Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert borné

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Preprint submitted on 21 Nov 2019

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Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert borné

Assia Benabdallah, Matania Ben-Artzi, Yves Dermenjian

To cite this version:

Assia Benabdallah, Matania Ben-Artzi, Yves Dermenjian. Concentration et confinement des fonctions

propres dans un ouvert borné. 2019. �hal-02375041�

Concentration et confinement des fonctions propres dans un ouvert born ´e

Assia Benabdallah

^†

, Matania Ben-Artzi

^‡

& Yves Dermenjian

^†

,

† Aix Marseille Univ, CNRS, Centrale Marseille, I2M, Marseille, France

‡ Hebrew University, Jerusalem, Isra¨el 21 novembre 2019

R´esum´e

Si

ω

et

Ω, ω⊂Ω,

sont deux ouverts born´es de

R²

o`u

Ω := (0, L)×(0, H)

et

ω:= (l₁, l₂)×(a, b),0≤ l₁ < l₂ ≤ L,0 ≤a < b ≤ H

, on v´erifie `a la main qu’il existe une constante

C_ω

telle que

0 < C_ω ≤ R_ω(u) := ^kuk

2 L2 (ω)

kuk²_{L2 (Ω)} <

Vol

(ω)

Vol

(Ω)

pour toute fonction propre

u

du Laplacien-Dirichlet

−∆

sur

Ω.

Comme cette double in´egalit´e est inexacte pour un op´erateur autoadjoint elliptique

A

dont les coefficients ne sont plus constants, on examine ici la possibilit´e de distinguer deux familles de fonctions propres normalis´ees de l’op´erateur

A

:

FG

pour fonctions propres guid´ees et

FN G

pour fonctions propres non guid´ees, telles que -

∀ω⊂Ω,∃Cω>0, u∈ FN G=⇒Rω(u)> Cω,

-

∃ω⊂Ω, ω6=∅,=⇒infu∈F_GRω(u) = 0.

On donne ici, sur deux mod`eles tr`es simples en dimension 2

¹

, une condition suffisante, et parfois n´ecessaire, qui devrait permettre de caract´eriser ces ensembles. Nous prouvons dans certains cas que ces deux compo- santes constituent une partition. Le milieu ´etant stratifi´e, nous pouvons passer de la repr´esentation habi- tuelle du spectre de l’op´erateur

A, i.e.σ(A)⊂R,

`a une repr´esentation en deux dimensions qui permet de comprendre la r´epartition des valeurs propres associ´ees ainsi que d’autres r´esultats reli´es : interpr´etation microlocale, mesure de d´efaut de sous-suites, ...

1 Introduction : objectifs et les trois mod`eles de base

Pour un op´erateur elliptique autoadjoint agissant dans un ouvert Ω born´e ou non, on sait que les variations du ou des coefficients de diffusion de la partie principale, ainsi que des conditions au bord particuli`eres `a la fronti`ere de Ω, cr´eent un ph´enom`ene de concentration de l’´energie. La litt´erature ´etant abondante, nous ne donnerons que quelques exemples,

1. en 1930, Epstein [8] a mis en ´evidence, en milieu non born´e, des ondes guid´ees acoustiques pour une famille de vitesses, chacune ´etant une fonction analytique ne d´ependant que de la coordonn´ee verticale, ce qui a donn´e naissance `a de nombreux travaux. Les applications vont de l’acoustique aux fibres optiques

²

, (cf. [11] ainsi que [13] et sa bibliographie).

1. facilement prolongeable `a des dimensions sup´erieures.

2. Les fibres optiques sont de tr`es bonnes illustrations. La fibre monophase correspond au mod`ele trait´e ici, c’est `a dire deux vitesses avec un cœur d’indice plus grand (donc avec la vitesse la plus petite), est un bon exemple de la concentration de l’´energie dans le cœur.

Cette concentration est d’autant plus grande que le rayon transversal de celui-ci est petit (c’est l’analogue duh0 de ce travail). La difficult´e est de bien placer la source face au cœur, ce qui am`ene souvent `a lui pr´ef´erer la fibre multiphas´ee (trait´ee plus tard) qui a d’autres ennuis car il faut espacer les pulses dans le temps.

2. le syst`eme de l’´elasticit´e lin´eaire `a surface libre dans le demi-espace Ω = R

ⁿ

× (0, +∞) cr´ee un couplage `a la fronti`ere donnant naissance `a une onde particuli`ere, l’onde de Rayleigh. Elle est par- ticuli`erement destructrice lors d’un tremblement de terre ([12], [6]). Les noms des physiciens Lamb, Love et Stoneley ont aussi ´et´e donn´es `a des ph´enom`enes voisins ([5]).

Dans ces deux items, les fonctions propres le sont en un sens g´en´eralis´e car elles n’appartiennent pas au domaine de l’op´erateur mais des sous-familles guid´ees sont quand mˆeme distingu´ees. Dans le travail pr´esent´e ici, nous modifions le cadre pour nous placer dans le suivant :

Hypoth`ese g´en´erale (H0)



 

 

 



 

 

 



• Ω := (0, L) × (0, H) et ω := (l

1

, l

2

) × (a, b), 0 ≤ l

1

< l

2

≤ L, 0 ≤ a < b ≤ H,

• la fonction scalaire c : x = (x

1

, x

2

) → c(x) est constante par morceau ou est de classe C

¹

,

• la fonction c est monotone croissante et c(x) = c(x

₂

), 0 < c

_min

≤ c ≤ c

_max

< +∞,

•







A = −c∆ de domaine D(A) := H

₀¹

(Ω) ∩ H

²

(Ω), op´erant dans H := L

²

(Ω, c

⁻¹

dx) ou

A = −∇ · (c∇) de domaine D(A) := {u ∈ H

₀¹

(Ω); Au ∈ L

²

(Ω)}, op´erant dans L

²

(Ω, dx).

Nous compl´etons l’hypoth`ese (H0) afin de distinguer nos deux mod`eles de base : Mod`ele `a N sauts : Hypoth`ese (H1)

• l’ouvert Ω := (0, L) × (0, H) ⊂ R

²

est partag´e en N + 1 parties, Ω

₀

:= (0, L) × (0, h

₀

),

Ω

i

:= (0, L) × (h

i−1

, h

i

), i = 1, . . . , N, avec 0 = h

−1

< h

0

< . . . < h

i

< h

i+1

< . . . < h

N−1

< h

N

= H, qui sont s´epar´ees par N interfaces horizontales S

i

:= (0, L) × {h

_i

}, i = 0, . . . , N − 1,

• une fonction scalaire c prenant N + 1 valeurs, `a savoir c(x) =



 

 

 

 

c

₀

si 0 < x

₂

< h

₀

, c

1

si h

0

< x

2

< h

1

, .. .

c

N

si h

N−1

< x

2

< H, avec c

0

< c

1

< . . . < c

N−1

< c

_N

.

