Licence 3 et Magist` ere de physique
Physique Statistique
Exercices de Travaux Dirig´ es
4 avril 2018
Table des mati` eres
Formulaire 3
TD 1 : Marche al´ eatoire et th´ eor` eme de la limite centrale 5
1.1 Loi binomiale et marche al´ eatoire . . . . 5
TD 2 : Espace des phases et ergodicit´ e 8 2.1 Ergodicit´ e pour une bille dans un fluide . . . . 8
2.2 Th´ eor` eme H . . . . 9
2.3 Evolution dans l’espace des phases et th´ ´ eor` eme de Liouville . . . . 10
2.4 Chaos et ergodicit´ e . . . . 11
2.5 Oscillateur harmonique 1D . . . . 12
TD 3 : Densit´ es d’´ etats 13 3.1 Syst` emes ` a deux niveaux . . . . 13
3.2 Volume de l’hypersph` ere . . . . 13
3.3 Densit´ e d’´ etats semiclassique des particules libres . . . . 13
3.4 Densit´ e d’´ etats d’une particule libre relativiste . . . . 14
3.5 Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques . . . . 14
3.A Annexe : R` egle semi-classique de sommation dans l’espace des phases . . . . 15
TD 4 : Postulat fondamental et ensemble microcanonique 16 4.1 Gaz parfait classique monoatomique – Formule de Sackur-Tetrode . . . . 16
4.2 Extensivit´ e et paradoxe de Gibbs . . . . 16
4.3 Cristal paramagn´ etique et temp´ eratures (absolues) n´ egatives . . . . 17
4.4 Les temp´ eratures (absolues) n´ egatives sont les plus chaudes ! . . . . 17
4.5 Contact thermique entre deux boˆıtes cubiques . . . . 18
4.6 Isothermes et isentropes d’un gaz parfait . . . . 19
TD 5 : Ensemble canonique (syst` emes en contact avec un thermostat) 21
5.1 Le cristal de spin 1/2 . . . . 21
5.2 Le gaz parfait monoatomique . . . . 21
5.3 Gaz parfait diatomique . . . . 22
5.4 Paramagn´ etisme de Langevin . . . . 23
5.5 Paramagn´ etisme de Brillouin (traitement quantique) . . . . 24
5.6 Gaz : parfaits, confin´ es, non parfaits, etc . . . . 25
5.7 Fonction de partition d’une particule dans une boˆıte – rˆ ole des conditions aux limites . . . . 26
5.8 Gaz de particules indiscernables dans un puits harmonique . . . . 27
5.A Annexe : R` egle semiclassique de sommation dans l’espace des phases . . . . 28
5.B Annexe : Moyenne canonique d’une quantit´ e physique . . . . 28
TD 6 : Thermodynamique des oscillateurs harmoniques 29 6.1 Vibration des corps solides . . . . 29
6.2 Thermodynamique du rayonnement ´ electromagn´ etique . . . . 31
6.3 Equilibre mati` ´ ere-rayonnement et ´ emission spontan´ ee . . . . 31
TD 8 : Ensemble grand-canonique – (syst` emes en contact avec un r´ eservoir de particules) 33 8.1 Gaz parfait . . . . 33
8.2 Adsorption d’un gaz ` a la surface d’un solide . . . . 33
8.3 Fluctuations de l’´ energie . . . . 34
8.4 Mod` ele d’Ising et gaz sur r´ eseau . . . . 35
8.5 Fluctuations de densit´ e dans un fluide – Compressibilit´ e . . . . 36
TD 9 : Statistiques quantiques (1) : Fermi-Dirac 38 9.1 Gaz de fermions libres . . . . 38
9.2 Paramagn´ etisme de Pauli . . . . 39
9.3 Semi-conducteur intrins` eque . . . . 39
9.4 Gaz de fermions relativistes . . . . 41
9.5 Etoile ` ´ a neutrons . . . . 41
TD 10 : Statistiques quantiques (2) : Bose-Einstein 42
10.1 Condensation de Bose-Einstein dans un pi` ege harmoniquse . . . . 42
Formulaire
Fonction Gamma d’Euler Γ(z)
def=
Z ∞ 0
dt t z−1 e −t pour Re z > 0 (1)
Remarque : toutes les int´ egrales du type R ∞
0 dx x a e −Cx
bpeuvent s’exprimer ` a l’aide de la fonc- tion Γ.
La relation fonctionnelle (facile ` a d´ emontrer) :
Γ(z + 1) = z Γ(z) (2)
permet de prolonger analytiquement la fonction Γ ` a l’autre moiti´ e du plan complexe, Re z 6 0.
Valeurs particuli` eres : Γ(1) = 1 & Γ(1/2) = √
π d’o` u, par r´ ecurrence,
Γ(n + 1) = n! (3)
Γ(n + 1 2 ) =
√ π
2 n (2n − 1)!! (4)
o` u (2n − 1)!!
def= 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1) = (2n)!! (2n)! et (2n)!!
def= 2 × 4 × · · · × (2n) = 2 n n!.
Int´ egrales gaussiennes Une int´ egrale, reli´ ee ` a Γ(1/2),
Z
R
dx e −
12ax
2= r 2π
a (5)
Une int´ egrale, reli´ ee ` a Γ(3/2), Z
R
dx x 2 e −
12ax
2= 1 a
r 2π
a (6)
Plus g´ en´ eralement
Z
R
+dx x n e −
12ax
2= 1 2
2 a
n+12
Γ
n + 1 2
(7) La transform´ ee de Fourier de la gaussienne :
Z
R
dx e −
12ax
2+ikx = r 2π
a e −
2a1k
2(8)
Fonction Beta d’Euler B(µ, ν) =
Z 1 0
dt t µ−1 (1 − t) ν−1 = 2 Z π/2
0
dθ sin 2µ−1 θ cos 2ν−1 θ = Γ(µ)Γ(ν)
Γ(µ + ν) (9)
Formule de Stirling Γ(z + 1) ' √
2πz z z e −z i.e ln Γ(z + 1) = z ln z − z + 1
2 ln(2πz) + O(1/z) (10)
qui sera en pratique souvent utilis´ ee pour calculer ln(n!) ' n ln n − n ou dn d ln(n!) ' ln n.
Formule du binˆ ome (x + y) N =
N
X
n=0
C N n x n y N −n o` u C N n ≡ N
n
def
= N !
n!(N − n)! (11) et sa g´ en´ eralisation
(x 1 + · · · + x M ) N = X
m1,···,mM
t.q. P
k
m
k=N
N !
m 1 ! · · · m M ! x m 1
1· · · x m M
M(12)
Autres int´ egrales utiles
Z ∞ 0
dx x α−1
e x − 1 = Γ(α) ζ(α) o` u ζ(α) =
∞
X
n=1
n −α (13)
est la fonction zeta d’Euler. On a ζ(2) = π 6
2, ζ (3) ' 1.202, ζ(4) = π 90
4, etc.
Z ∞ 0
dx x 4
sh 2 x = π 4
30 (14)
(on peut la d´ eduire de la relation pr´ ec´ edente pour α = 4).
TD 1 : Marche al´ eatoire et th´ eor` eme de la limite centrale
1.1 Loi binomiale et marche al´ eatoire
Nous ´ etudions le d´ eplacement d’un marcheur pouvant se mouvoir sur un axe : ` a chaque pas de temps il choisit d’aller soit ` a droite avec probabilit´ e p ∈ [0, 1], soit vers la gauche avec probabilit´ e q = 1 − p (cf. Fig. 1). Chaque pas est ind´ ependant du pr´ ec´ edent.
x q =1− p p
−2 −1 0
... +1 +2 ...
time
x
Figure 1 : Marcheur sur un axe. ` A droite : on a g´ en´ er´ e al´ eatoirement 20 marches sym´ etriques de 100 pas chacune.
A. Loi binomiale.
1/ Distribution.– Apr` es M pas, quelle est la probabilit´ e Π M (n) pour que le marcheur ait fait n pas ` a droite ? V´ erifier la normalisation.
