Prérequis à TP 4 et TP 5

!

1.

Avant l’avènement de l’informatique, la plupart des mesures physiques se faisaient par lecture sur un cadran (galvanomètre, comparateur, vernier) ou éventuellement par l’interprétation d’une courbe sur un oscilloscope ou sur un enregistreur graphique). La tendance actuelle dans le domaine de l’instrumentation est de préférer utiliser des signaux numériques plus faciles à manier, à stocker et à exploiter en temps réel. L’incomparable souplesse des systèmes d’acquisition et de traitement dont l’architecture apparaît figure 1, leur assure un avenir universel.

2. Acquisition 2.1.1 capteurs

De technologie extrêmement variée, le capteur transforme une grandeur physique y(t) en tension électrique U(y) de façon généralement proportionnelle

Principaux capteurs utilisés en TP - microphone (pression acoustique)

- accéléromètre et capteur de force piézo- électriques (vibrations)

- capteur inductif et à courant de Foucault (déplacements relatifs)

- jauges extensométriques (déformations contraintes, forces)

- capteur opto-électronique (phototransistors, photorésistances, photodiodes, capteurs CCD)

- capteur chimique (pH, conductivité) Caractéristiques essentielles

- limites d’utilisation (seuil et grandeur maxi)

- sensibilité (mV/unité physique), linéarité, dérive

- temps de réponse: il est lié à l’inertie mécanique ou thermique ainsi qu’à l’amortissement

-influence perturbatrice sur l’objet mesuré (par exemple: masse d’un accéléromètre par rapport à la masse vibrante)

2.1.2 Exemples de capteurs

2.1.2.a Microphone à condensateur ou

“condenser microphone”

La pression acoustique p(t) fait varier la distance e entre l’armature rigide et la fine membrane métallique, ce qui entraine une variation DC de la capacité du condensateur, et par suite une variation DU dans le circuit électronique associé.

"

"

(fig. 2.1): Microphone à condensateur 2.1.2.b Accéléromètre piézo-électrique

Le boitier (B) est collé sur la structure (S). Celle-ci vibre verticalement avec l’accélération g(t) par rapport à un repère Galiléen. La masse (M) exerce sur le disque piézo (D) une réaction inertielle -Mg . Entre les deux faces métalliques de (D) apparaît une tension électrique U proportionnelle, soit

"

Prérequis à TP 4 et TP 5

ΔU(t) = K. p (t)

membrane métallique

armature

trou pour égalisation de pression statique

boîtier U+∆U(t)

isolant e

U(t ) = K .m.γ(t)

"

(fig. 2.2): Accéléromètre piézo 2.1.2.c Jauge extensométrique

Un fil conducteur replié n fois est collé sur un support soumis à déformation dans le sens privilégiant la sensibilité.

Sa résistance électrique est donnée par:

où r est la résistivité du fil, et s sa section

La variation de résistance dR est liée de façon linéaire à l’allongement de la jauge " selon:

" "

(fig. 2.3) : Jauge extensométrique

2.2 conditionneur

Il s’agit de l’électronique associée au capteur. Elle comprend:

- l’alimentation du capteur (si celui ci n’est pas du type générateur)

- l’adaptation d’impédance - l’amplification

- un limiteur de sortie (pour protéger le convertisseur)

- un ou plusieurs filtres (passe bas, passe haut, intégrateur)

2.3 liaison électrique

La liaison électrique doit suivre quelques règles essentielles:

- utiliser des câbles blindés (protection contre les parasites)

- éviter les boucles de masse en reliant un seul point à la masse

- placer le préampli le plus près possible du capteur - éviter la proximité de courants forts (transfos, …).

2.4 convertisseur analogique- numérique (C.A.N.)

Le rôle du convertisseur est de représenter la tension U(t) par une suite de nombres (en code binaire) correspondant à la valeur de U(t) aux instants t=0;

t=Dt; t=2 Dt; …; t = N Dt.

La conversion s’effectue à intervalles de temps Dt régulièrement espacés, en comparant la tension à mesurer à celle élaborée par le convertisseur à partir d’un code numérique.

