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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Gossez, J.-P. (1969). Opérateurs monotones dans les espaces de Banach (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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D 9 ?^

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

Faculté des Sciences

OPERATEURS MONOTONES

DANS LES ESPACES DE BANACH

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

(Grade légai)

On peut caractériser par des inégalités simples

les opérateurs de Carathéodory qui appliquent l'espace

1

BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉMATIQUES

ET DE PHYSIQUE

Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences

&

OPERATEURS MON01*ONES

DANS LES ESPACES DE BANACH

Thèse présentée en vue de 1®obtention du grade de Docteur en Sciences

{grade légal)

IntroductioHc 1

X. OpératGttrs monotones. Rappels et compléments. 6

4. Opérateurs monotones. Sous^différentiels

et soun«°différentiels approchés. 7 2. Application de dualité et application

de dualité approchée. 13

3. Sélection et seiai^continuité inférieure. 16

II, Résolvante approchée d*un opérateur monotone

de type dense. 23

1. Opératetirs monotones de type dense. 25

2. Exemples. 27

3. Résolvante approchée. 33

4. Propriétés de la résolvante approchée, 37

5. Autres résultats. 43

III. Applications. 46

1. Propriétés de convexité. 47

2. Propriétés de surjectivitê. 53 3. Opérateurs monotones localement bornés. 58

IV« Ensembles virtuellement convexes et

opérateurs monotones o 63

i« Ensessbles finiment et virtuellement

convexes. 64

2. Thêorêrae de virtuelle convexité» 66 3, Application à un problème de point fixe» 69

Les méthodes classiques d'analyse fonctionnelle non

linéaire telles que le théorème de point fisîe de Schauder

ou la théorie du degré topologiquo de Leray^Schauder

s'appliquent essentiellement à des opérateurs compacts»

Dans plusieurs problèmescette condition de compacité n'est

pas satisfaite» Différentes classes d'opérateurs non linéaires

non compacts ont été introduites et étudiées ces dernières

annéess les opérateurs monotones? les opérateurs accrétifs?

les applications non^expansives»» » Parmi elles9 la classe

des opérateurs monotones (et de lexirs généra 1 isations^ cf»

secablc la plus importante du point de vue des applications»

La théorie des opérateurs monotones/, développée

initialement par BROWDER et MINTY, peut être considérée

coomte ime généralisation de la méthode directe du calcul des

variationss 1® succès de la méthode variationnelle pour

résoudre des équations fonctionnelles dépend en fait d'une

condition de monotonie que peuvent vérifier des opérateurs

ne dérivant pas nécessairement d'un problème d'esîtremura

2.

méthode do monotonie/, voir j^44p333 K Elle est aussi

étroitement liée à la notion de sous^différentiabilité: le

sous<>âi££érentiel d'une fonction convexe„ qui coïncide avec

l'application gradient là oà la fonction est différentiable.,

constitue l'exemple classique d*un opérateur monotone» Ses

applications concernent les problèmes aux limites pour des

équations (ou des inéquationsI aux dérivées partielles non

linéaires (cf. ^9o26o6„29„.,^ K le contrôle optimal de

systèmes gouvernés par des équations (ou des inéquations])

aux dérivées partielles non linéaires (cf. ^27p28<,

Actuellement/, la plupart des résultats de la théorie

générale des opérateurs monotones sont établis dans le cadre

des espaces de Banach réflexifs ( |4lJ constitue l'exception

majeure). L'objet principal de ce travail est d'étudier les

opérateurs monotones dans le cadre des espaces de Banach

quelconques»

Le développement de la théorie dans les espaces de

Banach réflexifs est basé sur l'étude de la résolvante

(AJ T) d'un opérateur monotone T, Le résultat d'existence

fondamental dit que sous certaines conditions., cette résolvante

est partout définie; il n'est plus vrai sans l'hypothèse de

réflexivité. On introduit ici pour chaque c > O une résolvante

dans le cas général un résultat d“escistonce analogue à celui

connu pour (XJ + Tj dans le cas réflescifo Cette étude

conduit à distinguer une classe particulière d"opérateurs„

les opératoiirs monotones de type dense « condition qui

apparaît dans la recherche des prolongements d“un opérateiir

monotone au bidual de l'* espace et qui semble devoir jouer

un rôle important dans l^eKtension de la théorie aux espaces

de Banach quelconques. On montrera qu“entre autres les

opérateurs monotones dérivant du calcul des variations sont

de type dense. Le chapitre XI traite ces questions.

