Tabledesmati`eres PhysiqueStatistiqueExercicesdeTravauxDirig´es

Licence 3 et Magist` ere de physique

Physique Statistique

Exercices de Travaux Dirig´ es

17 f´ evrier 2021

Table des mati` eres

Pr´ esentation 3

Formulaire 3

TD 1 : Marche al´ eatoire et th´ eor` eme de la limite centrale 5

1.1 Loi binomiale et marche al´ eatoire (*) . . . . 5

TD 2 : Espace des phases et ergodicit´ e 8 2.1 Evolution dans l’espace des phases et th´ ´ eor` eme de Liouville . . . . 8

2.2 Th´ eor` eme H . . . . 9

2.3 Chaos et ergodicit´ e . . . . 10

2.4 Ergodicit´ e pour une bille dans un fluide . . . . 11

2.5 De la moyenne temporelle ` a la moyenne statistique – exemple (acad´ emique !) de l’oscillateur harmonique 1D (*) . . . . 12

TD 3 : Densit´ es d’´ etats 13 3.1 Syst` emes ` a deux niveaux (*) . . . . 13

3.2 Volume de l’hypersph` ere . . . . 13

3.3 Densit´ e d’´ etats semiclassique des particules libres (*) . . . . 13

3.4 Densit´ e d’´ etats d’une particule libre relativiste (*) . . . . 14

3.5 Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques (*) . . . . 14

3.A

R` egle semi-classique de sommation dans l’espace des phases . . . . 15

TD 4 : Postulat fondamental et ensemble microcanonique 16 4.1 Gaz parfait classique monoatomique – Formule de Sackur-Tetrode (*) . . . . 16

4.2 Extensivit´ e et paradoxe de Gibbs (*) . . . . 16

4.3 Cristal paramagn´ etique et temp´ eratures (absolues) n´ egatives (*) . . . . 17

4.4 Les temp´ eratures (absolues) n´ egatives sont les plus chaudes ! (*) . . . . 17

4.5 Contact thermique entre deux boˆıtes cubiques . . . . 18

4.6 Isothermes et isentropes d’un gaz parfait . . . . 19

TD 5 : Ensemble canonique (syst` emes en contact avec un thermostat) 21

5.1 Le cristal de spin 1/2 (*) . . . . 21

5.2 Le gaz parfait monoatomique (*) . . . . 21

5.3 Gaz parfait diatomique (*) . . . . 22

5.4 Paramagn´ etisme de Langevin (*) . . . . 23

5.5 Paramagn´ etisme de Brillouin (traitement quantique) (*) . . . . 24

5.6 Gaz : parfaits, confin´ es, non parfaits, etc . . . . 25

5.7 Fonction de partition d’une particule dans une boˆıte – rˆ ole des conditions aux limites . . . . 26

5.8 Gaz de particules indiscernables dans un puits harmonique . . . . 27

5.A

R` egle semiclassique de sommation dans l’espace des phases . . . . 28

5.B

Moyenne canonique d’une quantit´ e physique . . . . 28

TD 6 : Th´ eorie cin´ etique 29 6.1 Distribution de Maxwell (*) . . . . 29

6.2 Pression d’un gaz (*) . . . . 29

6.3 Effusion . . . . 30

TD 7 : Thermodynamique des oscillateurs harmoniques 32 7.1 Vibration des corps solides (*) . . . . 32

7.2 Thermodynamique du rayonnement ´ electromagn´ etique (*) . . . . 34

7.3 Equilibre mati` ´ ere-rayonnement et ´ emission spontan´ ee . . . . 34

TD 8 : Ensemble grand-canonique (syst` eme en contact avec un r´ eservoir de particules) 36 8.1 Gaz parfait (*) . . . . 36

8.2 Adsorption d’un gaz ` a la surface d’un solide (*) . . . . 36

8.3 Fluctuations de l’´ energie . . . . 37

8.4 Fluctuations de densit´ e dans un fluide – Compressibilit´ e . . . . 38

TD 9 : Syst` emes en interaction et transitions de phases 40 9.1 Sublimation . . . . 40

9.2 Chaˆıne d’Ising et matrices de transfert (*) . . . . 41

9.3 Corr´ elations dans le mod` ele d’Ising unidimensionnel . . . . 42

9.4 Mod` ele de Curie-Weiss : transition

(*) . . . . 43

9.5 Mod` ele d’Ising et gaz sur r´ eseau . . . . 44

9.6 Mod` ele d’Ising f´ erromagn´ etique et antiferromagn´ etisme sur r´ eseau hypercubique – analyse de champ moyen . . . . 45

9.7 La m´ ethode variationnelle . . . . 47

Pr´ esentation

•

Les exercices incontournables sont rep´ er´ es par une

*

.

•

La version en ligne (http://lptms.u-psud.fr/christophe_texier/) contient quelques exercices suppl´ ementaires.

Formulaire

Int´ egrales gaussiennes Une int´ egrale, reli´ ee ` a Γ(1/2),

Z

R

dx e

=

2π

a (0.1)

Une int´ egrale, reli´ ee ` a Γ(3/2),

R

dx x

e

= 1 a

r

2π

a (0.2)

Plus g´ en´ eralement

Z ∞

0

dx x

e

= 1 2

2 a

ⁿ⁺¹

2

Γ

n + 1 2

(0.3) o` u Γ(z) est la fonction Gamma (cf. ci-dessous). La transform´ ee de Fourier de la gaussienne :

Z

R

dx e

=

2π

a e

(0.4)

Fonction Gamma d’Euler Γ(z)

=

Z ∞

0

dt t

e

pour Re z > 0 (0.5)

Remarque : toutes les int´ egrales du type

0

dx x

e

peuvent s’exprimer ` a l’aide de la fonc- tion Γ.

La relation fonctionnelle (facile ` a d´ emontrer) :

Γ(z + 1) = z Γ(z) (0.6)

permet de prolonger analytiquement la fonction Γ ` a l’autre moiti´ e du plan complexe, Re z

0.

Valeurs particuli` eres : Γ(1) = 1 & Γ(1/2) =

π d’o` u, par r´ ecurrence,

Γ(n + 1) = n! (0.7)

Γ(n + 1 2 ) =

√

π

2

(2n

1)!! (0.8)

o` u (2n

1)!!

= 1

3

5

(2n

1) =

et (2n)!!

= 2

4

(2n) = 2

n!.

Fonction Beta d’Euler B(µ, ν) =

Z 1 0

dt t

(1

t)

= 2

0

dθ sin

θ cos

θ = Γ(µ)Γ(ν)

Γ(µ + ν) (0.9) Formule de Stirling

Γ(z + 1)

2πz z

e

i.e ln Γ(z + 1) = z ln z

z + 1

2 ln(2πz) +

(0.10) qui sera en pratique souvent utilis´ ee pour calculer ln(n!)

n ln n

n ou

ln(n!)

ln n.