Mod`ele C

¹

: (H3) La fonction scalaire c est strictement croissante et appartient `a C

¹

([0, H]).

Nous partons donc d’un ouvert Ω born´e et d’un op´erateur elliptique A autoadjoint et positif et nous sommes int´eress´es par le rapport

R

ω

(v) :=

R

ω

|v(x)|

²

dx R

Ω

|v(x)|

²

dx , (1)

qui nous permettra de distinguer deux sous-familles de fonctions propres : les fonctions propres guid´ees et les autres. L’id´ee de s’int´eresser au rapport (1) n’est pas nouvelle. Pour le Laplacien sur des vari´et´es compactes, analytiques r´eelles avec une m´etrique analytique r´eelle, l’in´egalit´e

Ce

^−cλ

1 2

j

kϕ

_j

k

²_L2(Ω)

≤ kϕ

_j

k

²_L2(ω)

(2)

est connue, cf. [7]. Elle est devenue un cas particulier de l’in´egalit´e de Lebeau-Robbiano, cf. [10], pour des op´erateurs `a coefficients variables r´eguliers dans un ouvert born´e. Dans un r´ecent travail de Camille Laurent et Matthieu L´eautaud, cf.[9], les auteurs g´en´eralisent (2) `a des op´erateurs hypoelliptiques lorsque Ω est une vari´et´e compacte sans bord, disons un tore, toujours sous la condition d’analyticit´e.

Nos estimations montrent en notre cas que des encadrements plus pr´ecis sur des sous-espaces vectoriels de

L

²

(Ω) sont atteignables, mˆeme avec des coefficients non r´eguliers. En particulier, l’exposant λ

1 2

j

de (2) ne peut ˆetre remplac´e par λ

1 α

j

avec α > 4 (cf. Corollaire 3). L’exemple avec N = 1, c

₀

= 1, c

₁

= 2 ´eclaire le type de r´esultats prouv´es :

• Pour la famille F

_{N G}

(fonctions propres non guid´ees) le rapport R

ω

(v) est uniform´ement minor´e par une constante positive. Autrement dit, on se trouve dans le cas d’un op´erateur elliptique `a coefficients constants (se reporter au Th´eor`eme 2)

• Si (v

n

) est une suite de fonctions propres guid´ees, i.e. contenue dans F

_G

, alors le rapport R

ω

(v

n

) → 0 si

¯

ω ⊂ Ω

1

, i.e. est contenu dans la zone o `u le coefficient de diffusion a sa plus grande valeur. De plus, selon la sous-suite choisie et la localisation

microlocale

de celle-ci, le taux de la convergence de R

_ω

(v

_n

) vers 0 varie de e

^−b1λ

12

n

`a c

_ω

λ

^−3/2_n

en passant par e

^−b2λ

14

n

, λ

_n

´etant la valeur propre associ´ee `a v

_n

.

En fait, les r´esultats obtenus pour v

n

sont beaucoup plus pr´ecis si, au lieu d’utiliser les valeurs propres λ

n

, on utilise la distance introduite dans la Remarque 3. Pour le mod`ele avec N = 1, la concentration de la norme L

²

a lieu d’un cˆot´e de l’interface pour les hautes fr´equences (Th´eor`eme 3, Cas 3) tandis que, pour N = 2, le Th´eor`eme 4 exhibe une concentration `a cheval sur l’interface S

1

. Le Cas 1 du Th´eor`eme 3 ainsi que la Propo- sition 2 sont aussi des r´esultats inhabituels.

Le milieu ´etant stratifi´e, l’approche par s´eparation des variables s’impose et les valeurs propres seront naturellement index´ees par deux indices, `a savoir (λ

_k,`

), k, ` ≥ 1. Pour chacun des deux mod`eles de ce papier on construit une base orthonorm´ee de fonctions propres B := (v

_k,`

)

k≥1,`≥1

, associ´ees aux valeurs propres λ

_k,`

avec v

k,`

= a

k,`

sin(

^kπ_L

x

1

)u

k,`

(x

2

) o`u u

k,`

(x

2

) satisfait (cu

⁰

)

⁰

+ (λ

k,`

− c k

²

π

²

L

²

)u = 0, u(0) = u(H) = 0. (3)

Comme l’intervalle (l

1

, l

2

), largeur de ω, n’influence que la valeur des constantes encadrant R

ω

(v), il sera suf- fisant de travailler avec les fonctions x

₂

→ u

_k,`

(x

₂

). Il est clair que toute suite extraite d’une base orthonorm´ee B := (u

_k,`

)

k≥1,`≥1

ainsi d´efinie, converge faiblement vers 0 dans L

²

(0, H). Si λ est une valeur propre multiple, il y a plusieurs possibilit´es : elles peuvent ˆetre toutes associ´ees `a des ´el´ements de F

_G

ou bien de F

_{N G}

ou encore

`a des ´el´ements des deux. C’est, en partie, cette repr´esentation par deux indices qui est `a l’origine des r´esultats de ce papier.

Reprenons l’exemple du mod`ele `a un saut, i.e . N = 1, 0 < c

₀

< c

₁

. La base orthonorm´ee est constitu´ee de deux familles d´ecrites visuellement dans la partie gauche de la figure 1 par les valeurs propres qui leurs sont associ´ees. Les fonctions dites guid´ees correspondent aux valeurs propres situ´ees entre les deux paraboles λ = c

₀^k_L^2π2²

et λ = c

₁^k_L^2π2²

(voir la partie gauche de la Figure 1). Pour chaque k, il n’y a qu’un nombre fini de valeurs propres entre les deux paraboles alors que, pour chaque k, il y a une infinit´e de valeurs propres λ

k,`

au-dessus de la parabole d’´equation λ = c

1k²π²

L²

. En restant toujours dans ce mod`ele, ces paraboles d´eterminent deux zones qui deviennent coniques par un changement de variables, par exemple (k, λ) → (κ, √

λ) = (kπ, √

λ) permet d’´etablir une correspondance avec les notions microlocales habituelles en travaillant dans Ω × (( N

^π_L

) × R ).

L’application (k, λ) → (

^k_L^2π2²

, λ) convient aussi (cf. la partie droite de la Figure 1) mais ne donne pas une correspondance imm´ediate avec les coordonn´ees microlocales.

