TS spé Généralités sur les matrices
Définition 1
Soitp un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Unvecteur ligne de dimension p est une ligne dep nombres.
Exemple :
(12 10 14) est le vecteur-ligne de dimension 3 représentant les notes d’un élève en mathématiques au premier trimestre (12), au deuxième trimestre (10) et au troisième trimestre (14).
Observer la notation d’un vecteur-ligne avec des parenthèses.
Définition 2
Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Unvecteur colonne de dimension nest une colonne den nombres.
Exemple : 12 13
est le vecteur-colonne de dimension 2 représentant les notes d’un élève du premier trimestre en mathématiques (12) et en économie (13).
Observer la notation d’un vecteur-colonne avec des parenthèses.
Définition 3
Unematrice A de dimensionn´p ou de format (n,p) est un tableau de nombres, àn lignes etp colonnes, appelés lescoefficients (ou les termes) de la matrice.
Le coefficient situé à l’intersection de lai-ième ligne et de laj-ième colonne se note ai j, . (« C’est juste pour se repérer dans un tableau »).
On utilise une double indexation.
Observer que l’on indique d’abord le nombre de lignes puis ensuite le nombre de colonnes.
Observer que pourai j, , on indique le numéro de la ligne puis le numéro de la colonne.
Remarque :
Unvecteur-ligne de dimensionp est une matrice de format (1,p).
Unvecteur-colonne de dimensionnest une matrice de format (n, 1).
Exemple :
La matrice de dimension 2´ 3 ci-dessous représente les notes d’un élève en mathématiques et en économie obtenues aux trois trimestres :
Tri.1 Tri.2 Tri.3
mathématiques économie
12 10 14 A 13 9 11
Le coefficient a1, 2 est égal à 10 ; il représente la note de mathématiques du 2e trimestre.
Le coefficient a2,1 est égal à 13 ; il représente la note d’économie du 1er trimestre.
Observer l’écriture d’une matrice avec des parenthèses.
Les calculs ou le langage Python utilise des crochets.
En langage Python, une matrice est une liste de listes (chaque liste est un vecteur ligne, noté avec des crochets).
Vocabulaire :
On parle des lignes et des colonnes de la matrice.
Les coefficients de la matrice peuvent être positifs ou négatifs.
Définition 4
Unematrice carrée d’ordre n est une matrice ayant le même nombrende lignes que de colonnes.
Exemple :
1,1 1, 2
2, 1 2, 2
A a a
a a
est une matrice carrée d’ordre 2.
Vocabulaire :
On peut avoir des matrices carrées de n’importe quel ordre.
Lorsqu’une matrice n’a pas le même nombre de lignes que de colonnes, on parle dematrice rectangulaire.
Définition 5
Lamatrice identité d’ordre n, notée In, est la matrice carrée d’ordren dont tous les coefficients situés à l’intersection de lai-ième ligne et de lai-ième colonne sont égaux à 1 et dont tous les autres coefficients sont égaux à 0 (on dit que tous les coefficients situés sur la diagonale principale sont égaux à 1 et que les autres sont égaux à 0).
1 0 0
I 0
0 0 0 1
n
Exemple :
La matrice identité d’ordre 3 est 3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
.
Définition 6
Unematrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont égaux à 0.
La matrice nulle de format (n,p) peut se noter0n p, . Définition 7
Lamatrice opposée d’une matrice A de format (n,p) est la matrice notée – A, de format (n,p), dont tous les coefficients sont égaux aux opposés des coefficients de la matrice A situés à la même place.
Exemple : 3 1 5
A 0 4 2
3 1 5
A 0 4 2
Définition 8
Lamatrice transposée d’une matrice A de format (n,p) est la matrice notée At de format (p,n) dont les lignes sont égales aux colonnes de la matrice A.
La notation At est propre aux matrices.
Exemple : 3 1 5
A 0 4 2
La matrice A est une matrice (2, 3).
La transposée de A est une matrice (3, 2).
3 0 A 1 4
5 2
t
De manière générale, si A est une matrice, alors la transposée de A est la matrice BtA définie par :
, ,
i j j i
b a .
Dire que deux matrices de même format sont égales signifie que les coefficients situés à la même place sont égaux.
Définition 9 [matrice diagonale]
On dit qu’une matrice carrée est unematrice diagonale si tous les coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
Exemples :
La matrice 1 0 0 3
est une matrice diagonale.