Volume de l’hypersph` ere

VD

= π

Γ(

+ 1) (0.11)

Formule du binˆ ome (x + y)

=

N

X

n=0

C

x

y

o` u C

N

n

def

= N !

n!(N

n)! (0.12) et sa g´ en´ eralisation

(x

+

+ x

)

=

m1,···,mM

t.q. P

kmk=N

N !

m

!

m

! x

x

(0.13)

Autres int´ egrales utiles

0

dx x

e

1 = Γ(α) ζ(α) o` u ζ(α) =

∞

X

n=1

n

(0.14)

est la fonction zeta d’Euler. On a ζ(2) =

, ζ (3)

1.202, ζ(4) =

, etc.

Z ∞

0

dx x

sh

x = π

30 (0.15)

(on peut la d´ eduire de la relation pr´ ec´ edente pour α = 4).

TD 1 : Marche al´ eatoire et th´ eor` eme de la limite centrale

1.1 Loi binomiale et marche al´ eatoire (*)

Nous ´ etudions le d´ eplacement d’un marcheur pouvant se mouvoir sur un axe : ` a chaque pas de temps il choisit d’aller soit ` a droite avec probabilit´ e p

[0, 1], soit vers la gauche avec probabilit´ e q = 1

p (cf. Fig. 1.1). Chaque pas est ind´ ependant du pr´ ec´ edent.

x q =1− p p

−2 −1 0

... +1 +2 ...

time

x

Figure

1.1 : Marcheur sur un axe. ` A droite : on a g´ en´ er´ e al´ eatoirement 20 marches sym´ etriques de 100 pas chacune.

A. Loi binomiale.

1/ Distribution.– Apr` es M pas, quelle est la probabilit´ e Π

(n) pour que le marcheur ait fait n pas ` a droite ? V´ erifier la normalisation.

2/ Expression des moments.– Exprimer le k` eme moment, i.e.

n

, comme une somme (at- tention, le nombre de pas n est la variable al´ eatoire alors que M est un param` etre du probl` eme).

Savez-vous calculer cette somme ?

3/ Calcul des moments : fonction g´ en´ eratrice.– On introduit une fonction auxiliaire, appel´ ee “fonction g´ en´ eratrice”,

G

(s)

=

, (1.1)

fonction de la variable s (´ eventuellement complexe).

a ) Supposant connue la fonction G

(s), comment d´ eduire en principe les moments ?

b) Pour la loi binomiale Π

(n) d´ etermin´ ee pr´ ec´ edemment, calculer explicitement G

(s) ; d´ eduire

et

puis la variance Var(n)

=

. Comparer les fluctuations ` a la valeur moyenne.

c)

on introduit une autre d´ efinition pour la fonction g´ en´ eratrice : W

(β )

= ln G

(e

), o` u β est appel´ ee “variable conjugu´ ee ” (de la variable al´ eatoire). V´ erifier que le d´ eveloppement pour β

0 est W

(β) =

+ (β

/2) Var(n) +

(ce qui donne la va- riance plus rapidement). On pourra essayer de justifier plus g´ en´ eralement ce d´ eveloppement en comparant les d´ efinitions de G

(s) et W

(β ).

4/ Limite M

Dans cette question on analyse directement la distribution dans la limite M

evelopper ln Π

(n) autour de son maximum n = n

. Justifier que Π

(n) est approximativement gaussienne dans la limite M

(pr´ eciser une condition sur p). Tracer soigneusement l’allure de la distribution.

B. Marcheur.– On revient ` a l’´ etude du marcheur, dont la position sur l’axe est x. La longueur d’un pas est a.

1/ Exprimer x en fonction du nombre de sauts vers la droite n. D´ eduire les deux premiers

moments de x (en utilisant les r´ esultats du A).

2/ Vitesse de d´ erive.– Le marcheur attend un temps τ entre deux sauts. Exprimer la vitesse de d´ erive

V

= lim

t→∞

hxi_t

t (1.2)

en fonction de a, τ et la probabilit´ e p ;

est la moyenne au temps t = M τ .

3/ Constante de diffusion.– Afin de caract´ eriser l’´ etalement de la distribution du marcheur, on introduit la constante de diffusion

D

= lim

t→∞

x

t− hxi²_t

2t (1.3)

Exprimer D en fonction des param` etres du probl` eme.

4/ Limite continue.– On traite la position comme une variable al´ eatoire continue. Donner l’expression de la densit´ e de probabilit´ e P

(x) de la position du marcheur au temps t. V´ erifier la normalisation (dans le cas p = 1/2, on pourra discuter la relation pr´ ecise entre Π

(n) et P

(x)).

C. Les sauts sont des variables al´ eatoires continues – Universalit´ e.– On consid` ere un autre mod` ele de marche al´ eatoire : la position du marcheur n’est plus contrainte ` a ˆ etre sur un r´ eseau de points mais peut prendre une valeur variant continˆ ument dans

. ` A chaque intervalle de temps, il fait un saut distribu´ e avec la loi p(h).

1/ Justifier que la distribution de la position au temps t ob´ eit ` a la r´ ecurrence P

(x) =

Z

dh p(h) P

(x

h) . (1.4)

On choisit maintenant une des deux m´ ethodes propos´ ees ci-dessous pour r´ esoudre cette

´

equation.

2/ M´ ethode 1 : pour la marche gaussienne sym´ etrique.– On consid` ere une loi gaussienne sym´ etrique p(h) = (

2π σ)

exp

−h²

/(2σ

) . En utilisant un r´ esultat connu sur la convolution des gaussiennes, d´ eduire P

(x). Donner l’expression de la constante de diffusion en fonction de τ et σ.

time

x

Figure

1.2 : 50 marches g´ en´ er´ ees ` a partir de 100 sauts distribu´ es par une loi gaussienne.

3/ M´ ethode 2 : pour le cas g´ en´ eral.– On ne sp´ ecifie pas la forme explicite de la loi p(h). On fait seulement deux hypoth` eses assez faibles : ses deux premiers “moments” sont finis,

<

et

<

ere des “petits” intervalles de temps, τ

0, et des “petits” pas (la largeur de p(h) tend vers z´ ero).

a ) Donner des exemples pour p(h) (avec diff´ erents types de d´ ecroissance ` a grand h, exponentielle,

loi de puissance,...).

b) On fait l’hypoth` ese que la distribution P

(x) est une fonction qui varie “lentement” avec t (` a l’´ echelle de τ ) et avec x (` a l’´ echelle de h). Dans l’´ equation int´ egrale (1.4), d´ evelopper P

(x) au premier ordre en τ et P

(x

h) au deuxi` eme ordre en h.

c) On suppose que les trois param` etres τ

,

et

tendent simultan´ ement vers z´ ero, proportionnellement au param` etre

0

. Montrer qu’on obtient une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles pour P

(x), qu’on ´ ecrira en termes de V et D.

d ) Donner la solution de l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles (la m´ ethode de r´ esolution la plus simple est de fouri´ eriser en espace).

e)

Propri´ et´ es de la marche al´ eatoire.– On note h

le saut effectu´ e au temps t (distribu´ e par la loi p(h)). On suppose

= 0 pour simplifier la discussion. On note x(t) le “processus”. Son ´ evolution est contrˆ ol´ ee par x(t + τ ) = x(t) + h

. Dans la limite continue, comment

x(t + δt)

x(t)

i

d´ epend-t-il de δt ? Discuter la continuit´ e et la diff´ erentiabilit´ e du processus al´ eatoire x(t) dans la limite continue.

