Complexes+Arithmétique

Classe de terminale S Année scolaire 2006-2007 DEVOIR SURVEILLE N° 1 ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE

EXERCICE 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct( ; ; )o u vG G

. On rappelle que pour tout vecteur wG non nul, d’affixe z, on a : z = wG

et arg( )z =( ; )u wG G

défini à 2kπ près (k un entier relatif).

Dans cet exercice, on prend comme pré requis le résultat suivant :

Si et z z' sont deux nombres complexes non nuls, alorsarg(zz')=arg( )z +arg( ') (2 )z π . 1) Soient M, N et P trois points du plan d’affixes respectives m, n et p tels que m≠n et m≠ p a) Démontrer que arg p m ( , )

MN MP n m

⎛ − ⎞ =

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

JJJJG JJJG

(à 2kπ près).

b) Interpréter géométriquement ^{p m} n m

−

− .

2) Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixes z tels que :

a) arg ² (2 )

1 2

z

iz⁺ π π

⎛ ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

b) ² 1

1 z iz

+ = +

EXERCICE 2

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (o ;uGvG

, ).On considère les points A et B d’affixes respectives i et -i . Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z distinct de−i associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

i z

z z '=1++i .

1) Quelle est l’image par l’application f du point O ?

2) Quel est le point qui a pour image par l’application f le point C d’affixe 1 + i ? 3) Montrer que l’équation z

i z

z i

1 =

++ admet deux solutions que l’on déterminera.

4) Vérifier que

i z

i z z i( )

'= +− . En déduire : ' AM

OM = BM et ( , ' ) ( , ) 2k

uG OMJJJJJG = MBJJJG MAJJJG + π2 π

+ avec k∈].

5) Montrer que tous les points de l’axe des abscisses ont leurs images par l’application f situés sur un même cercle (C) que l’on précisera.

6) Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et B. Montrer que son image M’ est situé sur l’axe des abscisses.

Classe de terminale S Année scolaire 2006-2007

EXERCICE 3

On considère la fonction f définie sur IR par : ^{( ) 1}

(

2

x

)

f x = x+ −x e . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

1) a) Déterminer les limites de f en −∞ et en+∞. b) Montrer que la droite ∆ d’équation

2

y= x est asymptote à C.

Etudier la position de ∆ par rapport à C

2) Montrer que f est dérivable sur IR et calculer f '( )x .

3) Soit g la fonction définie sur IR par : g x( )= + −1 (1 2 )x e^2x. a) Etudier le sens de variation deg.

b) Montrer que l’équation g x( )=0 possède une solution unique α dans l’intervalle

[ ]

Déterminer une valeur approchée de α à 10^-2 près.

c) Déterminer le signe de g x( ) suivant les valeurs de x.

4) a) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

b) Tracer la courbe C et son asymptote. (Unité graphique 2 cm)

EXERCICE 4 Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

1) Démontrer par récurrence que, quels que soient les entiers naturels a, b et n, aⁿ−bⁿ est divisible par a b− .

2) Déduisez-en que pour tout entier naturel n pair,.2ⁿ−1 est divisible par 3.

3) Montrez alors que, pour tout n ≥ 1,

2

2 1

3

2 2

n n

A

+

+ +

=

Partie B

Le but de cet exercice est de prouver que, pour tout entier naturel n, l’entier est un multiple de 19.

6 2

2

N =

+ 3

1) Vérifier cette affirmation pour n = 0.

2) Vérifier que 2⁶ ≡1(mod9). En déduire que, pour n∈], il existe un entier naturel k tel que : 2⁶ⁿ =9k+1.

3) A l’aide de congruences, déterminer le reste de la division euclidienne de 2¹⁸ par 19.

4) En utilisant les questions 3) et 4) prouver l’affirmation précédente pour tout n.