HAL Id: jpa-00212512
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Submitted on 1 Jan 1990
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séquences isoélectroniques
A. Poquérusse
To cite this version:
Recombinaison radiative directe le
long
de
plusieurs
séquences
isoélectroniques
A.
Poquérusse
Laboratoire pour l’Utilisation des Lasers intenses
(*),
EcolePolytechnique,
91128 PalaiseauCedex, France
(Reçu
le 4 janvier 1990, révisé le 3 mai 1990,accepté
le 23 mai1990)
Résumé. 2014 A l’aide de calculs
spécifiques
pour les ions ayant 0, 1 ou 2 électrons, et d’unecompilation critique
des données de la littérature pour d’autresséquences isoélectroniques,
onétablit une
approximation analytique simple
etprécise,
dans un vaste domaine decharges
et detempératures,
pour le coefficient total de recombinaison radiative directe des ionsatomiques
avecdes électrons maxwelliens.
Abstract. 2014 From results of
specific
calculations for ions with 0, 1 or 2 electrons, and from acritical
compilation
of literature data for other isoelectronic sequences, we establish asimple
and accurateanalytic approximation,
over a wide range ofcharges
and temperatures, for the totalcoefficient of direct radiative recombination of atomic ions with Maxwellian electrons. Classification
Physics
Abstracts 34.901. Introduction.
Parmi les processus élémentaires
importants qui
gouvernent
l’équilibre
ou l’évolution desplasmas
de laboratoire oud’astrophysique figure
la recombinaison(ou capture)
radiativedirecte
[1],
qui
intervientpréférentiellement
à bassetempérature
et basse densité. Nous neparlerons
ici ni de la recombinaison à trois corps, dominante à fortedensité,
ni de larecombinaison
(radiative)
diélectronique,
favorisée par les hautestempératures.
Celle-cin’existe d’ailleurs pas si l’ion initial est un noyau nu, car elle doit transiter par un état
doublement excité autoionisant et devient effective en cas de déclin radiatif de cet état. A titre
d’exemple,
si la recombinaison radiative directe n’intervientguère
dans laphase
initiale d’ionisation intense desplasmas
produits
parlaser,
son rôle devientconséquent
dans laphase
ultérieured’expansion
et influe notamment sur lepeuplement ionique
et lescaractéristiques
durayonnement.
Nous
envisageons
ici d’examiner un certain nombre de donnéesdisponibles
dans lalittérature,
de lescompléter
le cas échéant et, sur la base d’une étude parséquences
isoélectroniques,
de confronter cet ensemble à une formule universelled’approximation,
assezsimple
etprécise
pour desapplications numériques
intensives.2. Présentation
générale.
La recombinaison radiative directe d’un ion
monoatomique
est la réaction :Q
est lacharge
initiale,
Z lacharge
nucléaire,
donc N = Z -Q
est le nombre d’électrons liésavant recombinaison. Comme on
privilégie
les bassestempératures,
il suffit de considérerl’ion initial au seul niveau
fondamental,
tandis que l’état lié i de l’atome(ou
del’ion)
finalpeut
êtrequelconque.
Le coefficient de recombinaison radiative directe est donc la somme :Le coefficient
Ri
relatif à un niveau donné se déduitgénéralement
de la section efficace(Ti (hv)
dephotoionisation, qui
est la réaction inverse de(1),
en vertu de lamicroréversibi-lité [1] :
où c est la vitesse de la
lumière, m
la masse del’électron, k
la constante deBoltzmann,
gi lepoids statistique
du niveau i et g+ celui deA Q +
(ici
aufondamental).
L’énergie
duphoton
est hv =E
+E,
avec leseuil
d’ionisationEi
etl’énergie cinétique
E de l’électronlibre,
dont la distribution estsupposée
maxwellienne à latempérature
T. Dans lasuite,
onutilisera une
température
réduite :où
Ry
estl’énergie correspondant
auRydberg
(soit
13,6057
eV ou 157 887K).
