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Submitted on 1 Jan 1929
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Sur les vibrations forcées des membranes liquides avec points coniques et phénomènes tourbillonnaires
R. Tréhin
To cite this version:
R. Tréhin. Sur les vibrations forcées des membranes liquides avec points coniques et phénomènes tourbillonnaires. J. Phys. Radium, 1929, 10 (3), pp.115-128. �10.1051/jphysrad:01929001003011500�.
�jpa-00205372�
SUR LES VIBRATIONS FORCÉES DES MEMBRANES LIQUIDES
AVEC POINTS CONIQUES ET PHÉNOMÈNES TOURBILLONNAIRES par M. R. TRÉHIN
Sommaire. - Les vibrations forcées des membranes liquides donnent lieu à des
phénomènes complexes paraissant assez capricieux. Il est cependant possible de les stabiliser dans une certaine mesure. On observe alors des points coniques et des tour-
billons particulièrement bien visibles en utilisant certains liquides, par suite des inter- férences qui se produisent dans la couche superficielle. Leur nombre et leur disposition
sont fonction du liquide, de la forme de la membrane, de sa surface et de la fréquence.
La forme et la grandeur des tourbillons sont assez variables, leur sens de rotation est lié à l’inégalité d’amplitude des points singuliers de la membrane.
Les nodales, quand elles existent, se déforment au cours de la vibration.
On a étudié les membranes circulaires, carrées, triangulaires, équilatérales et sphéri- ques.
Toutes choses égales d’ailleurs, on obtient une figure d’autant plus simple et plus stable que le liquide est plus visqueux, la surface de la membrane plus petite et la fréquence peu élevée.
i. Introduction.
--Lorsqu’on fait vibrer, dans certaines conditions, une membrane liquide, on observe des phénomènes très différents de ceux indiqués par la théorie
classique.
Ce travail a pour but de les déciire, de préciser leurs causes et les conditions dan
lesquelles ils se produisent.
.Fig.I.
2. Appareils. -La membrane est formée sur un cadre circulaire, carré ou triangulaire équilatéral en fil de fer oxydé de 2 mm environ de diamètre.
Pour imposer à la membrane des vibrations de petite fréquence (ordre de 20 8-1), ce
cadre est fixé par du Golaz à l’extrémité d’une verge d’acier (fig. 1) serrée dans un étau et
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01929001003011500
dont onfait varier la longueur utile. La vibration de la verge est entretenue par un dispo-
sitif électromagnétique. Vu sa longueur, la membrane est déplacée quasi perpendiculai- rement à son plan.
Pour des fréquences plus grandes, la condition précédente n’est pas remplie, la verge devenant trop courte. On peut munir son extrémité d’un levier amplificateur très mobile
auquel est fixé le cadre supportant la membrane. L’axe de ce levier est formé d’une tige
d’acier tournant dans deux petits tubes huilés.
On mesure la fréquence en fixant un crin à la verge et en inscrivant simultanément
sur un tambour enfumé ses vibrations et les oscillations d’un pendule.
Fig. 2.
IL est plus pratique d’utiliser un résonateur constitué par un flacon dans lequel onpeut introduire de l’eau. Deux ajutages tronc-coniques disposés comme le montre la figure 2
sont adaptés sur le flacon. La membrane, dont le cadre est alors soudé à une plaque métallique, est installée en M. Grâce à la forme des ajutages, l’écoulement inévitable du
liquide en excès s’effectue suivant les flèches ; il ne s’en répand pas sur les parois du flacon.
La vibration de la membrane est entretenue par un tuyau sonore placé près du
résonateur..
On peut remplacer le flacon par deux tubes cylindriques verticaux coulissant à frottement doux. La partie inférieure de ce résonateur est un pavillon sur l’ouverture
duquel on a collé une feuille très mince de papier humide p p’. En séchant, le papier se
tend uniformément : on évite ainsi les courants d’air sans empêcher la transmission des vibrations.
Lorsque la membrane vibre, elle projette parfois des gouttelettes. Pour éviter qu’elles
117 tombent sur le papier, qui serait rapidement percé, on recourbe le tube au voisinage du pavillon et on dispose un écran E entre ses branches.
Ce dispositif permet d’incliner la membrane en fixant au préalable le cadre, à l’aide de Golaz, au sommet du résonateur.
