Recherche de la réponse à un échelon unitaire.

Sciences de l’ingénieur

2ndordre_a=1 Lycée Jacques Amyot

Auxerre 28/09/2004 Page 1 sur 2

Système du second ordre a=1

Recherche de la réponse à un échelon unitaire.

Michel Huguet Préambule :

La forme canonique d’un système du second ordre est de la forme :

2 2

1 1 2

) (

p a p

p K H

n n

⋅ +

⋅ ⋅ +

=

ω ω

Le système étant sollicité par un échelon unitaire de type

e ( t ) = 1 ⋅ u ( t )

, l’image de cette entrée dans le domaine de Laplace est notée E(p) et vaut :

p p

E 1

)

( =

. L’image de la réponse du système

notée S(p) vaut alors :

p p a p

p K S

p E p H p S

n n

1 1

1 2 ) (

) ( ) ( ) (

2 2

⋅

⋅ +

⋅ ⋅ +

=

⋅

=

ω ω

1) Décomposition de S(p) en éléments simples :

1.1)Recherche des racines de

2 1 0

1 ⋅ ⋅ +

₂

⋅

²

=

+ a p p

n

n

ω

ω

. Pour a=1 on trouve une racine double :

n

1 a

p =− ⋅ω

et comme a = 1 alors : p₁=−ω_n

Une fois factorisée l’équation se met sous la forme : 1

(

p p

)

₂ 0

2 1 n

=

− ω ⋅

Donc S(p) peut se mettre sous la forme :

p 1 p 1 p

p K S

2 2 1

n

⋅

− ω ⋅

=

) ( )

( ou ₂

1 2 n

p p p p K

S( ) ( )

−

⋅ ω

= ⋅

En posant : p1

− 1

=

τ S(p) s’écrit :

2 1 2 1 2 n

p 1 p p

p K p

S

) (

) (

+

−

⋅ ω

⋅

=

or p²₁ =ω_n², donc S(p) prend la forme « habituelle » : p 2

1 p p K

S( ) ( )

⋅ τ +

= ⋅ _où τest appelée constante de temps du système.

1.2) Recherche des coefficients :

( )

²

2 1 p

C p

1 B p A p 1 p p K

S + +τ⋅

⋅ τ + +

⋅ = τ +

= ⋅

) ) (

(

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*Recherche de A : On forme p⋅S(p) puis on pose p=0

(

^{1 Kp}

)

²

p S

p⋅ ( )= +τ⋅ et en posant p=0

On obtient A = K

* Recherche de C : On forme

(

1+τ⋅p

)

²⋅S(p) et on pose

−τ

= 1 p

( )

p p K S p

1+τ⋅ ²⋅ ( )= et en posant

−τ

= 1

p on obtient :

−τ

= 1

C K

Finalement on obtient C=−K⋅τ

* Recherche de B :

On remplace, dans la décomposition de S(p), A et C par leurs valeurs, ce qui donne :

( )

²

2 1 p

K p 1

B p K p 1 p p K

S +τ⋅

τ

− ⋅

⋅ τ + +

⋅ = τ +

= ⋅

) ) (

(

Puis on pose, par exemple, p=1 :

( )

²

2 1

K 1

K B 1

1 K

S +τ

τ

− ⋅ τ + + τ =

= + ) ) (

(

Finalement on obtient :B=−K⋅τ Globalement S(p) se décompose donc de la manière suivante :

( )

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + τ τ⋅

− τ+

−

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + τ

⋅ τ τ

− τ+

⋅ τ τ

−

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⋅ τ

⋅ + τ

⋅ − τ

⋅ + τ

−

=

⋅ τ +

= ⋅

2 2 2

2 2

1 p 1 1 1 p

1 p K 1 p S

1 p 1

1 p 1 p

K 1 p S

p 1

1 p

1 1 p

K 1 p S

p 1 p p K S

) (

) (

) (

) ) (

(

2) Transformation inverse :

La transformation inverse de S(p) donne s(t) qui est égale à :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

−τ

−

⋅

= ^{− τ − τ}

t t

t e e 1 K t s( )

Nota :

( )

^{2 at}

1 t e

a p

L⁻ 1 ⎟⎟= ⋅ ^−⋅

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +