[email protected] MarcBailly-Bechet Analysededonn´eesLicencePro”Am´eliorationV´eg´etale”

Analyse de donn´ees

Analyse de donn´ ees

Licence Pro ”Am´ elioration V´ eg´ etale”

Marc Bailly-Bechet

Universit´ e Claude Bernard Lyon I – France

[email protected]

1 [email protected] Analyse de donn´ees

Analyse de donn´ees Des stats pour faire quoi ?

Table des mati` eres

1 Des stats pour faire quoi ?

2 Variables al´ eatoires et lois de probabilit´ e

3 Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

4 Tests de comparaison de moyennes et de proportions

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Analyse de donn´ees Des stats pour faire quoi ?

Organisation des enseignements d’analyse de donn´ ees

3 cours ”th´ eoriques” de 1h30.

16h de TP sur ordinateur.

3 [email protected] Analyse de donn´ees

Analyse de donn´ees Des stats pour faire quoi ?

Pourquoi faire des statistiques en biologie ?

Variabilit´ e : Une exp´ erience en biologie donne rarement un r´ esultat tranch´ e ou parfaitement reproductible.

Quantit´ e : Les nouvelles technologies biologiques permettent de recueillir des quantit´ es pharamineuses de donn´ ees.

4 [email protected] Analyse de donn´ees

Analyse de donn´ees Des stats pour faire quoi ?

Les statistiques vues de loin

Population ⇒ Echantillon ^´

p, µ, σ ² n individus tir´ es al´ eatoirement

⇑ ⇓

Tests, estimation ^k _n , ¯ x, s ²

Statistique inf´ erentielle ⇐ Statistiques descriptives

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Analyse de donn´ees

Variables al´eatoires et lois de probabilit´e

Table des mati` eres

1 Des stats pour faire quoi ?

2 Variables al´ eatoires et lois de probabilit´ e

3 Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

4 Tests de comparaison de moyennes et de proportions

6 [email protected] Analyse de donn´ees

Analyse de donn´ees

Variables al´eatoires et lois de probabilit´e

Loi binomiale

La loi binomiale est la loi de probabilit´ e d´ ecrivant le nombre de r´ eussites parmi un ensemble de tirages al´ eatoires et ind´ ependants.

Elle se note B(n, p) avec n le nombre de tirages et p la probabilit´ e de r´ eussite ` a chaque tirage.

● ●

●

●

●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 10 20 30 40

0.0 0.1 0.2 0.3

n=100

Nombre de succès

Probabilité

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

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●●

●●●

● ●● ● ● ● ● ●

●

●

●

●

p

0.01 p

0.05 p

0.1 p

0.25

5 10 25

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Variables al´eatoires et lois de probabilit´e

Loi de Poisson

La loi de Poisson (de Sim´ eon Denis Poisson, 1781-1840) est la loi de probabilit´ e d´ ecrivant le nombre d’´ evenements al´ eatoires et ind´ ependants arrivant dans le mˆ eme intervalle de temps ou d’espace. Elle se note P (λ) avec λ l’esp´ erance et la variance de la loi.

● ●

●

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 5 10 15 20

0.0 0.1 0.2 0.3

Nombre d'évenements

Probabilité

● ●

●

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

●

●

●

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●

●

●

● ● ●

●

●

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●

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●

●

●

●

λ =

1

2

5

10

1 2 5 10

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Variables al´eatoires et lois de probabilit´e

Probabilit´ e absolue

Pas de 10 cm

Taille

a<P(x)<b

120 160 200

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Pas de 5 cm

Taille

a<P(x)<b

120 160 200

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Pas de 1 cm

Taille

a<P(x)<b

120 160 200

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Pas de 0.1 cm

Taille

a<P(x)<b

120 160 200

0 0.1 0.2 0.3 0.4

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Variables al´eatoires et lois de probabilit´e

Densit´ e de probabilit´ e

Pas de 10 cm

Taille

Densité

120 160 200

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

Pas de 5 cm

Taille

Densité

120 160 200

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

Pas de 1 cm

Taille

Densité

120 160 200

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

120 160 200

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

Limite continue

Taille

Densité

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Variables al´eatoires et lois de probabilit´e

Loi normale

La loi normale est la loi de probabilit´ e des variables al´ eatoires continues d´ ependantes d’un grand nombre de causes

ind´ ependantes et additives. Elle se note N (µ, σ) avec µ l’esp´ erance de la loi et σ l’´ ecart-type.

−2 0 2 4 6 8 10 12

0.0 0.1 0.2 0.3

0.4

=5

Valeur obtenue

Densité de probabilité

σ =

1

2

5

20

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Table des mati` eres

1 Des stats pour faire quoi ?

2 Variables al´ eatoires et lois de probabilit´ e

3 Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

4 Tests de comparaison de moyennes et de proportions

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Variable discr` ete

Le balanin est un parasite de la chˆ ataigne.

Nb. de parasites x

0 1 2 3 4 5 6 et plus

Nombre de fruits n

1043 172 78 15 10 7 4

ayant x

parasites

Fr´ equence f

0.785 0.129 0.059 0.011 0.007 0.005 0.004 Fr´ equence cumul´ ee 0.785 0.914 0.973 0.984 0.991 0.996 1

P

f

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Variable continue

On observe la concentration en glucose dans plusieurs mangues.