• principe:

Aux instants t = 0, t = Dt, t = 2 Dt, ..., t =N Dt, U(t) est approximée par la valeur " la plus proche ("

est pris parmi les 2b entiers constituant le mot) et mis en mémoire. La suite des N entiers binaires "

constitue une acquisition.

R = n ρ s

δ δ R

R = K δ

direction active

δ

k

ΔU ki

ki

• notation & représentation

"

(fig. 3): Echantillonnage et numérisation du signal U(t): fonction continue donnée par le capteur

analogique

Dt: incrément de temps

N: nombre d’échantillons (de préférence une puissance entière de 2)

T: durée totale d’une acquisition = N.Dt U₂-U₁: étendue de mesure

DU: incrément de tension

b: nombre de bits du convertisseur

Matériellement le convertisseur se présente sous forme de cartes à insérer dans les “slots d’extension” d’un micro-ordinateur (par exemple:

carte CANDIBUS). Certaines technologies utilisent l’interface RS 232 ou IEE 488. Parfois, le C.A.N. est

directement intégré au système de mesure (c’est le cas de l’analyseur bicanal du TP n°5).

Les caractéristiques principales d’un C.A.N sont : - son étendue de mesure, sa résolution en tension, sa résolution temporelle, le nombre de voies.

a) étendue de mesure [ U_min, U_max ]

- c’est l’intervalle U_min, U_max entre les tensions mini et maxi assimilables.

b) résolution en tension DU

Chaque valeur de tension est représentée par un nombre à b bits, défini par le nombre de bits du convertisseur. L’étendue de mesure [ U_min, U_max ] est donc subdivisée en n=2b intervalles égaux. La

résolution est donc donnée par "

.

Par exemple pour la carte CANDI : U_max - U_min = 10 V et b = 12. D’où DU = 2,5 mV. Par rapport à l’étendue de mesure, ceci équivaut à une erreur

relative " , soit 0,025 %.

c) résolution temporelle Dt mini

L’incrément de temps Dt séparant 2 mesures (ou période d’échantillonnage) est évidemment réglable par l’utilisateur. Il le choisit en fonction de la rapidité de variation de la grandeur y(t). Il est évident qu’il existe un Dt mini lié à la technologie de la conversion. (Par exemple, Dt=50ms pour la carte CANDI, Dt=15ms pour l’analyseur bicanal B&K) .

- on appelle fréquence d’échantillonnage f_e = 1/Dt .

Théorème de Shannon :

Il faut impérativement respecter la condition

où f_max est la fréquence maximale contenue dans le signal U(t) à numériser

Il est donc nécessaire d’insérer un filtre passe-bas à l’entrée du convertisseur ou bien de choisir f_e suffisament élevée pour que le capteur lui même joue ce rôle.

t [s]

ΔU U [V]

U(t)

Δt

T

ΔU =U2–U1

2^b

ΔU = U

– U

2

ΔU

U

– U

=

f

> 2 f

1

0

- 1 S

i g n a l ( U . A

) 0 0.4 0.8 1.2 1.6

temps (s)

Acquisition de la réponse impulsionnelle

d) nombre de voies

Il correspond au nombre de signaux (capteurs) à enregistrer.

On appelle

- échantillonnage multiplexé le fait d’acquérir les voies avec un décalage temporel entre celles-ci (5µs pour la carte CANDI)

- échantillonnage simultané le fait d’acquérir toutes les voies au même instant ( montage parallèle à hautes performances)

2.5 logiciel de commande et de traitement

Il permet de gérer les paramètres de l’acquisition, de l’affichage, du traitement, du stockage, des sorties.

Concrètement, ces paramètres sont affichés dans des fenêtres à menus déroulants et modifiables par curseurs et entrées alphanumériques. Pour éviter de recommencer à chaque mesure, ces configurations sont mises en mémoire et rappelées par blocs.

a) Paramètres de mesure:

- voies actives, (CH. A et CH. B en bas à gauche)

- calibre sur chaque voie avec suivant l’appareil, possibilité d’ajustage automatique,

- mode de déclenchement ou trigger (niveau, sens, manuel/auto, avec/sans)

- durée d’acquisition T (ou bien incrément Dt et nombre de mesures N puisque les 3 grandeurs sont liées par T = N . Dt ); ce réglage est crucial pour une éventuelle analyse fréquentielle et sera traité par la suite.