Les applications de dualité approchées „ quoique non

laonotcneSÿ se comportent souvent conane 1 “ apî»lication de

dualité Jo ce qui pfermet alors d'*utiliser la résolvante

approchée de la même façon que la résolvante. Le chapitre IIï

exploite ce fait pour généraliser au cas non réflexif

plusieurs propriétés des opérateurs monotones connues dans

le cas réflexif.

D®un autre point de vue,, cette étude a potir conséquence

de dépouiller certains théorèmes de leur formulation

variationnelle pour ne retenir que leur caractère plus

général “ monotone. Illustrons cela par un exemple. BïSHOP

et PHELPS [$3 ont montré que les hyperplans d®appui d“un

4c

ensemble (fortement^ dense dans le dual. Cet énoncép

visiblement variationnelp appara£tra coomte «n cas particulier

du théorème disant qu®un opérateur monotone de type dense

coercif â°un espace de Banach dans son dual a ime image

(fortementJ denses

Le chapitre I rappelle quelques définitions et étudie

los questions de sélection et de semi^continuité inférieure

au sens de Kuratov;ski des opérateurs monotones. Ici aussi

on est amené à généraliser au cas monotone certains résultats

connus dans le cas variationnel des sous-^différentiels.

Enfin le chapitre IV donne une déiaonstsration

plus simple d’un résultat de convexité do ROCKAPELIAR

Son intérêt réside surtout dans les majorations préliminaires

qui lient la résolvante d’un opérateur monotone à l’image

de celui-ci.

Je suis heureux de pouvoir exprimer ici ma profonde

gratitude à M,T.LEPAGE dont les conseils et les encouragements

me furent très précieux.

Je désire aussi remercier vivement M.J.L.LIONS et

M.R.T.ROCKAFSLIAR pour tout l’intérêt qu’ils ont porté à

mes recherches.

m’a souvent conseillé judicieusentent et m’a fait

bénéficier de l’ambiance stimulante de son séminaire^

et à M.JcSONNENSCHEIN qui m'a fourni d'intéressantes

indications.

Enfin je remercie bien amicalement E.IAKl DOZO avec

qui j'ai eu de» discussions fréquentes et profitables.

Ces remerciements seraient incomplets si je ne

mentionnais pas l'aide matérielle que m'a accordée le

CHAPITRE I

OPERATEURS MONOTONES. RAPPELS ET COMPLEMENTS

Le contenu de ce chapitre est dovibleo D^une part il

rappelle brièvement les notions â°opérateur monotone« de

sous-différentiel... et énonce plusieurs de leurs propriétés.

autre part il établit quelques résultats n"entrant pas

dans le cadre des chapitres ultérieures la proposition l.i

qui permet de calculer directement le sous-différentiel

approché d^tme fonction convexe à partir de son sous-

différentiel, et le N*3 qui étudie les questions de sélection

et de semi-continuité infériexare au sens de Kuratottrski des

opératexirs monotones. On y montre en gros gu “un opérateur

monotone non lanivogue ne possède jamais de sélection

continue et n"est jamais semi-continu inférieiurement;

comme application, on apporte un complément à certains

résultats d’ASPLUND et ROCKAFELLAR j‘4] concernant la

i. OPERATEURS MONOTONES, SOUS~DXFB'ERSNTIELS ET

SOUS-DIFFERENTIELS APPROCHES.

Soit (EjP) un couple âVspaces vectoriels réels en

dualité; le produit scalaire entre E et F est

noté ,

Un sous-ensenible G de B F est dit monotone si

- y<, X* » y*> > O V(x„x*)C;Gp V(y*y*îê.G;

G est dit monotone inaxitaa] s "il est maximal parmi les sous-

ensembles monotones de E x F ordonnés par inclusion. Un

opérateur monotone (resp. monotone maxima 1 ) T:E —9'F est

une multi-application de E dans F dont le graphe

gr T = ^ (XoX*î G E X P; x* & Tx |

est un sous-ensemble monotone (resp. laonotone maximal} de E xF.

Le domaine et 1"image de T:E—F sont définis

respectivement par

D(TÎ *= I xeE; Tx videl o R (T) « l_i Tx »

^ ^ xfiD(T)

—1

l'opératexir inverse T :P—»^E par

T *x* “ |^xC:E;x*GT3e| .

3,

1”opérateur (raonotoneî de domaine D(T^*^T2Î “ A

défini par

(T^-KP2nxî =* |x| + :c| ? x*cT^x et x|e.T23c|.9

Une application (univoque) A;S—^F est dite hémicQiitinue

en x€D(A) si la restriction de A à chaque segment de

D(A) passant par x est continue en x à valeurs dans P„ C'(^fE);

A est dite héraicontinue si A est hômicontinu en chao[ue point

de D(A).