Afin d’illustrer comment ce pr´ec´edent changement de coordonn´ees donne un autre point de vue, notons la distance du point (κ =

^k2_L^π2²

, λ

_k,`

) `a la droite d’´equation λ = c

₁

κ par dist et posons dist := (

√

1+c²₁

c1

dist)

¹²

. On

obtient, entre autres r´esultats, le

¼2

k2

c1

=

¸

¼2

k2

c0

=

¸ zone non guidée

²

²

²²

²

²

²

²

²

²

²²

²

²

²

²

²

²

²

²

²²

²

²

²

1

;

¸1 2

;

¸1 3

;

¸1 4

;

¸1

1

;

¸2 2

;

¸2 3

;

¸2

1

;

¸3 2

;

¸3 3

;

¸3 ^5;1

¸

2

;

¸5 3

;

¸5 4

;

¸5 5

;

¸5

1 2 3 4 5 k

¸

valeurs propres "guidées"

L2

|

|

¼2

k2

=

·

1· c

=

¸

0· c

=

¸

· a

=

¸

3

;

¸3

1

;

¸3 5

;

¸2

2

;

¸2

1

;

¸2 6

;

¸1

3

;

¸1

2

;

¸1

1

;

¸1

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

¸ zone guidée

frontière spectrale barrière spectrale

zone non guidée

F

IGURE

1 – mod`ele `a un saut : r´epartition des valeurs propres

Th´eor`eme 1. Soit N = 1, ω = (l

1

, l

2

)×(a, b), h

₀

≤ a < b ≤ H et une suite de valeurs propres (λ

kn,`n

)

n

, k

n

→

∞, contenue dans un cˆone c

0

κ < λ < (c

1

− ε)κ, alors

R

ω

(v

kn,`n

) = O e

^{−2(a−h0)distn}

dist

_n

!

(4) Dans le mod`ele `a deux sauts, i.e. N = 2, nous conjecturons que les fonctions dites guid´ees correspondent aux valeurs propres situ´ees entre les deux paraboles λ = c

0k²π²

L²

et λ = c

2k²π²

L²

que nous divisons en la zone (0)= {c

₀^k2_L^π2²

< λ

k,`

< c

1k²π²

L²

} et la zone (I)= {c

₁^k_L^2π2²

< λ

k,`

< c

2k²π²

L²

}. On distinguera donc trois zones spectrales dont deux correspondants `a une famille de fonctions propres guid´ees (voir la Figure 2). Les fonctions propres associ´ees `a la zone (0) sont des ondes presque rasantes en S

₀

car elles arrivent sur cette interface avec un angle sup´erieur `a l’angle limite de la r´eflexion totale et, malgr´e cela, ont une ´energie essentiellement localis´ee dans Ω

1

∪ Ω

2

tandis que les fonctions propres associ´ees `a la zone (I) peuvent traverser l’interface S

0

sans difficult´e mais subissent une r´eflexion totale sur l’interface S

₁

et sont donc essentiellement localis´ees dans Ω

₀

∪ Ω

₁

. Les r´esultats des sections 3 et 4 sur la d´ecroissance exponentielle des fonctions propres feront penser

`a ceux de S. Agmon (cf. [1]) et d’autres travaux o`u les auteurs agissent principalement dans des ouverts non born´es. L’analogie s’arrˆete l`a pour plusieurs raisons :

• C’est l’influence d’un potentiel q dans l’op´erateur −∇ · (A∇) + q qui les motive, la distance d’Agmon permettant d’estimer la concentration de certaines fonctions propres en des zones d´ependant de q. Nous n’avons pas de potentiel car nous consid´erons des op´erateurs de la forme −∇ · (c∇)

³

ou −c∆ et ce sont les variations de c qui nous importent.

• Pour les valeurs propres λ inf´erieures `a Σ, l’infimum du spectre essentiel, les fonctions propres associ´ees d´ecroissent exponentiellement `a l’infini avec un taux li´e `a la diff´erence √

Σ − λ (Theorem 4.1 de [1]).

3. Sic∈C¹, un changement de fonction inconnue permettrait d’introduire un potentiel mais le probl`eme changerait.

zone (0) : Pointillés verts - zone (1) : Pointillés bleus S0

S1

­2

­1

­0 h0

x1

x2

H

h1

L

Zone (I) Zone (0)

valeurs propres "guidées"

valeurs propres non "guidées"

¸

5 k 4 3 2 1

¼2 k2 c0

=

¸

¼2 k2 c1

= 2 ¸ 2¼ 2k c

=

¸

F

IGURE

2 – mod`ele `a deux sauts.

Dans le travail qui vient, bien que Σ = +∞

⁴

, on ne voit que pour certaines valeurs propres une d´ecroissance d’allure exponentielle pour x

2

∈ (h

i

, H), i = 0, 1.

Nous parlons donc, comme les physiciens, de solutions guid´ees et le substitut `a Σ sera la barri`ere spectrale mentionn´ee dans la Remarque 3. Les auteurs de [2] ´elargissent dans un r´ecent travail des id´ees d’Agmon mais l’exigence d’un potentiel q ≥ 0, q 6= 0, ne permet qu’une comparaison partielle `a ce stade avec nos r´esultats : elle pourrait ˆetre faite avec notre op´erateur r´eduit A

_k

u := −(cu

⁰

)

⁰

+ c

^k2_L^π2²

u puisque le potentiel c

^k_L^2π2²

satisfait leur condition.

Le plan de ce papier est le suivant. La section 2 ´etablit une condition suffisante pour qu’une fonction propre se comporte comme si l’op´erateur A avait un coefficient de diffusion constant. Cette condition est aussi n´ecessaire pour le mod`ele `a un saut, il reste `a le prouver dans les deux autre cas. Dans les sections suivantes on s’int´eresse aux fonctions propres guid´ees. La section 3 rassemble les propri´et´es des suites de fonctions propres guid´ees du mod`ele `a un saut. La section 4 consid`ere aussi les fonctions propres guid´ees, cette fois-ci pour le mod`ele `a deux sauts, mais elle est incompl`ete pour le moment. Des extensions sont en devenir : consid´erer un ouvert Ω qui serait un disque ainsi que Ω

0

, un disque int´erieur de mˆeme centre, Ω

1

´etant la couronne Ω \ Ω

0

, ou bien travailler avec un tore plat o`u le coefficient de diffusion est discontinu. Nous pensons que les r´esultats seront analogues. Il faudrait aussi envisager la g´en´eralisation `a des situations moins simples. La plupart des calculs sont renvoy´es aux Annexes.

