1`ere S 11 DST 8 23 mai 2015 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : D´eriv´ees de fonction (10 minutes) (4 points) D´eterminer les d´eriv´ees des fonctions suivantes :
1. f(x) = (2x+ 3) 1 +x1
2. h(x) = 9+x52−5 3. h(x) = 9+x52−5
Exercice 2 : ´Etude d’une fonction (15 minutes) (5 points) Soitf d´efinie sur sur un intervalleI par :f(x) = (x−1)√
x x+ 1
1. Sur quel intervalle I est d´efinief? Sur quel intervalle est-elle d´erivable ? 2. Montrer quef0(x) = x2+ 4x−1
2√
x(x+ 1)2.
3. D´eterminer le tableau de variations def surI.
4. Quelle est l’´equation r´eduite de la tangente de f en 1 ?
Exercice 3 : Courbes (10 minutes) (2 points)
On donne ci-dessous les courbesC1,C2 etC3 repr´esentant trois fonctions d´efinies et d´erivables surR, ainsi que Γ1, Γ2 et Γ3 repr´esentant leur d´eriv´ee.
−2. −1. 1. 2.
−3
−2.
−1.
1.
0 C3
C1
C2
−2. −1. 1. 2.
−2.
−1.
1.
2.
Γ2
Γ1
Γ3
Associer en justifiant, les courbes par binˆome.
Dans la suite de ce DS, (O;~i;~j) est un rep`ere orthonorm´e du plan.
Exercice 4 : R.O.C (10 minutes) (5 points)
Soient~u xy
et~v xy00
deux vecteurs du plan
1. Rappeler la formule du produit scalaire ~u·~v avec les normes.
2. D´eduire de cette formule la formule avec les coordonn´ees.
Exercice 5 : Calcul d’un angle (5 minutes) (2 points)
On consid`ere trois points R(−1;−2), S(5;−4) etT(3; 6).
1. Calculer −→
RS·−→
RT,RS et RT.
2. En d´eduire une mesure deSRT[ en degr´es arrondie `a 0,01 pr`es.
1`ere S 11 DST 8, Page 2 sur 2 2014-2015 Exercice 6 : ´Equations de droites remarquables d’un triangle (15 minutes) (5 points)
Soient les pointsA(2; 3), B(−1; 4) et C(4;−1).
Donner une ´equation cart´esienne des droites suivantes : 1. La m´ediatrice de [AB].
2. La hauteur issue de B.
3. La tangente en C au cercle de diam`etre [BC]
Exercice 7 : ´Etude de deux cercles (15 minutes) (5 points) Soient les pointsA(4; 2), B(−2; 3).
1. D´eterminer l’ensemble Γ1 des pointsM(x;y) v´erifiants l’´equation :x2+y2−8x−4y+ 16 = 0.
2. D´eterminer une ´equation du cercle Γ2 de diam`etre [AB].
3. Les Cercles Gamma1 et Gamme2 sont-ils s´ecants ? Si oui en quels points ?
Exercice 8 : Probl`eme : D´eterminer un point (20 minutes) (8 points) On consid`ere le rectangle ABCD tel que AB= 4
et AD = 3 ci-contre avec E ∈ [CB] tel que EC= 1.
On cherche `a d´eterminer o`u placer le point F de [CD] tel que (DE) et (AF) soient perpendicu- laires.
Pour cela, nous allons utiliser deux m´ethodes, l’une analytique, l’autre g´eom´etrique.
A B
C D
E F
Partie A : M´ethode analytique
1. Donner les coordonn´ees deA, D etE dans le rep`ere
A;14−−→ AB;13−−→
AD
.
2. Soit F(x;y). Donner une condition sur y pour queF appartiennent bien `a (CD).
3. Justifier que (DE)⊥(AF)⇔
(y = 3 4x−3 = 0
4. En d´eduire o`u placer F sur [CD] pour que (DE) et (AF) soient perpendiculaires.
Partie B : M´ethode g´eom´etrique 1. Montrer que
−−→
DC+−−→ CE
·−−→ AD+−−→
DF
= 4DF−3.
2. En d´eduire que le pointF de [CD] tel que (DE) et (AF) soient perpendiculaires v´erifieDF = 34.
Exercice 9 : Question ouverte (15 minutes) (4 points)
ABCDest un carr´e . Pour tout pointM de [AB], on construit le triangle ´equilat´eral AM N.
Existe-t-il un pointM tel que les vecteurs−−→
N C et
−−→N D soient orthogonaux ? Si oui, d´eterminer tous les pointsM possibles.
A B
C D
M N
