

ABC est un triangle équilatéral direct de coté 4 cm, et de cercle circonscrit ΓΓΓΓ, les points I, J et K sont les milieux respectifs des segments BC , CA et AB            . On pose A′′′′ ====s (A)._B

1) a- Faire une figure illustrant les données que l’on complétera au fur et à mesure. On prendra (AB) horizontale.

b- Montrer qu’il existe un unique antidéplacement g vérifiant g(B)====A et g(A')====B. Vérifier que g est une symétrie glissante et donner sa forme réduite.

c- Soit r la rotation qui transforme C en B et J en K. Déterminer un angle et le centre de r.

2) Soit s la similitude directe qui transforme A en B et C en I, et on pose h====s r a- Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de s.

b- Soit ΩΩΩΩ le centre de s. Montrer que Ω ∈ ΓΩ ∈ ΓΩ ∈ ΓΩ ∈ Γ et que les points ΩΩΩΩ, A et I sont alignés. Placer alors ΩΩΩΩ. c- Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h.

3) Soit M un point deΓΓΓΓ distinct de ΩΩΩΩ, on pose M '====s(M) et M₁====r(M) a- Montrer que le triangle ΩΩΩΩMM'est rectangle.

b- Montrer que la droite

((((

MM ' passe par un point fixe que l’on déterminera.

))))

c- Montrer que les points M , M et M₁ ′′′′ sont alignés.

4) On pose M₀====A et n∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈ℕℕℕℕ, M_{n 1}₊₊₊₊ ====s(M )_n

a- DéterminerM et construire₁ M . ₂ b)Vérifier que M₂₀₁₇∈ Ω∈ Ω∈ Ω∈ Ω( B) b- Pour tout entier naturel n, on pose L_n ====M M_n _{n 1}₊₊₊₊ et

n

n k

k 0

S L

====

∑ ∑ ∑ ∑

^exprimerS en fonction de n, puis n

déterminer _n

nlim S

→+∞

→+∞ . EExxeerrccicice e 33 ((55 ppooiinnttss))

Pour tout entier naturel n on définit la fonction f sur _n ℝℝℝℝ par :

nx

n x

f (x) e

−−−−

==== −−−−

++++ et soit (C ) sa courbe _n SéSérriieess :: CC && TTMMGGMM EEpprreeuuvvee:: MMaatthhéémmaattiiqquueess

D

Duurrééee:: 44 hheeuurreess CCooeeffffiicciieennttss:: 99 && 66

(2)

Ecoles Privées Elmaarif et Erraja Sujets corrigés de Maths 7C Sujet 2017N Corrigé par Horma O. Hamoud 32 (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt) (0,25 pt) (0,25 pt) (0,5 pt)

(0,75 pt) (0, 5 pt)

(0,5 pt) (0,5 pt) (0,25 pt)

(0, 75 pt)

(0, 25 pt) (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt)

(0,5 pt) (0,25 pt)

(0,5 pt) (0,5 pt)

(0,25 pt) (0,5 pt) représentative dans un repère orthonormé (O;i, j).

1) Montrer que toutes les courbes (C ) passent par un point fixe à déterminer. _n 2) a- Dresser le tableau de variation de f . ₀

b- On considère les points M et N de la courbe (C )₀ d’abscisses respectives x et −−−−x. Déterminer les coordonnées de A , milieu de MN  , que représente A pour (C ) ? ₀

3) a- Montrer que les courbes (C )₀ et (C ) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. ₁ b- Déduire le tableau de variation de f ₁

c- Construire (C )₀ et (C ) dans le même repère. ₁ 4) On suppose que n est strictement supérieur à 1.

a- Montrer que _n

xlim f (x) 0

→+∞

→+∞ ==== et _n

xlim f (x)

→−∞→−∞

→−∞→−∞ = +∞= +∞= +∞= +∞ puis calculer ⁿ

x

f (x)

lim^→−∞^→−∞^→−∞^→−∞ x . Interpréter.

b- Calculer f_n′′′′ et dresser le tableau de variation de f . _n 5) Soit (u ) la suite définie par : _n _n ¹ _n

u ====

∫∫∫∫

0f (x)dx, n∈∈∈∈^ℕ^ℕ^ℕ^ℕ

a- Justifier l’existence de (u ) puis vérifier que _n ⁰ 1 e u ln

2 ++++

 