Remarque. - La capacité du flacon ou le diamètre des tubes sont choisis selon la hauteur du fondamental du tuyau. S’il est grave (ut,), il faut employer un flacon de plusieurs litres ou des tubes de 5 à 6 cm de diamètre.
Après avoir formé une membrane à l’aide du liquide choisi, on la place
convenablement. Selon l’appareil utilisé, on fait vibrer la verge ou parler le tuyau tout en injectant lentement de l’eau dans le flacon ou en faisant coulisser l’un dans l’autre les deux tubes jusqu’à ce que les phénomènes se présentent avec le maximum de netteté.
3. Membranes circulaires.
-Au début de chaque expérience, l’aspect du phéno-
mène est confus : le liquide est aninlé de niouvenienis giratoires rapides etde vitesse variable
changeant parfois brusquement de sens. Au bout d’un temps de l’ordre de quelques secondes
au plus, si l’on a pris soin de bien faire écouler le liquide en excès lors de la formation de la membrane et si l’arnplitude de la vibration est suffisante, l’observation stroboscopique
montre que la membrane affecte des formes représentées schématiquement Pl. I, où elles
sont rangées dans l’ordre de complexité croissante.
1° Elle vibre dans son entier en présentant un ventre au centre fig. 1.
2° Le ventre devient un point conique; une goutte de liquide y semble attachée. Elle
s’échappe quelquefois ou se résoud en’une gerbe de gouttelettes projetées dans toutes les directions: fig. 2.
3° Le point conique central subsiste mais il se forme une nodale (1) et, par suite, une
ventrale circulaires.
Puis on distingue sur la ventrale deux points remarquables diamétralement opposés
où l’amplitude est maximum, mais toutefois inférieure à celle du point conique central. La
partie de la membrane comprise entre la nodale et le cadre prend alors l’aspect, lorsque la
vibration s’effectue vers le haut, de deux crêtes demi-circulaires se faisant suite : fig. 3.
4~ La disposition précédente se reproduit, mais les points remarquables sont beaucoup plus nets et tendent à s’isoler en ressemblant à des points coniqTJes : fig. 4.
5" On observe un point conique central et trois points remarquables placés sur la ventrale à 1200 l’un de l’autre. Quand la vibration s’effectue vers le haut, ils occupent les sommets
’
de trois crêtes : fig. 5.
6° On retrouve le même aspect général mais avec trois points plus visibles prenant
l’allure de points coniques: fig. 6.
7° Le point conique central est entouré de quatre points remarquables disposés en
carré sur la venlrale et constituant toujours le sommet d’une crête quand la vibration est dirigée vers le haut : fig. 7.
8° Les modifications se poursuivent dans le même sens que précédemment, on obtient sur laventrale quatre points équidistants dont l’aspect tend vers celui de points coniques :
fig. 8.
9° Le point conique central existe toujours, mais on distingue deux nodales et deux ventrales circulaires. Ensuite,d’après le même processus qu’au paragraphe (3~), cinq points remarquables apparaissent sur chaque ventrale, dessinant ainsi deux pentagones réguliers : fig. 9.
10° L’ensemble conserve la même allure générale tout en ayant évolué vers un système
de dix points remarquables beaucoup plus nets : fig.10.
°1 i° Le point conique central est maintenant entouré de douze points remarquables’
(six sur chaque ventrale) figurant deux hexagones réguliers : fig. 11.
12° La même symétrie subsiste et on obtient douze points remarquables beaucoup plus nets : fig. 12.
(1) Nous ne comptons pas celle qui est constituée par le bord du cadre.
118
PLANCHE 1
119 On peut produire des formes encore plus compliquées. Elles sont d’ailleurs du même ,2genre mais très instables.
Le diamètre des nodales varie assez irrégulièrement au cours de la vibration, leur
klorme même se modifie : à la fm, elles deviennent plus ou moins sinueuses. Lorsqu’il existe
des nodales, rensemble est souvent animé de mouvements de rotation irréguliers, pouvant
~changer plusieurs fois de sens et de vitesse, autour d’un axe perpendiculaire au plan de la
membrane en son centre. Tout les points remarquables d’une ventrale ont même amplitude.
En général, celle-ci est d’autant plus faible que le rayon de la ventrale considérée est plus grand. Cependant lorsque la figure est très compliquée, il peut arriver qu’il n’en soit pas .ainsi : le changement d’amplitude se produit même parfois au cours de la vibration. Enfin ies points remarquables situés sur plusieurs ventrales peuvent alterner.