2 Fonction propre non guid´ee : condition suffisante

Commenc¸ons par ´enoncer le r´esultat principal de cette section. Il faut noter que la preuve ne n´ecessite pas la connaissance de la relation de dispersion, celle dont les racines sont les valeurs propres de l’op´erateur A.

Th´eor`eme 2. Soient ε > 0 et un ouvert ω := (l

1

, l

2

) × (a, b) avec 0 ≤ l

1

< l

2

≤ L, 0 ≤ a < b ≤ H, qui sont fix´es. Si nous posons c

_H

:= sup

_0<x2<H

c(x

₂

), alors il existe une constante C

_ω

strictement positive, telle que

4. Cas que [1] n’exclue pas.

l’on ait pour toute fonction propre v

k,`

associ´ee `a la valeur propre λ

k,`

λ

_k,`

> (c

_H

+ ε) k

²

π

²

L

²

= ⇒ 0 < C

_ω

≤ kv

_k,`

k

_L2(ω)

kv

_k,`

k

_L2(Ω)

≤ 1. (5)

• Cette constante est invariante pour toute translation de ω.

Remarque 1. Lorsque c ∈ C

¹

(0, H) mais non `a C

¹

([0, H)]), il faudra que les translations respectent 0 <

α < a < b < H − α < H avec α fix´e. Pour le mod`ele `a un saut, on peut poser ε = 0 mais il faut effectuer alors une ´etude fine de la relation de dispersion.

2.1 Preuve du Th´eor`eme 2 pour le mod`ele `a N sauts

Dans cette sous-section les hypoth`eses (H0) et (H1) sont satisfaites et nous prenons A = −∇ · (c∇). Ne consid´erant que les valeurs propres λ > c

Hk²π²

L²

(ici c

H

= c

N

), nous nous int´eressons aux solutions u de

−(cu

⁰

)

⁰

+ (c k

²

π

²

L

²

− λ)u = 0, u(0) = u(H) = 0. (6)

Si on pose ξ

_i

:= (

_c^λ

i

−

^k_L^2π₂²

)

¹²

, la fonction propre u associ´ee `a la valeur propre λ = λ

_k,`

(on remplace x

₂

par x) s’´ecrit

u

₀

(x) = a

₀

sin(ξ

₀

x), 0 < x < h

₀

,

u

₁

(x) = a

₁

sin(ξ

₁

x) + b

₁

cos(ξ

₁

x), h

₀

< x < h

₁

, .. . = .. .

u

i

(x) = a

i

sin(ξ

i

x) + b

i

cos(ξ

i

x), h

i−1

< x < h

i

, .. . = .. .

u

N−1

(x) = a

_N−1

sin(ξ

N−1

x) + b

N−1

cos(ξ

N−1

x), h

_N−2

< x < h

N−1

, u

N

(x) = a

N

sin(ξ

N

x) + b

N

cos(ξ

N

x), h

N−1

< x < h

N

= H,

= α sin(ξ

N

(H − x)), h

N−1

< x < h

N

= H. (7) Quelque soit la fonction propre consid´er´ee, nous choisissons le mˆeme a

0

, par exemple 1, mais, par contre, les (a

_i

, b

_i

), i = 1, . . . , N, d´ependent de (k, `). A l’interface ` S

_i

, i = 0, · · · , N − 1, les conditions de transmission s’´ecrivent

a

_i

sin(ξ

_i

h

_i

) + b

_i

cos(ξ

_i

h

_i

) = a

_i+1

sin(ξ

_i+1

h

_i

) + b

_i+1

cos(ξ

_i+1

h

_i

)

c

_i

a

_i

ξ

_i

cos(ξ

_i

h

_i

) − c

_i

b

_i

ξ

_i

sin(ξ

_i

h

_i

) = c

_i+1

a

_i+1

ξ

_i+1

cos(ξ

_i+1

h

_i

) − c

_i+1

b

_i

ξ

_i+1

sin(ξ

_i+1

h

_i

) (8) d’o`u l’´ecriture matricielle S

i

a

i

b

_i

= T

i

a

i+1

b

_i+1

avec det S

i

= −c

_i

ξ

i

, det T

i

= −c

_i+1

ξ

i+1

et on v´erifie que

T

i

=

sin(ξ

_i+1

h

_i

) cos(ξ

_i+1

h

_i

) c

i+1

ξ

i+1

cos(ξ

i+1

h

i

) −c

_i+1

ξ

i+1

sin(ξ

i+1

h

i

)

, T

_i⁻¹

= sin(ξ

i+1

h

i

)

^cos(ξ_c ^i+1hi)

i+1ξi+1

cos(ξ

i+1

h

i

) −

^sin(ξ_c ^i+1hi)

i+1ξi+1

! ,

S

i

=

sin(ξ

i

h

i

) cos(ξ

i

h

i

) c

i

ξ

i

cos(ξ

i

h

i

) −c

_i

ξ

i

sin(ξ

i

h

i

)

, S

_i⁻¹

= sin(ξ

i

h

i

)

^cos(ξ_c ^ihi)

iξi

cos(ξ

i

h

i

) −

^sin(ξ_c ^ihi)

iξi

! .

(9)

Il est alors facile d’obtenir pour i = 0, 1, 2, . . . , N − 1, a

i+1

−b

_i+1

= sin(ξ

i+1

h

i

)

_c ^ciξi

i+1ξi+1

cos(ξ

i+1

h

i

)

− cos(ξ

_i+1

h

_i

)

_c ^ciξi

i+1ξi+1

sin(ξ

_i+1

h

_i

)

!

sin(ξ

i

h

i

) cos(ξ

i

h

i

) cos(ξ

i

h

i

) − sin(ξ

i

h

i

)

a

i

b

i

(10) a

i

−b

_i

= sin(ξ

i

h

i

)

^ci+1_c^ξi+1

iξi

cos(ξ

i

h

i

)

− cos(ξ

_i

h

_i

)

^ci+1_c^ξi+1

iξi

sin(ξ

_i

h

_i

)

!

sin(ξ

i+1

h

i

) cos(ξ

i+1

h

i

) cos(ξ

i+1

h

i

) − sin(ξ

i+1

h

i

)

a

i+1

b

i+1

(11) Lemme 1. Les normes euclidiennes dans R

²

des op´erateurs lin´eaires associ´es aux matrices

B

_i+1,i

:= sin(ξ

_i

h

_i

)

^ci+1_c^ξi+1

iξi

cos(ξ

_i

h

_i

)

− cos(ξ

i

h

i

)

^ci+1_c^ξi+1

iξi

sin(ξ

i

h

i

)

!