2/ Expression des moments.– Exprimer le k` eme moment, i.e.
n k
, comme une somme (at- tention, le nombre de pas n est la variable al´ eatoire alors que M est un param` etre du probl` eme).
Savez-vous calculer cette somme ?
3/ Calcul des moments : fonction g´ en´ eratrice.– On introduit une fonction auxiliaire, appel´ ee “fonction g´ en´ eratrice”,
G M (s)
def= hs n i , (15)
fonction de la variable (´ eventuellement complexe) s.
a ) Supposant connue la fonction G M (s), comment d´ eduire en principe les moments ?
b) Pour la loi binomiale Π M (n) d´ etermin´ ee pr´ ec´ edemment, calculer explicitement G M (s) ; d´ eduire hni et hn 2 i puis la variance Var(n)
def= hn 2 i − hni 2 . Comparer les fluctuations ` a la valeur moyenne.
c) Facultatif : on introduit une autre d´ efinition pour la fonction g´ en´ eratrice : W M (β )
def= ln G M (e −β ), o` u β est appel´ ee “variable conjugu´ ee ” (de la variable al´ eatoire). V´ erifier que le d´ eveloppement pour β → 0 est W M (β) = −β hni + (β 2 /2) Var(n) + · · · (ce qui donne la va- riance plus rapidement). On pourra essayer de justifier plus g´ en´ eralement ce d´ eveloppement en comparant les d´ efinitions de G M (s) et W M (β ).
4/ Limite M → ∞.– Dans cette question on analyse directement la distribution dans la limite M → ∞. En utilisant la formule de Stirling, d´ evelopper ln Π M (n) autour de son maximum n = n ∗ . Justifier que Π M (n) est approximativement gaussienne dans la limite M → ∞ (pr´ eciser une condition sur p). Tracer soigneusement l’allure de la distribution.
B. Marcheur.– On revient ` a l’´ etude du marcheur, dont la position sur l’axe est x. La longueur d’un pas est a.
1/ Exprimer x en fonction du nombre de sauts vers la droite n. D´ eduire les deux premiers
moments de x (en utilisant les r´ esultats du A).
2/ Vitesse de d´ erive.– Le marcheur attend un temps τ entre deux sauts. Exprimer la vitesse de d´ erive
V
def= lim
t→∞
hxi t
t (16)
en fonction de a, τ et la probabilit´ e p ; hxi t est la moyenne au temps t = M τ .
3/ Constante de diffusion.– Afin de caract´ eriser l’´ etalement de la distribution du marcheur, on introduit la constante de diffusion
D
def= lim
t→∞
x 2
t − hxi 2 t
2t (17)
Exprimer D en fonction des param` etres du probl` eme.
4/ Donner l’expression de la densit´ e de probabilit´ e P t (x) de la position du marcheur au temps t. V´ erifier la normalisation (dans le cas p = 1/2, on pourra discuter la relation pr´ ecise entre Π M (n) et P t (x)).
C. Distribution continue des sauts et universalit´ e.– On consid` ere un autre mod` ele de marche al´ eatoire : la position du marcheur n’est plus restreinte ` a un r´ eseau de points mais peut prendre une valeur dans R . ` A chaque intervalle de temps, il fait un saut distribu´ e avec la loi p(h).
1/ Justifier que la distribution de la position au temps t ob´ eit ` a la r´ ecurrence P t+τ (x) =
Z
dh p(h) P t (x − h) . (18)
On choisit maintenant une des deux m´ ethodes propos´ ees ci-dessous pour r´ esoudre cette
´
equation.
2/ M´ ethode 1 : pour la marche gaussienne sym´ etrique.– On consid` ere une loi gaussienne sym´ etrique p(h) = ( √
2π σ) −1 exp
−h 2 /(2σ 2 ) . En utilisant un r´ esultat connu sur la convolution des gaussiennes, d´ eduire P M τ (x). Donner l’expression de la constante de diffusion en fonction de τ et σ.
time
x
Figure 2 : 50 marches g´ en´ er´ ees ` a partir de 100 sauts distribu´ es par une loi gaussienne.
3/ M´ ethode 2 : pour le cas g´ en´ eral.– On ne fait pas d’hypoth` ese sp´ ecifique sur la loi p(h), uniquement suppos´ ee “´ etroite” (dont les premiers moments sont finis, hhi < ∞ et hh 2 i < ∞).
On consid` ere des “petits” intervalles de temps, τ → 0, et des “petits” pas (la largeur de p(h) tend vers z´ ero).
a ) Dans l’´ equation int´ egrale (18), d´ evelopper le membre de gauche au premier ordre, P t+τ (x) '
P t (x) + τ ∂ t P t (x), et la distribution dans l’int´ egrale au deuxi` eme ordre, P t (x − h) ' P t (x) −
h ∂ x P t (x) + h 2 ∂ x 2 P t (x).
b) On suppose que les trois param` etres τ ∝ , hhi ∝ et hh 2 i ∝ tendent simultan´ ement vers z´ ero, proportionnellement au param` etre → 0 + . Montrer qu’on obtient une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles pour P t (x), qu’on ´ ecrira en termes de V et D.
c) Donner la solution de l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles (la m´ ethode de r´ esolution la plus simple est de fouri´ eriser en espace).
4/ Universalit´ e.– Justifier pourquoi les diff´ erents mod` eles de marcheurs conduisent tous ` a la mˆ eme loi universelle P t (x), dans la limite d’un grand nombre de pas.
D. Cas d-dimensionnel et application.
1/ On consid` ere un marcheur dans R d . ` A chaque pas il fait maintenant un saut δx ~ = h 1 ~ e 1 +· · ·+
h d ~ e d , o` u les h i sont d variables al´ eatoires ind´ ependantes, d´ ecrites par la mˆ eme loi sym´ etrique p(h). D´ eduire la distribution de la position du marcheur dans R d (on utilisera le r´ esultat du C pour d = 1).
2/ Exprimer h~ x 2 i, en fonction de la constante de diffusion d´ efinie plus haut dans le cas unidi- mensionnel (on devra donc consid´ erer hx i x j i pour i = j et i 6= j).
3/ Facultatif : Loi jointe versus loi marginale.– ~ x ∈ R 2 est distribu´ e par la loi gaussienne obtenue ` a la limite d’un grand nombre de sauts. Comment passer de la distribution jointe P t (x, y)
`
a la loi marginale Q t (r) de r = p
x 2 + y 2 ? Comparer le calcul de h~ x 2 i ` a partir de P t (x, y) et de Q t (r). Calculer la valeur moyenne hri puis la valeur typique r typ (pour laquelle Q t (r) est maximum). Tracer soigneusement Q t (r).
4/ Application : mol´ ecule dans un gaz.– Typiquement, dans un gaz ` a temp´ erature am-
biante, une mol´ ecule a une vitesse v ≈ 500 m/s et subit des chocs avec d’autres mol´ ecule tous
les τ ≈ 2 ns. Comparer la distance typique couverte entre deux chocs avec la distance typique ` a
la mol´ ecule la plus proche (pour p = 1 atm, T = 300 K).. Comparer le mouvement diffusif de la
mol´ ecule apr` es une seconde (nombre de chocs, distance typique finalement parcourue), avec le
mouvement balistique.
TD 2 : Espace des phases et ergodicit´ e
2.1 Ergodicit´ e pour une bille dans un fluide
Nous ´ etudions la relaxation vers l’´ equilibre dans le cadre d’un mod` ele jouet d´ ecrivant le mouve- ment d’une petite bille dans un fluide, soumise ` a une force de rappel ´ elastique. Il existe diff´ erentes techniques pour confiner une particule : soit on peut l’accrocher ` a une surface par un polym` ere (Fig. 3), ou on peut agir sur la particule avec un laser (si la particule est constitu´ ee d’un mat´ eriau di´ electrique).
x
Figure 3 : Bille accroch´ ee ` a une surface par un polym` ere exer¸ cant une force de rappel.