Etudions maintenant l’influence des divers facteurs qui déterminent les formes
.()récédentes:
A. Influence de la nature ou de la viscosité du liquide.
-On peut utiliser soit
des substances pures (oléate de sodium), soit des mélanges plus ou moins complexes (savons
de résines). Tous ces liquides doivent fournir des membranes très persistantes.
Dans le cas de liquides purs, la membrane reste incolore mais, avec un liquide résineux,
on observe sur sa surface des systèmes brillarnment colorés de c franqes », de « traînées »
-sinueuses ou de tourbillons associés par paires et tournant en sens inverse. Pour une dispo-
sition donnée, leur grandeur et leur forme sont assez variables. Le point conique central et
les points remarquables sont entourés de plages incolores dont l’existence s’explique par le principe de Marangoni (’ ) .
Les figures ainsi réalisées sont en relation avec le nombre et la disposition des points remarquables de la membrane. Quand elles possédent une stabilité suffisante, on peut, en
projetant leur image sur un écran, repérer tous les détails intéressants.
Nous classerons ces figures en séries d’après le nombre des points remarquables (voir planche II).
Série I. ® Dans le cas le plus simple, on observe’seulement ,des ~ « franges » et des
traînées » colorées ondulant et se mélangeant. Leur nombre varie à chaque instant d’une laçon très capricieuse, on en compte,,de vingt à trente : fig. i. On peut faire en sorte,
comme nous le verrons plus loia, que lex traînées deviennent moins nombreuses; la figure
.est un peu plus stable, il existe ;même quelques amorces de mouvements tourbillonnaires,
.on obtient une moyenne de seize divisions : fig. 2.
~
En modifiant convenablement les conditions expérimentales, on réalise assez facilement
-dix divisions relativement stables ; les tourbillons sont devenus plus nets : fig. 3.
Il est possible de produire aussi une division en huit très stable, avec des tourbillons -nettement dessinés : fig. 4.
Série II. -On a quatre tourbillons : fig. 5.
,Dans la figure suivante, quatre nouveaux tourbillons sont apparus extérieurement aux
]précédents: fig. 6,
Série III. -Une évolution analogue donne lieu aux aspects représentés par les figures 7, 8, 9) avec six puis douze tourbillons.
est conduit à observer les figures (10, 11, 12).
Série V.
-On obtient les apparences indiquées par les figures 13, 14.
Série VI.
-Les figures correspondantes sont i5 et 16.
Mais, comme nous l’avons dit plus haut, en ce qui concerne ces deux dernières séries,
des points remarquables peuvent alterner. Les figures [retrouvent une certaine instabilité -et, dans le cas où elles deviennent plus compliquées, on observe des modifications conti- nuelles et variées rendant leur étude illusoire.
(1) BorAssit. « Capillarité et phénomènes superficiels n, page 314.
PLANCHE II
121,
Ces phénomènes colorés ont été signalés par Sedley Taylor (1), mais cet auteur n’a pas
cherché, de son propre aveu, à en donner l’explication.
Toutes choses égales d’ailleurs, la forme de la membrane en vibration et, par suite, les phéno1Jlènes colorés lursqu’ils e.xistent sont fonction du liquide employé. Pour un même liquide, l’expérience montre clue la figure obtenue est d’autant plus sirnple que le liquide
est plus visqueux.
Il est nécessaire, pour observer des figures compliquées, d’étendre beaucoup le liquide visqueux primitif. Il devient alors rapidement impossible de former des membranes persis-
tantes de grand diamètre. On doit d’ailleurs remarquer que la densité du liquide est changée.
La température agit également en modifiant la viscosité.
B., Influence de la fréquence.
--Utilisons le liquide suivant, excellent pour toutes les expériences. On pulvérise :
, , .
_
on introduit le mélange dans un litre d’eau distillée et on fait bouillir jusqu’à dissolution
complète, puis on ajoute au liquide refroidi de l’eau et de la glycérine jusqu’à ce qu’on puisse
former des bulles volumineuses à l’aide d’un cadre circulaire en fil de fer d’une dizaine de centimètres de diamètre, trempé dans la solution et agité selon la méthode classique.
Choisissons une membrane d’un certain diamètre. Faisons varier la fréquence:
On trouve que pour un diamétre donné la figure obtenue est d’autant plus simple que /là fréquence est plus petite.