, B

_i,i+1

:= sin(ξ

i+1

h

i

)

_c ^ciξi

i+1ξi+1

cos(ξ

i+1

h

i

)

− cos(ξ

_i+1

h

_i

)

_c ^ciξi

i+1ξi+1

sin(ξ

_i+1

h

_i

)

!

(12) v´erifient

kB

_i+1,i

k = max

1, c

_i+1

ξ

_i+1

c

i

ξ

i

, kB

_i,i+1

k = max

1, c

_i

ξ

_i

c

i+1

ξ

i+1

(13) D´emonstration. On a kB

_i+1,i

vk

²

= v

²₁

+ (

^ci+1_c ^ξi+1

i+1ξi

)

²

v

²₂

≤ max

1, (

^ci+1_c^ξi+1

iξi

)

²

(v

₁²

+ v

₂²

) si on pose v = (v

1

, v

2

), d’o`u kB

_i+1,i

vk ≤ max

1,

^ci+1_c^ξi+1

iξi

. Pour obtenir l’´egalit´e on prend v = (1, 0) si

^ci+1_c^ξi+1

iξi

≤ 1 ou v = (0, 1) si

^ci+1_c^ξi+1

iξi

≥ 1.

Lemme 2. Si λ

_k,`

> c

_N^k_L^2π2²

(c

_H

= c

_N

), on a r c

i

c

i+1

< c

i

ξ

i

c

i+1

ξ

i+1

, i = 0, . . . , N − 1, (14)

c

i

ξ

i

c

_i+1

ξ

_i+1

<

s

c

i

(c

N

− c

i

)

c

_i+1

(c

_N

− c

_i+1

) , i = 0, . . . , N − 2. (15) kB

_i+1,i

k ≤

r c

i+1

c

_i

(16)

D´emonstration. Pour la premi`ere in´egalit´e, il suffit de remarquer que (

_c ^ciξi

i+1ξi+1

)

²

=

_c^ci

i+1

λ−c_i^k2π2

L2

λ−ci+1k2π2 L2

o`u le deuxi`eme facteur est toujours plus grand que 1. Comme l’hyperbole d´ecrite par l’application λ →

^λ−ci

k2π2 L2

λ−c_i+1^k2π2

L2

est d´ecroissante sur l’intervalle consid´er´e, on en d´eduit la seconde in´egalit´e. La derni`ere in´egalit´e est une cons´equence de la premi`ere in´egalit´e et de (13).

Lemme 3. Si λ

k,`

> c

Nk²π² L²

, on a

|a

₀

| ≤ r c

i

c

₀

a

i

b

_i

, i = 0, . . . , N, (17)

et il existe une constante M > 0 telle que

a

_i

b

i

≤ M |a

₀

|, i = 0, . . . , N − 1. (18)

D´emonstration.

sin(ξ

i+1

h

i

) cos(ξ

i+1

h

i

) cos(ξ

i+1

h

i

) − sin(ξ

i+1

h

i

)

´etant unitaire, on a |a

₀

| ≤ kB

_1,0

k · · · kB

_i,i−1

k

a

i

b

i

d’o`u |a

₀

| ≤ q

ci

c0

a

i

b

_i

, i = 0, . . . , N en utilisant (16). La matrice

sin(ξ

i

h

i

) cos(ξ

i

h

i

) cos(ξ

_i

h

_i

) − sin(ξ

_i

h

_i

)

´etant aussi unitaire, on a k

a

i

b

_i

k ≤ kB

_i−1,i

k · · · kB

_0,1

k |a

₀

| ce qui permet de dire, utilisant (15), que les vecteurs a

i

b

_i

sont born´es, pour i = 0, . . . , N − 1, par M

₁

|a

₀

| o`u M

₁

est une constante ne d´ependant pas de la valeur propre λ

_k,`

> c

_N^k2_L^π2²

.

On voudrait que (18) reste vraie pour i = N mais kB

_N−1,N

k = max(1,

^cN−1_c ^ξN−1

NξN

) tendra vers l’infini s’il existe une suite infinie de valeurs propres (λ

kn,`n

)

n

, λ

kn,`n

− c

Nk_n²π²

L²

→ 0

⁺

. Pour cette raison, nous consid´ererons les valeurs propres satisfaisant λ

_k,`

> (c

N

+ ε)

^k_L^2π2²

. En effet, avec ce choix

⁵

, on a

^cN−1_c ^ξN−1

NξN

≤ q

cN−1(cN−c_N−1+ε)

cNε

ce qui permet d’affirmer que les couples (a

_i

, b

_i

), i = 0, . . . , N, sont comparables les uns avec les autres (b

₀

= 0) et nous obtenons la

Proposition 1. Si ε > 0, il existe une constante M

ε

> 0 telle que

a

_i

b

i

≤ M

_ε

|a

₀

| ≤ M

_ε

r c

_i

c

0

a

_i

b

i

, i = 0, . . . , N, ∀λ

_k,`

> (c

_N

+ ε) k

²

π

²

L

²

. (19)

qui a pour cons´equence (5). En effet, on commence par noter que 1. nous pouvons ´ecrire a

_i

sin(ξ

_i

x) + b

_i

cos(ξ

_i

x) =

q

a

²_i

+ b

²_i

cos((ξ

_i

− β

_i

)x) o`u 0 ≤ β

_i

< 2π lorsque h

i−1

< x < h

i

;

2. il existe au moins un indice j, 0 ≤ j ≤ N tel que ω

_j

:= ω ∩ (h

_j

, h

_j+1

) = (l

₁

, l

₂

) × (d, d

⁰

) avec d

⁰

− d ≥

_N+1^b−a

.

3. R

d⁰

d

u

²

(x)dx =

q a²_j+b²_j

2

(d

⁰

− d)[1 +

^sin((ξ_(ξ ^{j−βj)(d0−d))}

j−β_j)(d⁰−d)

].

Puis, si ξ

_j

− β

_j

= 0 alors R

ωj

u

²

(x)dx = q

a

²_j

+ b

²_j

(d

⁰

− d) et la preuve est finie en utilisant (19). Sinon, on a ξ

_j

− β

_j

6= 0 et on pose M ¯ = max

_ξi−β_i6=0

|

^sin((ξ_(ξ ^{i−βi)(d0−d))}

i−β_i)(d⁰−d)

| < 1 qui est une quantit´e ind´ependante de l’indice i. On peut encore conclure puisque R

d⁰

d

u

²

(x)dx ≥ (1 − M) ¯

q a²_j+b²_j

2

(d

⁰

− d).