4/ Universalit´ e.– Expliquer pourquoi les diff´ erents mod` eles de marcheurs conduisent tous ` a la mˆ eme loi universelle P

(x), dans la limite d’un grand nombre de pas (ou de mani` ere ´ equivalente, dans la limite

0).

D. Cas d-dimensionnel et application.

1/ On consid` ere un marcheur dans

. ` A chaque pas il fait maintenant un saut δx ~ = h

~ e

+· · ·+

h

~ e

, o` u les h

sont d variables al´ eatoires ind´ ependantes, d´ ecrites par la mˆ eme loi sym´ etrique p(h). D´ eduire la distribution de la position du marcheur dans

(on utilisera le r´ esultat du C pour d = 1).

2/ Exprimer

x

efinie plus haut dans le cas unidi- mensionnel (on pourra donc consid´ erer

x

pour i = j et i

j).

3/ Loi jointe

loi marginale.– ~ x

est distribu´ e par la loi gaussienne obtenue ` a la limite d’un grand nombre de sauts. Comment passer de la distribution jointe P

(x, y) ` a la loi marginale Q

(r) de r =

x

+ y

? Comparer le calcul de

x

` a partir de P

(x, y) et de Q

(r).

Calculer la valeur moyenne

puis la valeur typique r

(pour laquelle Q

(r) est maximum).

Tracer soigneusement Q

(r).

4/ Application : mol´ ecule dans un gaz.– Typiquement, dans un gaz ` a temp´ erature am-

biante, une mol´ ecule a une vitesse v

500 m/s et subit des chocs avec d’autres mol´ ecules tous

les τ

2 ns. Comparer la distance typique couverte entre deux chocs avec la distance typique ` a

la mol´ ecule la plus proche (pour p = 1 atm, T = 300 K). Comparer le mouvement diffusif de la

mol´ ecule apr` es une seconde (nombre de chocs, distance typique finalement parcourue), avec le

mouvement balistique.

TD 2 : Espace des phases et ergodicit´ e

2.1 Evolution dans l’espace des phases et th´ ´ eor` eme de Liouville

Nous discutons diverses propri´ et´ es de l’´ evolution temporelle de la distribution dans l’espace des phases pour un syst` eme conservatif. Pour simplifier, nous consid´ erons la situation unidimen- sionnelle (l’extension au cas multi-dimensionnel et/ou ` a plusieurs particules, ne pose aucune difficult´ e) : une particule dont la dynamique est d´ ecrite par la fonction de Hamilton H(q, p).

A. Th´ eor` eme de Liouville.— Nous montrons dans un premier temps que l’´ evolution tem- porelle conserve la mesure dans l’espace des phases. L’´ evolution temporelle gouvern´ ee par les

´

equations de Hamilton, i.e. la trajectoire physique (Q(t), P (t)) dans l’espace des phases est une solution des ´ equations diff´ erentielles coupl´ ees

Q(t) = ˙ ∂H

∂p (Q(t), P (t)) et P ˙ (t) =

∂H

∂q (Q(t), P (t)) . (2.1) L’´ evolution pendant un temps infinit´ esimal δt mappe le point (q

, p

) sur le point (q

, p

), via la transformation (non lin´ eaire en g´ en´ eral) :

q

q

+ δt ∂H

∂p (q

, p

) (2.2)

p

p

δt ∂H

∂q (q

, p

) (2.3)

Montrer que le volume infinit´ esimal dq

dp

est transform´ e en un volume ´ egal dq

dp

(` a l’ordre δt

).

p

q

Figure

2.1 : Trois trajectoires d’un petit volume de l’espace des phases sont repr´ esent´ ees : l’´ evolution temporelle conserve la mesure dqdp.

B. ´ Equation de Liouville.— On introduit la densit´ e de probabilit´ e ρ

(q, p) dans l’espace des phases, i.e.

Proba{(Q(t), P (t))

volume dqdp autour de (q, p)} = ρ

(q, p) dqdp . (2.4) 1/ Pour trouver l’´ equation d’´ evolution de la densit´ e. Soit une fonction test ϕ(q, p), on consid` ere

hϕ(Q(t), P

(t))i =

dqdp ρ

(q, p) ϕ(q, p) (2.5)

o` u la moyenne est prise sur les trajectoires physiques (Q(t), P (t)). Consid´ erer la d´ eriv´ ee ∂

(t))i et d´ eduire l’´ equation d’´ evolution de ρ

(q, p).

Facultatif :

on pourra retrouver le r´ esultat plus directement en utilisant la repr´ esentation

ρ

(q, p) =

(q

Q(t)) δ (p

P (t))i.

2/ Montrer que l’´ equation d’´ evolution peut s’´ ecrire comme

∂

∂t ρ

(q, p) =

o` u

,

= ∂A(q, p)

∂q

∂B(q, p)

∂p

∂B(q, p)

∂q

∂A(q, p)

∂p (2.6)

est le crochet de Poisson des deux observables.

3/ a) ´ Ecrire explicitement l’´ equation de Liouville pour H = p

/(2m) + V (q).

b) ´ Evolution libre. R´ esoudre l’´ equation de Liouville pour l’´ evolution libre pour une condition initiale (` a t = 0) de la forme ρ

(q, p) = f (q) g(p).

Indication :

on pourra ´ ecrire la densit´ e initiale sous la forme ρ

(q, p) = δ(q

) δ(p

p

) et ´ ecrire ρ

(q, p) correspondant ` a l’´ evolution libre.

C. Mesures d’´ equilibre.

1/ Justifier que la forme

ρ

(q, p) = Φ(H(q, p)) (2.7)

est une solution stationnaire possible, o` u Φ(ξ) est une fonction arbitraire.

2/ Les choix Φ(ξ) = Ω

δ(ξ

E) et Φ(ξ) = Z

e

correspondent respectivement aux en- sembles microcanonique et canonique. Donner l’expression g´ en´ erale de la constante de normali- sation dans chacun des cas.

3/ Calculer explicitement de Ω

et Z

dans le cas de l’oscillateur harmonique, i.e. pour H(q, p) = p

/(2m) + (1/2)mω

q

.

2.2 Th´ eor` eme H

Dans l’exercice pr´ ec´ edent, nous avons ´ evoqu´ e l’existence de diverses mesures d’´ equilibre dans l’espace des phases. Il reste ` a comprendre pourquoi et comment le syst` eme relaxe vers l’´ equilibre.

C’est l’objet de cet exercice et des deux suivants.