- fenêtre = weighting = pondération.

- nombre d’acquisitions: chaque acquisition est constituée de N mesures. Pour des phénomènes impulsionnels ou transitoires, on réalise une seule acquisition. Pour des phénomènes répétitifs quasi périodiques ou bien franchement aléatoires mais à caractère permanent, il peut être envisagé d’accumuler un certain nombre d’acquisitions dans la mémoire tampon, puis de les moyenner avant ou après traitement, ou au fur et à mesure de leur arrivée.

b) Paramètres d’affichage

Ils sont réglables indépendamment des paramètres de mesure. Ceci confère une infinie souplesse aux systèmes de mesure. Les affichages les plus intéressants se font après traitement. En plus du

choix des fonctions et des échelles, on dispose souvent d’un zoom et de pointeurs pour les deux coordonnées.

c) Archivage

Réalisé sur disquette ou disque dur; sortie sur imprimante ou traceur.

3. Traitement

C’est l’ensemble des calculs qu’on est amené à effectuer sur les valeurs échantillonnées de l’acquisition pour en tirer une interprétation pertinente.

3.1 menu Calcul du logiciel “labo” sur PC muni de la carte CANDI

a) “addition - soustraction - multiplication - division”

Ces opérations élémentaires s’effectuent point par point entre deux courbes “sources” C₁ et C2 et placent le résultat dans une courbe “destination” C₃.

NB : Les deux courbes “origines” doivent avoir le même nombre de points et le même intervalle d’échantillonnage Dt.

b) “racine - logarithme”, “formules”

Intéressant pour linéariser ou obtenir des échelles en décibel

c) lissage

Utilise le concept des moindres carrés pour faire passer au mieux une courbe algébrique au voisinage des points expérimentaux. On en distingue plusieurs types

• lissage polynomial

Le problème est le suivant: nous possédons n couples " de valeurs expérimentales qui paraissent liées par une loi linéaire du type

" . Il s’agit de calculer les valeurs de a et b

qui définissent la “meilleure” droite, ou plus précisément de déterminer les valeurs de a et b qui minimisent l’expression S

(moindres carrés)

(x

, y

)

y = ax + b

S(a,b) =

Σ

a x

+ b – y

a et b sont donc donnés par le système

" , et " ,

soit

" e t

"

On en déduit les valeurs de a et b

Remarque: lorsque la loi supposée n’est pas de la forme " , on peut parfois s’y ramener par un changement de variable. En particulier, si

" , on se ramène à la forme précédente en

posant " . De même, si " ,

on peut poser " .

Le lissage polynômial est à utiliser :

- seulement si la courbe est monotone - si la courbe est supposée rectiligne alors utiliser une régression linéaire. Dans tous les cas, les coefficients du polynome sont affichés.

• lissage de Bézier

- c’est un lissage polynomial adaptatif (ici des groupes de huit points) ce qui donne une allure plus lisse aux courbes fortement bruitées.

d) intégrale et dérivée

Il s’agit d’intégrale définie et non pas de primitive (par contre l’analyseur bicanal du TP N°5 sait calculer des primitives ce qui permet de passer directement de l’accélération à la vitesse et au déplacement).

Exemple de calcul d’intégrale définie

L’intervalle [a,b] est divisé en n parties égales.

P o s o n s " e t

" .

Supposons que les valeurs de f(x) soient connues pour tous les " de l’intervalle [a,b];

L’approximation de l’intégrale " est alors

Cette approximation est d’autant meilleure que n est grand, ou, ce qui revient au même, que le pas h est petit.

e) F.F.T :

Fast Fourier Transformation, le but est d’obtenir le contenu fréquentiel du signal. Une version à caractère pédagogique est disponible sur

“LABO”. Ce traitement est la base et la raison d’être des analyseurs multivoies.

3 .2 transformations de Fourier

3.2.1 Buts

a) obtenir le contenu fréquentiel d’un signal vibratoire. Ceci permet souvent de trouver les causes et ensuite les remèdes.,

b) déterminer expérimentalement des fonctions de transfert.