On se limite au cas unidimensionnel pour simplifier. Le mouvement de la particule est d´ ecrit par les ´ equations du mouvement de Newton
˙
x(t) = v(t) (19)
m v(t) = ˙ −γ v(t) − k x(t) + F(t) , (20) o` u k est le coefficient de rappel ´ elastique et γ un coefficient d´ ecrivant la friction dans le fluide.
F (t) est une force qui mod´ elise l’effet des fluctuations dans le fluide (en particulier, elle est nulle en moyenne hF (t)i = 0).
On peut identifier (au moins) deux ´ echelles de temps caract´ eristiques : la p´ eriode associ´ ee au rappel, T = 2π p
m/k et τ relax = m/γ qui caract´ erise la relaxation de la vitesse. On ´ etudie le r´ egime sur-amorti, τ relax T (i.e. la limite de forte friction γ et faible rappel k).
A. Relaxation de la vitesse.– Sur les temps courts, on peut n´ egliger l’effet du rappel, i.e.
faire k = 0 dans l’´ eq. (20). On discr´ etise l’´ equation d’´ evolution de la vitesse : posons V n ≡ v(nτ ), o` u τ est une ´ echelle arbitraire (non physique), petite, τ τ relax .
1/ Montrer que V n+1 = λ V n + ξ n et exprimer λ et ξ n en termes des grandeurs introduites plus haut.
2/ A quelle condition physique est-il l´ ` egitime de supposer que les forces F (nτ ) aux diff´ erents temps sont d´ ecorr´ el´ ees, hF (nτ) F(mτ)i ∝ δ n,m ?
En sus de supposer que tous les forces F (nτ) sont des variables ind´ ependantes, on les postule identiquement distribu´ ees par une loi gaussienne, de variance
F (nτ ) 2
= σ 2 /τ . 3/ Montrer que
V n = λ n V 0 +
n−1
X
k=0
λ k ξ n−k−1 (21)
En supposant que V 0 est une variable al´ eatoire ind´ ependante des ξ n , d´ eduire la variance de V n . Donner la distribution de V n dans le cas o` u V 0 est une variable gaussienne. En supposant τ τ relax = m/γ, justifier que la distribution de la vitesse v(nτ) ≡ V n devient ind´ ependante des conditions initiales dans la limite n = t/τ → ∞ (justifier que la condition pr´ ecise est t τ relax ).
On dit que v(t) atteint sa distribution stationnaire.
4/ Relation fluctuation-dissipation (Einstein).– On d´ emontrera dans la suite du cours que l’´ energie cin´ etique moyenne est reli´ ee ` a la temp´ erature par hE c i = (1/2)k B T o` u k B est la constante de Boltzmann. D´ eduire une relation entre la friction γ, l’amplitude σ des fluctuations de la force et la temp´ erature.
5/ Donner la loi marginale de la vitesse P eq (v) lorsque l’´ equilibre est atteint (en fonction de T ).
B. Relaxation de la position.– Dans la limite τ relax T , on peut justifier que le terme d’acc´ el´ eration de l’´ equation de Newton peut ˆ etre n´ eglig´ e :
0 ' −γ x(t) ˙ − k x(t) + F (t) . (22) Sans calcul suppl´ ementaire, discuter les propri´ et´ es statistiques de x(t) ` a “grand” temps. Montrer que la distribution d’´ equilibre de la position est
P e eq (x) ∝ e −E
p(x)/(k
BT ) , (23)
o` u E p est l’´ energie potentielle. En admettant que la position et la vitesse sont ind´ ependantes, donner la distribution d’´ equilibre dans l’espace des phases, not´ ee ρ eq (x, p).
2.2 Th´ eor` eme H
Etudier la relaxation vers l’´ ´ equilibre requiert un mod` ele d´ ecrivant l’´ evolution temporelle de la probabilit´ e. Nous consid´ erons l’´ equation (classique) de la diffusion
∂ t f t (x) = D∂ x 2 f t (x) (24)
(d´ ecrivant par example la densit´ e d’un colorant dans un fluide). Pour simplifier nous consid´ erons la situation unidimensionnelle et supposons que la particule est confin´ ee dans une boˆıte x ∈ [0, L].
1/ Montrer que les conditions aux limites ∂ x f | x=0 = ∂ x f| x=L = 0 (r´ efl´ echissantes) conservent la probabilit´ e dans la boˆıte, R L
0 dx f t (x) = cste.
Suivant Boltzmann, nous introduisons la quantit´ e H
def=
Z L 0
dx f t (x) ln f t (x) (25)
2/ Comparer la valeur de H pour les deux distributions suivantes f eq (x) = 1
L et f (x) =
( 2
L pour x ∈ [0, L/2]
0 pour x ∈ [L/2, L] (26)
3/ Montrer que
dH
dt 6 0 (27)
et que l’´ egalit´ e est r´ ealis´ ee pour f = f eq .
2.3 Evolution dans l’espace des phases et th´ ´ eor` eme de Liouville
Nous discutons diverses propri´ et´ es de l’´ evolution temporelle de la distribution dans l’espace des phases pour un syst` eme conservatif. Pour simplifier, nous consid´ erons la situation unidimen- sionnelle (l’extension au cas multi-dimensionnel et/ou ` a plusieurs particules, ne pose aucune difficult´ e) : une particule dont la dynamique est d´ ecrite par la fonction de Hamilton H(q, p).
dA. Th´ eor` eme de Liouville.— Nous montrons dans un premier temps que l’´ evolution temporelle conserve la mesure dans l’espace des phases. L’´ evolution temporelle gouvern´ ee par les ´ equations de Hamilton, i.e. la trajectoire physique (Q(t), P (t)) dans l’espace des phases est une solution des ´ equations diff´ erentielles coupl´ ees
Q(t) = ˙ ∂H
∂p (Q(t), P (t)) et P ˙ (t) = − ∂H
∂q (Q(t), P (t)) . (28) L’´ evolution pendant un temps infinit´ esimal δt mappe le point (q i , p i ) sur le point (q f , p f ), via la transformation (non lin´ eaire en g´ en´ eral) :
q f ' q i + δt ∂H
∂p (q i , p i ) (29)
p f ' p i − δt ∂H
∂q (q i , p i ) (30)
Montrer que le volume infinit´ esimal dq i dp i est transform´ e en un volume ´ egal dq f dp f (` a l’ordre δt 1 ).
p
q
Figure 4 : Trois trajectoires d’un petit volume de l’espace des phases sont repr´ esent´ ees : l’´ evolution temporelle conserve la mesure dqdp.
B. ´ Equation de Liouville.— On introduit la densit´ e de probabilit´ e ρ t (q, p) dans l’espace des phases, i.e.
Proba{(Q(t), P (t)) ∈ volume dqdp autour de (q, p)} = ρ t (q, p) dqdp . (31) 1/ Pour trouver l’´ equation d’´ evolution de la densit´ e. Soit une fonction test ϕ(q, p), on consid` ere
hϕ(Q(t), P (t))i = Z
dqdp ρ t (q, p) ϕ(q, p) (32)
o` u la moyenne est prise sur les trajectoires physiques (Q(t), P (t)). Consid´ erer la d´ eriv´ ee ∂ t hϕ(Q(t), P (t))i et d´ eduire l’´ equation d’´ evolution de ρ t (q, p).
Facultatif : on pourra retrouver le r´ esultat plus directement en utilisant la repr´ esentation ρ t (q, p) = hδ (q − Q(t)) δ (p − P (t))i.
2/ Montrer que l’´ equation d’´ evolution peut s’´ ecrire comme
∂
∂t ρ t (q, p) = {H , ρ t } o` u {A , B}
def= ∂A(q, p)
∂q
∂B(q, p)
∂p − ∂B(q, p)
∂q
∂A(q, p)
∂p (33)
est le crochet de Poisson des deux observables.
3/ a) ´ Ecrire explicitement l’´ equation de Liouville pour H = p 2 /(2m) + V (q).
b) ´ Evolution libre. R´ esoudre l’´ equation de Liouville pour l’´ evolution libre pour une condition initiale de la forme ρ 0 (x, p) = f(q) g(p).
Indication : on pourra commencer par consid´ erer le cas ρ 0 (x, p) = δ(q − q 0 ) δ(p − p 0 ).
C. Mesures d’´ equilibre.
1/ Justifier que la forme
ρ eq (q, p) = Φ(H(q, p)) (34)
est une solution stationnaire possible, o` u Φ(ξ) est une fonction arbitraire.
2/ Les choix Φ(ξ) = Ω −1 E δ(ξ − E) et Φ(ξ) = Z β −1 e −βξ correspondent respectivement aux en- sembles microcanonique et canonique. Donner l’expression g´ en´ erale de la constante de normali- sation dans chacun des cas.
3/ Calculer explicitement de Ω E et Z β dans le cas de l’oscillateur harmonique, i.e. pour H(q, p) = p 2 /(2m) + (1/2)mω 2 q 2 .
2.4 Chaos et ergodicit´ e
On consid` ere un oscillateur quartique bidimensionnel
H(x, y, p x , p y ) = p 2 x + p 2 y + V (x, y) avec V (x, y) = x 4 + 2λ x 2 y 2 + y 4 (35) o` u le param` etre sans dimension est λ > −1 afin qu’il y ait toujours confinement.
1/ Un syst` eme dynamique avec D degr´ es de libert´ e (ici D = 2) est dit int´ egrable au sens de Liouville s’il est possible de trouver D constantes du mouvement ind´ ependantes. 1 Justifier que l’oscillateur quartique (35) est int´ egrable pour λ = 0.
Sections de Poincar´ e : pour repr´ esenter la dynamique du syst` eme, qui ´ evolue dans un espace des phases de di- mension 4, il est plus commode de proc´ eder par
section de Poincar´ e
, i.e. de repr´ esenter les intersections de la trajectoire avec une vari´ et´ e de plus basse dimension, par exemple une surface bidimensionnelle, afin de visualiser la trace de la trajectoire, comme sur la figure ci-contre.
section de Poincaré
H(q,p)=E
Lorsqu’un syst` eme est int´ egrable, une trajectoire se trouve ` a l’intersection de D vari´ et´ es de dimensions 2D − 1. L’intersection avec le plan de la section de Poincar´ e est une ligne. 2 En revanche, en l’absence de constante du mouvement autre que l’´ energie, la trajectoire se trouve seulement contrainte ` a se trouver sur la vari´ et´ e de dimension 2D − 1 = 3 d´ efinie par H(~ r, ~ p) = E et explore une surface de la section de la section de Poincar´ e.
1
Deux constantes du mouvement C
1et C
2(des fonctions des variables dynamiques) sont ind´ ependantes si leurs crochets de Poisson sont nuls, {C
1, C
2} = 0.
2
Lorsqu’un syst` eme est int´ egrable, il existe une transformation canonique des 2D variables initiales vers D
couples de variables
action-angle
(θ
n, I
n) avec n = 1, · · · , D. L’hamiltonien ne d´ epend plus que des D variables
d’action H(· · · ) = ˜ H (I
1, · · · , I
D) et les ´ equations pour les variables d’angles sont d´ ecoupl´ ees : ˙ θ
n= ∂ H/∂I ˜
n=
ω
n(I
1, · · · , I
D), d’o` u θ
n(t) = ω
nt + θ
n(0). La trajectoire ´ evolue sur un
tore invariant
, dont une section de
Poincar´ e est une ligne ferm´ ee.
2/ On a ´ etudi´ e la dynamique de l’oscillateur quartique num´ eriquement. Sur la figure sont repr´ esent´ ees diff´ erentes trajectoires dans une section de Poincar´ e pour diff´ erentes valeurs de λ.
Commenter la figure.
Figure 5 : ` A gauche : Sections de Poincar´ e y = 0 pour diff´ erentes valeurs du param` etre λ (dans le plan (x, p x )). Chaque couleur correspond ` a une trajectoire diff´ erente. A droite : ` Trajectoire dans l’espace physique (x, y) pour λ = 0 et λ = −0.8. (Figures de Nicolas Pavloff, LPTMS).
2.5 Oscillateur harmonique 1D
Un oscillateur harmonique classique unidimensionnel a pour hamiltonien : H(x, p) = p 2
2m + 1
2 mω 2 x 2 (36)
o` u m est la masse de la particule et ω la pulsation de l’oscillateur.
A. M´ ecanique classique.– Nous analysons l’oscillateur dans l’esprit de la m´ ecanique classique.
1/ V´ erifier que les ´ equations de Hamilton pour ce syst` eme sont les ´ equations du mouvement attendues. R´ esoudre ces ´ equations pour les donn´ ees initiales :
x(t = 0) = x 0 et p(t = 0) = 0 (37)
2/ D´ efinir l’espace des phases du syst` eme. Esquisser sa trajectoire. Quelle est l’´ energie E de l’oscillateur pour cette trajectoire ?
3/ Calculer la fraction de temps pendant laquelle la particule a une position comprise entre x et x + dx. On ´ ecrira le r´ esultat sous la forme w(x) dx et l’on interpr` etera w(x) comme la densit´ e de probabilit´ e de position.
B. Physique statistique.– On va retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent par une m´ ethode compl` etement diff´ erente. On consid` ere que l’´ energie de la particule est connue seulement de mani` ere approch´ ee et se situe entre E et E + dE.
1/ Dessiner dans l’espace des phases la surface o` u se situent les ´ etats accessibles du syst` eme.
2/ On suppose que tous les micro-´ etats accessibles (d´ efinis ` a la question pr´ ec´ edente) sont
´
equiprobables. Calculer alors la probabilit´ e pour que l’oscillateur se trouve en un point d’abscisse
comprise entre x et x + dx.
TD 3 : Densit´ es d’´ etats
3.1 Syst` emes ` a deux niveaux
Un syst` eme ` a deux niveaux est caract´ eris´ e par deux ´ etats, not´ es | +i et | − i, d’´ energies ε ± = ±ε 0 o` u ε 0 est une ´ echelle microscopique. Un exemple de syst` eme ` a deux niveaux est un spin 1/2 soumis ` a un champ magn´ etique.
On consid` ere N syst` emes ` a deux niveaux identiques et ind´ ependants (par exemple N spins 1/2 sur les nœuds d’un cristal). On note ε (i) σ l’´ energie du i` eme syst` eme, avec σ = + ou −, et E = P N
i=1 ε (i) σ
il’´ energie totale.
1/ Spectre des ´ energies : D´ ecrire les micro´ etats du syst` eme. Si l’on ´ ecrit E = M ε 0 , comment varie l’entier M ?
2/ Si l’´ energie est fix´ ee, donner le nombre N ± de sous syst` emes dans l’´ etat | ± i. D´ eduire la d´ eg´ en´ erescence g M du niveau E M = M ε 0 . Relier g M ` a la densit´ e d’´ etats ρ(E M ).
3/ On analyse la limite N 1. Donner une approximation de ln g M en utilisant la formule de Stirling et en supposant que N ± 1. Tracer ln g M en fonction de l’´ energie E M . Montrer que pour E N ε 0 , la densit´ e d’´ etats est gaussienne
ρ(E) ' ρ(0) e −E
2/(2N ε
20) . (38) Comparer la largeur de cette fonction ` a la largeur du spectre. Quel est le nombre total d’´ etats ? D´ eduire la valeur de la constante ρ(0).
Facultatif : En utilisant la formule ln N ! = N ln N − N + 1 2 ln(2πN ) + O(N −1 ), retrouver la valeur de ρ(0) par un calcul direct.
3.2 Volume de l’hypersph` ere
L’hypersph` ere de rayon R dans R D est le domaine d´ efini par x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 D 6 R 2 . Calculer l’int´ egrale R
R
Dd D ~ x e −~ x
2de deux mani` eres : (i ) en utilisant la s´ eparabilit´ e, (ii) en utilisant l’invariance par rotation de l’int´ egrande pour faire apparaˆıtre la surface de l’hypersph` ere S D (R).
D´ eduire que le volume de l’hypersph` ere est donn´ e par
V D (R) = V D R D o` u V D = π D/2
Γ( D 2 + 1) (39)
est le volume de la sph` ere de rayon unit´ e (consid´ erer les cas D = 1, 2 et 3).
