Mise en évidence de structures alpha dans les noyaux lourds

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Mise en évidence de structures alpha dans les noyaux lourds

H. Gauvin, M. Lefort, X. Tarrago

To cite this version:

H. Gauvin, M. Lefort, X. Tarrago. Mise en évidence de structures alpha dans les noyaux lourds.

Journal de Physique, 1963, 24 (9), pp.665-671. �10.1051/jphys:01963002409066500�. �jpa-00205546�

665.

MISE EN ÉVIDENCE DE STRUCTURES ALPHA DANS LES NOYAUX LOURDS Par H. GAUVIN, ^{M. LEFORT et X.} TARRAGO,

Laboratoire Joliot-Curie, ^Faculté des Sciences de Paris, Orsay.

Résumé 2014 Des calculs ont été exécutés avec des ordinateurs électroniques pour tenter d’expli-

quer par ^un mécanisme de

knock out » l’émission de particules

^{au cours de} réactions par protons

de grande énergie ^sur le bismuth. On a supposé que les nucléons ^de cascade sont diffusés élasti-

quement par les structures

avant de quitter ^le noyau. L’accord est obtenu entre calculs et spectres expérimentaux ^des

^{si l’on émet} l’hypothèse de l’existence de 15 groupements

^{en surface du}

noyau disposant ^d’une énergie cinétique moyenne de 10 MeV. Un tel résultat indiquerait qu’environ

70 % des nucléons de surface sont organisés ^en structures hélions.

Abstract.

Calculations have been carried out with electronic computers in order to explain

the emission of alpha particles ⁱⁿ high energy proton ^{reactions on Bi} by ^a

knock-out " mecha- nism. It has been assumed that cascade nucleons are elastically ^scattered by

structures before

they escape from ^a bombarded nucleus. The computation ^fits experimèntal ^{data on emitted}

particles spectra ^{if ones assumes that 15}

^{clusters exist on} the nuclear surface and they ^{have a}

mean kinetic energy of ¹⁰ MeV inside the nucleus. Such a result indicates that about 70 % ^of surface nucleons are arranged in helion clusters.

PHYSIQUE 24, ^SEPTEMBRE 1963,

Nous avons rapporté précédemment ^{des mesures}

de sections efficaces ^des fragments alpha projetés

de noyaux de Bi à la suite de réactions nucléaires

provoquées par des protons de diverses énergies.

[1] (80-110-150-240-420 ^{et 550} MeV). ^{Par l’étude}

des réactions secondaires induites par ^ces parti-

cules oc et conduisant aux isotopes ^{206 à 211 de} l’astate, ^{on a} pu construire les spectres ^{de ces} alpha ^{émis vers l’avant et vers l’arrière.}

Cela a permis ^{de montrer} que pour des énergies

incidentes inférieures à 150 MeV, l’émission vers

l’arrière ne pouvait ^être décelée par ^nos moyens

expérimentaux ^{et un processus} d’évaporation ^n’ex- pliquerait pas la quasi totalité de l’éniission alpha.

Pour des énergies plus ^{élevées, le spectre arrière}

s’arrête à des énergies ^de particules « ^assez peu élevées et une fraction très importante peut ^être expliquée par évaporation. Cependant ^des alpha d’énergie supérieure ^{à 30 MeV sont émis. Si l’on}

compare le spectre

^arrière

^{et le} spectre

^{avant »}

on peut estimer la part ^des alpha émis par ^un processus d’interaction directe, processus lié ^aux nucléons de cascade. Déduction faite de l’évapo- ration, ^{on a donc tenté de tracer les} spectres

des a d’interaction directe à toutes les énergies

incidentes.

L’explication qui ^{vient à} l’esprit pour ^ces frag-

ments a a été proposée il y ^a quelques années par Ostroumov et al [2] :

Les nucléons de cascade, ^avant de sortir du noyau pourraient rencontrer des sous-structures

alpha. Une diffusion élastique aurait alors lieu en

surface du noyau de bismuth ^et lorsque ^{les condi-}

tions cinématiques ^seraient satisfaites, ^{les sous-}

structures seraient projetées hors du noyau selon un processus de

knoçk-out ^». Pour tenter de véri-

fier si cette hypothèse de cc knock-out » en quelque

sorte

indirect » ^est justifiée, nous avons procédé

à des calculs sur les bases suivantes :

a) ^Les fragments ^« préexistent dans le noyau ^et

disposent d’une certaine énergie cinétique ^{W. Le} nombre maximum de ces sous-structures peut ^être estimé en supposant que la densité nucléaire va

décroissant vers le bord du noyau ^et que dans cette

région les nucléons sont organisés ^en hélions de

façon ^à maintenir la cohésion du noyau.

