148 – Formes quadratiques réelles. E&A.
« Ca, c’est le plan affine, celui de votre enfance, que vous aviez dans votre bac à sable. »
Le plan :
I) Définitions, propriétés.
Forme quadratique réelle, « dévissage ». Présentation des correspondances biunivoques entre forme quadratique, forme bilinéaire symétrique, polynôme homogène de degré 2, et l’application de E dans E*. Norme euclidienne, Cauchy-Schwarz et cas d’égalité. Lien avec les codages matriciels d’application linéaire et de forme bilinéaire. Représentation matricielle de q(x) et de φ(x,y). Isotropie, orthogonalité. Propriétés. Exemples.
II) Classification et simplification.
Réduction de Gauss en somme de carrés. (Bien détailler l’algo). Indice d’une forme
quadratique réelle, dimension des setim. Loi d’inertie de Sylvester. Classification des formes quadratiques réelles, point de vue action de groupes. (Bien avoir introduit la notion de formes quadratiques équivalentes). Application : classification des coniques du plan. Lemme de Morse, lemme de Schwarz. Interprétation de la signature, lien avec la réduction.
III) Groupe orthogonal d’une forme quadratique.
Définition, notation. Cas euclidien. Cas général. Décomposition de O(p,q). Grâce à la décomposition polaire. Application : topologie de O(p,q). Quelques résultats rigolos : isomorphismes exceptionnels concernant la composante connexe de l’identité de O(p,q).
Les développements :
A29 : Décomposition de O(p,q)
B13 : Lemme de Morse à deux variables La bibliographie :
[Szp]-[Per]-[Ser]-[Rou]-[Go1]