Il sera
également
commode,
lorsque
n’interviennent que des étatssimplement
excités de l’atomerecombiné,
de considérer les sommespartielles
R(nf)
des Ri
pour tous les états d’une sous-couche vide de A Q 1(ce qui
exclut parexemple
laconfiguration
du fondamental dans les cas N =1,
3,
5-9, 11,
etc...).
On pourra continuer leregroupement
pour une couche vide :ou à
partir
d’une sous-couche donnée :Le cas du noyau nu
(N
=0)
serasignalé
par l’indice H et servira souvent de base de
comparaison,
en introduisant les écarts :On aura par
exemple
a r =SH(1)
pour N =
0,
et a r =S(2p )
pour N = 4. En touterigueur,
seul le nombre fini d’états liés(et
perturbés)
permis
par leplasma
environnant serait àconsidérer,
mais enpratique
les densités suffisantes pour affecter sérieusementa r assurent
aussi
l’ample
domination de la recombinaison à trois corps,qui
sort du cadre de cet article.3. Modèle
hydrogénoïde
etséquence
N = 0.Les sections efficaces de
photoionisation hydrogénoïdes
sont connues exactement[2]
dansl’approximation dipolaire
non relativiste. On en déduitSH(nl)
par(3),
(5), (6).
L’annexe 1 exposequelques
détails facilitant le calcul et le tableau 1 donne un échantillon de résultats.On trouvera par
exemple
dans[1]
]
des valeurs moinsprécises
obtenues antérieurement. Tableau I.Coefficient
SH(nl) de
recombinaison radiative du noyau nu, excluant les étatshydrogénoides plus
bas quenf,
en unités(Z/U)
10-16
cm3/s,
U étant latempérature
en unitésZ2 Ry.
[Coefficient
SH(nl)
for radiative recombination of the barenucleus,
excluding hydrogenic
states lower than
nf,
in units of(Z/ U)
10- l6 cm3/s,
with U thetemperature
in units ofZ2 Ry.]
Il
apparaît
que tous lesSH(nl),
au moinsjusqu’à
6s et à toutetempérature, s’expriment
à mieux que 2 %près
par une fonction trèssimple
de celle-ci :où les constantes a,
b,
c sontprécisées
dans le tableau II pourchaque
nl.
En outre, si le nombre P d’états inférieurs exclus de la sommationcorrespond
à une sous-coucheincomplète,
il fautinterpoler
linéairement sur P les deux valeurs deSH
voisines. Dans ce cas,précision indiquée,
saufpour P
= 1 et 3 où le tableau IIspécifie
les valeurs assurant cetteprécision.
Enfin,
il ne faut pas oublierl’obligation
de rester non relativistequi
limite en faitl’excursion admissible vers les hautes
températures
et les fortescharges.
On aura un aperçudu domaine de validité des
présents
calculs encomparant
aux résultatsmultipolaires
relativistes du tableau 1 de
[3].
Pour la section efficace totale de recombinaison radiative dunoyau nu avec des électrons
monocinétiques d’énergie
n’excédant pas 50keV,
l’écart resteinférieur à 2 % si Z =
26,
à 3 % si Z = 42 et à 6 % si Z = 74. On note queSu( 1 )
s’accorde aussi àquelques
%près
avec le tableau II de[3],
maisl’intégration thermique
y faitappel
àune
interpolation
approchée
qui
rend lacomparaison
peusignificative.
Tableau II. - Constantes pour
l’approximation (8)
ducoefficient
de recombinaison radiative du noyau nu, excluant les P étatshydrogénoïdes inférieurs. Quand
P intermédiaire estabsent,
oninterpole
linéairement les constantes.[Constants
forapproximation (8)
of the coefficient of radiative recombination of the barenucleus,
excluding
the P lowesthydrogenic
states. Whenever intermediate P isabsent,
theconstants are
interpolated linearly.]
4. Autres
séquences.
Nous nous proposons maintenant d’étudier l’extension
possible
de la formule(8)
auxséquences
isoélectroniques
N 96
0. On doit retrouver la limitehydrogénoïde
dans les deux casT --+
0,
car la contribution des états fortementexcités,
quasi
hydrogénoïdes,
devient alorsdominante,
ouZ --+ oo,
en choisissant P = N afin d’exclure les étatsdéjà occupés.
