Université Joseph Fourier L3/MAP360
TP 10
Exercice 1. 1. Écrire une fonctionestim.thetaqui prend en entrée deux entiers n etN et une valeur réelle positive theta. La fonction :
– Tire une matrice àN lignes et n colonnes, de valeurs indépendantes, suivant la loi uniforme sur [0, θ]. Chacune des lignes est interprétée comme un échantillon (X1, . . . , Xn) de la loi uniforme sur [0, θ].
– Elle calcule avec une boucle et pour chacune desN lignes les valeurs prises par les estimateurs suivants
T1 = n2(X1+· · ·+Xn) T2 =n3(X12+· · ·+Xn2)1/2 T3 =n4(X13+· · ·+Xn3)1/3 T4 =2n3 (X11/2+· · ·+Xn1/2)2 T5 = 4X(bn
4c)
T6 = 2X(bn2c)
T7 = 43X(b3n
4c)
T8 = max{X1, . . . , Xn} T9 = n+1n maxX1, . . . , Xn
– Proposer un code sans boucle de la question précédente.
– Elle affiche sur un même graphique les diagrammes en boîte (fonctionboxplot) des 9 vecteurs de taille N des estimations.
– Elle calcule et retourne dans un vecteur de taille 9 l’erreur quadratique moyenne des 9 estimateurs.
2. Utiliser la fonction estim.thetapour proposer un classement des 9 estimateurs
Pour un échantillonX1, . . . , Xn de grande taille, un intervalle de confiance bilatéral de niveau 1−α de la moyenne empirique ¯Xn est donné via l’approximation normale par
[ ¯Xn−u1−α/2
√ S02
n−1; ¯Xn+u1−α/2
√ S02 n−1
oùS02est l’estimateur de la variance corrigée fournie par la fonctionvarde R, etu1−α/2
est le quantile d’ordre1−α/2 de la loi normale centrée réduite.
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Exercice 2.Écrire et tester une fonction confint.bernoulli. Elle prend en entrée deux entiersN et n, une valeur de pdans ]0,1[, et un niveau de confiance.
1. Elle tire N échantillons de taille n de la loi de Bernoulli de paramètre p.
2. Elle calcule les N intervalles de confiance bilatéraux pour p, basés sur l’approxi- mation normale.
3. Elle représente graphiquement les intervalles par des segments horizontaux bleus superposés, et la vraie valeur du paramètrep par un trait rouge vertical.
4. Elle retourne la proportion des intervalles qui contiennent la vraie valeur du paramètre.
Exercice 3.Écrire et tester une fonctionconfint.exponentielle. Elle prend en entrée deux entiersN et n, une valeur de λ et un niveau de confiance.
1. Elle tire N échantillons de taille n de la loi exponentielle de paramètre λ.
2. Elle calcule les N intervalles de confiance bilatéraux pour λ, basés sur l’approxi- mation normale.
3. Elle représente graphiquement les intervalles par des segments horizontaux bleus superposés, et la vraie valeur du paramètreλ par un trait rouge vertical.
4. Elle retourne la proportion des intervalles qui contiennent la vraie valeur du paramètre.
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