Polytech Marseille année 2020-2021 Département Informatique
3
eannée
Méthodes Numériques
Feuille 3
Un compte rendu du travail réalisé est demandé. Sont attendus, les réponses aux questions posées, le code des programmes, un ensemble bien choisi de résultats et une analyse de ceux-ci.
L’objectif de la feuille est d’illustrer la résolution de systèmes linéaires.
Résolution du système A.X= B par la méthode Gauss avec pivot partiel
On fera un programme principal qui lira les données et appellera la fonction de résolution du système. L’affichage des résultats sera géré par le programme principal. On pourra mettre le second membre (ou les seconds membres) en colonnes supplémentaires de la matrice A. On pourra, ce qui est classique, faire la décomposition de Gauss sur la matrice elle-même, ce qui revient à perdre les valeurs de la matrice A et du second membre.
Pour chaque système, on lira :
• l’ordre du système (la donnée n)
• le nombre de second membre. On pourra prendre comme convention que la valeur –1 est rentrée quand on veut calculer la matrice A-1 (les n seconds membres correspondent alors à la matrice I).
• les coefficients de la matrice A
• les coefficients du second membre B
• la précision pour déterminer si la matrice est inversible ou non On affichera :
• le ou les vecteurs X
• le déterminant de la matrice A
Pour vérifier les résultats du programme, on peut choisir un second membre qui vérifie :
Pourquoi ? On analysera soigneusement l’ensemble des résultats obtenus. Un certain nombre d’exemples complets sont proposés et seront traités. D’autres exemples peuvent être étudiés en plus.
€
bi = aij
j=1 n
∑
, i=1,...,nQuelques matrices et/ou systèmes 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) On étudiera, en faisant varier n, les matrices (inversibles) de Hilbert :
Cet exemple est à mettre en relation avec les exemples 5, 6 et 7. Il faut aussi essayer de grandes valeurs de n.
€
1 2 3 4 5 6 7 8 9
"
#
$
$ $
%
&
' ' '
€
3 −1 1
−2 2 −3
1 3 −2
#
$
%
% %
&
' ( ( (
2 4
1 2
−1 −2
#
$
%
% %
&
' ( ( ( =
4 8 1 2 7 14
#
$
%
% %
&
' (
( ( det=14
€
3 −1 1
−2 2 −3
1 3 −2
#
$
%
% %
&
' ( ( (
−1
=
0.357 0.071 0.071
−0.5 −0.5 0.5
−0.571 −0.714 0.286
#
$
%
% %
&
' (
( ( det=14
€
10 7 8 7
7 5 6 5
8 6 10 9 7 5 9 10
"
#
$
$
$
$
%
&
' ' ' '
1 6 1.5 −4
1 −7.2 0.180 9.2
1 2.9 1.19 −0.9 1 −0.1 0.89 2.1
"
#
$
$
$
$
%
&
' ' ' '
=
32 32.1 32.01 31.9 23 22.9 22.99 23.1 33 32.9 32.99 33.1 31 31.1 31.01 30.9
"
#
$
$
$
$
%
&
' ' ' '
det=0.999987
1 0.5
0.5 0.33
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
−1
= 4.125 −6.25
−6.25 12.5
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ det=0.08
€
1 0.5 0.333
0.5 0.333 0.25 0.333 0.25 0.2
"
#
$
$ $
%
&
' ' '
−1
=
9.671 −39.508 33.283
−39.508 210.185 −196.951
33.283 −196.951 195.771
"
#
$
$ $
%
&
'
' ' det = 4.24 10-4
€
1. 0.5 0.333333
0.5 0.333333 0.25
0.333333 0.25 0.2
"
#
$
$ $
%
&
' ' '
−1
=
9.001 −36.003 30.003
−36.003 192.017 −180.016
30.003 −180.016 180.015
"
#
$
$ $
%
&
' ' '
det=4.63 10−4
€
Hn=
