( p0 = b
pour toutn ≥0, pn+1 =f(pn) associées aux fonctions :
x7→a x; x7→ a x
e+x; x7→a x(e−x); x7→ a x e+x2.
Dans l’étude des suites récurrentes, la représentation graphique de la fonction permet s’illus- trer le comportement prédit théoriquement. Si on reprend les exemples précédents, dans le cas où
f : x7→a x(1−x)
on a par exemple pour les cas a= 2,6 et a = 3,4 les représentations suivantes :
x y
y = 2,6x(1−x)
x y
y= 3,4x(1−x) On a alors les comportements suivants :
x y
y = 2,6x(1−x)
x y
y= 3,4x(1−x)
4 Etude des fonctions numériques
4.1 Limites des fonctions numériques
Dans ce qui suit,f :R7→Rest une fonction numérique définie sur son ensemble de définition Df.
Définition 38 (limite en un point). Soit ` un nombre réel. On dit que la limite de f en a est égale à ` si
∀ε >0, ∃δ >0, ∀x∈Df, |x−a|< δ =⇒ |f(x)−`|< ε.
Dans ce cas, on note lim
x→af(x) =`.
On dit que la limite de f en a est égale à +∞ si
∀M ∈R, ∃δ >0, ∀x∈Df, |x−a|< δ =⇒ f(x)> M.
Dans ce cas, on note lim
x→af(x) = +∞.
On dit que la limite de f en a est égale à −∞ si
∀M ∈R, ∃δ >0, ∀x∈Df, |x−a|< δ =⇒ f(x)< M.
Dans ce cas, on note lim
x→af(x) =−∞.
Notation 13. Par abus de langage, on dit souvent la limite de f(x) quand x tend vers a plutôt que la limite de f en a.
Remarque 32. Au lycée, on dit que la limite de f en a est égale à ` si tout intervalle ouvert I qui contient ` contient toutes les valeurs f(x) lorsque x est suffisamment proche de a. La définition ci-dessus exprime cette condition en termes mathématiques précis.
Exemple 54. On a les limites classiques suivantes :
x→0lim
sin(x)
x = 1; lim
x→0
1−cos(x)
x2 = 12; lim
x→0 ln(1+x)
x = 1; ∀α ∈R, lim
x→0
(1+x)α−1
x = α
Remarquez qu’aucune de ces fonctions n’est définie en 0, ce qui n’empêche pas de calculer une limite. Par contre la fonction définie sur R∗ par x 7→cosx1 n’a pas de limite en 0 : quandx s’approche de 0, elle oscille "de plus en plus vite" entre−1 et 1.
f à [a,+∞[ a pour limite l quand x tend vers a. Dans ce cas on note
x→alim
x≥a
f(x) = ` ou lim
x→a+f(x) = `
On dit que la limite de f en a par valeurs inférieures est égale à ` si la restriction de f à ]− ∞, a] a pour limite ` quand x tend vers a.
x→alim
x≤a
f(x) = ` ou lim
x→a−f(x) = `
Remarque 33. Lorsqu’on étudie la limite de f en a par valeurs supérieures (ou inférieures), on ne s’intéresse donc qu’aux valeurs def(x) pour xproche dea et supérieur àa. Cela permet souvent de préciser des comportements def(x) qui peuvent être différents selon quexs’approche dea par au-dessus ou par au-dessous, comme pour la fonction inverse en 0 puisque :
x→0lim
x≥0
1
x = lim
x→0+
1
x = +∞ et lim
x→0x≤0
1
x = lim
x→0−
1
x = −∞
Exemple 55. Pour la fonction Logarithme Népérien, on a lim
x→0+ln(x) = −∞.
Définition 40 (limite en +∞). Soit ` un nombre réel. On dit que la limite de f en +∞
est égale à ` si
∀ε >0, ∃A∈R, ∀x > A, |f(x)−`|< ε.
Dans ce cas, on note lim
x→+∞f(x) = `.
On dit que la limite de f en +∞ est égale à +∞ si
∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x > A, f(x)> M.
Dans ce cas, on note lim
x→+∞f(x) = +∞.
On dit que la limite de f en +∞ est égale à −∞ si
∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x > A, f(x)< M.
Dans ce cas, on note lim
x→+∞f(x) = −∞.
On définit de même la notion de limite en −∞:
Définition 41 (limite en −∞). Soit ` un nombre réel. On dit que la limite de f en −∞
est égale à ` si
∀ε >0, ∃A∈R, ∀x < A, |f(x)−`|< ε.
Dans ce cas, on note lim
x→−∞f(x) = `.