3.3 Densit´ e d’´ etats semiclassique des particules libres
On consid` ere un gaz de N atomes libres dans une boˆıte cubique de volume V = L 3 . L’hamiltonien des atomes est
H =
N
X
i=1
~ p i 2
2m . (40)
1/ Atomes discernables.– Montrer que le nombre Φ disc (E) de micro´ etats d’´ energies 6 E est : Φ disc (E) = 1
Γ( 3N 2 + 1) E
ε 0 3N/2
o` u ε 0
def= 2π ~ 2
mL 2 (41)
A.N. : Calculer ε 0 (en J puis en eV) pour des atomes d’H´ elium dans une boˆıte de taille L = 1 m.
2/ Atomes indiscernables.– Les atomes identiques sont indiscernables. Donner Φ indisc (E) puis simplifier l’expression ` a l’aide de la formule de Stirling. D´ eduire la densit´ e d’´ etats correspondante.
3.4 Densit´ e d’´ etats d’une particule libre relativiste
1/ Rappel du cas non relativiste.– Donner la densit´ e d’´ etats pour une particule libre non relativiste, ε ~ k = ~ 2 ~ k 2 /(2m) (cf. exercice pr´ ec´ edent).
2/ Cas ultrarelativiste.– Calculer la densit´ e d’´ etats pour une particule ultrarelativiste, ε ~ k =
~ || ~ k|| c.
Indication : Utiliser la repr´ esentation ρ(ε) = P
~ k δ(ε − ε ~ k ).
3/ Cas relativiste.– ( Facultatif ) ` A l’aide de la formule semiclassique, calculer la densit´ e d’´ etats pour une particule massive, ε ~ k =
q
( ~ ~ kc) 2 + m 2 c 4 . Retrouver les deux comportements limites correspondant aux deux cas pr´ ec´ edents.
3.5 Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques
On consid` ere un syst` eme constitu´ e de N oscillateurs harmoniques ` a une dimension, ind´ ependants et identiques. Le hamiltonien du syst` eme est :
H =
N
X
i=1
p 2 i 2m + 1
2 mω 2 q i 2
. (42)
1/ Traitement semi-classique.– On suppose que ces oscillateurs sont classiques.
a/ On d´ esigne par V(E ) le volume occup´ e par les ´ etats d’´ energie 6 E dans l’espace des phases (dont on pr´ ecisera la dimension). Exprimer V(E) au moyen de la constante V 2N , volume de
“l’hypersph` ere” de rayon 1 (exercice 3.2).
b/ En faisant l’hypoth` ese semi-classique qu’un ´ etat quantique occupe une cellule de volume h N de l’espace des phases, calculer le nombre d’´ etats quantiques d’energie inf´ erieure ` a E (soit Φ(E)), puis la densit´ e d’´ etats quantique ρ(E).
2/ Traitement quantique.– On suppose maintenant que les N oscillateurs sont quantiques.
On sait que les niveaux d’´ energie de chaque oscillateur sont non d´ eg´ en´ er´ es et de la forme : ε n = (n + 1/2) ~ ω avec n ∈ N .
a/ Calculer le nombre d’´ etats accessibles au syst` eme lorsque son ´ energie vaut E.
Indications : pour calculer le nombre de fa¸ cons diff´ erentes de choisir N nombres entiers positifs ou nuls (n 1 , n 2 , n 3 ...n N ) de telle sorte que leur somme P N
i=1 n i soit ´ egale ` a un entier donn´ e M , on peut utiliser la m´ ethode suivante : une “fa¸ con” est repr´ esent´ ee par un sch´ ema o` u l’on fait figurer n 1 boules, puis une barre, puis n 2 boules, puis une barre, etc... Il y a en tout M boules et N − 1 barres. Les permutations de boules ou de barres entre elles ne comptent pas. Seules comptent les diff´ erentes mani` eres de r´ epartir les M boules, ou de mani` ere ´ equivalente, de placer les N − 1 barres.
c/ Calculer la densit´ e d’´ etats quantique du syst` eme. Montrer que, dans la limite E N ~ ω, on
retrouve le r´ esultat semi-classique obtenu ` a la question (2).
Annexe 3.A : R` egle semi-classique de sommation dans l’espace des phases Lorsque les degr´ es de libert´ e du syst` eme peuvent ˆ etre d´ ecrits en termes classiques, il est tr` es efficace d’appliquer la r` egle semiclassique : c’est le cas pour les degr´ es de libert´ e de translation d’un atome, mais pas pour un spin 1/2 qui n’a pas d’´ equivalent classique.
Pour un syst` eme ` a D degr´ es de libert´ e, l’espace des phases des vecteurs (q 1 , · · · , q D , p 1 , · · · , p D ) est de dimension 2D. La correspondance pr´ ecise classique → quan- tique pour le comptage des micro´ etats est assur´ ee en consid´ erant qu’un ´ etat quantique occupe un volume h D dans l’espace des phases classique.
Densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee.– Soit H({q i , p i }) l’hamiltonien d´ ecrivant la dynamique du syst` eme. Notons Φ(E) le nombre de micro´ etats dont l’´ energie est inf´ erieure ` a E. Dans la limite semiclassique (spectre des ´ energies tr` es dense) on a
Φ(E) = 1 h D
Z
H({q
i,p
i})6E D
Y
i=1
dq i dp i ≡ Z D
Y
i=1
dq i dp i
h θ H (E − H({q i , p i })) (43) o` u θ H (x) est la fonction de Heaviside.
Densit´ e d’´ etats.– La densit´ e d’´ etats est donn´ ee par
ρ(E) = Φ 0 (E) (44)
i.e. ρ(E)dE repr´ esente le nombre d’´ etats quantiques dont les ´ energies sont dans l’intervalle [E, E + dE[.
Particules identiques.– Si le syst` eme contient N particules identiques (par exemple pour un gaz parfait de N atomes), donc indiscernables, les micro´ etats diff´ erant par permutation des coordonn´ ees des atomes sont ´ equivalents. On doit ajouter un facteur 1/N ! :
Φ indisc (E) = 1
N ! Φ disc (E) (45)
Notons que cette r` egle simple n’est qu’une approximation valable dans le r´ egime classique.
Un traitement plus pr´ ecis du postulat de sym´ etrisation de la m´ ecanique quantique sera
expos´ e plus en d´ etail ` a la fin du cours.
TD 4 : Postulat fondamental et ensemble microcanonique
4.1 Gaz parfait classique monoatomique – Formule de Sackur-Tetrode
On consid` ere un gaz parfait de N atomes confin´ es dans une boˆıte de volume V , que nous traitons dans le cadre de la m´ ecanique classique.
1/ Rappeler l’expression de la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee Φ(E) pour le gaz monoatomique (cf. TD pr´ ec´ edent) ou la recalculer rapidement.
2/ Rappeler la d´ efinition de l’entropie microcanonique S ∗ . Justifier que, dans une certaine limite, on peut utiliser l’expression
S ∗ ' k B ln Φ(E)
(46) D´ eduire la formule de Sackur-Tetrode (1912)
S ∗ (E, V, N ) = N k B ln e 5/2 V N
mE 3π ~ 2 N
3/2 !
(47)
3/ Montrer qu’on peut ´ ecrire l’entropie sous la forme S ∗ = 3N k B ln c∆x∆p/h
o` u ∆x est une longueur, ∆p une impulsion et c une constante sans dimension. Interpr´ eter cette forme.
4/ Calculer la temp´ erature microcanonique T ∗ puis la pression microcanonique p ∗ . D´ eduire une expression de l’entropie en fonction de la densit´ e moyenne n = N/V et de la longueur thermique de de Broglie Λ T
def
= p
2π~ 2 /(mk B T ∗ ). Discuter la validit´ e de (47).
A.N. : On consid` ere un gaz d’H´ elium dans les conditions normales de temp´ erature et de pression.
Calculer ∆x, ∆p puis ∆x∆p/h. Calculer ´ egalement la longueur Λ T . Donner la valeur de l’entropie par atome S ∗ /N k B .