Ces hypothèses ^ont déjà ^{été utilisées} par divers auteurs et en particulier par Ostroumov ^et al [2].

b) La distribution en énergie des nucléons de cascade à la surface du noyau ^est obtenue _par les calculs de Montecarle du type Metropolis ^{et al} [3].

c) Ces nucléons heurtent les sous structures «

selon les lois de diffusion élastique ^des protons ^et

des neutrons sur l’hélium, ^{mais on tient} compte ^du puits ^de potentiel, ^{de la} quantité ^{de mouvement}

de la particule ce, du principe ^{de Pauli excluant}

tout choc à la suite duquel ^{un nucléon est laissé}

avec une énergie inférieure à l’énergie ^{de Fermi.}

On suppose de plus que ^{tout «} diffusé _pour lequel

les conditions cinématiques ^sont remplies ^est émis,

c’est-à-dire que les processus de réabsorption, ^nou-

velle diffusion ou stripping ^sont négligés. ^{On est}

alors conduit aux calculs qui ^{sont décrits avec} quelques ^détails ici, ^et dont les résultats essentiels ont été donnés dans une note préliminaire [4].

1. Cinématique ^{de la diffusion} nucléon-alpha.

Dans l’approximation ^{dite de}

l’impulsion ^{», la} cinématique de la réaction de knock-out (p, oc) ^ou (n, «) ^est voisine de celle de la diffusion élastique (p, (x) ^ou (n, «) ^sur l’hélium ; ^{elle en diffère} cepen- dant par ^{le fait} que ^les particules ^{ce dans lç cas}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002409066500

666

qui ^nous intéresse, ^{sont dans un} noyau, donc dans

un certain puits ^de potentiel.

Le calcul des ’sections efficaces de knock-out

(p, oc) ^ou (n, a) ^{sur Bi} peut ^{se ramener au calcul}

des sections efficaces de diffusion (p, a) ^ou (n, 03B1),

les particules ^{cc étant} placées ^{dans un} puits ^de potentiel ^{d’environ 35 M5V. Ces} sous-structures oc

FIG. 1.

Schéma des vecteurs vitesses de la particule

et du C de M

u :

vitesse

dans C de M avant le choc.

u’ : vitesse

dans C de M après ^{le choc.}

uo : vitesse du C de M.

v : vitesse

après ^{choc dans} le laboratoire.

peuvent ^{donc avoir une} énergie cinétique ^W comprise ^{entre 0 et 35} MeV, profondeur ^du puits.

D’autre part, ^la particule ^{a est liée au reste du}

noyau par ^une énergie de liaison B qui ^{dans le cas}

du Bi est négative ^et égale ^à

^{3 MeV.}

Considérons le choc élastique d’un nucléon

d’énergie ^E (dans ^le noyau) ^{et d’une} particule ^oc d’énergie cinétique W ; imposons ^{en outre à la} particule ^oc après ^le choc, ^{d’avoir une} énergie ^{T à}

l’extérieur du noyau supérieure ^{à une certaine}

valeur Ea.

L’énergie ^{T de la} particule ^{oc est une fonction}

des énergies ^{E et W des} particules incidentes, ^de l’angle rp de leurs vecteurs impulsion, ^de l’angle ^de

diffusion 0 dans le système de référence lié au

centre de _masses, et de l’angle p ^des plans ^conte-

nant les vecteurs vitesse du C. M. et de la parti-

cule oc dans le C. M. avant le choc d’une part ^et les vecteurs vitesse de la particule ^{« avant et} après

le choc (dans ^{le C.} M.) ^d’autre part (fig. 1).