On dit que la limite de f en −∞ est égale à +∞ si
∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x < A, f(x)> M.
Dans ce cas, on note lim
x→−∞f(x) = +∞.
On dit que la limite de f en −∞ est égale à −∞ si
∀M ∈R, ∃A∈R, ∀x < A, f(x)< M.
Dans ce cas, on note lim
x→−∞f(x) = −∞.
Remarque 34. Comme en terminale, le fait que la limite de f en +∞est égale à` correspond au cas où tout intervalle ouvert qui contient ` contient toutes les valeurs de f(x) lorsque x est suffisamment grand (où suffisamment grand pourrait se dire "suffisamment proche de +∞").
Exemple 56. On a aussi les limites suivantes :
x→+∞lim ln(x) = +∞; lim
x→−∞ex = 0; lim
x→+∞ex = +∞; lim
x→+∞
1 + α x
x
=eα
4.2 Règle de calcul des limites
On a les règles de calcul suivantes.
4.1. Propriété – opérations sur les limites.
On désigne par a soit un nombre réel, soit +∞ ou−∞. Soitf etg deux fonctions numériques ayant chacune une limite ena, alors on a les égalités suivantes, à condition que la quantité de droite existe :
• lim
x→af(x) +g(x) = lim
x→af(x) + lim
x→ag(x)
• lim
x→af(x)g(x) = lim
x→af(x)×lim
x→ag(x)
• lim
x→a
f(x)
g(x) = limx→af(x) limx→ag(x)
Exemple 57. Grâce aux règles de calcul ci-dessus, on obtient par exemple
x→+∞lim xln(x) = lim
x→+∞x× lim
x→+∞ln(x) = (+∞)×(+∞) = +∞
Le résultat précédent ne permet pas de calculer lim
x→+∞
ln(x)
x , cependant on connait la li- mite de cette forme indéterminée, ainsi que d’autres croissances comparées entre polynômes,
Pour tout α >0 on a
x→0lim+xαln(x) = 0; lim
x→+∞
ln(x)
xα = 0; lim
x→−∞xαex = 0; lim
x→+∞
ex
xα = +∞;
Exemple 58. Par exemple, lim
x→+∞
ln(x)
x = 0 et lim
x→0+x ln(x) = 0
Remarque 35. Comme pour les suites, la limite du quotient de deux polynômes est celle de la limite du quotient des deux termes de plus haut degré :
x→+∞lim
akxk+ak−1xk−1+. . .+a0
bpxp+bp−1xp−1+. . .+b0 = lim
x→+∞
akxk bpxp =
0 si k < p
ak
bk si k =p
+∞ si k > p etak du même signe que bp
−∞ si k > p etak du signe contraire de bp. 4.3. Propriété – composition des limites.
Soit a etl désignant chacun soit un nombre réel, soit +∞ ou−∞. Si on suppose que la limite def ena vaut` et que g a une limite en ` alors la fonction g◦f a une limite en a qui est
x→alim g◦f(x) = lim
y→` g(y).
Exemple 59. Soit a un nombre réel, alors si on considère la fonction f : x7→2x, la limite de f ena est 2a, et si la fonction g a une limite en 2a on peut écrire
x→alimg◦f(x) = lim
x→ag(2x) = lim
x→2ag(x).
De même, dans ce cas la limite def en +∞est +∞, et si la fonctionh a une limite en +∞ on peut écrire
x→+∞lim h◦f(x) = lim
x→+∞h(2x) = lim
x→+∞h(x).
Exemple 60. On peut par exemple retrouver la limite
x→+∞lim
1 + α x
x
=eα à partir de la limite
x→0lim
ln(1+x)
x = 1
4.4. Propriété – lien avec les suites.
On désigne par l soit un nombre réel, soit +∞ ou −∞. Soit (xn) une suite qui tend vers`, si on suppose quef a une limite en`, alors la suite (f(xn))n∈N tend vers la limite de f en ` :
n→+∞lim f(xn) = lim
y→`f(y).
Exemple 61. En se rappelant que lim
x→0 sin(x)
x = 1 on peut obtenir
n→+∞lim nsin
2π n
= lim
n→+∞ntan
2π n
= 2π ce qui permet de calculer le périmètre du cercle.
4.5. Théorème – des gendarmes.
On désigne par asoit un nombre réel, soit +∞ou−∞etI un intervalle ouvert qui contienta(dans le cas oùaest un nombre réel) ou de la forme ]b,+∞[ (sia= +∞) ou de la forme ]−∞, b[ (sia=−∞). On considère trois fonctions numériques f, g eth pour lesquelles
∀x∈I\ {a}, f(x)≤g(x)≤h(x)
Sif et hont la même limite en a, alorsg a pour limite ena cette valeur commune :
x→alimf(x) = lim
x→ag(x) = lim
x→ah(x)
Exemple 62. On peut ainsi calculer lim
x→0xsin
1 x
.