CeciOn remarque le facteur
c/c’
préservant
la limite correcte à bassetempérature
et lacharge
effective Z’ fournissant unereprésentation phénoménologique
ducomportement
à hautetempérature (c’
1 ).
Certains auteurs[3]
proposent
Z’ =(Z +
Q )/2
=Z - N /2.
Néan-moins,
nousadopterons
ici :qui
donne un meilleur accord dans le domaine detempérature auquel
nous nousrestreignons
par la suite. L’éventualité de devoir réviser ce choix
risque
d’ailleurs de resteracadémique
carles hautes
températures
rendent la recombinaison radiative directenégligeable
devant larecombinaison
diélectronique
ou l’ionisation parchoc,
et entraînent finalement la caducité du traitement non relativiste.Quant
aux constantes b’ etc’,
elles nedépendent plus
seulement deN,
mais bien entenduaussi de Z. Pour les cas
envisagés
ici,
undéveloppement
limité enpuissances
inverses deQ
convient très bien :Le tableau III
présente
les valeursadoptées
dans les cas où nous avons pudisposer,
soitdirectement dans la
littérature,
soit par des calculscomplémentaires,
de données suffisantespour réaliser un
ajustement significatif.
Laqualité
del’accord,
qui
negarantit
évidemmentpas celle des données de
départ,
en fournit toutefois une vague idéelorsque
manquent
(N >
2 et Zfaible)
les indicationsthéoriques
ouexpérimentales
pour fixer uneprécision
quantitative.
Tableau III.
- Constantes,
encomplément
du tableauII,
pourl’approximation (9,
10,
11 )
ducoefficient
de recombinaison radiative directe d’un ion à N électrons. SiQmin
n’est passpécifié,
ilvaut 1.
Dans un
premier
groupe de données[4-7]
(où
nous éliminons de[5, 6]
les valeursextrapolées
ou purementhydrogénoïdes,
soit notammentP,
Cl et, pour N = 10 et11,
Al etAr),
laphotoionisation
du fondamental estdéjà
modérément bien connue, maisl’approxima-tion de
type
hydrogénoïde
pour les états excités est assurément trèssommaire,
d’autant que Z nedépasse
pas 20. L’accord de la formule(9)
avec les apubliés
est alors réalisé aupire
à unfacteur
1,4
près (sauf
pour N =18,
cequi
sera commenté auparagraphe
8,
et en excluant lesvaleurs de N absentes du tableau
III,
pourvues de donnéestrop
fragmentaires).
Les cas où les seuls résultats
employés
pour Z 19appartiennent
à cepremier
groupe,rendant les
paramètres indiqués susceptibles
de sérieusesrévisions,
sontsignalés
par desparenthèses
dans le tableauIII,
qui
mentionneégalement
où commencent les donnéesquand
ce n’est pas dès
Q
= 1. Il nous a paruprématuré
de tenircompte
de certains résultatsplus
récents de
photoionisation lorsque,
au stadeactuel,
l’ensemble des états excités est encore couvert defaçon
trop
partielle.
Commesimple exemple
d’uneétape
vers le comblement deslacunes,
signalons [8]
laphotoionisation
dubéryllium (N
=3,
Q
=1), qui
illustre lacomplexité
des effetspossibles (minima
deCooper,
structuresd’autoionisation,
etc...)
enprésence
d’électronséquivalents.
La formule(9) pourrait
éventuellement être mise en défautlorsque
de tels cas serontapprofondis.
Le second groupe
comprend
toutes les autresdonnées,
notamment les résultats de noscalculs
présentés
auxparagraphes
5 et6,
et bénéficie pour les états excités d’uneprécision
comparable
à celle du fondamental. L’accord avec la formule(9)
y estpartout
obtenu à mieuxque 10 %
près,
hormisquelques exceptions qui
seront examinées auxparagraphes
7 et 8. Onpeut
raisonnablement s’attendre à uneprécision
propre du même ordre sur les valeurs de arpubliées
par[9-12],
fondées sur des modèlesthéoriques
à un électron enchamp
central,
avec Z assezgrand (26 [9,
10,
12]
et 42[11],
sauf pour N = 2 : voir leparagraphe 6)
et N icilimité à 18. Comme
[9]
donne seulement lesRi
jusqu’à n
= 4,
précisons
que nous obtenons ar(Tab. IV)
par la méthodeindiquée plus
loin et aboutissant à la formule(13). Signalons
aussi que les résultats de[12]
concernant N = 2 et 3 ont dû êtreexclus,
car ilsreposent
sur unephotoionisation
du 2s[13]
dix foistrop
grande
(sans
doute par suite d’une erreur d’échelle dugraphique),
comme le montre laprésentation numérique
issue des mêmes résultats[14]
ou lacomparaison
à[9,
15,
16] ;
ceciexplique
en outre laperplexité
de[17].
Notons que
l’ajustement
pour Z élevé(26
et surtout42)
serait peuperturbé
par unerévision des
paramètres
du tableau III(N
entreparenthèses).
Ceux-ci sontplus
fermementassurés,
grâce
à des donnéescomplémentaires
pour Zfaible,
dans lesquatre
cas que nousallons maintenant détailler.
Tableau IV.
- Coefficient de
recombinaison radiative directe dufer
diversementionisé,
à kT = 1keV,
en unités10- 14
CM3/s,
déduit de[9].
La dernièreligne provient de [10]
pour N = 2 et de[12]
pour le reste, lesparenthèses
signalant
que T déborde le domaine autorisé.[Coefficient
of direct radiative recombination for various ionizationstages
ofiron,
atkT = 1
keV,
in units of10-14
cm3/s,
as derived from[9] through
formula(13).
The last linecomes from
[10]
for N = 2 and from[12]
in other cases, with brackets when T is outside the5.
Séquence
N = 1.Avec les valeurs du tableau
III,
onreprésente
à mieux que 3 %près
les données concernantU 0, 5
pour Z =2,
3,
5 et10,
obtenues comme suit et dont le tableau V donne un échantillon.La section efficace de
photoionisation
du niveau fondamentalhéliumoïde,
connue àenviron 1 %
près
dans le domaine utile(en
deçà
des résonancesd’autoionisation),
estprise
dans
[18]
pour Z = 2 et dans[19]
pour Z =3,
5 et 10(longueur dipolaire).
Pour les étatsexcités
S,
P etD,
elle est calculée par la méthode du défautquantique
[20]
dans saformulation
analytique [21],
sauf pour les états 2S de Z =2,
3 et 10 où nousprenons les
résultats raffinés de
[22],
cequi
n’entraîne d’ailleurs sur arqu’une
correction inférieure à0,4
%. On remarqueraégalement
que supposer les états Dhydrogénoïdes
induirait unevariation de
0,3
% auplus.
Les états deplus
fort momentcinétique
sont touspris
hydrogénoïdes.
On retrouve bien sûr(à
0,5
%près)
les résultats d’un calcul antérieur dea r pour l’hélium
[23,
1].
Tableau V.
- Coefficient de
recombinaison radiative directe des iOlls ci 1 ou 2 électrons, en unitésQ 10-13
cm3/s,
oùQ
= Z - N. On note U latel11pératllre
en unitésQ2
Ry.
[Coefficient
of direct radiative recombination for ions with 1 or 2electrons,
in units ofQ
10-13
cm3/s,
whereQ
= Z - N and U is thetemperature
in units ofQ2
Ry.]
Précisons que les défauts
quantiques
sontexprimés
sous la forme :où les valeurs x
et y
données dans le tableauVI,
qui
assurent une erreur inférieure à0,0005
pour n >1,
sont déduites des niveauxd’énergie
de[24] (aussi [25])
pour S etP,
etcomplétées
pour D par
[26] (aussi
[27, 28]),
[29]
et, avecprécautions
(Z
assezgrand, n
assezpetit), [30].
6.
Séquence
N = 2.Ici encore, pour U
0,5
et Z = 3 à12,
la formule(9)
permet uneprécision d’ajustement
meilleure que 3 %. Le tableau V donne
quelques
résultats de notre calcul deréférence,
fondéTableau VI.