(1) Proc. roy. Soc. London, t. 27 (i8l8), pp. 7t- î6. Experiments on Colours shown by thin liql1id Films..
under the Action of sonorous Vibrations [Journal de physique, t. 8 (187~), p. 9~-94J (Phoneidoscope).
C. Influence du diamètre.
-Opérons avec le même liquide, en imposant une
certaine fréquence et en utilisant des membranes de divers diamètres. On retrouve des
figures identiques aux précédentes.
Pour une fréquence donnée, la figure obtenue est d’autant plus simple que le diamètre de la membraite est plus petit.
Il est facile de réaliser une variation continue du diamètre : on dispose sur le réso-
nateur un entonnoir sans queue où l’on fait déplacer la membrane en insufflant ou en
aspirant de l’air dans le résonateur à l’aide d’un tube de caoutchouc.
On peut ainsi suivre les transformations progressives des figures: la modification est continue à l’intérieur de chaque série : c’est dire qu’on passe d’une figure à la suivante de cette même série par des intermédiaires nettement observables... mais il se produit une
discontinuité lorsqu’on passe d’une série à l’autre, il y a « brouillage » complet de la
dernière figure de celle-ci puis organisation de la première figure de la nouvelle série.
Le tableau 1 indique les résultats obtenus avec le liquide cité pour une série de
fréquences et des membranes dont les diamètres varient de millimètre en millimètre.
Construisons (fig. 3) le réseau de courbes obtenues en portant en abscisses les fré-
quences et en ordonnées les diamètres. Chaque point d’une courbe correspond évidemment à une fréquence et à un diamètre tels que la figure considérée est particulièrement nette et
stable (’).
Fig. 3.
Pour les grandes fréquences et les petits diamètres, les courbes sont très rapprochées;
la distance de deux courbes voisines (presque rectilignes et parallèles à l’axe des abscisses
dans cette région) correspond, sur l’axe des ordonnés, à une longueur inférieure à 1 mm.
(1) Les figures indiquées sur les courbes sont celles de la planche II.
123
TABLEAU 1.
Il n’est donc pas étonnant que nous passions de la figure 2 à la figure 5, par exemple, en augmentant de 1 0 à 1 t mm le diamètre d’une membrane, et en imposant la fréquence ~I~ s-1.
Les courbes sont encore très serrées dans le cas des grands diamètres et des faibles
fréquences, ce qui explique, par un raisonnement analogue au précédent, pourquoi
certaines figures n’apparaissent pas quand on fait varier la fréquence de quelques unités.
4. Explication des phénomènes. - Déterminons d’abord l’ordre de grandeur de
la fréquence propre de la membrane.
Inspirons-nous du procédé de Melde (~).
Il consiste, en principe, à rythmer convenablement à la main le mouvement du cadre sup-
portant la membrane jusqu’à résonance tout en mesurant le temps à l’aide d’un chronomètre.
Dans le cas des membranes dont le diamètre est inférieur à 10 cm, cette méthode est
impraticable, mais il est possible d’agiter la membrane à l’aide d’une verge vibrante entre- tenue dont on mesure la fréquence comme il a été indiqué d’autre part.
Construisons la courbe (fig. 4) obtenue en portant en abscisses les fréquences et en
ordonnées les diamètres. La comparaison de ces résultats avec les précédents montre que les fréquences propres des mernbranps étudiées sont beaucoup plus petites que celles à partir desquelles on observe les phérioniènes
ivous nous trouvons donc ici dans le cas de vibrations forcées.
L’existence des singularités constatées tient manifestement à la nature liquide de la
membrane - on n’observe rien de pareil pour les vibrations forcées des membranes de caoutchouc ou de papier.
Fig.4.
Afin d’étudier les mouvements qui doivent se produire à l’intérieur du liquide, mettons
en suspension dans celui-ci une petite quantité de poudre d’aluminium; la membrane ren-
ferme alors à son inférieur des grains blancs dont il est possible de suivre les mouvements.
Lorsque la membrane est au repos, les grains s’accumulent sur les bords - quand elle
entre en vibration, ils se précipitent vers le point conique central et les points remar- quables d’où ils sont projetés avec les gouttelettes qui en émanent constamment.
Il existe donc des courants internes dirigés vers les points de plus grande amplitude.