Etudier la relaxation vers l’´ ´ equilibre requiert un mod` ele d´ ecrivant l’´ evolution temporelle de la probabilit´ e. Nous consid´ erons l’´ equation (classique) de la diffusion

∂

f

(x) = D∂

f

(x) (2.8)

(d´ ecrivant par example la densit´ e d’un colorant dans un fluide). Pour simplifier nous consid´ erons la situation unidimensionnelle et supposons que la particule est confin´ ee dans une boˆıte x

[0, L].

1/ Montrer que les conditions aux limites ∂

f

= ∂

f|

= 0 (r´ efl´ echissantes) conservent la probabilit´ e dans la boˆıte,

0

dx f

(x) = cste.

Suivant Boltzmann, nous introduisons la fonctionnelle

]

=

Z L

0

dx f

(x) ln f

(x) (2.9)

2/ Comparer la valeur de

pour les deux distributions suivantes f

(x) = 1

L et f (x) =

(₂

L

pour x

[0, L/2]

0 pour x

[L/2, L] (2.10) 3/ Montrer que

dH[f

]

dt

0 (2.11)

et que l’´ egalit´ e est r´ ealis´ ee pour f = f

.

1 Une fonctionnelleF[f] est une application d’un espace de fonctions surR(ouC).

2.3 Chaos et ergodicit´ e

Dans cette exercice, on montre que l’´ evolution d´ eterministe d’un syst` eme isol´ e peut conduire ` a l’ergodicit´ e, moyennant certaines conditions sur la nature (chaotique) de la dynamique.

On consid` ere un oscillateur quartique bidimensionnel

H(x, y, p

, p

) = p

+ p

+ V (x, y) avec V (x, y) = x

+ 2λ x

y

+ y

(2.12) o` u le param` etre sans dimension est λ >

1/ Un syst` eme dynamique avec D degr´ es de libert´ e (ici D = 2) est dit int´ egrable au sens de Liouville s’il est possible de trouver D constantes du mouvement ind´ ependantes.

Justifier que l’oscillateur quartique (2.12) est int´ egrable pour λ = 0.

Sections de Poincar´ e : pour repr´ esenter la dynamique du syst` eme, qui ´ evolue dans un espace des phases de di- mension 4, il est plus commode de proc´ eder par

section de Poincar´ e

, i.e. de repr´ esenter les intersections de la trajectoire avec une vari´ et´ e de plus basse dimension, par exemple une surface bidimensionnelle, afin de visualiser la trace de la trajectoire, comme sur la figure ci-contre.

section de Poincaré

H(q,p)=E

Lorsqu’un syst` eme est int´ egrable, une trajectoire se trouve ` a l’intersection de D vari´ et´ es de dimensions 2D

1. L’intersection avec le plan de la section de Poincar´ e est une ligne.

En revanche, en l’absence de constante du mouvement autre que l’´ energie, la trajectoire se trouve seulement contrainte ` a se trouver sur la vari´ et´ e de dimension 2D

1 = 3 d´ efinie par H(~ r, ~ p) = E et explore une surface de la section de la section de Poincar´ e.

Figure

2.2 : ` A gauche : Sections de Poincar´ e y = 0 pour diff´ erentes valeurs du param` etre λ (dans le plan (x, p

)). Chaque couleur correspond ` a une trajectoire diff´ erente. A droite : ` Trajectoire dans l’espace physique (x, y) pour λ = 0 et λ =

(Figures de Nicolas Pavloff,

2 Deux constantes du mouvement C1 etC2 (des fonctions des variables dynamiques) sont ind´ependantes si leurs crochets de Poisson sont nuls,{C1, C2}= 0.

3 Lorsqu’un syst`eme est int´egrable, il existe une transformation canonique des 2D variables initiales vers D couples de variables action-angle (θn, In) avec n = 1,· · ·, D. L’hamiltonien ne d´epend plus que des D variables d’action H(· · ·) = ˜H(I1,· · ·, ID) et les ´equations pour les variables d’angles sont d´ecoupl´ees : ˙θn =

∂H/∂I˜ n=ωn(I1,· · ·, ID), d’o`uθn(t) =ωnt+θn(0). La trajectoire ´evolue sur untore invariant, dont une section de Poincar´e est une ligne ferm´ee.

2/ On a ´ etudi´ e la dynamique de l’oscillateur quartique num´ eriquement. Sur la figure sont repr´ esent´ ees diff´ erentes trajectoires dans une section de Poincar´ e pour diff´ erentes valeurs de λ.

Commenter la figure.

2.4 Ergodicit´ e pour une bille dans un fluide

Dans l’exercice 2.2, nous avons montr´ e que l’´ evolution markovienne sous-jacente conduit ` a la relaxation vers un ´ equilibre. Dans l’exercice 2.3, nous avons vu qu’une dynamique parfaitement d´ eterministe mais chaotique est ` a l’origine de l’ergodicit´ e. Nous voudrions ici combler l’hiatus entre les deux probl` emes et ´ etudier le rˆ ole d’une force fluctuante introduite dans l’´ equation du mouvement d´ eterministe.

Nous ´ etudions la relaxation vers l’´ equilibre dans le cadre d’un mod` ele jouet d´ ecrivant le mouvement d’une petite bille dans un fluide, soumise ` a une force de rappel ´ elastique. Il existe diff´ erentes techniques pour confiner une particule : soit on peut l’accrocher ` a une surface par un polym` ere (Fig. 2.3), ou on peut agir sur la particule avec un laser (si la particule est constitu´ ee d’un mat´ eriau di´ electrique).

x

Figure

2.3 : Bille accroch´ ee ` a une surface par un polym` ere exer¸ cant une force de rappel.

On se limite au cas unidimensionnel pour simplifier. Le mouvement de la particule est d´ ecrit par les ´ equations du mouvement de Newton

˙

x(t) = v(t) (2.13)

m v(t) = ˙

k x(t) + F(t) , (2.14) o` u k est le coefficient de rappel ´ elastique et γ un coefficient d´ ecrivant la friction dans le fluide.

F (t) est une force qui mod´ elise l’effet des fluctuations dans le fluide (en particulier, elle est nulle en moyenne

(t)i = 0).

On peut identifier (au moins) deux ´ echelles de temps caract´ eristiques : la p´ eriode associ´ ee au rappel, T = 2π

m/k et τ

= m/γ qui caract´ erise la relaxation de la vitesse. On ´ etudie le r´ egime sur-amorti, τ

T (i.e. la limite de forte friction γ et faible rappel k).

A. Relaxation de la vitesse.– Sur les temps courts, on peut n´ egliger l’effet du rappel, i.e. faire k = 0 dans l’´ eq. (2.14). On discr´ etise l’´ equation d’´ evolution de la vitesse : posons V

v(nτ ), o` u τ est une ´ echelle arbitraire (non physique), petite, τ τ

.

1/ Montrer que V

= λ V

+ ξ

et exprimer λ et ξ

en termes des grandeurs introduites plus haut.