2.2 Preuve du Th´eor`eme 2 pour le mod`ele C

¹

Si on suppose d´ej`a que le coefficient c est une fonction continue de x

2

strictement croissante et strictement positive, l’op´erateur A = −∇ · (c∇) devient alors A = −c∂

₁

− ∂

₂

(c∂

₂

). Cherchant des fonctions propres v de la forme v(x) = sin(

^kπ_L

x

1

)u(x

2

) associ´ees `a la valeur propre λ, nous introduisons la famille d’op´erateurs r´eduits autoajoints (A

_k

), agissant dans L

²

(0, H), d´efinis formellement par A

_k

u = −(cu

⁰

)

⁰

+ c

^k_L^2π2²

u, u(0) = u(H) = 0, et nous sommes amen´es `a r´esoudre l’´equation

(cu

⁰

)

⁰

+ (λ − c k

²

π

²

L

²

)u = 0, u(0) = u(H) = 0. (20)

5. Le choixλk,`> cNk²π²

L² +εne conviendrait pas.

Pour u dans le domaine de l’op´erateur r´eduit A

_k

, on a R

_H

0

(cu

⁰²

+ (c

^k_L^2π2²

− λ)u

²

)dx = 0 ce qui implique que le spectre σ(A

_k

) v´erifie σ(A

_k

) ⊂ ((inf c)

^k_L^2π2²

, +∞). Lorsque le coefficient c a un peu de r´egularit´e on peut se ramener `a la forme F

⁰⁰

+ QF = 0. Par exemple, si le coefficient c est deux fois d´erivable, le changement de fonction F =

^√u_c

donne

F

⁰⁰

+ c

⁰²

− 2cc

⁰⁰

+ 4(λ − c

^k_L^2π2²

)c

4c

²

F = 0, (21)

ce qui donne `a penser que la solution u aura un comportement sinuso¨ıdal pour λ > max

x

(c

^k2_L^π2²

+

^cc₂⁰⁰

).

Intuitivement, on serait dans la situation non guid´ee de la Figure 1.

Nous d´ecomposons la preuve en quatre ´etapes.

• Etape 1 : Se ramener `a ´ F

⁰⁰

+ QF = 0.

La transformation de Liouville demande le changement de variable s = R

x 0

1

c(t)

dt. Cette application, g : x → s, est positive, croissante et de classe C

¹

. Sa r´eciproque g

⁻¹

est aussi positive, croissante et de classe C

¹

. Posant F (s) = u(g

⁻¹

(s)), on v´erifie que

F

⁰

(s) = u

⁰

(g

⁻¹

(s))c(g

⁻¹

(s))

F

⁰⁰

(s) = u

⁰⁰

(g

⁻¹

(s))(c(g

⁻¹

(s)))

²

+ u

⁰

(g

⁻¹

(s))c

⁰

(g

⁻¹

(s))c(g

⁻¹

(s))

ce qui implique u

⁰⁰

(g

⁻¹

(s))c(g

⁻¹

(s)) =

_c(g^F−1^00(s)(s))

−u

⁰

(g

⁻¹

(s))c

⁰

(g

⁻¹

(s)). Comme cu

⁰⁰

+c

⁰

u

⁰

+(λ−c

^k_L^2π₂²

)u = 0, on a

F

⁰⁰

+ QF = 0.

Q(s) = (λ −

^k_L^2π₂²

c ◦ g

⁻¹

(s))c ◦ g

⁻¹

(s)

Pour ces op´erations on a suppos´e que c est d´erivable. La fonction Q est positive d`es que λ est assez grand.

• Etape 2 : utiliser la transformation de Pr ¨ufer modifi´ee ´

La r´esolution de F

⁰⁰

+ QF = 0, se ram`ene `a la r´esolution des deux ´equations diff´erentielles du premier ordre suivantes (cf. [14])

( φ

⁰

(s) = −Q

^1/2

−

¹₄^Q_Q⁰

sin(2φ)

1

R

R

⁰

(s)) =

¹₄^Q_Q⁰

cos(2φ). = ⇒

F (s) = R(s)Q

^−1/4

cos(φ(s)),

F

⁰

(s) = R(s)Q

^1/4

sin(φ(s)). (22)

• Etape 3 : Propri´et´es de l’amplitude ´ R et de la phase φ Posant ¯ c(s) := c(g

⁻¹

(s)), c ¯

M

:= R

H

0 1

c(t)

dt, nous avons F

⁰⁰

+ QF = 0 sur l’intervalle (0, c ¯

M

). On note c

₀

:= c(0) et c

_H

:= c(H).

Lemme 4. Soit ε > 0 et supposons que c ∈ C

¹

([0, H]). On a 1.

(λ ≥ c

Hk²π²

L²

) = ⇒ c

²₀

(

_c(H)^λ

−

^k2_L^π2²

) ≤ Q ≤ c

²_H

(

_c^λ

0

−

^k_L^2π2²

) (λ ≥ (c

_H

+ ε)

^k2_L^π2²

) = ⇒

Q⁰ Q

(t)

≤

^¯c_¯c⁰

(1 +

^¯c_ε

) (23) 2. Si λ ≥ (c

_H

+ ε)

^k2_L^π2²

, les solutions φ et R de l’´equation diff´erentielle (22) v´erifient

φ(s) ∼ − Z

s

0

Q

^1/2

(t)dt quand ( λ

¯

c − k

²

π

²

L

²

) → ∞ (24)

R(s) = Ce

¹⁴

Rs 0

Q0

Qcos(2φ)dr

, C 6= 0. (25)

D´emonstration. De Q

⁰

(s) = ¯ c

⁰

(λ − 2¯ c

^k2_L^π2²

) on voit que

^Q_Q⁰

=

^c¯_c¯⁰

(

^λ−2¯c

k2π2 L2

λ−¯c^k2π2

L2

) =

^¯c_¯c⁰

(1 −

^¯c

k2π2 L2

λ−¯c^k2π2

L2

) et comme, avec l’hypoth`ese faite, on a λ − ¯ c

^k_L^2π2²

≥ ε

^k2_L^π2²

on arrive `a

^c¯

k2π2 L2

λ−¯c^k2π2

L2

≤

_c ^c¯

H+ε

< 1. Si on avait suppos´e λ ≥ (2c

H

+ ε)

^k_L^2π2²

on aurait 0 <

^Q_Q⁰

(s) <

^¯c_¯c⁰

. Noter que pour (24) la condition (

^λ_¯c

−

^k_L^2π₂²

) → ∞ est remplie si k → ∞ mais aussi quand λ = λ

_k,`

avec ` → ∞.