3.2.2 principes du calcul

On rappelle ci-après les formules des séries de Fourier. Elles concernent un signal périodique de période T.

Pour les signaux périodiques, on effectue une décomposition en série de Fourier. Si U(t) est périodique de période T, alors U(t) peut être représentée par

∂ S

∂ a = 0 ∂S

∂b = 0 x

a x

+ b – y

= 0

i

Σ

a x

+ b – y

= 0

i

Σ

a = n

Σ

x

y

^–

Σ

^x

Σ

^y

n

Σ

x

^–

Σ

^x

b =

Σ

y

Σ

^x

^–

Σ

^x

Σ

^x

^y

n

Σ

x

^–

Σ

^x

y= a x + b

y(x ) = A e

y

(x ) = ln y ( x) y( x ) = A x + B u = 1 x

h = b – a n

x

= a + i h (i = 0, ..., n +1)

x

f ( x ) dx

a b

I

= h

2 f (a) + f (b) + 2

Σ

f ( x

)

U(t) =a₀+a₁cosωt+a₂cos 2ωt+ ... +a_ncosnωt+ ...

+b₁sinωt+b₂sin 2ωt+ ... +b_nsinnωt+ ...

avec:

  composante continue

 coef. du (n-1)ième harmonique en cosinus

   coef. du (n-1)^ième harmonique en sinus

     amplitude du (n-1)^ième harmonique

  phase du (n-1)^ième harmonique

3.2.3 conséquences incontournables

a) la fréquence du fondamental est " . La première harmonique notée h₁, et d’amplitude se situe à la fréquence 2f₀, la seconde à la fréquence 3f₀, etc… Donc l’incrément de fréquence, qui est aussi la résolution en fréquence, est . D’où la représentation des coefficients a_n et b_n par des segments verticaux.

" = partie réelle du spectre (coefficients

des cosinus)

" = partie imaginaire du spectre

(coefficients des sinus)

b) Les coefficients a_n et b_n sont calculés aux fréquences 2f₀, 3f₀, …, Nf₀, jusqu’à l’ordre N. En réalité, ils n’ont de signification physique que jusqu’à l’ordre N/2 à cause du théorème de Shannon.

D’où la limite supérieure en fréquence: " . De là, la nécessité d’installer un filtre passe bas

" appelé aussi filtre anti-repliement.

3.2.4 algorithme F.F.T

Le calcul peut être abrégé en tenant compte des symétries des fonctions sinus et cosinus. Ceci est exploité dans l’algorithme proposé par Coley &

Tuckey et qui porte le nom de Fast Fourier Transformation. Il est cependant nécessaire que N soit une puissance de 2 pour utiliser cet algorithme.

Si U(t) est convenablement traduit par N échantillons pris à des intervalles de temps égaux Dt, pendant une durée totale T= N.Dt, les relations précédentes restent valables pourvu que T soit suffisamment grand pour être représentatif du phénomène analysé. On calculera alors les coefficients a_n et b_n par la méthode des trapèzes et on ira jusqu’à l’harmonique d’ordre " .

On définit alors les grandeurs suivantes:

partie réelle du spectre de U(t) partie imaginaire du spectre de U(t)

spectre de l’amplitude au carré

spectre des phases diagramme de Nyquist.

Analytiquement, ceci se généralise à des fonctions quelconques en faisant tendre T vers l’infini (accessoirement on introduit une notation complexe)

Concrètement on prend " = durée de l’acquisition. Elle doit être grande par rapport aux détails de la fonction U(t) à traiter. A cette fausse période, on applique les formules des séries de Fourier sous forme discrétisée.

3.2.5 fenêtres

Des phénomènes indésirables apparaissent par suite de la limitation temporelle du signal. En effet, s’il s’agit d’un signal permanent, on introduit artificiellement des discontinuités qui n’existent pas dans le signal réel. Ceci fait apparaître des harmoniques artificiels. On remédie à cet inconvénient en rendant progressives l’ouverture et la fermeture temporelles. Pratiquement, le signal échantillonné est

ω = 2π f= 2 π T a

= 1 T U(t) dt

0 T

a

= 2 T U(t) cos nωt dt

0 T

b

= 2 T U(t ) sin nωt dt

0 T

c

= a

+ b

φ

= Arctan b

a

f

= 1 / T a

+ b

Δf = 1 / T

a

= a(f) b

= b(f)

f

= N.Δf 2 f < f

N 2– 1

a

= a(f

) b

= b(f

)

c

= a

+ b

φ

= arctan b

a

b

= f a

T = N.Δt

multiplié par une fonction de pondération Z(t) appelée fenêtre.

a) Fenêtre rectangulaire

L’observation temporelle du signal se fait à travers une ouverture suivant une loi rectangulaire.