La matrice
2 0 0
0 3 0
0 0 1
est une matrice diagonale d’ordre 3
Remarques :
La matrice identité d’ordren est une matrice diagonale particulière.
On notera que les matrices diagonales sont nécessairement des matrices carrées.
Calculatrice Numworks :
Pour aller sur les matrices, on appuie sur la boîte à outils et on descend sur la ligne « matrice ».
Les matrices ne sont pas notées avec des parenthèses mais avec des crochets.
Matrice d’adjacence d’un graphe non orienté
Prenant appui sur la résolution de problème et la modélisation, cette partie a pour objectif d’introduire les notions de graphes et de matrices en soulignant l’intérêt de les appliquer à d’autres disciplines, notamment les sciences économiques et sociales, SVT, la physique-chimie, l’informatique etc.
On s’appuie sur des exemples comme le réseau routier, le réseau électrique, Internet, les réseaux sociaux. Le choix de la représentation dépend du traitement qu’on veut mettre en place : on fait le lien avec la rubrique « algorithmique ».
Définition [graphe non orienté] :
Ungraphe non orienté est un ensemble desommets reliés par des arêtes.
Définition [sommets adjacents] :
On dit que deux sommets sontadjacents pour exprimer qu’ils sont reliés par une arête.
Dans la suite, on s’intéresse seulement aux graphes non orientés ayant un nombre fini de sommets (on parle de graphe fini). Le nombre de sommet du graphe s’appellel’ordre du graphe.
Exemple 1 :
On considère le graphe suivant dont les sommets sont notés A, B, C, D.
Il s’agit d’un graphe fini d’ordre 4 (puisqu’il y a 4 sommets).
A B D C
Pour écrire la matrice M d’adjacence de ce graphe, on prend les sommets dans l’ordre A-B-C-D.
Il s’agit d’une matrice carrée d’ordre 4.
Le coefficientmi j, situé sur la lignei et dans la colonnej est égal à 1 si les sommets correspondant à ces numéros de ligne et de colonne sont reliés par une arête et à 0 sinon.
A B C D
A 0 1 1 1
B 1 0 1 0
M C 1 1 0 1
D 1 0 1 0
On remarque que cette matrice est symétrique c’est-à-dire qu’elle est égale à sa transposée.
2
3 1 2 1
1 2 1 2
M 2 1 3 1
1 2 1 2
3
4 5 5 5
5 2 5 2
M 5 5 4 5
5 2 5 2
4
15 9 14 9
9 10 9 10
M 14 9 15 9
9 10 9 10
5
32 29 33 29 29 18 29 18
M 33 29 32 29
29 18 29 18
Interprétation :
Les coefficients deM2 donnent le nombre de chemins de longueur 2 entre deux sommets du graphe.
Exemples :
· Il y a 3 chemins de longueur 2 entre A et A, à savoir ABA, ACA, ADA (coefficient de la première ligne et de la première colonne deM2).
· Il y a 5 chemins de longueur 3 entre B et C (coefficient de la deuxième ligne et troisième colonne deM ).3 Il est possible de parler de la matrice d’adjacence d’un graphe orienté.
Exemple 2 :
On considère le graphe orienté ci-dessous.
Chaque arête est orientée selon un sens précisé par la flèche.
Il s’agit d’un graphe d’ordre 4.
B
On observe la présence d’une boucle au niveau du sommet D.
En prenant les sommets du graphe dans l’ordre alphabétique, la matrice d’adjacence du graphe est la matrice carrée d’ordre 4 suivante :
A B C
0 1 0 1
0 0 1 0
M 1 0 0 1
0 0 0 1
D A
B C D
La matrice M n’est pas symétrique.
On a la même propriété des puissances que pour un graphe non orienté.
- Un « graphe » est un schéma constitué de points (appelés sommets).
Certains de ces sommets sont reliés entre eux par des segments (appelés arêtes).
- « l’ordre du graphe » est le nombre de sommets.
- Dire que deux sommets sont « adjacents » signifie qu’ils sont reliés par une arête.
A C
D
Définition :
Le « degré » d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.
Propriété [formule de la somme des degrés] :
Dans un graphe non orienté, la somme des degrés des sommets est égale au double du nombre total d’arêtes.
Exemple :
A B D C
Le degré de chaque sommet est A(3), B(2), C(3), D(2).
La somme vaut 3 2 3 2 10 .
Le nombre d’arêtes étant 5, la somme est bien le double du nombre total d’arêtes.