====  

 

b- Vérifier que u₀++++u₁====1 et que

n

n 1 n

u u 1 e

n

−−−−

++++ ++++ ==== −−−− puis déduire u et ₁ u ₂ c- Montrer que (u ) est convergente et calculer sa limite. _n

E

Exxeerrccicice e 44 ((55 ppooiinnttss))

Soit f la fonction définie sur 0; +∞+∞+∞+∞par : ln x₂ f (x)

==== x 1) a- Dresser le tableau de variation de f.

b- Déduire que pour tout entier n ≥ 6, l’équation 1 f (x)

====n admet dans l’intervalle 1, e 

 

  une seule solution notée a _n

c- Prouver que la suite (a ) est décroissante, en déduire qu’elle converge. _n

2) a- Montrer que pour tout entier k strictement supérieur à 1, on a :

(((( ))))

^{k 1}

2 k 2 2

ln k 1 ln x lnk

(k 1) x dx k

++++ ++++

≤ ≤

++++

∫∫∫∫

b- Utiliser une intégration par parties pour exprimer en fonction de n l’intégrale : ⁿ ₂

2

ln xdx

∫∫∫∫

x ^{, n}^≥≥≥≥²^. 3) Pour tout entier n supérieur strictement à 1, on pose : _n ln 2₂ ln 3₂ ln 4₂ ln n₂

S ....

2 3 4 n

= + + + +

a- Montrer que

(((( ))))

ⁿ

(((( ))))

n 2 2 2 n 2

ln 2 ln x ln n

S dx S

(2) x (n)

− ≤ ≤ −

− ≤

∫∫∫∫

≤ −

b- En déduire que : 1 ln 2 n (n 1)ln(n)₂ _n 2 3ln 2 1 ln(n)

2 n S 4 n

+ + − + +

++ + −+ − ++ ++

+ −−−− + − ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ + −−−− +

4) Pour tout entier naturel n non nul, on pose : ⁿ

(((( ))))

^{k 1}

n k 1

u ln 2

k !

−−−−

====

∑ ∑ ∑ ∑

^et n 1² 2 ⁿ

1 (ln x)

I dx

n! x

====

∫∫∫∫

a- Montrer que :

(((( ))))

ⁿ

n

n 0 I ln 2

n!

∀ ∈ ∗∗∗∗ ≤ ≤

∀ ∈ ≤ ≤

∀ ∈ℕℕℕℕ ≤ ≤ En déduire la limite de In

b- Montrer que :

(((( ))))

^{n 1}

n 1 n

1 ln 2

n , I I

2 (n 1)!

++++

∗∗∗∗ ++++

∀ ∈ = −

ℕ ++++

ℕ ℕℕ

c- En déduire que :

(((( ))))

²

(((( ))))

ⁿ

n

ln 2 ln 2

1 1 ln 2

n I ....

2 2 1! 2! n!

∗∗∗∗  

 

 

 

∀ ∈ = − + +

 

 

 

 

 

ℕ ℕ ℕ ℕ

d- Exprimer (u ) en fonction de_n I . En déduire la limite de _n (u ) . _n Fin.

(3)

Corrigé

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; u, v).

1) a- Soit a un nombre réel, résolvons dans l’ensemble de nombres complexes l’équation d’inconnue z :

((((

¹⁺⁺⁺⁺^{i z}

))))

²⁻⁻⁻⁻^{2 a}

((((

⁺⁺⁺⁺^{1 z}

))))

^{− − +}^{− − +}^{− − +}^{− − +}^{( 1} ^i)(a²^{+ =}^{+ =}^{+ =}^{+ =}¹⁾ ⁰

(((( ))))

2(a 1) 2(a 1)i a ai 1 i

z a i

2(1 i) 1 i

+ + − + + −

= = = −

+ +

++ ++

+ +

2

2(a 1) 2(a 1)i a ai 1 i

z 1 ai

2(1 i) 1 i

+ − − − + +

= = = −

+ +

{{{{ }}}}

S==== a−−−−i,1−−−−ia

b- Soient f et g les transformations données par leurs expressions complexes f : z֏֏֏֏z '= −= −= −= −1 iz et g : z֏֏֏֏z ''= −= −= −= −z i. Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations f et g.

f (z)= − += − += − += − +iz 1 comme − =− =− =− =i 1et i− ∉− ∉− ∉− ∉ℝℝℝℝ

Alors f est une rotation d’angle ^{arg( i)}^{− = −}^{− = −}^{− = −}^{− = −}₂^ππππ

[[[[ ]]]]

²^π^π^π^π et de centre le point ΩΩΩΩ d’affixe

1 1 1 1

1 ( i)====1 i = −= −= −= −2 2i

− − +

− − + ^{. Donc}

1 1 2; 2

 

Ω −

ΩΩ −− Ω − 

 

  g(z)= −= −= −= −z i

g est la translation de vecteur d’affixe

(((( ))))

⁻⁻⁻⁻ⁱ .C’est à dire le vecteur 0 1

 

 

−−−− 

 

2) Les points I, M₁et M₂sont d’affixes respectives z₀ = −= −= −= −1 i, z₁= −= −= −= −1 iaet z₂ = −= −= −= −a i où a====e , i^αα^α^α α∈α∈α∈α∈0, 2ππππ

a) On a

(((( ))))

2

1

I M i2

I M

z z 1 i a i 1 a 1

i e

z z 1 i 1 ia i 1 a i

−−−− ==== − − +− − +− − +− − + ==== −−−− = − = == − = == − = == − = = ππππ

− − − + − +

Donc IM₁ ====IM₂ et

((((

^{IM , IM}¹ ²

))))

⁼⁼⁼⁼ ₂^ππππ

^{[[[[ ]]]]}

²^π^π^π^π

Alors le triangle IM M est rectangle en I, isocèle et direct. ₁ ₂

b) Pour déterminer le lieu géométrique du point M₁ lorsque ^α^αα^α décrit l’intervalle 0,ππππ on constate que z₁ = −= −= −= −1 ia z₁ 1 ieⁱ eⁱ⁽ ²⁾

α−ππππ α−

α−

α α−

ααα

⇒

⇒⇒

⇒ − = −− = −− = −− = − ==== Alors

(((( )))) [[[[ ]]]]

1

z 1 1

arg z 1 2

2

 − =− =− =− =

 − = α −− = α −− = α −− = α − ππππ ππππ



Soit A le point d’affixe z_A ====1 . Alors

(((( )))) ^{[[[[ ]]]]}

1

AM 1

u, AM 2

2

====



 = α −= α −= α −= α −ππππ ππππ



Donc M appartient au cercle de centre A et de rayon 1. ₁

π π π

< α < π ⇔ − < α − <

< α < π ⇔ − < α − < ^{− <}^{− <}^{− <}^{− <}^π^π^π^π

(((( ))))

^<^<^<^< ^π^π^π^π

(4)

Donc lorsque αααα décrit l’intervalle 0,ππππ , M₁ décrit le demi- cercle (C ) de centre A et de rayon 1, ₁ situé à droite de la droite d’équation x====1 d’extrémités exclues.

Pour le point M₂ :

i

2 2 2

z = − ⇔= − ⇔= − ⇔= − ⇔a i z + = ⇔+ = ⇔+ = ⇔+ = ⇔i a z + =+ =+ =+ =i e^α^αα^α . Alors

(((( ))))

2 2

z i 1

arg z i

 + =+ =+ =+ =



+ = α + = α + = α + = α

 . Soit B le point d’affixe z_B = −= −= −= −i . Alors

((((

² ²

)))) ^{[[[[ ]]]]}

BM 1

u, BM 2

 ====

 = α= α= α= α ππππ



M appartient au cercle de centre B et de rayon. 2

D’autre part, lorsque _α_αα_α décrit l’intervalle 0,ππππ , on a ⁰^<^<^<^<

((((

^{u, BM}²

))))

^{< π}^{< π}^{< π}^{< π}

^{[[[[ ]]]]}

²^π^π^π^π .

Alors M₂ décrit le demi- cercle (C ) de centre B et ₂ de rayon 1, situé au dessus de la droite d’équation

y = −= −= −= −1 d’extrémités exclues.

c) Pour écrire z et z₁ ₂sous forme exponentielle, on procède à des modifications d’écriture :

Pour αααα appartenant à l’intervalle 0, 2 ππππ

 

 

 

 

 

 

 

 

i i

i i0 2 2 4

1 1

z 1 ia z 1 ie e e 2 cos e

2 4

π α π

ππ α πα π

π α π

   

α−α−α−α−   −−−− 

   

α αα

α   α πα πα πα π  

= −

= − ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − ==== ++++ ====  −−−− 

 

.