"

La fenêtre rectangulaire convient parfaitement pour des signaux impulsionnels et les réponses transitoires (si T est supérieur à la durée significative du signal).

"

(fig. 4a) : Acquisition d’un signal sinusoïdal à travers une fenêtre rectangulaire

Ici, la largeur T de la fenêtre d’acquisition temporelle est de 2s. Le signal est sinusoïdal de fréquence 4Hz.

Le spectre correspondant présente des raies parasites autour de la fréquence 4Hz ; celles-ci sont dues à la forme rectangulaire de la fenêtre d’acquisition.

"

(fig. 4.b ) : Spectre du signal

b) Fenêtre de Hanning

"

Elle convient pour des signaux permanents .

"

(fig. 5.A) : Acquisition d’un signal sinusoïdal à travers une fenêtre de Hanning

Z( t) = 1, t ∈ [0,T]

0, t ∉ [0,T]

-1.5 -1 -0.5 0 0 . 5 1 1 . 5

signal

0 1 2 3 4

temps (s)

Data #3

signal

Z( t) =

1 + cos 2 π ( t – T /2)

T , t ∈ [0,T ]

0, t ∉ [0,T]

"

(fig. 5.B): Spectre du signal (fenêtre de Hanning) Cette fenêtre a pour effet de réduire l’influence des

raies parasites

c) Fenêtre de Haming, Ka Er-Bessel, Blackmann

Se reporter à la bibliographie 4.

3.2.6 fonctions calculées et intérêt a) définitions et commentaires

• fonctions

L’étude des signaux générés par des oscillations nécessitent en général l’observation simultannée de 2 signaux x(t), y(t) ; dans des cas simples, les observations permettent la détermination de la période, de la pseudo-période et du coefficient d’amortissement.

Les appareils (oscillos, carte d’acquisition) possèdent en général au moins 2 voies (voie A, voie B) permettant de visualiser ou d’enregistrer simultanément x(t) ; y(t) .

Le traitement qui est fait en temps réel ou à posteriori permet de déterminer les coefficients de Fourier a(w) ; b(w) concernant de la fonction x(t).

• spectre linéaire en partie réelle et partie imaginaire

" : spectre instantané de x(t)

" : spectre instantané de y(t)

est le conjugué de S_x

Les passages par zéro et les maxis et minis sont souvent mieux définis que sur les spectres d’amplitude, d’où une meilleure précision sur les fréquences de résonance et d’antirésonance.

• spectre de puissance = autospectre de x(t) donné par

" .

Donne le contenu énergétique du signal. Il est aussi utilisé pour mesurer les bandes passantes à -3 dB qui donnent ensuite l’amortissement.

• Interspectre de x(t) et y(t)

"

• fonction de transfert "

" : fonction de transfert de x

vers y

Caractérise complètement le comportement fréquentiel d’un système, c’est-à-dire de la sortie y(t) en fonction de l’entrée x(t). La détermination de la fonction de transfert est souvent le but de toute investigation expérimentale.

• cohérence "

"

Si " alors " calculé est fiable

Si " , l’essai est trop pertubé par le bruit

parasite.

• autocorrélation

" : autocorrélation de x(t)

Permet de déceler une éventuelle périodicité dans le bruit.

• intercorrélation

" : intercorrélation de x(t) avec y(t)

(" : transformée de Fourier inverse )

L’intercorrélation ermet de déceler un degré de resemblance entre 2 signaux x et y, par retard de y sur x. Le signal d’intercorrélation est souvent utilisé pour réaliser des mesures de vitesse.