4.2 Extensivit´ e et paradoxe de Gibbs
Nous clarifions le rˆ ole de l’indiscernabilit´ e dans le calcul de l’entropie du gaz parfait classique.
1/ Extensivit´ e.– Rappeler la propri´ et´ e d’extensivit´ e attendue pour l’entropie S ∗ (E, V, N ), en g´ en´ eral.
2/ “Atomes discernables”.– A la fin du XIX ` e , il n’y avait pas de justification pour introduire le facteur 1/N ! li´ e ` a l’indiscernabilit´ e des atomes dans le calcul de la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee.
a/ Donner l’expression de la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee Φ disc (E) si les atomes ´ etaient discernables (on utilisera le r´ esultat de l’exercice 3.3 ou l’exercice pr´ ec´ edent). D´ eduire l’expression de l’en- tropie microcanonique correspondante S disc ∗ .
b/ Paradoxe de Gibbs.– On consid` ere deux gaz identiques occupant deux volumes ´ egaux s´ epar´ es par une paroi. Justifier que lorsqu’on enl` eve la paroi, l’entropie du syst` eme varie de
∆S melange = S disc ∗ (2E, 2V, 2N ) − 2S ∗ disc (E, V, N ) (48) et calculer cette variation. Pourquoi ce r´ esultat est-il paradoxal ?
3/ Indiscernabilit´ e.– Comparer S disc ∗ (E, V, N ) avec la formule de Sackur-T´ etrode et discuter
l’extensivit´ e dans les deux cas. V´ erifier que, si la variation d’entropie est calcul´ ee avec S indisc ∗
(Sackur-Tetrode), on a ∆S melange = 0.
4.3 Cristal paramagn´ etique et temp´ eratures (absolues) n´ egatives
Consid´ erons un syst` eme form´ e de N spins 1/2 fix´ es aux nœuds d’un r´ eseau cristallin et plac´ es dans un champ magn´ etique uniforme B ~ = B ~ u z . Chaque spin porte un moment magn´ etique
~
m = γ ~ S, o` u γ est le facteur gyromagn´ etique. On suppose que les ´ energies d’interaction entre spins sont n´ egligeables devant l’´ energie de couplage entre les moments magn´ etiques de spin et le champ ext´ erieur.
On note ε ± = ∓ε B les ´ energies des deux ´ etats quantique pour un spin, o` u ε B = γ ~ B/2. Dans le cristal, on note N + , resp. N − , le nombre de moments align´ es selon B ~ , resp. oppos´ es ` a B. ~ 1/ Etablir les expressions de ´ N + et N − en fonction de N , ε B et de l’´ energie totale E du syst` eme.
2/ Calculer le nombre d’´ etats accessibles Ω(E, N, B) si l’´ energie du syst` eme isol´ e est fix´ ee.
Doit-on tenir compte de l’indiscernabilit´ e ?
3/ D´ eduire l’entropie microcanonique S ∗ du syst` eme lorsque N + 1 et N − 1. Repr´ esenter S ∗ en fonction de l’´ energie E.
4/ Calculer la temp´ erature microcanonique T ∗ du syst` eme en fonction de l’´ energie, et discuter son signe. Tracer T ∗ en fonction de E. D´ ecrire l’´ etat du syst` eme lorsque E → E min et E → E max
et discuter le signe de T ∗ dans les deux cas.
Figure 6 : Un enregistrement typique de l’inversion de l’aimantation nucl´ eaire. L’aimanta- tion de l’´ echantillon est test´ ee toutes les 30 secondes par une exp´ erience de RMN. Les bandes verticales sur le relev´ e correspondent ` a un intervalle de 1 minute. Sur la gauche un signal caract´ eristique de l’´ etat d’´ equilibre normal (T ∗ ≈ 300 K), suivi d’une aimantation invers´ ee (T ∗ ≈ −350K), qui se d´ esexcite via un signal nul (avec donc un passage de T ∗ = −∞ ` a T ∗ = ∞) vers l’´ etat d’´ equilibre initial. La figure est tir´ ee de l’article : E. M. Purcell and R. V. Pound, Physical Review 81,
A nuclear spin system at negative temperature
, p. 279 (1951).
4.4 Les temp´ eratures (absolues) n´ egatives sont les plus chaudes !
Dans l’exercice pr´ ec´ edent, nous avons obtenu la temp´ erature microcanonique pour les spins nucl´ eaires d’un cristal, que nous noterons T mag ∗ (E) (elle est associ´ ee ` a l’´ energie magn´ etique).
Des inversions de population correspondant ` a des temp´ eratures n´ egatives ont ´ et´ e observ´ ees dans
un cristal de fluorure de lithium. Dans ce syst` eme, le temps de relaxation pour l’interaction
mutuelle entre les spins nucl´ eaires (τ 1 ∼ 10 −5 s) est tr` es court devant le temps de relaxation
pour l’interaction entre les spins et le r´ eseau (τ 2 ∼ 5 mn). On peut donc rapidement arriver (sur
une ´ echelle τ 1 ) ` a un ´ equilibre thermodynamique du syst` eme de spins nucl´ eaires avant que ce
syst` eme ne se thermalise avec les vibrations du r´ eseau. L’exp´ erience consiste alors ` a placer le
cristal dans un champ magn´ etique et ` a renverser tr` es brutalement celui-ci. On est alors, pendant un temps de l’ordre de τ 2 dans un ´ etat de temp´ erature n´ egative (cf. figure 6).
L’exercice vise ` a d´ ecrire les ´ echanges thermiques avec les degr´ es de libert´ e de vibrations du cristal. Pour cela on mod´ elise l’´ energie de vibration comme celle de 3N oscillateurs harmoniques identiques et ind´ ependants (mod` ele d’Einstein) :
H vib =
3N
X
i=1
p 2 i 2m + 1
2 mω 2 q 2 i
(49) Les oscillateurs peuvent ˆ etre consid´ er´ es discernables car ils sont associ´ es aux vibrations des atomes (indiscernables) “attach´ es” aux nœuds (discernables) du r´ eseau. On les traitera classi- quement.
1/ Calculer le nombre de micro´ etats accessibles pour l’´ energie de vibration Φ vib (E). D´ eduire l’entropie S vib ∗ et la temp´ erature T vib ∗ correspondantes.
2/ Discuter le contact thermique entre les spins nucl´ eaires et les vibrations des atomes du cristal.
En comparant les deux situations o` u la temp´ erature magn´ etique initiale T mag ∗ (i) est soit > 0 soit
< 0, justifier que les temp´ eratures n´ egatives sont plus chaudes que les temp´ eratures positives.
4.5 Contact thermique entre deux boˆıtes cubiques
On consid` ere un syst` eme ferm´ e compos´ e de deux boˆıtes cubiques identiques de cˆ ot´ e L. Les
´
energies des niveaux les plus bas d’une boˆıte cubiques (avec conditions de Dirichlet) et leur d´ eg´ en´ erescence sont rappel´ ees dans le tableau en fin d’exercice. On notera I et II ces deux boˆıtes que l’on met en contact l’une avec l’autre. Le syst` eme total est suppos´ e ˆ etre entour´ e d’une paroi adiabatique.
1. ` a l’instant initial t = 0, chaque boˆıte contient une particule mais leur ´ energie est diff´ erente : E I = 12 ε 0 et E II = 18 ε 0 o` u ε 0
def= 8mL h
22.
Calculer le nombre de micro-´ etats accessibles au syst` eme I, au syst` eme II et au syst` eme total.
2. La paroi qui s´ epare les deux boˆıtes permet les ´ echanges de chaleur. Le syst` eme total ´ etant hors d’´ equilibre, il va ´ evoluer vers un ´ etat d’´ equilibre.
Quelle quantit´ e est conserv´ ee durant cette transformation ?
Quelles sont les ´ energies possibles E I et E II pour les syst` emes I et II ? Quels sont les micro-´ etats accessibles au syst` eme ? Combien y en a-t-il ? Dans quel sens le nombre de micro-´ etats a-t-il vari´ e et de combien ? 3. On suppose maintenant que le syst` eme a atteint son ´ etat d’´ equilibre.