Le module de z₁ est 2 cos

2 4 α π α π α π α π

 

 −−−− 

 

 

  ^.Son argument dépend du signe de 2cos

 

 −−−− 

 

 

 ^: Lorsque αααα décrit l’intervalle 0,

2 ππππ

 

 

 

 

 

 

 

  , on a alors 0

2 4 α π α π α π

< α π<

< <

< < et

4 2 4 0 π α π π α π π α π π α π

− < − <

− < − <− < − <

− < − < . D’où cos 0 2 4 α π α π α π α π

 

− >

−− >>

− >

 

 

Donc z₁ 2 cos

2 4 α π α πα π α π

 

 

 

= −

=  − 

 

 

 ^et^{arg z}¹ ^{= −}^{= −}^{= −}^{= −}^{α π}^{α π}^{α π}^{α π}₂ ₄

[[[[ ]]]]

²^π^π^π^π

D’où la forme exponentielle de z₁est :

i 2 4

z1 2 cos e

2 4

α π α π α π α π

 

 −−−− 

 

 

 

 

 

= −

=  − 

 

 

 

i i

i2 i 4 2 2 4

z2 i a e e 2 cos e 2cos e

4 2 2 4

π α α π

π απ α α πα π

π α α π

   

ππππ − +− +− +− + −−−−

−−−− αααα  π απ απ απ α   α πα πα πα π  

= − + = + = − − = +

= − + = + = − −  =  + 

   

   

   

Le module de z₂ est 2 cos

 

 ++++ 

 

 

  ^.Son argument dépend du signe de 2cos

 

 ++++ 

 

 

 ^: Lorsque αααα décrit l’intervalle 0,

2 ππππ

 

 

 

 

 

 

 

  , on a alors 0

2 4 α π α π α π

< α π<

< <

< < et

4 2 4 2

π α π π π α π π π α π π

π α π π< + << + << + << + < ^{. D’où}cos 0 2 4 α π α π α π α π

 

 

 

+ >

 

 

 

 

 

 

(5)

Donc z₂ 2 cos

 

= +

== ++

=  + 

 

 ^et^{arg z}² ^{= −}^{= −}^{= −}^{= −}^{α π}^{α π}^{α π}^{α π}₂ ₄

[[[[ ]]]]

²^π^π^π^π

D’où la forme exponentielle de z₂est :

i 2 4

z2 2 cos e

2 4

 

−−−−

 

 

α πα π α πα π

 

= +

=  + 

 

3) Soit M₃ le point d’affixe z₃====i sinα +α +α +α +ia

a) Le point G est l’isobarycentre des points M ,₁ M₂et M₃.On a alors :

1 2 3

G

z z z

z 3

+ + + + + + + +

====

G

1 ia a i i sin ia

z 3

− + − + α +

− + − +− + − + α +α +

− + − + α +

====

G

1 a i i sin

z 3

+ − + α + − + α + − + α + − + α

====

G

1 cos i sin i i sin

z 3

+ α + α − + α ++ α +α + α − +α − + αα + α + α − + α

====

G

1 cos ( 1 2 sin )

z i

3 3

+ α − + α

= +

En posant z_G = += += += +x iyon a alors :

1 cos ( 1 2sin )

G(x, y) x iy i

3 3

+ α − + α

⇒⇒⇒

⇒ + =+ =+ =+ = ++++

1 cos

x 3

1 2 sin

y 3

+ α

++ αα

+ α

 ====



⇒

⇒⇒ 

− + α

− +− + αα

− + α

 ====



1 1

x cos

3 3

1 2

y sin

3 3

 − =− =− =− = αααα



⇒

⇒⇒

⇒ 

 + =+ =+ =+ = αααα



x 1

3 cos 1

3 y 1

3 sin 2

3

 −−−−

 ==== αααα



⇒

⇒

⇒⇒ 

 ++++

 ==== αααα





2

2 2

2

2 2

x 1

3 cos

1 3 y 1

3 sin

2 3

  

  −−−− 

 

 ==== αααα

     

     

  

⇒

⇒⇒ 

 

 ++++ 

 

 ==== αααα

     

     

 

  

(6)

2 2

1 1

x y

3 3

1

1 2

3 3

   

− +

   

   

⇒⇒⇒

⇒ ++++ ====

   

   

   

Alors G appartient à l’ellipse d’équation

2 2

1 1

x y

3 3

1

1 2

3 3

   

   

   

− +

   