D’autre part, il est possible, en opérant avec précaution, d’arriver à déposer des grains
‘d’aluminium sur la rnembrane. Lorsque celle-ci vibre, ils sont animés de mouvements tourbil- lonnai1-es. Les courants liquides internes en traînent donc l’existence de tourbillons super (iciels.
D’où l’explication des figures colorées signalées par Sedley Taylor qui se produisent
avec le liquide utilisé et tous ceux qui servent aux expériences de capillarité
On observe en effet des couleurs appartenant aux premiers ordres et qui ne peuvent
être dues à des phénomènes d’interférence à travers la membrane beaucoup trop épaisse.
(1) [Poggendorff Annalen, t. 159]. Ueber die transversaischwingungen flüssitger Lamellen.
125
D’ailleurs, formons une membrane avec un liquide ne donnant pas de phénomènes
colorés (oléate de sodium) : quand elle est en vibration, déposons avec un pinceau une goutte de liquide résineux : on épaissit ainsi la membrane, cependant les couleurs appa- raissent aussitôt. ’
° ’Brewster (1) a montré qu’il se sépare à la surface de certaines membranes « des couches de composition différente assez minces pour être colorées » (2).
Elles ont, comme dans ce cas, l’aspect de « filaments », de « traînées » et lorsqu’on arrête
la vibration, elles s’étalent en formant des sinuosités très irrégulières. « En soufflant sur la lame, on éparpille les couleurs, comme si elles flottaient à la surface » (3). Ces sécrétions
superficielles jouent le rôle des grains d’aluminium déposés sur la membrane, mais avec elles, les tourbillons sont beaucoup plus faciles à observer.
PLANCHE III
’
J’ai essayé sans résultat de mettre en évidence l’existence de courants aériens au
voisinage de la membrane en vibration. En approchant des écrans de mica aussi près que
possible de la surface, on n’observe aucune modification des phénomènes. En plaçant la
membrane sous une large cloche remplie d’hydrogène, il ne se produit aucun changement.
L’expérience montre que le sens de rotation des tourbillons dépend de l’inégalité d’ampli-
tude des points remarquables et du point conique central. Ainsiquenous l’avons signalé plus haut, il peut arriver, dans le cas des figures compliquées, que l’amplitude des points remar- quables de la ventrale la plus extérieure, d’abord plus faible que celle des points correspon- dants des autres ventrales, devienne plus grande au cours de la vibration. Le sens de rotation de certains tourbillons s’inverse alors, il est donc déterminé par les inégalités d’attraction du liquide, à l’intérieur de la membrane, dues à l’inégalité d’amplitude de ses différents points.
Ainsi, dans le cas de la figure 5 (ou fig. 9, Pl. II), par exemple, l’amplitude est plus petite en A qu’en 0, donc le liquide se dirige suivant A0, il existe un courant interne A-~0.
Ceci est d’accord avec le fait bien connu de l’accroissement de la tension superficielle lorsqu’on déforme la surface.
(1) Trans. roy. Soc. Edinburgh, t. 24 (i866-486î1, p. 491-50~.
(2) BouASSB. « Capillarité et Phénomènes superficiels ,, p. 34.
(3) BouAssE. Loc. cit.
L’amplitude est plus petite en B qu’en A, donc le liquide se dirige de B vers A, L’amplitude est plus petite en B qu’en 0, donc le liquide devrait se diriger de B vers 0.
mais la somme des forces précédentes l’emporte et la circulation a lieu suivant les flèches, conformément à la théorie des tourbillons.
L’amplitude est plus grande en B qu’en C, donc le liquide se dirige de C vers B.
La même explication permet d’interpréter tous les cas.
Les mouvements de rotation ou d’oscillation qui déplacent en bloc toute la figure sont
Fig. 5.
causés par l’inégalité accidentelle des forces d’attraction qui provoquent les courants internes dont il a été question.
Cela peut même entraîner dans l’aspect de la figure une série de modifications succes-
sives et impossibles à prévoir telles que : suppression de certains tourbillons, déplacement
-
de points remarquables les uns par rapport aux autres lorsqu’ils sont nombreux, variation d’amplitude de ces points... toutes modifications d’autant plus fréquentes et variées que la
figure primitive est plus compliquée.
Ainsi s’expliquent les nombreux aspects décrits par Sedley Taylor, qui semblent à priori
ne rien avoir de commun.
.