Quelle est la probabilit´ e d’obtenir un micro-´ etat donn´ e ?
Quelle est la probabilit´ e pour que le syst` eme I ait l’´ energie 6 ε 0 , 9 ε 0 , 15 ε 0 ? Tracer la distribution en ´ energie des syst` emes I et II ` a l’´ equilibre.
Donner leur ´ energie la plus probable.
4. Refaites l’exercice en consid´ erant que chaque boˆıte contient deux particules discernables.
5. Refaites l’exercice en consid´ erant que chaque boˆıte contient deux particules indiscernables
(qui sont des fermions de spin z´ ero).
une particule deg´ en.
dans une boˆıte du niveau
3 0 3 = 1 2 + 1 2 + 1 2 1 6 0 6 = 1 2 + 1 2 + 2 2 3 9 0 9 = 1 2 + 2 2 + 2 2 3 11 0 11 = 1 2 + 1 2 + 3 2 3 12 0 12 = 2 2 + 2 2 + 2 2 1 14 0 14 = 1 2 + 2 2 + 3 2 6 17 0 17 = 2 2 + 2 2 + 3 2 3 18 0 18 = 1 2 + 1 2 + 4 2 3 19 0 19 = 1 2 + 3 2 + 3 2 3 21 0 21 = 1 2 + 2 2 + 4 2 6 22 0 22 = 2 2 + 3 2 + 3 2 3 24 0 24 = 2 2 + 2 2 + 4 2 3 26 0 26 = 1 2 + 3 2 + 4 2 6 27 0 27 = 1 2 + 1 2 + 5 2
27 = 3 2 + 3 2 + 3 2 4 29 0 29 = 2 2 + 3 2 + 4 2 6 30 0 30 = 1 2 + 2 2 + 5 2 6
deux particules deg´ en.(*) deg´ en.(**) dans une boˆıte du niveau du niveau
6 0 1 imposs.
9 0 6 3
12 0 15 6
14 0 6 3
15 0 20 10
17 0 30 15
18 0 15 6
20 0 60 30
21 0 12 6
22 0 15 9
23 0 60 30
24 0 31 15
25 0 60 30
(*) deux particules discernables de mˆ eme masse.
(**) deux fermions identiques de spin 0.
4.6 Isothermes et isentropes d’un gaz parfait
Nous consid´ erons un gaz parfait isol´ e de N particules en dimension d. L’hypoth` ese centrale est que l’´ energie E des particules a pour origine l’´ energie cin´ etique de translation, d´ ecrite par le relation de dispersion
~ p ∝ ||~ p|| α ⇒ E ∝
N
X
i=1
||~ p i || α (50) Le probl` eme montre qu’` a partir de ces hypoth` eses assez faibles, la physique statistique permet de pr´ edire quelques propri´ et´ es int´ eressantes du gaz.
1/ Dilatations.– Rappeler comment l’impulsion est quantifi´ ee dans une boˆıte cubique de vo- lume V = L d . En d´ eduire comment l’´ energie du gaz (isol´ e) est modifi´ ee, E → E 0 , lors d’une dilatation V → V 0 = λV .
2/ Entropie.– Si l’on effectue une dilatation de mani` ere adiabatique, l’entropie du gaz reste inchang´ ee (la transformation apporte du travail au gaz mais pas de chaleur, i.e. les occupa- tions des ´ etats restent inchang´ ees bien que leurs caract´ eristiques soient modifi´ ees) : S ∗ (E, V ) → S ∗ (E 0 , V 0 ) = S ∗ (E, V ).
a/ D´ eduire que l’entropie du gaz peut s’´ ecrire sous la forme :
S ∗ (E, V ) = f (E V η ) (51)
o` u f (x) est une fonction que l’on ne cherchera pas ` a d´ eterminer ici. η est un exposant dont on donnera l’expression en fonction de d et α.
b/ R´ eintroduire N dans (51) afin de satisfaire les propri´ et´ es d’extensivit´ e.
3/ Pression et temp´ erature.– D´ eduire des expressions pour la temp´ erature T ∗ et la pression p ∗ microcanoniques. Montrer que le produit p ∗ V est proportionnel ` a l’´ energie.
4/ Gaz parfait classique.– Pour un gaz parfait classique on a ∂T ∂V
∗= 0.
a/ En d´ eduire l’expression de f (x). Quelle relation existe-t-il entre temp´ erature et ´ energie ? b/ On peut encore pr´ eciser la forme de la fonction : rappeler comment le nombre de micro´ etats accessibles d´ epend du volume dans un gaz parfait classique. Cons´ equence sur l’entropie micro- canonique ?
c/ Isothermes et isentropes.– Donner la relation liant p ∗ et V lors d’une transformation isotherme (` a T ∗ =cste), puis d’une transformation isentropique (` a S ∗ =cste). D´ eduire la valeur du coefficient γ = C p /C V (on rappelle que l’isentrope a pour ´ equation p ∗ V γ =cste). Dans le cas d = 3 et α = 2, que vaut ce coefficient ?
5/ Gaz parfait de fermions.– Nous consid´ erons maintenant le cas d’un gaz d´ eg´ en´ er´ e de fermions, pour lequel :
f (x) ' a 0
p b 0 x − 1 i.e. S ∗ (E, V ) ' a 0 N s
b 0
E N
V N
η
− 1 (52) o` u a 0 et b 0 sont deux param` etres qui d´ ependent des d´ etails microscopiques. Notons que cette expression n’est valable que pour b 0 x −1 1, lorsque l’´ energie est proche de sa valeur minimale.
a/ Isotherme.– Calculer la temp´ erature microcanonique. En d´ eduire la relation entre p ∗ et V pour V → 0 lorsque T ∗ =cste. Comparer au cas classique.
b/ Isentrope.– Donner la relation liant p ∗ et V lorsque S ∗ =cste. Comparer au cas classique.
Comment expliquer l’origine de ce r´ esultat ?
6/ Gaz parfait de bosons condens´ es.– Nous analysons maintenant le cas d’un ensemble de bosons identiques. Si d > α le ph´ enom` ene de condensation de Bose-Einstein apparaˆıt sous la temp´ erature T B ∼ (N/V ) α/d : une fraction macroscopique d’atomes se “condensent” dans l’´ etat fondamental. Dans ce cas (T ∗ 6 T B ) :
f (x) = c 0 x
d+αdi.e. S ∗ (E, V ) = c 0 N E
N V
N
η
d+αd(53) Donner l’´ equation de l’isotherme pour T ∗ 6 T B .
Remarque : on trouvera un corrig´ e du probl` eme au chapitre 5 de : C. Texier & G. Roux, Physique
statistique, Dunod, 2017.
TD 5 : Ensemble canonique
(syst` emes en contact avec un thermostat)
5.1 Le cristal de spin 1/2
On reprend (rapidement) l’´ etude du cristal de N spins 1/2 identiques plac´ es aux nœuds d’un r´ eseau cristallin (TD 4). Chaque spin peut se trouver dans deux ´ etats quantiques | ± i, d’´ energie ε ± = ∓ε B , o` u ε B = γ ~ B/2 ≡ m 0 B. Nous supposons les interactions entre spins n´ egligeables, ce qui permet de les supposer ind´ ependants. Le cristal est en contact avec un thermostat qui fixe sa temp´ erature ` a T .
1/ Quels sont les micro´ etats pour un spin ? Et pour le cristal ? Justifier que la fonction de partition canonique du cristal est simplement reli´ ee ` a celle d’un spin : Z cristal = (z spin ) N . Quelle est la probabilit´ e p ± pour qu’un spin se trouve dans l’´ etat quantique | ± i ? Tracer ces deux probabilit´ es en fonction de T et interpr´ eter.
2/ Calculer explicitement Z cristal puis d´ eduire l’´ energie magn´ etique moyenne du cristal E c en fonction de T . Comparer au calcul microcanonique de T ∗ en fonction de E (Exercice 4.3).
