C LASSE DE PROBLÈMES SLCI-2
M ODÉLISER LES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS
ETABLIR DES MODÈLES DE CONNAISSANCE ET DE COMPORTEMENT
Pensez à enregistrer vos documents dans le répertoire (Travail/TP-PCSI-2).
1 Présentation
On s’intéresse au système Maxpid, appelé aussi axe Maxpid. Il est issu du robot de cueillette de fruits "Magali". Ce robot est constitue :
• d’un véhicule support autonome guide automatiquement,
• d’un bras de cueillette fixe au véhicule.
Le bras de cueillette est une structure poly articulée munie d’un tube de préhension.
MAXPID permet l’étude d’une des articulations de ce robot. Ce système est asservi.
Q - 1 : Rappelez la définition d’un système asservi.
2 Constitution de la chaîne fonctionnelle de l’axe
La chaîne fonctionnelle assurant la rotation d’un axe est montée sur un banc d’essai et constitue le système d’étude MAXPID sur lequel vous allez travailler.
La chaine fonctionnelle du système MAXPID est constituée :
• d’une chaîne d’énergie constituée de :
◦ Un transformateur qui permet d’alimenter le système en énergie électrique basse tension
◦ un préactionneur : le contacteur électrique.
◦ un actionneur : le moteur à courant continu,
◦ un adaptateur de mouvement : le système vis-écrou à billes,
◦ un effecteur : le bras de sortie articule par rapport au bâti et muni de charges variables (4 masses de 650 g) simulant les differents cas de fonctionnement en situation sur les axes.
• d’une chaîne d’information constituée de :
◦ un PC : il permet de réaliser l’interface homme/machine
◦ un capteur : il permet d’acquérir la position angulaire du bras place dans la liaison pivot bâti-bras.
◦ Une carte de commande qui permet :
△ de traiter les informations venant du PC et de communiquer des informations à destination du PC
△ de calculer l’écart entre la consigne et la valeur mesurée de l’angle du bras par rapport a sa valeur de référence.
△ d’élaborer la tension de commande du moteur a partir de l’écart corrige et d’envoyer cette tension au contac- teur (ordre de commande)
Q - 2 : Retrouver rapidement la chaîne fonctionnelle de la tâche opérative : "déplacer une masse ".
3 Schéma bloc du système et hypothèses de travail
On désire établir le schéma fonctionnel et le schéma bloc de l’axe Maxpid. On considère les constituants suivants :
• Un bloc d’adaptation permettant de retranscrire la consigne angulaireθc(t) (en◦) en une tension de consigne vc(t). On a : vc(t)=Kc.θc(t).
• Un capteur mesurant la position réelle (inconnue) de l’axeθ(t) délivrant une tension v(t). On a :v(t)=Kca.θ(t)
• Un comparateur mesurant l’écartε(t) entre vc(t) et v(t). On aε(t)=vc(t)−v(t).
• Un correcteur permettant de corrige l’écart ε(t) en une tension de commande qui permettra le pilotage du moteur à courant continu Vm(t) . On a Vm(p)=C(p).ε(p).
• Un moteur a courant continu permettant d’obtenir une vitesse de rotationωm(t) à partir de la tension vm(t) . On a la relationΩm(p)=H(p).Vm(p). H(p) est une fonction de transfert d’ordre n.
• Un système vis - écrou permettant d’adapter l’angle de rotationθm(t) du moteur, en angle de rotation du bras Maxpid θ(t). Nous démontrerons dans quelques semaines, que la relation entre ces 2 variables n’est pas linéaire sur la totalité de la plage de fonction mais qu’il est possible, sous certaines hypothèses de la linéariser. Nous accepterons cette hypothèse pour la suite. On a alors :θ(t)=Kve.θm(t).
Q - 3 : Donnez le schéma fonctionnel complet de l’axe Maxpid. (on ne prendra pas en compte d’éventuelles per- turbations), c’est-a-dire : indiquez les composants, les grandeurs temporelles d’entrée/sortie de chaque compo- sants et leur unités.
Q - 4 : Donnez le schéma bloc du système
Q - 5 : Calculez sa fonction de transfert en boucle ouverte en fonction des données de l’énoncé. Faire de même avec sa FTBF.
L’objectif de l’identification d’un SLCI, est d’établir un modèle mathématique approximant au mieux la fonction de transfert
H(p)= Hm(p).Kve.Kca.1 p
Or pour des raisons de sécurité, nous travaillerons en boucle fermée, c’est-a-dire que nous établirons la fonction de transfert en boucle fermée :
FT BF(p)= Ω(p) Ωc(p)
Le problème revient à identifier la FTBF, et par conséquent son ordre. On considérera que, si la transmittance du capteur, du bloc d’adaptation et du correcteur sont des gains purs, l’ordre de la FT BF(p) est le même que l’ordre de H(p). A ce titre, on impose une correction proportionnelle c’est-a-dire que C(p) est de la forme : C(p)=Kp. De plus on pose:
Hm(p)= N(p)
D(p) avec Deg(N(p)) = 0 Deg(D(p)) = n avec bien sûr, Deg(N(p)) le degré de N(p).
Q - 6 : Vérifier cette affirmation en montrant que l’ordre de FT BF(p) est n+1. Pour cela on évaluera le degré du dénominateur de la FT BF(p).
On remarquera que :
• Deg(G(p)+F(p))=max(Deg(G(p),Deg(F(p))
• Deg(G(p).F(p))= Deg(G(p))+Deg(F(p)) G(p) et F(p) sont des polynômes de la variable p.