2/ A quelle condition physique est-il l´ ` egitime de supposer que les forces F (nτ ) aux diff´ erents temps sont d´ ecorr´ el´ ees,

(nτ) F(mτ)i ∝ δ

?

En sus de supposer que tous les forces F (nτ) sont des variables ind´ ependantes, on les postule identiquement distribu´ ees par une loi gaussienne, de variance

F (nτ )

= σ

/τ . 3/ Montrer que

V

= λ

V

+

n−1

X

k=0

λ

ξ

(2.15)

En supposant que V

est une variable al´ eatoire ind´ ependante des ξ

, d´ eduire la variance de V

. Donner la distribution de V

dans le cas o` u V

est une variable gaussienne. En supposant τ τ

= m/γ, justifier que la distribution de la vitesse v(nτ)

V

devient ind´ ependante des conditions initiales dans la limite n = t/τ

(justifier que la condition pr´ ecise est t τ

).

On dit que v(t) atteint sa distribution stationnaire.

4/ Relation fluctuation-dissipation (Einstein).– On d´ emontrera dans la suite du cours que l’´ energie cin´ etique moyenne est reli´ ee ` a la temp´ erature par

= (1/2)k

T o` u k

est la constante de Boltzmann. D´ eduire une relation entre la friction γ, l’amplitude σ des fluctuations de la force et la temp´ erature.

5/ Donner la loi marginale de la vitesse P

(v) lorsque l’´ equilibre est atteint (en fonction de T ).

B. Relaxation de la position.– Dans la limite τ

T , on peut justifier que le terme d’acc´ el´ eration de l’´ equation de Newton peut ˆ etre n´ eglig´ e :

0

x(t) ˙

k x(t) + F (t) . (2.16) Sans calcul suppl´ ementaire, discuter les propri´ et´ es statistiques de x(t) ` a “grand” temps. Montrer que la distribution d’´ equilibre de la position est

P

(x)

e

, (2.17)

o` u E

est l’´ energie potentielle. En admettant que la position et la vitesse sont ind´ ependantes, donner la distribution d’´ equilibre dans l’espace des phases, not´ ee ρ

(x, p).

2.5 De la moyenne temporelle ` a la moyenne statistique – exemple (acad´ emique !) de l’oscillateur harmonique 1D (*)

Un oscillateur harmonique classique unidimensionnel a pour hamiltonien : H(x, p) = p

2m + 1

2 mω

x

(2.18)

o` u m est la masse de la particule et ω la pulsation de l’oscillateur.

A. Approche de la m´ ecanique classique.– Nous analysons l’oscillateur dans l’esprit de la m´ ecanique classique.

1/ V´ erifier que les ´ equations de Hamilton pour ce syst` eme sont les ´ equations du mouvement attendues. R´ esoudre ces ´ equations pour les donn´ ees initiales :

x(t = 0) = x

et p(t = 0) = 0 (2.19)

2/ D´ efinir l’espace des phases du syst` eme. Esquisser sa trajectoire. Quelle est l’´ energie E de l’oscillateur pour cette trajectoire ?

3/ Calculer la fraction de temps pendant laquelle la particule a une position comprise entre x et x + dx. On ´ ecrira le r´ esultat sous la forme w(x) dx et l’on interpr` etera w(x) comme la densit´ e de probabilit´ e de position.

B. Physique statistique.– On va retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent par une m´ ethode compl` etement diff´ erente. On consid` ere que l’´ energie de la particule est connue seulement de mani` ere approch´ ee et se situe entre E et E + dE.

1/ Dessiner dans l’espace des phases la surface o` u se situent les ´ etats accessibles du syst` eme.

2/ On suppose que tous les micro-´ etats accessibles (d´ efinis ` a la question pr´ ec´ edente) sont

´

equiprobables. Calculer alors la probabilit´ e pour que l’oscillateur se trouve en un point d’abscisse

comprise entre x et x + dx.

TD 3 : Densit´ es d’´ etats

3.1 Syst` emes ` a deux niveaux (*)

Un syst` eme ` a deux niveaux est caract´ eris´ e par deux ´ etats, not´ es

+i et

energies ε

=

o` u ε

est une ´ echelle microscopique. Un exemple de syst` eme ` a deux niveaux est un spin 1/2 soumis ` a un champ magn´ etique.

On consid` ere N syst` emes ` a deux niveaux identiques et ind´ ependants (par exemple N spins 1/2 sur les nœuds d’un cristal). On note ε

l’´ energie du i` eme syst` eme, avec σ = + ou

E =

i=1

ε

l’´ energie totale.

1/ Spectre des ´ energies : D´ ecrire les micro´ etats du syst` eme. Si l’on ´ ecrit E = M ε

, comment varie l’entier M ?

2/ Si l’´ energie est fix´ ee, donner le nombre n

de sous syst` emes dans l’´ etat

eduire la d´ eg´ en´ erescence g

du niveau E

= M ε

. Relier g

` a la densit´ e d’´ etats ρ(E

).

3/ On analyse la limite N 1. Donner une approximation de ln g

en utilisant la formule de Stirling et en supposant que n

1. Tracer ln g

en fonction de l’´ energie E

. Montrer que pour E N ε

, la densit´ e d’´ etats est gaussienne

ρ(E)

ρ(0) e

. (3.1) Comparer la largeur de cette fonction ` a la largeur du spectre. Quel est le nombre total d’´ etats ? D´ eduire la valeur de la constante ρ(0).

Facultatif :

En utilisant la formule ln N ! = N ln N

N +

ln(2πN ) +

), retrouver la valeur de ρ(0) par un calcul direct.

3.2 Volume de l’hypersph` ere

L’hypersph` ere de rayon R dans

est le domaine d´ efini par x

+ x

+

+ x

R

. Calculer l’int´ egrale

R^D

d

~ x e

de deux mani` eres : (i ) en utilisant la s´ eparabilit´ e, (ii) en utilisant l’invariance par rotation de l’int´ egrande pour faire apparaˆıtre la surface de l’hypersph` ere S

(R).

D´ eduire que le volume de l’hypersph` ere est donn´ e par

V

(R) =

R

o` u

= π

Γ(

+ 1) (3.2)

est le volume de la sph` ere de rayon unit´ e (consid´ erer les cas D = 1, 2 et 3).

3.3 Densit´ e d’´ etats semiclassique des particules libres (*)

On consid` ere un gaz de N atomes libres dans une boˆıte cubique de volume V = L

. L’hamiltonien des atomes est

H =

N

X

i=1

~ p

2m avec ~ r

volume V . (3.3)

1/ Atomes discernables.– Montrer que le nombre Φ

(E) de micro´ etats d’´ energies

E est : Φ

(E) = 1

Γ(

+ 1) E

ε

o` u ε

= 2π

mL

(3.4)

A.N. : Calculer ε

(en J puis en eV) pour des atomes d’H´ elium dans une boˆıte de taille L = 1 m.