3/ Donner l’aimantation moyenne du cristal M(T, B) (sans calcul suppl´ ementaire) et la tracer en fonction de B. Interpr´ eter.
5.2 Le gaz parfait monoatomique
On reprend l’analyse de la thermodynamique du gaz parfait monoatomique (exercice 4.1), dans le cadre de l’ensemble canonique. Le gaz de N atomes est contenu dans un volume V et maintenu
`
a temp´ erature T . On traite le probl` eme classiquement.
1/ En utilisant la r` egle semiclassique de sommation dans l’espace des phases (cf. annexe), mon- trer que la fonction de partition canonique du gaz est de la forme
Z = 1
N ! (z atome ) N ∼ e N z atome N
N
(54) et exprimer z atome en fonction de la longueur thermique Λ T
def
= p
2π~ 2 /(mk B T ).
A.N. : Calculer Λ T pour des atomes d’H´ elium ` a temp´ erature ambiante.
2/ D´ eduire l’´ energie libre du gaz ` a la limite thermodynamique. On ´ ecrira le r´ esultat pour rendre explicite les propri´ et´ es d’extensivit´ e.
3/ Calculer l’´ energie moyenne du gaz, puis la capacit´ e calorifique dont on rappelle la d´ efinition : C V
def
= ∂E c (T, V, N )
∂T ( i.e. C V = ∂E ∂T
V,N dans les (horribles) notations de la thermo ) (55) D´ eterminer les fluctuations de l’´ energie du syst` eme Var(E)
def= E 2 c − E c 2
(rappeler le lien avec C V ). Comparer les fluctuations ` a la valeur moyenne.
4/ Calculer la pression canonique p c . Commenter.
5/ Calculer l’entropie canonique S c . Comparer ` a la formule de Sackur-Tetrode.
6/ Calculer le potentiel chimique canonique µ c .
7/ Validit´ e du traitement semiclassique : En examinant S c , identifier le r´ egime de validit´ e du calcul semiclassique. D´ efinir une ´ echelle de densit´ e (fonction de T ) au dessus de laquelle l’ana- lyse pr´ esente n’est plus valable. De mani` ere ´ equivalente, identifier une ´ echelle de temp´ erature T ∗
(fonction de n), en dessous de laquelle le calcul classique n’est pas justifi´ e. Que vaut le potentiel chimique au seuil de validit´ e ?
5.3 Gaz parfait diatomique
On ´ etudie la thermodynamique d’un gaz de mol´ ecules diatomiques. Outre l’int´ erˆ et physique
´
evident de l’exercice, il va nous permettre d’illustrer deux points importants :
• La factorisation de la fonction de partition canonique pour les probl` emes s´ eparables (d´ ecoupl´ es).
• Le gel quantique de certains degr´ es de libert´ e ` a basse temp´ erature.
Chaque mol´ ecule (deux atomes, i.e. 6 degr´ es de libert´ e) poss` ede trois degr´ es de libert´ e de translation, deux degr´ es de libert´ e de rotation et un degr´ e de libert´ e de vibration. On introduit P ~ l’impulsion totale, ~ ` le moment orbital caract´ erisant la rotation de la mol´ ecule, et (r, p r ), un couple de variables canoniquement conjugu´ ees d´ ecrivant la vibration de la mol´ ecule (coordonn´ ees relatives). Au voisinage de l’´ etat d’´ equilibre pour la liaison, r ∼ r ∗ , l’hamiltonien d’une mol´ ecule est de la forme :
H ' P ~ 2 2M +
~ ` 2 2I + p 2 r
2m r
+ 1
2 m r ω 2 (r − r ∗ ) 2 − E liaison . (56)
(K)
rot T vib
0 5 10
1 2 3
50 100 500 1000 5000
experiment theory
T C V /Nk B
T
Figure 7 : Capacit´ e calorifique d’un gaz d’hydrog` ene HD (deut´ erium-hydrog` ene). T rot
def
=
~ 2 /2k B I et T vib
def
= ~ω/k B . Donn´ ees tir´ ees de : R. Balian,
From microscopic to macrosco- pic I
.
1/ Donner les spectres (quantiques) des ´ energies de translation, de rotation et de vibration.
Montrer que la fonction de partition pour une mol´ ecule peut se factoriser comme :
z = z trans z rot z vib e βE
liaison. (57)
Donner l’expression explicite des fonctions de partition (sous forme de sommes). Rappeler com- ment la fonction de partition du gaz s’exprime en fonction de z dans l’approximation de Maxwell- Boltzmann.
2/ R´ egime classique de haute temp´ erature.
a ) Calculer la fonction de partition canonique du gaz Z dans l’approximation semiclassique (~ → 0), lorsque tous les degr´ es de libert´ e sont trait´ es classiquement (soit en rempla¸ cant les sommes sur les nombres quantiques par des int´ egrales, soit en repartant de la r` egle semiclassique).
Discuter le r´ egime de validit´ e du r´ esultat (condition(s) sur T ).
b) D´ eduire l’´ energie moyenne, puis la capacit´ e calorifique du gaz dans cette limite. Comparer aux donn´ ees exp´ erimentales (Fig. 7).
3/ Gel quantique.— Aux plus basses temp´ eratures les diff´ erents degr´ es de libert´ e ne peuvent pas toujours ˆ etre trait´ es classiquement.
a ) Que devient l’´ energie moyenne de vibration dans la limite k B T ~ ω ? Mˆ eme question pour l’´ energie moyenne de rotation lorque k B T ~ 2 /I .
b) En repartant des expressions des fonctions de partitions z rot et z vib , donner une approximation des ´ energies moyennes de rotation et de vibration pour T → 0.
c) D´ eduire l’allure de la capacit´ e calorifique du gaz en fonction de la temp´ erature (on admettra que ~ 2 /I ~ ω). Commenter la figure.
5.4 Paramagn´ etisme de Langevin
On se propose de d´ eterminer l’´ equation d’´ etat d’une substance paramagn´ etique, i.e. la relation existant entre le moment magn´ etique total M ~ de la substance, sa temp´ erature T et l’induction magn´ etique B ~ dans laquelle le solide est plong´ e. On consid` ere N atomes ind´ ependants, fix´ es aux nœuds d’un r´ eseau cristallin, poss´ edant chacun un moment magn´ etique m ~ de module constant, que nous allons traiter, dans ce premier exercice, comme un vecteur classique.
Consid´ erons un atome en particulier. En l’absence de champ, son moment magn´ etique peut s’orienter dans une direction quelconque, rep´ er´ ee par ses angles θ et ϕ. En pr´ esence du champ magn´ etique B ~ dirig´ e suivant Oz, le moment magn´ etique acquiert une ´ energie :
H mag = −~ m · B ~ = −m 0 B cos θ , (58) o` u m 0 = ||~ m||. En assimilant le moment magn´ etique ` a un bˆ aton rigide de moment d’inertie I, sa dynamique est r´ egie par l’hamiltonien 3
H = 1
2 I p 2 θ + p 2 ϕ sin 2 θ
!
+ H mag . (59)
1. Calculer la fonction de partition canonique associ´ ee ` a H. On ´ ecrira le r´ esultat sous la forme z = z cin z mag o` u z mag = 1 pour B = 0. Montrer que z cin = Vol/e Λ 2 T o` u Λ e T est une longueur thermique et Vol un volume accessible. Exprimer z mag en fonction de x = βm 0 B.
2. Donner l’expression de la densit´ e de probabilit´ e w(θ, ϕ) pour que le moment pointe dans la direction (θ, ϕ). V´ erifier la normalisation. Tracer l’allure de w(θ, ϕ) en fonction de θ.
3. Calculer le moment magn´ etique moyen par atome, m z c . On appellera aimantation du milieu la quantit´ e M = N m z c [on pourra utiliser l’annexe, i.e. consid´ erer ∂z/∂B].
4. Discuter le comportement de l’aimantation du milieu paramagn´ etique en fonction du champ B et de la temp´ erature. Retrouver ` a haute temp´ erature la loi de Curie : M ∝ B/T
3