On peut ^montrer que la vitesse de la particule ^a

dans le système du laboratoire est :

avec l’angle s ^{du vecteur} vitesse de l’alpha après

le choc dans le système ^{C. M.. et du vecteur vitesse}

du centre de masse donné _{par :}

cos

cos e cos q; ^{+ sin 0} sin q; cos p

et l’angle ^{6 du vecteur} vitesse de l’alpha ^avant

le choc dans le système ^{C. M. et du vecteur vitesse}

du centre de masse donné par

La particule ^{« avant le choc} dispose ^{d’une éner-} gie ^totale égale ^{à la} profondeur ^du puits ^moins

son énergie ^de liaison, ^{ou encore de la somme}

W + Ua ^si Ua ^{est son} énergie potentielle. Après ^le

choc l’énergie cinétique ^{est devenue 2V2 et l’éner-} gie totale 2 V2 + Ua. ^La rupture ^de la liaison néces- site l’énergie B ^{et en sortant du} puits ^de potentiel,

la particule ^oc perd l’énergie correspondant ^{à la}

profondeur ^du puits ^{W +} va, ^{de sorte} qu’à ^l’ex-

térieur du _noyau on a

En remplaçant Vz. par l’équation (1) ^{on obtient}

la condition

A la borne inférieure Ea correspond ^{donc une}

borne supérieure p ^max pour l’angle ^des plans ^de

diffusion.

L’application ^du principe ^{de Pauli revient}

à imposer ^{au nucléon} après ^{le choc une} énergie

supérieure ^à l’énergie maximum de Fermi, ^Er

V2/2 :> Ef. (4) En explicitant la vitesse du nucléon Vn ^on obtient lorsque

ce qui ^{revient à donner} à g ^une borne minimum

min.

Compte ^{tenu de ce} que

1 cos 1, ^les inégalités ^{3 et 5} définissent le domaine de _q et g

pour lequel ^la diffusion dans un angle ^{0 donné est} possible, pour des valeurs de E, Ef, ^{W et} E..

données.

2. Section efficace de diffusion de nucléon de cascade sur un hélion.

La section efficace diffé- rentielle de production ^de particules ^oc d’énergie supérieure ^à E(1. ^{est :}

où S est le poids statistique ^{des états} pour lesquels

les conditions 3 et 5 sont satisfaites, daoldw ^est

la section efficace différentielle de diffusion des nucléons ^sur des particules ^ce libres, prises ^à partir

des résultats expérimentaux [5]. Cette section effi-

cace est une fonction de E, W, ⁰ et ep et elle dépend

de la nature du nucléon incident, ^ce que nous

avons pris ^en considération. Si l’on examine pour

une énergie donnée du nucléon incident la valeur de la section efficace de diffusion intégrée ^{sur tous}

les angles, ^{on constate} qu’elle ^est plus élevée pour les neutrons que pour les protons ^{en dessous de}

90 MeV et que les 2 sections sont identiques ^au

delà de cette valeur. Le rapport à diverses énergies peut être estimé d’après les résultats de Tannen- wald [6] ^{et de Arnold et al} [7] pour les neutrons,

et ceux de différents auteurs pour les protons [5].

Nous avons pris ^pour chaque dao/dco ^le rapport

déterminé pour la section efficace intégrée ^{à une} énergie ^{donnée et ce} rapport ^{a été} pondéré d’après

la proportion relative des neutrons et des protons de cascades dans la bande AE. Nous avons admis que la variation de dao/dw ^{en fonction de E ne} dépendait pas de la ^nature du nucléon.

Si nous admettons que la diffusion ^est symé- trique, c’est-à-dire qu’elle ^ne dépend pas de a,

nous pouvons écrire ^en normalisant :

En supposant ^la répartition ^{des moments des} particules ^oc isotrope, ^la probabilité S’ peut ^{se cal-}

culer comme suit : la probabilité ^{totale dans tout}

le volume est égale ^à 1, pour ^un angle ^{dm dans la}

direction _o elle est de 4- ^403C0 1 ^{dw soit par p unité}

Les angles g ^max et g min étant fonction de p

suivant les égalités (3) ^et (5).

FIG. 2.

Schéma du programme de calcul.

Organigramme pour Ep

^{150 MeV.}

668

Nous avons calculé les sections efficaces diffé- rentielles da fd6) ^à partir ^des sections efficaces diffé- rentielles dO’o/d6) par intégration graphique ^sui-

vant la méthode des trapèzes ^à l’aide des machines IBM 7094 et 704, ^en prenant des intervalles de 10 et en interpolant linéairement le dO’o/dCJ) ^{entre les}

valeurs déduites des courbes expérimentales ^et

introduites dans la machine pour des 0 variant de 10 en 10°. Le diagramme simplifié ^{est donné}

dans la figure ^2.