LBMME i.i(c£. î. Un ot>ératev?.y monotone hémicontinu

T:E—^P de domaine D(T)=»E est monotone maximal*

Pour la théorie des opérateurs monotones,^ voir les

travaux do BREZÏS^BROWDERo LIONS„ MINTY^ ROCKAPELLAR^.o.

On trouvera dans fl

Soient maintenant E un espace localement convexe

séparé rêelc B* son dual et E** son bidual; E s“identifie

à un sous-espace (r(E**oE*)-den3e de E**.

Soit £ une fonction convexe définie partout sur E»

à valeurs dans „ non identiquement égale à +0^

et semi-continue inférieurement sur E (d“où sur E^O (E5E*))p

en abrégé une fonction convexe propre s.c.i. sur E.

On désigno par dom £„ le domaine effectif de f» l'enseinable

convexe

|xi«E; f(x) < +«o| .

La malti^application ^f:E—^E* définie par

■^f(x) = |^x*êE*i f(y) ^ f(x) -î* <y“Xff x*>

s'appelle le sous°dif£érentiel de f. Il est clair que si

f est diffêrentiable au sens de G^teauat en Xo c®est-=>à“dire

si xcdoHi f et s'il existe x*6 E* vérifiant

11» £<ïî£ïh£i2l O Vy^E,

s-'iO r

alors "^f(x) =» où x* est le gradient de f en x«

On vérifie aisément que l'opérateur Df:E E* est

monotone. MINTY [32j et MOREAU £s4l dans des cas particuliers

puis ROCKAPELLAR |39p4C^ dans le cas général ont montré

que si E est un espace de Banachc alors "SfsE—^E* est

monotone maximal.

Rappelons que la conjuguée de f est la fonction f*

sur E’*' définie par

f*(x*) a sup ^<^XeX*)> “ £ (x) ; X C E | ;

c'est une fcnction convexe propre <T(S*(,E)«“S.c.i. Il est

4i f(xî + £*(x*) VxCE„

iO.

l'égalité ayant lieu si et seulement si x*^ hf(x). On

définit de la même façon la conjuguée f** de f* et le

sous^différentiel «>f*:E* —et on sait [36^ que f**

est la régularisée s.c.i. de f sur E** pour 0'(E**«E*K

c'est-à-dire la plus grande fonction CT(E**(,E*i-s.c.i«

sur E** majorée par £ sur E. La restriction de f** à E

co£ncide donc avec f et celle de ( î>£*) avec Bf.

Par exemple, si C est un ensemble convexe fermé non

vide de E, la fonction indicatrice de C définie par

Yç(3t) “ I O si 3:e.C

I ❖ c© si 3C

4-est une fonction convexe :^opre s«c.i. sur E, et on a

^ désigne la <T(E**,E*)-fermeture de C dans

E**î si E est un espace de Banach et si f(xî « ||3£| ,

alors €* est la fonction indicatrice de la boule unité de

et f**(x**î =» •

LEMMË i.2(c£. |36»37j ). Soient g j|t h deux fonctions

convexes propres s.c.i. sur E. On suppose cu^il eatiste un

TX>int de dom g H dom h où l'une des deux fonctions est

définie pour > O par

(i.l) *<£>-f(x) a ( E*; f(y) ^ f(x) ^y-x„x*\ ° Vy^sj

= Sx*(SE*; <x,x*> >, f(x) + f*(x*î “g l .

L ‘ ^ J

D*après le théorème de Hahn^Banach» D( = dora f. Le

lerame suivant est fondamental dans la théorie de la sous»

différentiabilité.

LEMî'îE 1.3 (cf. K On suppose que E est un espace

do Banach. Soit f une..fonctj .or» urc’jro G>c..i. sur E,

Soient X* € "^g^f(x) et ^([>0. Il existe x G.E et

x*C.E* vérifiant x* Ç, bfi'x)e ([x » x|| ^ ®;t ||x* - x*|.<; . A

Le sous“diffêrentiel approché est habituellement

défini comme ci»dessus à partir de la fonction f. La

proposition suivante montre qu'on peut le calculer directement

à partir du sous~différentiel 'df,

PROPOSITION i.l. On suppose que E est un espace de

Banach. Soit f une fonction convexe propre s.c.i. sur E.

12.

/x-x ,X*\ + /x -X . »x* +...+/x.-x,x*V ^ f:.

pour toute famille finie de couples {x^eX'p dans _Xe

graphe de l>fo

DEMONSTRATION. On sait |39940^1 que détermine f

à une constante additive près. Il résulte donc de Ci.lJ que

c)^£ ne dépend que de c)£. D° autre part puisque £ est la

régularisée s.c.i. de f ®

déduit de (1.1} que x'*' 4 l>ef(x} si et seulement si

s»

(1.2) f(y} £(x) y-x^x*) «- £ Vye.D(^f).