2/ Atomes indiscernables.– Les atomes identiques sont indiscernables. Donner Φ

(E) puis simplifier l’expression ` a l’aide de la formule de Stirling. D´ eduire la densit´ e d’´ etats correspondante.

3.4 Densit´ e d’´ etats d’une particule libre relativiste (*)

1/ Rappel du cas non relativiste.– Donner la densit´ e d’´ etats pour une particule libre non relativiste, ε

=

~ k

/(2m) (cf. exercice pr´ ec´ edent).

2/ Cas ultrarelativiste.– Calculer la densit´ e d’´ etats pour une particule ultrarelativiste, ε

=

~||

~ k|| c.

Indication :

Utiliser la repr´ esentation ρ(ε) =

~k

δ(ε

ε

).

3/ Cas relativiste.– (

) ` A l’aide de la formule semiclassique, calculer la densit´ e d’´ etats pour une particule massive, ε

=

q

(

~ kc)

+ m

c

. Retrouver les deux comportements limites correspondant aux deux cas pr´ ec´ edents.

3.5 Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques (*)

On consid` ere un syst` eme constitu´ e de N oscillateurs harmoniques ` a une dimension, ind´ ependants et identiques. Le hamiltonien du syst` eme est :

H =

N

X

i=1

p

2m + 1

2 mω

q

. (3.5)

1/ Traitement semi-classique.– On suppose que ces oscillateurs sont classiques.

a/ On d´ esigne par

) le volume occup´ e par les ´ etats d’´ energie

E dans l’espace des phases (dont on pr´ ecisera la dimension). Exprimer

, volume de

“l’hypersph` ere” de rayon 1 (exercice 3.2).

b/ En faisant l’hypoth` ese semi-classique qu’un ´ etat quantique occupe une cellule de volume h

de l’espace des phases, calculer le nombre d’´ etats quantiques d’energie inf´ erieure ` a E (soit Φ(E)), puis la densit´ e d’´ etats quantique ρ(E).

2/ Traitement quantique.– On suppose maintenant que les N oscillateurs sont quantiques.

On sait que les niveaux d’´ energie de chaque oscillateur sont non d´ eg´ en´ er´ es et de la forme : ε

= (n + 1/2)

ω avec n

.

a/ Calculer le nombre d’´ etats accessibles au syst` eme lorsque son ´ energie vaut E.

Indications : pour calculer le nombre de fa¸ cons diff´ erentes de choisir N nombres entiers positifs ou nuls (n

, n

, n

...n

) de telle sorte que leur somme

i=1

n

soit ´ egale ` a un entier donn´ e M , on peut utiliser la m´ ethode suivante : une “fa¸ con” est repr´ esent´ ee par un sch´ ema o` u l’on fait figurer n

boules, puis une barre, puis n

boules, puis une barre, etc... Il y a en tout M boules et N

1 barres. Les permutations de boules ou de barres entre elles ne comptent pas. Seules comptent les diff´ erentes mani` eres de r´ epartir les M boules, ou de mani` ere ´ equivalente, de placer les N

1 barres.

c/ Calculer la densit´ e d’´ etats quantique du syst` eme. Montrer que, dans la limite E N

ω, on

retrouve le r´ esultat semi-classique obtenu ` a la question (2).

Annexe 3.A : R` egle semi-classique de sommation dans l’espace des phases Lorsque les degr´ es de libert´ e du syst` eme peuvent ˆ etre d´ ecrits en termes classiques, il est tr` es efficace d’appliquer la r` egle semiclassique : c’est le cas pour les degr´ es de libert´ e de translation d’un atome, mais pas pour un spin 1/2 qui n’a pas d’´ equivalent classique.

Pour un syst` eme ` a D degr´ es de libert´ e, l’espace des phases des vecteurs (q

,

, q

, p

,

, p

) est de dimension 2D. La correspondance pr´ ecise classique

quan- tique pour le comptage des micro´ etats est assur´ ee en consid´ erant qu’un ´ etat quantique occupe un volume h

dans l’espace des phases classique.

Densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee.– Soit H({q

, p

ecrivant la dynamique du syst` eme. Notons Φ(E) le nombre de micro´ etats dont l’´ energie est inf´ erieure ` a E. Dans la limite semiclassique (spectre des ´ energies tr` es dense) on a

Φ(E) = 1 h

Z

H({qi,pi})6E D

Y

i=1

dq

dp

Y

i=1

dq

dp

h θ

(E

H({q

, p

(3.6) o` u θ

(x) est la fonction de Heaviside.

Densit´ e d’´ etats.– La densit´ e d’´ etats est donn´ ee par

ρ(E) = Φ

(E) (3.7)

i.e. ρ(E)dE repr´ esente le nombre d’´ etats quantiques dont les ´ energies sont dans l’intervalle [E, E + dE[.

Particules identiques.– Si le syst` eme contient N particules identiques (par exemple pour un gaz parfait de N atomes), donc indiscernables, les micro´ etats diff´ erant par permutation des coordonn´ ees des atomes sont ´ equivalents. On doit ajouter un facteur 1/N ! :

Φ

(E) = 1

N ! Φ

(E) (3.8)

Notons que cette r` egle simple n’est qu’une approximation valable dans le r´ egime classique.

Un traitement plus pr´ ecis du postulat de sym´ etrisation de la m´ ecanique quantique sera

expos´ e plus en d´ etail dans le cours de physique statistique en M1.

TD 4 : Postulat fondamental et ensemble microcanonique

4.1 Gaz parfait classique monoatomique – Formule de Sackur-Tetrode (*) On consid` ere un gaz parfait de N atomes confin´ es dans une boˆıte de volume V , que nous traitons dans le cadre de la m´ ecanique classique.

1/ Rappeler l’expression de la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee Φ(E) pour le gaz monoatomique (cf. TD pr´ ec´ edent) ou la recalculer rapidement.

2/ Rappeler la d´ efinition de l’entropie microcanonique S

. Justifier que, dans une certaine limite, on peut utiliser l’expression

S

k

ln Φ(E)

(4.1) D´ eduire la formule de Sackur-Tetrode (1912)

S

(E, V, N ) = N k

ln e

V N

mE 3π

N

3/2!

(4.2) 3/ Montrer qu’on peut ´ ecrire l’entropie sous la forme S

= 3N k

ln c∆x∆p/h

o` u ∆x est une longueur, ∆p une impulsion et c une constante sans dimension. Interpr´ eter cette forme.

4/ Calculer la temp´ erature microcanonique T

puis la pression microcanonique p

. D´ eduire une expression de l’entropie en fonction de la densit´ e moyenne n = N/V et de la longueur thermique de de Broglie Λ

def

=

2π~

/(mk

T

). Discuter la validit´ e de (4.2).

Facultatif :

calculer la capacit´ e calorifique microcanonique C

.

A.N. : On consid` ere un gaz d’H´ elium dans les conditions normales de temp´ erature et de pression.