A partir ^des valeurs de dc/dw ^{il est} facile d’obte- nir la section eflicace intégrée pour ^une énergie ^de

nucléons E donnée :

3. Section efficace totale de ^« knock-out ». - Pour avoir la section efficaces totale de production

de particules ^{ce de} knock-out, il suffit de ^sommer

sur toutes les énergies possibles des nucléons de cascade en tenant compte ^du poids statistique ^des

nucléons dans chaque ^bande d’énergie considérée :

Nous obtenons le spectre énergétique ^des parti-

cules ce produites ^en calculant la section efficace totale O’tot(Ea) pour des énergies minimum des

particules ^« produites (J?oJ variant de 5 en 5 MeV.

Ce calcul a été fait pour des énergies cinétiques ^W

des particules ^« dans le noyau de 0, 5, 10, 15, ²⁰

et 25 MeV et pour des énergies (Ep) ^des protons incidents de 82, 150 ^{et 420 MeV.}

Il est à remarquer que les sections efficaces obte-

nues dans le calcul tel qu’il ^{est conduit} jusqu’ici,

sont valables pour des noyaux lourds (dans ^la

limite de validité des puits ^de potentiel introduits)

ne contenant qu’une particule ^{« à leur} surface, pouvant ^être également ^vue par ^tous les nucléons de cascade. Il est évident que si le poids ^statis- tique ^des particules ^ce susceptibles d’être diffusées par les nucléons de cascade est P, la section effi-

cace réelle om (Ea.) ^de production ^de particules ^«

par le noyau de Bi sera celle calculée plus ^haut multipliée par P.

ha confrontation de la section efficace

réelle » et de la section eflicace observée expérimenta-

lement crexp(J?x) permet ^de déterminer le poids ^sta-

tïstiaue P.

D’autre part, soit lV le nombre maximum de

particules ^u pouvant ^être placées à la surface du noyau ^{et W} leur probabilité ^de présence ^à chaque

instant. Considérons en outre que le faisceau de

nucléons de c«scqde çst 1-,t somme de faisceaux

parallèles dont les directions sont comprises ^{entre 0}

et _ce 0. Si l’origine des nucléons de cascade est à peu près également distribuée dans la matière

nucléaire, ^{chacun de ces} faisceaux traversera une

surface du noyau égale ^{à la} demi-sphère de rayon

égal ^au rayon du noyau. Chacun de ^ces faisceaux

est donc susceptible d’interagir ^sur (N /2). ^w parti-

cules ^(1..

Si dn est le nombre de nucléons par unité de surface pour chacun des faisceaux parallèles, et ^des

le nombre d’événements produits, ^{nous avons :}

d’où

ou

et en comparant (6) ^et (7)

ESTIMATION DE N. - La surface nucléaire dans

laquelle ^sont localisées les sous-structures oc est définie comme la couche de matière nucléaire de densité décroissante. Nous avons pris, ^comme

Ostroumov et Filov [2], pour exprimer ^{la distri-}

bution des densités de nucléons dans le noyau, la fonction indiquée par Elton [8] de la forme

Dans le cas du noyau de Bi, ^cette expression (c

6,48 f, a

0,575 f) ^{conduit à une couche}

diffuse d’épaisseur 3 fermis à p(r) Jp(0)

0,5, ^va-

leur compatible ^avec le libre parcours moyen des

particules ^a dans la matière nucléaire [9]. D’après

des calculs récents de Harada [10], ^la probabilité

de formation de structures oc à partir ^{du modèle en}

couche serait maximum aux environs de

P/Po

0,05. La couche à considérer serait de 2,5

à 3 fermis d’épaisseur.

Dans le plus ^{favorable des} cas, ^nous obtenons

alors, pour le nombre maximum de sous-struc- tures oc dans la surface nucléaire de noyau de Bi,

N = 20.

L’expression (8) ^devient

4. Comparaison ^{avec les} sections efficaces et les

spectres expérimentaux.

Les calculs précé-

demment exposés ^{ont été} effectués pour les éner-

gies incidentes de 82 à 155 MeV et de 420 MeV.