4 Rappels théoriques de cours
Q - 7 : Rappelez la forme de la fonction de transfert d’un système du 1er ordre. Définir ses paramètres carac- téristiques. Rappeler la forme de la réponse à un échelon et à une rampe de ce type de système. Donner les principes d’identification des paramètres caractéristiques à partir d’un relevé expérimental.
Q - 8 : Rappeler la forme de la fonction de transfert d’un système du 2eme ordre. Définir ses paramètres caractéristiques. Rappeler la forme de la réponse à un échelon de ce type de système. Donner les principes d’identification des paramètres caractéristiques à partir d’un relevé expérimental.
5 Identification en réponse à un échelon
Se Rapporter au fichier "Protocole de mesure Maxpid.pdf ".
On prendra Kp=20. On cochera les courbes "consigne " et "position " .
Q - 9 : Solliciter le système par un échelon de 30◦à partir de la position 20◦. Cliquer sur la fonction commen- taires pour relever le temps de réponse et l’écart statique. Imprimer la courbe et représenter dessus le temps de réponse et l’écart statique.
ATTENTION!S’il y a un retard au démarrage, recommencer la mesure jusqu’a sa disparition :
Q - 10 : Enregistrer les mesures sous Excel dans le répertoire travail.
6 Identification a un modele du premier ordre
On se propose dans un premier temps de modéliser le comportement observé par une fonction de transfert du 1er ordre.
Q - 11 : Justifier ce choix.
On pose alors : FT BF(p)= Ω(p)
Ωc(p = K1
1+T.p La consigne est de type échelon :Θc(p)= θ0 p .
Q - 12 : Donnez la réponse temporelle du systèmeθc(t).
Q - 13 : Démontrez, par la méthode de votre choix, que : K1 = θf
θ0 avecθf, la valeur finale. Précisez l’unité de K1.
Q - 14 : A partir de l’impression, déterminez K1et T1, vous expliquerez votre démarche.
Q - 15 : Ouvrez le fichier intitule "Maxpid-ordre-1.xlsx ".
Il permet de superposer le tracé expérimental, et le tracé théorique : On peut y renseigner K1et T1. A l’ouverture, des valeurs aléatoires remplissent les cases correspondantes. La colonne B représente le temps, la colonne C, la réponse théorique d’un système du premier ordre à un échelon (à compléter).
Q - 16 : Copiez les valeurs de la réponse expérimentale issues de la Q10 dans la colonne D, en ayant au préalable rendu les conditions initiales nulles par changement de variable sous Excel.
Les échelles de temps entre théorie et mesure correspondent, ou doivent correspondre.
Q - 17 : Superposez sur un même graphe les réponses théoriques et expérimentales, recherchez les valeurs de T1et K1qui assurent la meilleur approximation qu’il soit possible d’atteindre.
Q - 18 : En utilisant la fonction intégrée au logiciel, déterminer la fonction de transfert du système. Comparer le résultat à celui obtenu en Q14 et Q17. Expliquer l’origine des ecarts constates entre les trois modeles.
Q - 19 : Commentez la pertinence du choix d’un modèle du 1er ordre.
7 Validation du premier ordre avec une rampe en consigne
L’échelon n’est pas la seule consigne imposable : on y trouve la consigne en trapèze de vitesse. Il s’agit de commander l’axe
Vitesse
tf
ta ta+tm
ω0
Déplacement
Accélération
• Phase 1 : C’est une phase d’accélération constante, on note a cette accélération. La phase d’accélération dure un certain instant, note ta, jusqu’à ce que la vitesse ait atteint une valeurω0.
• Phase 2 : Cette vitesse est maintenue durant un certain temps de maintien note tm.
• Phase 3 : C’est une phase de décélération constante de valeur−a. On note tf la durée totale de la commande.
Les paramètres a etω0sont fixés par l’utilisateur. Il faut également choisir l’amplitude du déplacement, en degré. Ce dernier impose le temps de commande tf.
Q - 20 : Lancez une sollicitation de 40◦ à partir de la position de 20◦. Pour cela vous choisirez "trapèze de vitesse " . Il faudra, dans "PID " choisir l’accélération (a=40rad.s−2) et la vitesse (ω0 = 3 rad/s). A partir de l’essai justifiez (mathématiquement) l’allure de la consigne de position.
Au bout de tf secondes, le bras Maxpid est en position finale. On note A l’amplitude du mouvement.
Q - 21 : Exprimezθ(tf)=A en fonction de tm, a, etω0.
Q - 22 : Donnez la valeur numérique de tmpour les valeurs des paramètres mentionnées plus haut. Comparez tm à ta. Justifiez alors qu’on puisse assimiler la consigne de position à une rampe de pente ω0 en phase de mouvement.
On note la fonction de transfert approximant le comportement du bras Maxpid :
FT BF(p)= Ω(p)
Ωc(p) = K2
1+T2.p On sollicite le système par une rampe :θc(t)=ω0.t.u(t)
Q - 23 : Démontrez que dans ces conditions :θ(t)=K2.ω0.
t+T2.
e−t/T2−1 .u(t) .
Q - 24 : En suivant la même démarche que celle suivie aux questions Q15/Q16/Q17, ouvrez le fichier intitulé
"Maxpid-rampe.xlsx " et trouvez les valeurs de K2et T2qui offrent la meilleure approximation possible.
Q - 25 : Pour chaque modèle obtenu, donnez la courbe des écarts entre réponse mesurée et réponse théorique.
Commentez et interprétez.
Q - 26 : Formulez soigneusement la démarche suivie pendant tout le TP et conclure.