- Constantes pour
exprimer
par(12)
lesdéfauts
quantiques
des états excités dansla
séquence
de l’hélium.[Constants
needed in formula(12)
for thequantum
defects of excited states in the heliumsequence.]
5 % par les auteurs. Dans le cas du
lithium,
oncomplète
pour3p
par[32] ;
pour3d,
4p
et4d,
on obtient
R (nf )
en attribuant àD(nl)/D(3p)
la même valeur que pour Z =4,
àtempérature
réduitefixée,
car cerapport
se révèle presque constantquand
Z varie. Commeprécédemment,
on admet queD (nl)
= 0 pourf >2.
Pour estimer l’écart à la valeur
hydrogénoïde
dû aux niveaux n :>4,
onprocède
commesuit. Si
D (n )
varie commeu/nw+
v/nw+1,
D(3)
etD(4)
déterminent u et v pour w fixé. L’examen deD (nl ),
dans les casdisponibles
ou surquelques
essais de la méthode du défautquantique,
ainsi que deRH(nl),
suggère
que w est
compris
entre 2 et 3. Comme le parcours de cet intervalle influe peu(
1%)
sur le totalS(2),
onpeut
sans inconvénient choisir la valeur «magique »
2,83
qui
fournit des coefficients en chiffres ronds :Le résultat final :
se trouve alors ne
plus dépendre
deR(3) !
Pour le
lithium,
nos valeurs de a r diffèrent auplus
de 1 % de[32],
sauf à500,
8000,
16 000et 32 000 K où ces auteurs semblent avoir oublié le
3d,
l’écartatteignant
alors 5 %. PourZ = 6 et
8,
avec U0,5,
nos résultats coïncident avec les courbes de[10]
à laprécision
delecture
(3 %).
En outre, la formule(9)
s’accorde à 6 %près
avec l’ensemble des données de[10]
et(pour N = 2)
de[11].
On notera encore dans le tableau V
qu’aux
bassestempératures
la recombinaison radiative du lithium ionisé estplus
faible que la limitehydrogénoïde,
cequi pourrait
se traduire par une(
>Q
autotal)
d’après
les niveauxd’énergie
[7]
ne sauraitgarantir
une meilleureprécision
quel’approximation hydrogénoïde simple
avecZff
=Q.
7.
Séquence
N = 10.La
figure
1permet
dejuger l’ajustement
à la formule(9).
Les donnéescomplémentaires
sontici celles de
[33]
(où
il faut évidemment lire1013
au lieu de103
en ordonnée de laFig. 5), qui
applique
une versionsimplifiée
de la méthode du défautquantique,
et de[3],
incluant les effets relativistes etmultipolaires.
Les résultats finals de
[3]
(leur
Tabl.II)
souffrent malheureusement d’une sévèreperte
deprécision (expliquée
auparagraphe suivant) quand
Z et T sontbas,
allant pour Z = 26jusqu’à
Fig.
1. - Différentes donnéesexcéder de moitié la valeur
(notre
tableauIV)
issue de[9].
Pour Z =42,
le désaccord estplus
modéré avec[11],
que la formule(9)
reproduit
d’ailleurs ici à 4 %près.
8.
Séquence
N = 18.La
figure
2 montre l’excellent accord(3
%)
avec les résultats de[34],
aussi élaborés que lepermet
un modèle à un électron enpotentiel
central. Comme pour N =10,
[33]
semble moinsprécis
à hautetempérature.
Les valeurs de[6] paraissent jusqu’à
presque trois foistrop
petites,
mais uneexplication pourrait
y être l’oubli de3d,
4p,
4d et4f,
outre le traitementhydrogénoïde
des autres niveaux excités.Quant
à[3],
on trouve maintenant une valeur presque trois foistrop
grande.
On n’a certespas d’autres données à comparer
directement,
mais aucune fonction raisonnable nepermet
de se raccorder aucomportement
de Z = 26 àplus
bassetempérature.
Un examen détaillé vanous montrer
l’origine
d’un telécart.
Fig.
2. - CommeSeules les
énergies
àpartir
de 1 keV pour l’électron libre sont considérées dans le calculinitial de
[3].