Il faut _remarquer que l’on peut ^{trouver dans la}

littérature les sections différentielles de diffusion

proton-hélium ^{même aux} grands angles pour des

énergies ^de protons ^de 28, 40, 66, 95, 147 ^MeV [5].

Pour des énergies plus élevées, ^{nous avons dû}

extrapoler ^{les courbes de da,,/dco en fonction des}

669 et il en résulte une incertitude pour les calculs à

420 Me V.

Nous avons obtenu pour ch.aque ^{valeur de W}

variant de 5 en 5 MeV entre 0 et 30 MeV, ^d’une part des valeurs de sections efficaces totales des

particules ^{oc de} plus ^{de 25} MeV, ^d’autre part ^les spectres calculés. Dans le domaine allant de 15 à 25 MeV, ^{nous a.vons tenu} compte ^{de la} pénétra-

bilité de la barrière de potentiel, la valeur de celle- ci étant évaluée à 26 MeV. Lla pénétrabilité ^{a été}

calculée selon Weisskopf [11].

En effet, ^{cette relation rend très bien} compte

de la fonction d’excitation de la réaction (oc, 2n)

sur le bismuth déterminée expérimentalement par

Kelly ^et Segré [12].

Nous avons ensuite examiné quelle ^valeur

nous devions donner à P dans l’expression 6 pour que la section efficace totale des oc de plus ^de

FIG. 3.

Spectres

calculés pour W

⁰ et W

10, ^{avec 15} structures

dans Bi.

Les rectangles ^hachurés correspondent ^{aux valeurs} expérimentales, ^{compte tenu de} l’estimation des erreurs.

Énergies incidentes : a) ⁸² MeV ; b) ^{155 MeV ;} c) ^{420 MeV.}

TABLEAU 1

SECTIONS EFFICACES DE FRAGMENTS

DE PLUS- DE 25 MeV. ^{CALCULS POUR} DIFFÉRENTES VALEURS DE W.

ON A PRIS N

20 ET LA PROBABILITÉ ^{DE PRÉSENCE DE} 0,75.

LES VALEURS EXPÉRIMENTALES FIGURENT DASN LA DERNIÈRE COLONNE.

670

25 MeV coïncide avec la valeur expérimentale.

Nous avons préféré ^comparer pour des énergies ^de plus ^{de 25 MeV} pour éviter ^une incertitude dans la région ^{20-25 MeV} qui pourrait provenir ^du

choix de la barrière de potentiel.

Pour W

0 et W

5 la valeur de la proba-

bilité de présence ^{trouvée est} supérieure ^{à 1. Les} énergies cinétiques qui ^semblent le mieux convenir

aux trois énergies incidentes se situent entre 10 et 15 MeV. Il s’agit ^de valeurs moyennes, la distri- bution des moments des oc n’étant pas accessible par ^cette méthode.

Cependant ^la comparaison ^{entre les} spectres expérimentaux ^et calculés, ^est nécessaire _pour faire un choix définitif. On peut ^{voir sur les} figures ^{3 et} 4, que les allures des spectres ^coïn- cident le mieux pour W

10 MeV. ^{Dans ces con-} ditions, ^{la valeur de P est} déterminée entre 7 et 8.

On peut donc choisir une probabilité ^de présence ^co

de 0,75 ^{si N}

^20.

Le tableau 1 montre les valeurs de sections effi-

caces totales de particules ^{oc de} plus ^{de 25 MeV}

calculées ainsi. L’accord est excellent pour W = 10.

Dans ces conditions, ^on peut ^{voir sur la} figure ³

que les spectres expérimentaux ^{et calculés se} superposent pour des énergies comprises ^{entre 21}

et 50 MeV. Au delà de 50 MeV, ^la proportion ^de particules ^{a diffusées est} faible, ^{comme on} pouvait

d’ailleurs le prévoir qualitativement ^{en considé-}

dérant la décroissance rapide de la section efficace de diffusion élastique lorsque l’énergie ^croît. Cepen-

dant, il semble qu’une ^{traîne de} particules ^{oc de} grande énergie ^{subsiste sur les} spectres expéri-

mentaux. Si l’on ne peut distinguer de différence

FIG. 4.

Spectres

^en coordonnées semi-logarithmiques.

l.es rectangles ^hachurés correspondent ^{aux valeurs} expérimentales, compte tenu de l’estimation des erreurs.