Calculer ∆x, ∆p puis ∆x∆p/h. Calculer ´ egalement la longueur Λ

. Donner la valeur de l’entropie par atome S

/N k

.

4.2 Extensivit´ e et paradoxe de Gibbs (*)

Nous clarifions le rˆ ole de l’indiscernabilit´ e dans le calcul de l’entropie du gaz parfait classique.

1/ Extensivit´ e.– Rappeler la propri´ et´ e d’extensivit´ e attendue pour l’entropie S

(E, V, N ), en g´ en´ eral.

2/ “Atomes discernables”.– A la fin du XIX `

, il n’y avait pas de justification pour introduire le facteur 1/N ! li´ e ` a l’indiscernabilit´ e des atomes dans le calcul de la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee.

a/ Donner l’expression de la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee Φ

(E) si les atomes ´ etaient discernables (on utilisera le r´ esultat de l’exercice 3.3 ou l’exercice pr´ ec´ edent). D´ eduire l’expression de l’en- tropie microcanonique correspondante S

.

b/ Paradoxe de Gibbs.– On consid` ere deux gaz identiques occupant deux volumes ´ egaux s´ epar´ es par une paroi. Justifier que lorsqu’on enl` eve la paroi, l’entropie du syst` eme varie de

∆S

= S

(2E, 2V, 2N )

2S

(E, V, N ) (4.3) et calculer cette variation. Pourquoi ce r´ esultat est-il paradoxal ?

3/ Indiscernabilit´ e.– Comparer S

(E, V, N ) avec la formule de Sackur-T´ etrode et discuter

l’extensivit´ e dans les deux cas. V´ erifier que, si la variation d’entropie est calcul´ ee avec S

(Sackur-Tetrode), on a ∆S

= 0.

4.3 Cristal paramagn´ etique et temp´ eratures (absolues) n´ egatives (*)

Consid´ erons un syst` eme form´ e de N spins 1/2 fix´ es aux nœuds d’un r´ eseau cristallin et plac´ es dans un champ magn´ etique uniforme B ~ = B ~ u

. Chaque spin porte un moment magn´ etique

~

m

= γ ~ S, o` u γ est le facteur gyromagn´ etique. On suppose que les ´ energies d’interaction entre spins sont n´ egligeables devant l’´ energie de couplage entre les moments magn´ etiques de spin et le champ ext´ erieur.

On note ε

=

les ´ energies des deux ´ etats quantique pour un spin, o` u ε

= γ

B/2. Dans le cristal, on note N

, resp. N

, le nombre de moments align´ es selon B ~ , resp. oppos´ es ` a B. ~ 1/ Etablir les expressions de ´ N

et N

en fonction de N , ε

et de l’´ energie totale E du syst` eme.

2/ Calculer le nombre d’´ etats accessibles Ω(E, N, B) si l’´ energie du syst` eme isol´ e est fix´ ee.

Doit-on tenir compte de l’indiscernabilit´ e ?

3/ D´ eduire l’entropie microcanonique S

du syst` eme lorsque N

1 et N

1. Repr´ esenter S

en fonction de l’´ energie E.

4/ Calculer la temp´ erature microcanonique T

du syst` eme en fonction de l’´ energie, et discuter son signe. Tracer T

en fonction de E. D´ ecrire l’´ etat du syst` eme lorsque E

E

et E

E

et discuter le signe de T

dans les deux cas.

Figure

4.1 : Un enregistrement typique de l’inversion de l’aimantation nucl´ eaire. L’aimanta- tion de l’´ echantillon est test´ ee toutes les 30 secondes par une exp´ erience de RMN. Les bandes verticales sur le relev´ e correspondent ` a un intervalle de 1 minute. Sur la gauche un signal caract´ eristique de l’´ etat d’´ equilibre normal (T

300 K), suivi d’une aimantation invers´ ee (T

esexcite via un signal nul (avec donc un passage de T

=

` a T

=

vers l’´ etat d’´ equilibre initial. La figure est tir´ ee de l’article : E. M. Purcell and R. V. Pound, Physical Review 81,

A nuclear spin system at negative temperature

, p. 279 (1951).

4.4 Les temp´ eratures (absolues) n´ egatives sont les plus chaudes ! (*)

Dans l’exercice pr´ ec´ edent, nous avons obtenu la temp´ erature microcanonique pour les spins nucl´ eaires d’un cristal, que nous noterons T

(E) (elle est associ´ ee ` a l’´ energie magn´ etique).

Des inversions de population correspondant ` a des temp´ eratures n´ egatives ont ´ et´ e observ´ ees dans

un cristal de fluorure de lithium. Dans ce syst` eme, le temps de relaxation pour l’interaction

mutuelle entre les spins nucl´ eaires (τ

10

s) est tr` es court devant le temps de relaxation

pour l’interaction entre les spins et le r´ eseau (τ

5 mn). On peut donc rapidement arriver (sur

une ´ echelle τ

) ` a un ´ equilibre thermodynamique du syst` eme de spins nucl´ eaires avant que ce

syst` eme ne se thermalise avec les vibrations du r´ eseau. L’exp´ erience consiste alors ` a placer le

cristal dans un champ magn´ etique et ` a renverser tr` es brutalement celui-ci. On est alors, pendant un temps de l’ordre de τ

dans un ´ etat de temp´ erature n´ egative (cf. figure 4.1).

L’exercice vise ` a d´ ecrire les ´ echanges thermiques avec les degr´ es de libert´ e de vibrations du cristal. Pour cela on mod´ elise l’´ energie de vibration comme celle de 3N oscillateurs harmoniques identiques et ind´ ependants (mod` ele d’Einstein) :

H

=

3N

X

i=1

p

2m + 1

2 mω

q

(4.4) Les oscillateurs peuvent ˆ etre consid´ er´ es discernables car ils sont associ´ es aux vibrations des atomes (indiscernables) “attach´ es” aux nœuds (discernables) du r´ eseau. On les traitera classi- quement.

1/ Calculer le nombre de micro´ etats accessibles pour l’´ energie de vibration Φ

(E). D´ eduire l’entropie S

et la temp´ erature T

correspondantes.

2/ Discuter le contact thermique entre les spins nucl´ eaires et les vibrations des atomes du cristal.

En comparant les deux situations o` u la temp´ erature magn´ etique initiale T

est soit > 0 soit

< 0, justifier que les temp´ eratures n´ egatives sont plus chaudes que les temp´ eratures positives.

4.5 Contact thermique entre deux boˆıtes cubiques

On consid` ere un syst` eme ferm´ e compos´ e de deux boˆıtes cubiques identiques de cˆ ot´ e L. Les

´

energies des niveaux les plus bas d’une boˆıte cubiques (avec conditions de Dirichlet) et leur d´ eg´ en´ erescence sont rappel´ ees dans le tableau en fin d’exercice. On notera I et II ces deux boˆıtes que l’on met en contact l’une avec l’autre. Le syst` eme total est suppos´ e ˆ etre entour´ e d’une paroi adiabatique.