Pour réaliserl’intégration
thermique,
les auteursextrapolent
à basseénergie
uneformule
conçue
pourinterpoler
de 1 à 100 keV. Or on constate parexemple,
pour Z =26,
que lapartie extrapolée
contribue pour 89 % àl’intégrale
si kT = 1keV,
et encore pour 56 % à 10 keV. Sachant que cette formules’interprète
essentiellement par unecharge
effective
(= 17) qui
intervient au moins au carré etqui
devrait en fait tendre versQ ( = 8)
àénergie
nulle,
onimagine
aisémentquelle
énorme réductionpeut
subirl’intégrale,
surtout si l’on note que cette formule est
déjà
1,4
foistrop
grande
à E = 1 keV(toujours
pour Z =
26).
9. Conclusion.
Nous avons mis en lumière une
approximation analytique
trèssimple
pour le coefficient de recombinaison radiative directe des ionsatomiques.
Lescinq séquences
des ions à0,
1, 2,
10et 18 électrons font
l’objet
d’une étude détaillée. Pourplusieurs
autresséquences,
on met àprofit
autant quepossible
les donnéesplus éparses
et moinsprécises disponibles
dans lalittérature,
en attendant d’éventuelsraffinenients
futurs.Quant
aux résultats effectifs d’ores etdéjà présentés,
enjouant
un rôlepratique
d’interpolation,
ils comblent de nombreuses lacunesqui
existaient dans lesséquences
isoélectroniques
considérées. Ilspermettent
notamment d’alimenter efficacement lesbanques
de données exhaustives dont ont souvent besoin les codes de simulationnumérique
où interviennent des processusatomiques.
Enfin,
pour lesséquences
non encorèenvisagées,
comme pour cellesqui
mériteraient unapprofondissement,
les bases iciposées
peuvent
fournir unpoint
de vuesynthétique
facilitantla
prise
encompte
de nouvelles données àvenir,
au fur et à mesure de leurdisponibilité.
Annexe I.
Notre programme calcule
U H, nt (hv)
par les formulesanalytiques [2] jusqu’à n
=40,
maispour accélérer l’exécution et autoriser n à
dépasser
cettevaleur,
nousremplaçons
àpartir
den = 6 le facteur de Gaunt
[2] g(n)
par les
approximations
suivantes :où
(Al) s’inspire
d’undéveloppement
connu[35,
1]
(voir
aussi[36],
en notant que le second membre de(5)
doit y être doublé et les deux derniers termesexprimant g n (o ),
triplés).
Pour obtenir
SH(j),
il faut sommer sur n(de préférence
avantl’intégration
surE)
lasans
l’exponentielle
(indépendante
den).
Appliquons
la formule d’Euler-Maclaurin[37] :
Prenons
k2ly
comme nouvelle variabled’intégration
et réitérons la formule avec la nouvellefonction et les nouvelles bornes.
L’intégrale
s’élimine,
ainsi que certainesdérivées,
et il resteune somme finie avec des termes correctifs :
où
F(y) =
(k2/y2) f(k2/y).
En
particulier, F(k)
=f(k).
Dans le casprésent, F(y)
=yg(k2/y)/(y2
+ xk4)
etF(0)
= 0(si
x =1=0),
cequi
permet
desimplifier
le terme enF’(0), auquel
on va s’arrêter :On peut de fait
négliger (voir plus bas)
les termes résiduels enprenant
pour k lapartie
entièrede 2(37 + x- 1/2)1/2.
Enfin,
pour éviter dansl’intégrale
sur E lasingularité logarithmique
àl’origine
[h (j )
~
ln x
/2
quand x - 0],
il suffit de choisir In x comme nouvelle variabled’intégration.
En la discrétisant au pas de
1/2 (ce qui
fixe desénergies E
enprogression géométrique
deraison
N/e,
dont seul un nombre fini rend le nouvelintégrand
nonnégligeable),
on assure uneprécision
relative surSH(6),
incluant l’effet de(Al), (A2), (A5),
de10- 5
à toutetempérature.
Bibliographie
[1]
BATES D. R., DALGARNO A., in atomic and molecular processes, Bates D. R. ed.(Academic
Press, New York, London,