Énergies incidentes : a) ⁸² MeV ; bj ¹⁵⁵ MeV ; c) ^{420 MeV.}

671 entre calcul ^et expérience pour des protons ^inci-

dents de 82 MeV, ^celle-ci apparaît ^{assez nettement}

pour 150 MeV ^{et devient} importante ^{et au delà de}

toute marge d’incertit,ude à 420 MeV. Les spectres

tracés en coordonnées semi-logarithmique (fig. 4)

font apparaître très nettement ces particules ^oc que

nous ne pouvons expliquer, ni par le knock-out direct (protons ^{incidents sur} hélions), ni par le knock-out indirect.

Pour l’énergie incidente de 420 MeV, ^on pourrait

penser que les isotopes de l’astate que ^{nous avons} trouvés ne sont pas dus à des réactions ^secon- daires (a, xn), mais à des réactions secondaires

(7t+, -a-). Cependant, d’après les valeurs connues

de la section efficace de production ^de pions ^{7t+ et}

de la section efficace (7t+, 7t-), ^on peut estimer que

ce type de réactions secondaires est au plus égal

au 1/100 ^{de celles} produites par les ^«,

De même on peut ^{écarter les réactions} (p, ^x- xn).

Une hypothèse qui ^semble plus ^{difficile à écarter}

est celle d’un pick-up multiple soit par des protons incidents, soit par les nucléons de cascade. Ce pick-

up conduirait alors à 3H, ^{eHe et 4He et} la pro-

portion He3/He4 deviendrait importante. ^{Des indi-}

cations dans ce sens ont été trouvées par Génin et al [13].

Dans ces conditions, ^{la méthode même de tracé}

des spectres expérimentaux ^{serait erronée} puisque

d’une part ^les particules ^{lHe ou 4He} pourraient disposer de la presque totalité de l’énergie ^du

nucléon (aux énergies de liaison près des nucléons

capturés dans le noyau ^et dans la particule formée),

et le spectre s’étendrait jusqu’à l’énergie ^maxi-

mum, d’autre part ^les isotopes attribués à une

réaction (4He, xn) pourraient ^{être dus en} partie ^à (3He (x

I)n). L’élucidation de la nature exacte de ce désaccord et la mise en évidence du pro-

cessus qui donne naissance ^aux isotopes légers (206, 207) de l’astate nécessite des expériences ^au

cours desquelles ^on pourra distinguer ^{4He et 3He.}

On remarquera ^en conclusion qu’il s’agit ^cepen-

dant d’un phénomène ^{de faible} importance ^par rapport ^au knock-out, ^et que les expériences ^utili-

sant les émulsions nucléaires n’ont pu le ^{mettre en} évidence.

Il nous semble que les ^travaux que nous venons

d’exposer ^montrent clairement _que l’existence de sous-structures alpha ^en périphérie des noyaux lourds paraît ^très probable. Ils confirment les con-

clusions des travaux effectués par Igo ^{et al} [14] ^à

915 MeV _{pour la} réaction (oc, 2a) ^sur Pb, ^{Bi et U.}

Nous devons cependant ^faire participer ^à l’orga-

nisation en hélions ^une couche plus épaisse. ^Ces

hélions disposent obligatoirement ^de quantités ^de

mouvement et la valeur moyenne 10 MeV peut

être avancée. L’existence de ces sous-structures

alpha ^{avec une} probabilité ^de 0,75 ^{est concevable}

dans la mesure où le modèle de noyau à bord diffus est accepté. ^La diminution ^{de la densité moyenne}

de la matière nucléaire s’expliquerait par ^une orga- nisation en hélions, lorsque les nucléons ne sont

plus ^{dans le coeur} du noyau.

Les calculs ont été exécutés avec les ordinateurs 704 et 7094 de la société IBM. Nous sommes rede- vables au C. N. R. S. de nous avoir permis ^l’accès

du Centre de Calcul Blaise Pascal.

Mlle Samaran nous a rendu de grands ^{services au}

cours de la programmation ^{et de} l’assemblage. ^Nous

l’en remercions vivement.

Nous sommes très reconnaissants aux Profes-

seurs G. Friedlander et J. M. Miller qui ^{ont discuté}

certains aspects ^{de ce travail.}

Manuscrit reçu le 4 mai 1963.

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