0 10 20 30 40

TF

0 4 8 12 16

Fréquence (Hz)

TF

S

(jω) = a + j b S

(jω) = a + j b S

(jω) = a – j b

c

= G

( ω ) = a

+ b

G

(jω) = S

(jω) * S

(jω) H( ω) j H

(jω) = S

(jω)

S

(jω) = G

G

γ 2 γ

= G

G

G

γ 2 ∼ 1 H( ω) j

γ

<

R

(τ ) = F

G

R

(τ ) = F

G

F

3.3 affichages et exploitation

Utiliser de manière optimale les possibilités de changement d’échelle, recadrage, zoom, curseurs.

3.3.1 exemples d’exploitation par logiciel “labo” sur PC

Voir annexe.

3.3.2 intérêt des échelles log

A utiliser chaque fois que la dynamique est importante (par exemple, lorsque maxi/mini > 20).

• en ordonnée, il est courant d’utiliser les décibels (dB), c’est-à-dire d’exprimer G tel que:

, y_ref étant à spécifier explicitement.

• en abscisse, l’échelle linéaire est naturelle dans une analyse par Fourier. Les harmoniques sont régulièrement espacés. Sur l’appareil bicanal, on peut cependant utiliser une échelle logarithmique pour les fréquences. On se conforme ainsi aux notations de l’acoustique (bande 1/3 d’octave régulièrement espacées).

3.3.3 diagramme de Bode

La fonction de transfert est représentée avec une échelle des fréquences logarithmique (soit par décade, soit par octave). L’échelles des ordonnées est en dB. On visualise bien :

- résonances et antirésonances - bande passante à -3 dB

- comportement asymptotique (pente en dB/

octave)

3.3.4 diagrammes spéciaux

- Nyquist: on représente a en fonction de b pour une fonction de transfert H s’exprimant par

"

- Nichols: on représente le module Mag de H(jw) en

fonction de f avec " , et "

- Cepstre: c’est le spectre du spectre dont l’intérêt réside dans le fait de déceler la présence d’harmoniques.

7. Exemple d’application de la F.F.T.

• Acquisition de la réponse impulsionnelle y(t)

"

(fig. 6.a ): Dispositif expérimental

!

(fig. 6.b): Allure temporelle du signal

!

(fig. 6.c): Parties imaginaire de la fonction de transfert correspondante

et évolution de la phase de la fonction de transfert avec la

fréquence

G

= 20 log y y

H(jω) = a + j b

Mag = a

+ b

φ = a tan b a

M = 1 kg

K Kʼ

y(t) Brève impulsion verticale Accéléromètre

Vers interface du PC

1

0

- 1 S

i g n a l ( U . A

) 0 0.4 0.8 1.2 1.6

temps (s)

Acquisition de la réponse impulsionnelle

2

1

0

- 1

- 2 P

h a s e ( r a d i a n s )

20 15 10 5 0

fréquence (Hz) T.F de la réponse impulsionnelle, phase

(fig. 6.d): Spectre des amplitudes. On peut déterminer les valeurs de K et K’

par la mesure de la largeur de bande à - 3 dB.

!

8. BIBLIOGRAPHIE (références Bibliothèque INSA)

1 - Capteurs

Asch Les capteurs en instrumentation industrielle, Dunod H5 ASC

• Ichinose Guide pratique des capteurs, Masson

D5b - ICH

• FerretitMesure et contrôle industriel

H5 - FER

• Avril Encyclopédie d’analyse des contraintes

2 - Numérisation du signal

• Tran Tien Lang Systèmes de mesure informatisés, Masson

G1K - TRA

3 - Calcul numérique

• Menetrier Informatique et sciences physiques, Lavoisier

C5 - MEN

• Nowakowski, Méthodes de calcul numérique

B10C - NOW

4 - Analyse fréquentielle numérique analogique

• Randall (Bruel & Kjaer) Frequency analysis D7b - BRU

5 - Utilisation pratique de l’analyse fréquentielle

• Bourgain Machines tournantes et circuits pulsés, Dunod D8c - BOU

• Morel Vibrations des machines & diagnostic de leur état mécanique, Eyrolles

D7b - MOR

0 5 1 0 1 5 2 0

Module

0 2 3 5 6 8 9 1 1 121416 171920 2223 Fréquence (Hz)

Data #1

Module