Concentration (g.L

) Nb de mangues Fr´ equence Fr´ equence cumul´ ee

X n

N

P

f

[135, 150[ 7 0.113 0.113

[150, 165[ 10 0.161 0.274

[165, 180[ 23 0.371 0.645

[180, 195[ 14 0.226 0.871

[195, 210[ 5 0.080 0.951

[210, 225[ 3 0.049 1

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Moyenne observ´ ee sur des donn´ ees group´ ees

On veut la moyenne du taux de glucose dans le m´ elange final de nos 4 types de mangues :

Concentration (g.L ⁻¹ ) Moyenne Nb de mangues

X x _j ^? n j

[135, 165[ 150 17

[165, 180[ 172.5 23

[180, 195[ 187.5 14

[195, 225[ 210 8

¯ x = 1

62 (150 × 17 + 172.5 × 23 + . . .) = 10822.5

62 = 174.56 g.L ⁻¹

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Diff´ erence entre m´ ediane et moyenne

Revenu mensuel moyen des m´ enages en France : 2474 euros Revenu mensuel m´ edian des m´ enages en France : 1514 euros

0 2000 4000 6000 8000 10000

0.000000.000100.00020

Revenu mensuel des ménages

Densité de probabilité

Moyenne Médiane

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Diff´ erence entre m´ ediane et moyenne

Revenu mensuel moyen des m´ enages en France : 2474 euros Revenu mensuel m´ edian des m´ enages en France : 1514 euros

0 2000 4000 6000 8000 10000

0.000000.000100.00020

Revenu mensuel des ménages

Densité de probabilité

Moyenne Médiane

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Les mangues sont ` a la mode

On observe la concentration en glucose dans plusieurs mangues.

Concentration en glucose (g/L)

Nombre de mangues

140 160 180 200 220

0 5 10 15 20

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Variance et ´ ecart-type observ´ es, donn´ ees group´ ees

La variance sur des donn´ ees group´ ees se calcule ainsi :

Concentration (g.L

) Moyenne Nb de mangues

X x

n

[135, 165[ 150 17

[165, 180[ 172.5 23

[180, 195[ 187.5 14

[195, 225[ 210 8

¯

x = 174.56 g.L ⁻¹

s ² = 1

62 17 × 150 ² + 23 × 172.5 ² + . . .

− 174.56 ²

= 365.60 s = √

365.60 = 19.12 g.L ⁻¹

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Loi de la moyenne de n v.a., n grand

n=1

Fréquence

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.40.8

n=20

Fréquence

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

012345

n=100

Fréquence

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0246810

n=1000

Fréquence

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

010203040

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Distribution d’´ echantillonnage d’une moyenne observ´ ee

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Moyenne observée de l'échantillon

Densité de probabilité

µ

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Quantiles de la loi normale

P (µ − C α < x ¯ < µ + C α ) = 1 − α

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Moyenne observée de l'échantillon

Densité de probabilité

µ − C _α µ µ + C _α

α 2 α 2

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Analyse de donn´ees

Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Quantiles de la loi normale, α = 0.20

P (µ − C 0.20 < ¯ x < µ + C 0.20 ) = 0.80

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Moyenne observée de l'échantillon

Densité de probabilité

µ − C _0.2 µ µ + C _0.2

0.1 0.1

22 [email protected] Analyse de donn´ees

Analyse de donn´ees

Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Quantiles de la loi normale, α = 0.05

P (µ − C 0.05 < ¯ x < µ + C 0.05 ) = 0.95

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Moyenne observée de l'échantillon

Densité de probabilité

µ − C _0.05 µ µ + C _0.05

0.025 0.025

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Quantiles de la loi normale, α = 0.001

P (µ − C 0.001 < ¯ x < µ + C 0.001 ) = 0.999

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Moyenne observée de l'échantillon

Densité de probabilité

µ − C _0.001 µ µ + C _0.001

5e−04 5e−04

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Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

Quantiles de la loi normale centr´ ee r´ eduite

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité

z = x − µ

σ² n

−3.29 −1.96−1.29 0 1.29 1.96 3.29

− ε

− ε

− ε

0 ε

ε

ε

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Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Table des mati` eres

1 Des stats pour faire quoi ?

2 Variables al´ eatoires et lois de probabilit´ e

3 Statistiques descriptives, estimation et intervalles de confiance

4 Tests de comparaison de moyennes et de proportions

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Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Distribution d’´ echantillonnage et moyenne observ´ ee

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité

µ0

x

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Analyse de donn´ees

Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Distribution d’´ echantillonnage et moyenne observ´ ee

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité

µ0

x

Risque α 0.20 0.05 0.001

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Analyse de donn´ees

Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Risque de deuxi` eme esp` ece

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité

−4 −2 0 2 4 6

x

σ² n

H ₀ H ₁

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Analyse de donn´ees

Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Risque de deuxi` eme esp` ece

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité

−4 −2 0 2 4 6

x

σ² n

H ₀ H ₁

α 2

α 2

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Analyse de donn´ees

Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Risque de deuxi` eme esp` ece

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité

−4 −2 0 2 4 6

x

σ² n

H ₀ H ₁

α 2

α β 2

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Analyse de donn´ees

Tests de comparaison de moyennes et de proportions

Test unilat´ eral, α = 5%

H 1 : µ 6= µ 0 H 1 : µ > µ 0

−4 −2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Densité de probabilité α

2

α 2

ε 0.05 = 1.96

−4 −2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

α

ε 0.1 = 1.645

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