Remarque 36.Dans le cas oùa∈Ret où on veut calculer la limite enapar valeurs supérieures grâce au théorème des gendarmes on procède de la manière suivante : on applique le théorème des gendarmes aux restrictionsf|[a,+∞[, g|[a,+∞[ eth|[a,+∞[ des fonctionsf,g ethà [a,+∞[ , et il suffit d’appliquer ce théorème à ces nouvelles fonctions. Cela revient en fait à vérifier que
∀x∈I∩]a,+∞[, f(x)≤g(x)≤h(x)
ce qui signifie que ces inégalités doivent être vérifiées uniquement pour les x supérieurs à a.
Dans le cas où on veut calculer la limite en a par valeurs inférieures on raisonne de la même façon avec les restrictions à ]− ∞, a] .
ouvert qui contienta(dans ce cas oùaest un nombre réel) ou de la forme ]b,+∞[ (sia= +∞) ou de la forme ]−∞, b[ (sia=−∞). On considère deux fonctions numériques f et g pour lesquelles
∀x∈I\ {a}, f(x)≤g(x)
Si f et g ont chacun une limite en a, alors on peut écrire :
x→alimf(x) ≤ lim
x→ag(x)
Exemple 63. On applique souvent ce résultat dans le cas où on sait que f(x) ≥0 pour tout x∈I : on peut alors conclure que si f a une limite en a alors lim
x→af(x)≥0.
4.3 Application à l’étude des asymptotes
4.3.1 asymptote verticale en un point
Définition 42. Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. On dit que f a pour asymptote verticale la droite d’équation x=a si lim
x→af(x) = +∞ ou lim
x→af(x) =−∞.
Exemple 64. La fonctionx7→ln(x) a pour asymptote verticale la droite d’équationx= 0. La fonction x7→ 1x a pour asymptote verticale la droite d’équation x = 0 par valeurs supérieures (+∞ en 0+) et inférieures (−∞ en 0−).
4.3.2 asymptote en ±∞
D’un point de vue général, la droite d’équation y =ax+b est une asymptote à la courbe représentative de f en +∞ (ou −∞) si
x→+∞lim f(x)−(ax+b) = 0
(ou limite en −∞), ce qui signifie que la courbe représentative de f se rapproche de la droite en +∞ (respectivement −∞). On introduit aussi les notions un peu plus subtiles de direction asymptotique.
Définition 43. Soit f une fonction numérique et b un nombre réel. On dit que f a pour asymptote horizontale en +∞ la droite d’équation y =b si lim
x→+∞f(x) =b.
De même, on dit quef a pour asymptote horizontale en −∞ la droite d’équation y=b si lim
x→−∞f(x) = b
Exemple 65. La fonction x 7→ x1 a pour asymptote horizontale en −∞ et en +∞ la droite d’équation y= 0.
Définition 44. Soit f une fonction numérique dont la limite en +∞ est +∞ ou −∞.
On dit que f a pour direction asymptotique en +∞ la droite d’équation y = 0 si
x→+∞lim f(x)
x = 0.
On dit que f a pour direction asymptotique en +∞ la droite d’équation x = 0 si
x→+∞lim f(x)
x = +∞ ou lim
x→+∞
f(x)
x =−∞.
On définit de la même manière les notions de direction asymptotique en −∞
Exemple 66. La fonctionx7→ln(x) a pour direction asymptotique en +∞la droite d’équation y= 0. La fonctionx7→x3 a pour direction asymptotique en +∞et en−∞la droite d’équation x= 0.
Définition 45. Soit f une fonction numérique, on dit que f a pour asymptote en +∞ la droite d’équation y=ax+b si
x→+∞lim f(x)
x = a et lim
x→+∞f(x)−ax=b
oùa est un nombre réel non nul etb est nombre réel. De même, on dit que f a pour asymptote en −∞ la droite d’équation y =ax+b si
x→−∞lim f(x)
x = a et lim
x→−∞f(x)−ax=b où a est un nombre réel non nul et b est nombre réel.
Exemple 67. La fonction x7→ x1+|x|2+2x a pour asymptote en +∞ la droite d’équation y=x+ 1 et pour asymptote en−∞ la droite d’équation y=−x−3 :
y= x1+|x|2+2x y =−x−3
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1 1 2 3 4
0 x
