Sciences de l’ingénieur
2ndordre_a_sup_1 Lycée Jacques Amyot
Auxerre 27/09/2004 Page 1 sur 2
Système du second ordre a>1
Recherche de la réponse à un échelon unitaire.
Michel Huguet Préambule :
La forme canonique d’un système du second ordre est de la forme :
2 2
1 1 2
) (
p a p
p K H
n n
⋅ +
⋅ ⋅ +
=
ω ω
Le système étant sollicité par un échelon unitaire de type
e ( t ) = 1 ⋅ u ( t )
, l’image de cette entrée dans le domaine de Laplace est notée E(p) et vaut :p p
E 1
)
( =
. L’image de la réponse du systèmenotée S(p) vaut alors :
p p a p
p K S
p E p H p S
n n
1 1
1 2 ) (
) ( ) ( ) (
2 2
⋅
⋅ +
⋅ ⋅ +
=
⋅
=
ω ω
1) Décomposition de S(p) en éléments simples :
1.1)Recherche des racines de
2 1 0
1 ⋅ ⋅ +
2⋅
2=
+ a p p
n
n
ω
ω
. Pour a>1 on trouve deux racines réelles : 1a a
p
1 a a
p
2 n n 2
2 n n 1
−
⋅ ω + ω
⋅
−
=
−
⋅ ω
− ω
⋅
−
=
Une fois factorisée l’équation se met sous la forme :
1 ( ) ( ) 0
2 2
⋅ p − p
1⋅ p − p = ω
nDonc S(p) peut se mettre sous la forme :
p 1 p p p 1 p
p K S
2 2 1
n
⋅
−
⋅
− ω ⋅
=
) ( ) ( )
( ou
) ( ) ) (
(
2 1
2 n
p p p p p p K
S ⋅ − ⋅ −
ω
= ⋅
En posant :
1
1 p
− 1
=
τ et
2
2 p
− 1
=
τ S(p) s’écrit :
) (
) (
) (
p 1 1 p p p p
p p K p
S
2 1
2 1
2 n
+
−
⋅ +
−
⋅
⋅ ω
⋅
=
or le produit p1⋅p2=ωn2, donc S(p) prend la forme « habituelle » : )
( ) ) (
( p 1 p 1 p
p K S
2 1⋅ ⋅ +τ ⋅ τ
+
= ⋅ ou τ1et τ2sont appelées constantes de temps du système.
1.2) Recherche des coefficients :
p 1
C p
1 B p
A p 1 p 1 p p K S
2 1
2
1 + +τ ⋅
⋅ τ + +
⋅ = τ +
⋅
⋅ τ +
= ⋅
) (
) ) (
(
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*Recherche de A : On forme p⋅S(p) et on pose p=0
(
1 p) (
1 p)
p K S p
2 1⋅ ⋅ +τ ⋅ τ
= +
⋅ ( ) et en posant p=0 on obtient A = K
* Recherche de B : On forme
(
1+τ1⋅p)
⋅S(p) et on pose1
p 1
−τ
=
( )
p(
1 p)
p K S p 1
2
1⋅ ⋅ = ⋅ +τ ⋅
τ
+ ( ) et en posant
1
p 1
−τ
= on obtient :
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ τ
−τ τ ⋅
−
=
1 2 1
1 1
B K ⇒
2 1 2 1
1 B K
τ +τ
−τ
= Finalement on obtient
1 2
2
K 1
B τ −τ τ
= ⋅
* Recherche de C : On forme
(
1+τ2⋅p)
⋅S(p) et on pose2
p 1
−τ
=
De la même manière on obtient :
2 1
2
K 2
C τ −τ τ
= ⋅
Finalement il vient :
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
τ + τ ⋅
− τ + τ τ + τ ⋅
− τ + τ
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
τ +
⋅ τ τ
− τ + τ τ +
⋅ τ τ
− τ + τ
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅ τ
⋅ + τ
− τ + τ
⋅ τ
⋅ + τ
− τ + τ
=
⋅ τ +
⋅
⋅ τ +
= ⋅
1 p 1 1 p
1 p
K 1 p S
1 p 1 1 p
1 p
K 1 p S
p 1
1 p
1 1 p
K 1 p S
p 1 p 1 p p K S
2 2 1
2
1 1 2
1
2 2 2 1
2 2
1 1 1 2
2 1
2 2 1
2 2 1
1 2
2 1
2 1
) (
) (
) (
) (
) ) (
(
2) Transformation inverse :
La transformation inverse de S(p) donne s(t) qui est égale à :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛τ ⋅ −τ ⋅ τ
− +τ
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅
τ
− τ + τ τ ⋅
− τ + τ
⋅
=
−τ
−τ
−τ
−τ
2 1
2 1
t 2 t 1 1 2
t
2 1
2 t
1 2
1
e 1 e
1 K t s
e e
1 K t s
) (
) (
