Texte intégral
10 septembre 2015 11:36 2015-001-MP-Mat1
Oral Mathématiques 1 MP
Pour𝑛 ∈ ℕ∗, on définit la fonction𝑢u� surℝ+∗ par 𝑢u�(𝑥) = 𝑥 ln (1 + 1
𝑛) − ln (1 + 𝑥 𝑛) 1. Montrer que∑u�⩾1𝑢u�(𝑥)converge si𝑥 > 0.
Montrer que𝑓 : 𝑥 ↦ − ln(𝑥) +∑+∞
u�=1
𝑢u�(𝑥)est de classe𝒞1sur ℝ+∗.
2. Montrer que𝑓 est l’unique fonction de classe𝒞1 surℝ+∗ telle que
⎧{
⎨{
⎩
∀𝑥 ∈ ℝ+∗, 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 𝑓 est convexe surℝ+∗
𝑓(1) = 0 3. Montrer que, pour𝑥 > 0, on a
+∞
∫
0
𝑡u�−1𝑒−u�d𝑡 = lim
u�→+∞
𝑛u�𝑛!
𝑥(𝑥 + 1)⋯(𝑥 + 𝑛)
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