L’amplitude R n’est jamais nulle sinon elle le serait identiquement. En imposant φ(0) = 0 ou φ(0) = π/2 on obtient deux solutions lin´eairement ind´ependantes d’o`u la solution cherch´ee correspond `a φ(0) =

^π₂

(`a un multiple pr`es)

⁶

. On a donc trouv´e la forme ´ecrite de la fonction propre correspondant `a la valeur propre λ ≥ (c

_H

+ ε)

^k_L^2π2²

) :

u(x) = R(g(x))(Q(g(x))

^−1/4

cos(φ(g(x))) avec g(x) = Z

x

0

1

c(t) dt. (26)

• Etape 4 : Estimation de ´ kuk

²_L2

Corollaire 1. Soient ε > 0 et un ouvert ω ⊂ Ω. Il existe une constante a

ε;ω

> 0, ind´ependante par translation de ω dans Ω, telle

a

ε;ω

≤ R

ω

|u(x)|

²

dx R

Ω

|u(x)|

²

dx ≤ 1 (27)

pour la famille des fonctions propres associ´ees aux valeurs propres λ > (c

_H

+ ε)

^k2_L^π2²

, hormis un ensemble fini.

D´emonstration. Il vient du Lemme 4 que le module de la fonction R est born´e inf´erieurement et sup´erieurement par deux constantes strictement positives : r

1

< |R| < r

2

puisque 0 < s < ¯ c

M

, et si on joint ce r´esultat `a l’encadrement de Q de (23) on peut affirmer que pour 0 < a < b < H

r

₁²

c

⁻¹_H

( λ

c

₀

− k

²

π

²

L

²

)

^−1/2

Z

b a

cos

²

(φ(g(x)))dx ≤ Z

b

a

(R(g(x)))

²

(Q(g(x)))

^−1/2

cos

²

(φ(g(x)))dx

≤ r

₂²

c

⁻¹₀

( λ c

H

− k

²

π

²

L

²

)

^−1/2

Z

b a

cos

²

(φ(g(x)))dx. (28) On a un encadrement similaire pour R

_H

0

(R(g(x)))

²

(Q(g(x)))

^−1/2

cos

²

(φ(g(x)))dx ce qui veut dire qu’il suf- fit de regarder le rapport

⁷

R

_b

a

cos

²

(φ(g(x)))dx/ R

_H

0

cos

²

(φ(g(x)))dx. Comme φ

⁰

est n´egative pour les valeurs propres consid´er´ees, `a l’exception ´eventuelles d’un nombre fini, la fonction x → φ(g(x)) est strictement d´ecroissante. Avec le nouveau changement de variable t = φ(g(x)), on a dx =

^c(g_φ⁻¹0(φ^(φ−1−1(t))^(t)))

dt d’o`u

Z

b a

cos

²

(φ(g(x)))dx =

Z

φ(g(a)) φ(g(b))

c(g

⁻¹

(φ

⁻¹

(t)))

−φ

⁰

(φ

⁻¹

(t)) cos

²

tdt. (29)

6. La dimension du sous-espace propre de chacune des valeurs propres de cet op´erateur est de dimension 1. En effet, soientu1et u2deux fonctions propres associ´ees `aλ. Le wronskienW =cu⁰₁u2−cu⁰₂u1 a une d´eriv´ee nulle sur(0, H)ce qui montre que les vecteurs(u1, cu⁰1)et(u2, cu⁰2)sont colin´eaires.

7. D`es que2ε < cH−c0, il existe0< d < _c^c0

H tel qued <(_c^λ

H −^k_L^2π2²)(_c^λ

0 −^k2_L^π2²)⁻¹<1

On peut oublier c(g

⁻¹

(φ

⁻¹

(t))) car on le contrˆole tr`es bien. On se rappelle que −φ

⁰

= Q

^1/2

+

¹₄^Q_Q⁰

sin(2φ).

Comme λ > (c

H

+ ε)

^k_L^2π2²

, on a

(1 −

1

)Q

^1/2

≤ −φ

⁰

≤ (1 +

1

)Q

^1/2

(30)

`a l’exception ´eventuelle d’un nombre fini de valeurs propres λ ∈ Λ (le cardinal de Λ d´epend de ε) et, par suite, M

1 +

₁

Z

φ(g(a)) φ(g(b))

cos

²

t Q

^1/2

(t) dt ≤

Z

b a

cos

²

(φ(g(x)))dx ≤ M 1 −

₁

Z

φ(g(a)) φ(g(b))

cos

²

t Q

^1/2

(t) dt M (1 −

₂

)

c

_H

(

_c^λ

0

−

^k_L^2π2²

)

¹²

Z

φ(g(a)) φ(g(b))

cos

²

tdt ≤ Z

b

a

cos

²

(φ(g(x)))dx ≤ M (1 +

₂

) c

₀

(

_c^λ

H

−

^k2_L^π2²

)

¹²

Z

φ(g(a)) φ(g(b))

cos

²

tdt. (31) Dans l’int´egrale R

φ(g(a))

φ(g(b))

cos

²

tdt =

¹₂

[φ(g(a)) − φ(g(b)) +

cos(2(φ(g(a))))−cos(2(φ(g(b))))

2

] le dernier terme du crochet est major´e par 1. Pour φ(g(a)) − φ(g(b)) = (g(b) − g(a))(−φ

⁰

(d

1

)) on a vu que l’on contrˆole φ

⁰

(d

1

) ind´ependamment de la position de a et b (utiliser (23) et (30)). Il reste `a constater que (g(b) −g(a)) = (b −a)

_d¹

2

pour un r´eel

_c¹

H

< d

₂

<

_c¹

0

ce qui montre que c’est la diff´erence (b − a) qui importe. On fait de mˆeme pour R

φ(g(0))

φ(g(H))

cos

²

tdt ce qui permet de conclure pour un parall´el´epip`ede puisque R

l2

l1

sin

²

(kπx

1

)dx

1

=

^l1−l₂ ²

− [

^sin(2kπx_4kπ ¹⁾

]

^l_l²

1

. Il n’y a pas de difficult´e `a g´en´eraliser ceci `a n’importe quel ouvert ω puisque ce dernier contient toujours un parall´el´epip`ede.

3 Concentration : cas du mod`ele `a un saut

Maintenant nous consid´erons les ondes guid´ees pour un milieu avec un coefficient de diffusion ayant deux valeurs. De mani`ere intuitive, les fonctions propres sont celles dont l’essentiel de la masse est concentr´ee dans une partie de l’ouvert Ω. Ici, ces fonctions propres correspondent exactement aux ondes ayant une r´eflexion dite totale sur l’interface.