   

   

   

   

  ++++  ====

   

   

   

dans le repère (O;u, v).

b) Le centre de _ΓΓΓΓ est le point 1 1 3; 3

 

Ω −

ΩΩ −− Ω − 

 

 ^. Dans le repère ( ; i , j)ΩΩΩΩ :

L’équation réduite de l’ellipse _ΓΓΓΓest

2 2

X Y

1

1 2

3 3

+ =

   

     

   

   

     

   

   

     

   

; avec X x 1

3 Y y 1

3

 = −= −= −= −



 = += += += +



Les sommets de _ΓΓΓΓ sont : A ¹;0 , A ¹;0 , B 0;² , B 0; ²

3 3 3 3

       

′ ′

′′ ′′

′ −−−− ′ −−−−

       

       

        .

Alors dans le repère (O; i , j), les sommets de ΓΓΓΓ ont pour coordonnées :

2 1 1 1 1 1

A ; , A 0; , B ; , B ; 1

3 3 3 3 3 3

       

       

       

′ ′

− − −

−− −− −−

− − −

       

       

       

       

       

        .

Pour calculer l’excentricité on a c

e==== b^avec c==== b² −−−−a² ^, 1

a==== 3^et 2 b==== 3^.

Donc

2 2

2 1 3 1 3

c 3 3 9 3 3

   

= − = = =

=      −     = = =

   

    ^{. D’où}

3

c 3 3

e b 2 2

3

= = =

Exercice 2 1.a) Figure

ABC est un triangle équilatéral direct de coté 4 cm, et de cercle circonscrit _ΓΓΓΓ, les points I, J et K sont les milieux respectifs des segmentsBC , CA et AB           .

A′′′′ ====s (A).B

b) Comme A′′′′ ====s (A)_B , B est le milieu de ^^^^^^^^^{AA′′′′}^^^^^^^^. Donc BA′′′′ ====AB≠≠≠≠0 . Alors il existe un unique antidéplacement g vérifiant g(B)====A et g(A')====B. Les médiatrices des segments

[[[[ ]]]] [[[[

^{BA et A B}^′′′′

]]]]

^sont

différentes. Alors l’antidéplacement g est une symétrie glissante.

On peut aussi remarquer que ^{g g A}

(((( ))))

^′^′^′^′ ^{= ≠}^{= ≠}^{= ≠}^{= ≠}^A ^A^′^′^′^′^ce

qui montre que g n’est pas une réflexion. Donc g est une symétrie glissante.

(7)

Pour la forme réduite de g :

L’axe passe par les milieux des segments

[[[[ ]]]] [[[[

^{BA et A B}^′′′′

]]]]

^car^g(B)⁼⁼⁼⁼^A^et^g(A')⁼⁼⁼⁼^B. Alors c’est la droite (AB).

Le vecteur u

vérifie 2u ====A A′′′′

car ^{g g A}

(((( ))))

^{′′′′ ====}^A^{. Alors}^u ⁼⁼⁼⁼^BA. D’où la forme réduite de g :

AB AB

BA BA

g====tS ====S t c) La rotation r est telle que :

r

C B

J K

→

→→

→

. Alors

Une mesure de l’angle de r est : ^{θ =}^{θ =}^{θ =}^{θ =}

((((

^{CJ, BK}

)))) ((((

⁼⁼⁼⁼ ^{CA, BA}

)))) ((((

⁼⁼⁼⁼ ^{AC, AB}

))))

^{= −}^{= −}^{= −}^{= −}^ππππ₃

^{[[[[ ]]]]}

²^π^π^π^π

Le centre de r est le point A intersection des droites (CJ) et (BK) car les médiatrices des segments

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

CB et JK sont confondues.

2) La similitude directe s est telle que :

s

A B

C I

²^π^π^π^π ^car^Ω^Ω^Ω^Ω^{, A, B, C} sont cocycliques ^{= − =}^{= − =}^{= − =}^{= − =}^{π π}^{π π}^{π π}^{π π}₃ ₃ ⁰

[[[[ ]]]]

²^π^π^π^π ^car^s(C)⁼⁼⁼⁼^I

Donc les points ΩΩΩΩ, A et I sont alignés .

c) La somme des angles de s et r est nulle et -

3 3

π π

 

 

 

 . Donc la composée h====s r est une homothétie de rapport 1

2 , (même rapport de s).

Pour déterminer le centre de h , on a ^{h A}

(((( ))))

⁼⁼⁼⁼^{s r A}

(((( )))) (((( ))))

⁼⁼⁼⁼^{s A} ⁼⁼⁼⁼^B

et 1

A B A A

′ 2 ′

′ ′

′ ==== ′

ce qui prouve que A′′′′est le centre de h Donc h est l’homothétie de centre A′′′′ et de rapport1

2^.

3) Soit M un point de_ΓΓΓΓ distinct de ΩΩΩΩ, on pose M '====s(M) et M₁ ====r(M) a) Pour montrer que le triangle ΩΩΩΩMM'est rectangle :

(8)

Méthode 1 : On a

(((( )))) ^{[[[[ ]]]]}

M 1

M 2

s(M) M

M, M 2

3

′′′′

ΩΩ ΩΩ

 ====

ΩΩΩΩ

==== ′′′′⇒⇒ ⇒⇒

 ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ′′′′ ==== ππππ ππππ



et ^cos

((((

^Ω^Ω^Ω^Ω^{M, M}^Ω^Ω^Ω^Ω ^′′′′

))))

⁼⁼⁼⁼^cos^ππππ₃ ⁼⁼⁼⁼ ¹₂

(((( ))))

^M

cos M, M

M Ω ′′′′

Ω Ω

′′′′ Ω

Ω Ω =

Ω ΩΩ Ω

Par conséquent le triangle ΩΩΩΩMM′′′′ est rectangle en M′′′′. Autre méthode :

On peut appliquer la relation d’Alkashi dans le triangle ΩΩΩΩMM′′′′^:

2 2 2

MM M M 2 M M cos

3

′ ′ ′ ππππ

′ ′ ′

′ = Ω= Ω= Ω= Ω + Ω+ Ω+ Ω+ Ω ′ − Ω × Ω− Ω × Ω− Ω × Ω− Ω × Ω ′

2 1 2 1 1 3 2

M M 2 M M M

4 2 2 4

= Ω + Ω − Ω × Ω × = Ω

Alors ² ² 3 ² 1 ² ²

MM M M M M

passe par B : On a

((((

^{MB, MM}^′^′^′^′

)))) ((((

⁼⁼⁼⁼ ^{MB, M}^{Ω +}^{Ω +}^{Ω +}^{Ω +}

)))) ((((

^{M , MM}^Ω^Ω^Ω^Ω ^′^′^′^′

)))) ^{[[[[ ]]]]}

))))

^{= −}^{= −}^{= −}^{= −}₆^ππππ

^{[[[[ ]]]]}

²^π^π^π^π

Donc

((((

^{MB, MM}^′^′^′^′

)))) ((((

⁼⁼⁼⁼ ^{AB, A}^{Ω +}^{Ω +}^{Ω +}^{Ω +}

)))) ((((

^{M , MM}^Ω^Ω^Ω^Ω ^′^′^′^′

)))) ^{[[[[ ]]]]}

²^π^π^π^π

⁼⁼⁼⁼ ^{MM , MA}¹

)))) ((((

⁺⁺⁺⁺ ^{MA, MM}^′^′^′^′

)))) ^{[[[[ ]]]]}

^π^π^π^π

⁼⁼⁼⁼

((((

^{MM , MA}¹

)))) ((((

⁺⁺⁺⁺ ^{MA, MB}

)))) ^{[[[[ ]]]]}

^π^π^π^π ^car^B^∈^∈^∈^∈

⁽⁽⁽⁽

^MM^′′′′

⁾⁾⁾⁾

⁼⁼⁼⁼

((((

^{MM , MA}¹

)))) ((((

⁺⁺⁺⁺ ^CA,CB

)))) ^{[[[[ ]]]]}

^π^π^π^π

[[[[ ]]]]

3 3 0 π π π π π π

= − + =π π π

= − + = π

= − + = π Donc les points M , M et M′′′′₁ sont alignés . 4.a) On pose M₀ ====A et n∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈ℕℕℕℕ, M_{n 1}₊₊₊₊ ====s(M )_n On a ^M¹ ⁼⁼⁼⁼^{s M}

(((( ))))

⁰ ⁼⁼⁼⁼^s(A)⁼⁼⁼⁼^B_alors

M1 ====B - ^M² ⁼⁼⁼⁼^{s M}

(((( )))) (((( ))))

¹ ⁼⁼⁼⁼^{s B} ^.