1. ` a l’instant initial t = 0, chaque boˆıte contient une particule mais leur ´ energie est diff´ erente : E

= 12 ε

et E

= 18 ε

o` u ε

=

.

Calculer le nombre de micro-´ etats accessibles au syst` eme I, au syst` eme II et au syst` eme total.

2. La paroi qui s´ epare les deux boˆıtes permet les ´ echanges de chaleur. Le syst` eme total ´ etant hors d’´ equilibre, il va ´ evoluer vers un ´ etat d’´ equilibre.

Quelle quantit´ e est conserv´ ee durant cette transformation ?

Quelles sont les ´ energies possibles E

et E

pour les syst` emes I et II ? Quels sont les micro-´ etats accessibles au syst` eme ? Combien y en a-t-il ? Dans quel sens le nombre de micro-´ etats a-t-il vari´ e et de combien ? 3. On suppose maintenant que le syst` eme a atteint son ´ etat d’´ equilibre.

Quelle est la probabilit´ e d’obtenir un micro-´ etat donn´ e ?

Quelle est la probabilit´ e pour que le syst` eme I ait l’´ energie 6 ε

, 9 ε

, 15 ε

? Tracer la distribution en ´ energie des syst` emes I et II ` a l’´ equilibre.

Donner leur ´ energie la plus probable.

4. Refaites l’exercice en consid´ erant que chaque boˆıte contient deux particules discernables.

5. Refaites l’exercice en consid´ erant que chaque boˆıte contient deux particules indiscernables

(qui sont des fermions de spin z´ ero).

une particule deg´ en.

dans une boˆıte du niveau

3

3 = 1

+ 1

+ 1

1 6

6 = 1

+ 1

+ 2

3 9

9 = 1

+ 2

+ 2

3 11

11 = 1

+ 1

+ 3

3 12

12 = 2

+ 2

+ 2

1 14

14 = 1

+ 2

+ 3

6 17

17 = 2

+ 2

+ 3

3 18

18 = 1

+ 1

+ 4

3 19

19 = 1

+ 3

+ 3

3 21

21 = 1

+ 2

+ 4

6 22

22 = 2

+ 3

+ 3

3 24

24 = 2

+ 2

+ 4

3 26

26 = 1

+ 3

+ 4

6 27

27 = 1

+ 1

+ 5

27 = 3

+ 3

+ 3

4 29

29 = 2

+ 3

+ 4

6 30

30 = 1

+ 2

+ 5

6

deux particules deg´ en.(*) deg´ en.(**) dans une boˆıte du niveau du niveau

6

1 imposs.

9

6 3

12

15 6

14

6 3

15

20 10

17

30 15

18

15 6

20

60 30

21

12 6

22

15 9

23

60 30

24

31 15

25

60 30

(*) deux particules discernables de mˆ eme masse.

(**) deux fermions identiques de spin 0.

4.6 Isothermes et isentropes d’un gaz parfait

Nous consid´ erons un gaz parfait isol´ e de N particules en dimension d. L’hypoth` ese centrale est que l’´ energie E des particules a pour origine l’´ energie cin´ etique de translation, d´ ecrite par le relation de dispersion

p||

E

N

X

i=1

||~

p

(4.5)

Le probl` eme montre qu’` a partir de ces hypoth` eses assez faibles, la physique statistique permet de pr´ edire quelques propri´ et´ es int´ eressantes du gaz.

1/ Dilatations.– Rappeler comment l’impulsion est quantifi´ ee dans une boˆıte cubique de vo- lume V = L

. En d´ eduire comment l’´ energie du gaz (isol´ e) est modifi´ ee, E

E

, lors d’une dilatation V

V

= λV .

2/ Entropie.– Si l’on effectue une dilatation de mani` ere adiabatique, l’entropie du gaz reste inchang´ ee (la transformation apporte du travail au gaz mais pas de chaleur, i.e. les occupa- tions des ´ etats restent inchang´ ees bien que leurs caract´ eristiques soient modifi´ ees) : S

(E, V )

S

(E

, V

) = S

(E, V ).

a/ D´ eduire que l’entropie du gaz peut s’´ ecrire sous la forme :

S

(E, V ) = f (E V

) (4.6)

o` u f (x) est une fonction que l’on ne cherchera pas ` a d´ eterminer ici. η est un exposant dont on donnera l’expression en fonction de d et α.

b/ R´ eintroduire N dans (4.6) afin de satisfaire les propri´ et´ es d’extensivit´ e.

3/ Pression et temp´ erature.– D´ eduire des expressions pour la temp´ erature T

et la pression p

microcanoniques. Montrer que le produit p

V est proportionnel ` a l’´ energie.

4/ Gaz parfait classique.– Pour un gaz parfait classique on a

= 0.

a/ En d´ eduire l’expression de f (x). Quelle relation existe-t-il entre temp´ erature et ´ energie ? b/ On peut encore pr´ eciser la forme de la fonction : rappeler comment le nombre de micro´ etats accessibles d´ epend du volume dans un gaz parfait classique. Cons´ equence sur l’entropie micro- canonique ?

c/ Isothermes et isentropes.– Donner la relation liant p

et V lors d’une transformation isotherme (` a T

=cste), puis d’une transformation isentropique (` a S

=cste). D´ eduire la valeur du coefficient γ = C

/C

(on rappelle que l’isentrope a pour ´ equation p

V

=cste). Dans le cas d = 3 et α = 2, que vaut ce coefficient ?

5/ Gaz parfait de fermions.– Nous consid´ erons maintenant le cas d’un gaz d´ eg´ en´ er´ e de fermions, pour lequel :

f (x)

a

p

b

x

1 i.e. S

(E, V )

a

N

b

E N

V N

η

−

1 (4.7)

o` u a

et b

sont deux param` etres qui d´ ependent des d´ etails microscopiques. Notons que cette expression n’est valable que pour b

x

1, lorsque l’´ energie est proche de sa valeur minimale.

a/ Isotherme.– Calculer la temp´ erature microcanonique. En d´ eduire la relation entre p

et V pour V

0 lorsque T

=cste. Comparer au cas classique.

b/ Isentrope.– Donner la relation liant p

et V lorsque S

=cste. Comparer au cas classique.

Comment expliquer l’origine de ce r´ esultat ?

6/ Gaz parfait de bosons condens´ es.– Nous analysons maintenant le cas d’un ensemble de bosons identiques. Si d > α le ph´ enom` ene de condensation de Bose-Einstein apparaˆıt sous la temp´ erature T

(N/V )

: une fraction macroscopique d’atomes se “condensent” dans l’´ etat fondamental. Dans ce cas (T

T

) :

f (x) = c

x

i.e. S

(E, V ) = c

N E

N V

N

η_d+α^d

(4.8) Donner l’´ equation de l’isotherme pour T

T

.

Remarque : on trouvera un corrig´e du probl`eme au chapitre 5 de : C. Texier & G. Roux, Physique statistique, Dunod, 2017.