On pose par commodit´e, dans cette section, c

₀

= 1, L = 1 et parfois h

₀

=

¹₂

. Ces restrictions n’ont aucune cons´equence sur la g´en´eralit´e des r´esultats car des transformations unitaires permettent de se ramener au cas g´en´eral (cf. Remarque 10). Avant de d´etailler la formulation des v

k,`

, pr´ecisons quelques notations dans les- quelles les λ

_k,`

sont les valeurs propres de l’op´erateur A que nous choisirons de la forme A = −c∆ (la forme divergentielle −∇ · c∇ donnerait des r´esultats g´en´eraux analogues)

ξ

0

= ξ

0

(k, `) := (λ

_k,`

− k

²

π

²

)

^1/2

, ξ

₁⁰

= ξ

₁⁰

(k, `) := (k

²

π

²

−

^λ_c^k,`

1

)

^1/2

. (32)

Les fonctions propres dites guid´ees sont de la forme v

_k,`

(x) = a

_k,`

√

2 sin(kπx

₁

)

( sin(ξ

0

x

2

) si 0 < x

2

< h

0

,

sin(ξ0h0)

sinh(ξ⁰₁(H−h₀))

sinh(ξ

⁰₁

(H − x

2

)) si h

0

< x

2

< H, (33) o`u les quantit´es λ

_k,`

, ξ

₀

et ξ

⁰₁

sont li´ees par la relation de dispersion

tanh(ξ

₁⁰

(H − h

₀

))

ξ

⁰₁

= − tan(ξ

₀

h

₀

)

ξ

₀

. (34)

Cette relation exprime la continuit´e des traces des fonctions propres et de leurs d´eriv´ees normales en x

₂

= h

₀

.

Remarque 2. Si (u

kn,`n

)

n

est une suite de solutions guid´ees, il n’est pas possible que ξ

0

(k

n

, `

n

) → 0 puisque l’on aurait `a la fois ξ

₁⁰

→ ∞ et

^tanh(ξ

0

1(H−h0))

ξ₁⁰

→ −h

₀

, ce qui est impossible puisque l’expression de gauche est positive. Par cons´equent, ξ

₁⁰

(k

_n

, `

_n

) → +∞ et ξ

₀

born´e implique sin(ξ

₀

h) → 0. De mˆeme, sin(ξ

₀

h

₀

) → 0 implique ξ

⁰₁

→ ∞.

Les coefficients a

k,`

servent `a la normalisation des fonctions propres. Noter que les solutions ne v´erifient ni ξ

₁⁰

= 0 ni ξ

0

= 0.

Remarque 3. Les quantit´es ξ

₀

et ξ

₁⁰

ont une interpr´etation spectrale g´eom´etrique simple si on pose κ :=

k √

²

π

²

: dans le nouveau rep`ere (κ, λ)

⁸

les paraboles deviennent des droites et la quantit´e (ξ

⁰₁

)

²

est ´egale `a

1+c²₁

c1

d(M

_λk,`

, B) o`u d(M

_λk,`

, B) est la distance du point M

_λk,`

= (κ, λ

_k,`

) `a la barri`ere spectrale d’´equation λ = c

₁

κ. De son cˆot´e, √

2ξ

₀²

est la distance de M

_λk,`

`a la fronti`ere spectrale d’´equation λ = κ.

Pour k fix´e, on pose L = L

_k

:= max{`; ` ≥ 1, λ

_k,`

< c

₁

k

²

π

²

}. C’est le plus grand entier ` tel que λ

_k,`

est une valeur propre guid´ee. On posera aussi dans l’article

C

_k;ω

:= vol(ω)

1 − sin(kπ(l

2

− l

1

))

kπ(l

₂

− l

₁

) cos(kπ(l

₂

+ l

₁

))

, (35)

R

_k,`;ω

:=

R

ω

|v

_k,`

(x)|

²

dx R

Ω

|v

_k,`

(x)|

²

dx (36)

pour les fonctions propres v

_k,`

, 1 ≤ ` ≤ L, k ≥ 1, avec ω := (l

1

, l

2

) × (a, b), 0 ≤ l

1

< l

2

≤ 1, 0 ≤ a < b ≤ H et v

_k,`

(x) := a

_k,`

q

2

L

sin(kπx

1

)u

_k,`

(x

2

) o`u L = 1, u

_k,`

´etant d´efini implicitement par (33). Noter qu’il ne faut pas confondre les nombres r´eels l

₁

et l

₂

avec les entiers `

_n

, que l’on utilise. Quand il n’y a aucune possibilit´e d’ambigu¨ıt´e, la notation C d´esigne une constante strictement positive qui peut prendre diff´erentes valeurs. Noter qu’´etudier les v

_k,`

revient `a ´etudier les u

_k,`

.

3.1 Les ´enonc´es

Th´eor`eme 3. Suivant la localisation de l’ouvert ω := (l

₁

, l

₂

) × (a, b) ⊂ Ω on a

• Cas 1 : ω ⊂ Ω

₁

, i.e. h

₀

≤ a < b, et une suite de fonctions propres guid´ees (v

_kn,`n

)

n≥1

. Si la suite (v

_kn,`n

)

n

v´erifie ξ

₁⁰

→ ∞, alors on a

kv

_kn,`n

k

²_L2(ω)

kv

_kn,`n

k

²_L2(Ω)

∼ l

2

− l

1

h

₀

sin

²

(ξ

0

h

0

) 1 −

^sin(2ξ_2ξ ^0h0)

0h0

e

^{−2ξ10(a−h0)}

ξ

₁⁰

. (37)

Avec k

n

→ ∞, ceci a lieu, en particulier, dans les deux cas suivants : `

n

≤ L

_kn

− 1, ou bien s’il existe une constante d, c

₀

= 1 < d < c

₁

, telle que (k

_n

π)

²

< λ

_kn,`n

≤ d(k

_n

π)

²

.

• Cas 2 : ω ⊂ Ω

₀

et une suite de fonctions propres guid´ees (v

_kn,`n

)

n≥1

.

1. Si la suite (v

_kn,`n

)

_n

v´erifie ξ

₁⁰

→ ∞, alors on a l’encadrement suivant pour tout ε > 0, d`es que k ≥ N (ε),

vol(ω)

h

₀

(1 − ε) ≤ kv

_kn,`n

k

²_L2(ω)

kv

_kn,`n

k

²_L2(Ω)

≤ 5 2

vol(ω)

h

₀

(1 + ε). (38)

Ceci a lieu, en particulier, si `

n

≤ L

_kn

− 1 ou bien s’il existe une constante d, c

0

= 1 < d < c

1

, telle que (k

_n

π)

²

< λ

_kn,`n

≤ d(k

_n

π)

²

.

8. Ce n’est pas celui qui correspond exactement aux coordonn´ees microlocales usuelles.