Or d'après |39,4o1 „ si y* 6 t>£(y)«, on a pour tout z cE

£(z) = £(y) + sup ..+<,x^-y„y*;>| ^

le supremum étant pris sur l'ensemble des familles finies

de couples (x^»xp dans gr ^£. Cela montre que (1.2)

équivaut à

O ^ <x-x^ex*)^+...■«• <x^“y«y+ <y“X,x*)^-» £

pour toute famille finie de couples (x^^^x^) dans gr c)£

et pour tout (y»y*) dans gr “^f. Q.E.D.

REMARQUE. La proposition précédente n'est plus vraie

si E est un espace localement convexe quelconque. En effet

certain espace préhilbertienî une fonction convexe propre

a.c.i. telle que 2>f(xî soit partout vide. Pour cette

fonction^ c)^f calcul-é au taoyen de la proposition 1.1 ne

peut qu^être trivial» tandis que le théorème de Hahn~Banach

entraîne que c!sg.£ défini au moyen de (1.1) n“est pas trivial.

Pour la théorie des fonctions convexes et de la sous”

différentiabilité» voir les travaux de MOREAU» ROCKAFELLAR»...

On trouvera dans j35»36j une importante bibliographie.

2. APPLICATION DE DUALITE ET APPLICATION DE DUALITE

APPROCHEE.

Soit ifs une fonction continue strictement croissante

de dans R^ telle que <|j(0)e*0 et «|>(r) quand

r —^ application de dualité J (de jauge ) d'un

espace de Banach réel X dans son dual X* est définie par

Jx = fx-'é X*; <x,x*;. = %x\\ et jjx*| = «|>(i|xg)| .

D’après le théorème de Hahn~Banach» D(J) = X. Si X* est

44.

et 3î* impliquent ||(4~t):«* *î* tx| | < 1 VtC^Oo^f]*;

alors J est xmivoque. Lorsque X est un espace de Hilbert

(identifié à son dual| et ^(r)=r(, J est inapplication

identique I.

Notons y la fonction réciproque de et posons

( i3^(s|ds . *

ASPLUND ^2j a montré que J est un sous^différentiels J

où j(x) = L’opérateur JsXest donc

monotone maximal» ce qui par ailleurs peut se prouver

directement à partir du leiisme l.i (généralisé afin de

s’appliquer amî opérateurs raultivoques„ c£. îi résulte

de [l] que j*(>t*) =» et que j**(x**î =* <^(|x**|K

En particulier ôj* est l’application de dualité de X*

dans X** ayant pour jauge ^ .

Pour un exposé des propriétés de l'application de

dualités voir [j20^. Voir aussi

On définit l’application de dualité approchée comme

le sous-différentiel approché de j: sc*€.J«;X si et seulement si

<^X,X*^ ^ j(xî + j*(x*1 - t .

Pour chaque x&X«, l’intérieur (pour la norme de X*} de J. x

contient Jx. On déduit de l’inégalité de Young

que x*£Jg^x entraîne <X9X*>^|x| [j x*| -£ .

LEMME 2,1, L’opérateur (non iponotone) îX —»■ X*

transforme un borné de X en un borné de X*«, et est coercif

c°est~à°diro

L’énoncé du lemme résulte alors facilement de la définition

de J^.Q.E,D.

On vérifie aisément que le graphe de est fermé dans

XîtX* pour la topologie produit de H II ©t de «f(X*oXî. II

en résulte que la laulti-application est semi-continue

supérieurement (en abrégé S,C,S.) de X^l| || dans X*j, 0 (X*cX) „

ce qui d’ailleurs est un cas particulier d’un résultat de

concernant la semi-continuité supérieure des sous-

différentiels et des sous-différentiels approchés.

Les propriétés précédentes valent aussi pour J,

—^ lorsque x*S J^x «

DEMONSTRATION, On déduit de

16c

3. SELECTION ET SEMI~CONTINUITE INFERIEUREo

Soit (E,F) xin couple d'espaces vectoriels en dualité.

Un point x d'un sous-ensenû3le D de E est dit quasi°interne

dans D si 1° ensemble des y tels que le segment

soit contenu dans D engendre dans £ un cône convexe

(T (EoF)‘*’dense. Par exemple,, si x est interne dans 0»

c'est-à-dire si'l'intersection avec D de toute droite

passant par x contient un segment auquel x est intérieur«

alors X est quasi-interne dans D. Un sous-^ensemble D de E

est appelé quasi-dense si chacun de ses points est

quasi-interne dans D. Par exemple» im sous-espace Q“(E»F)-

dense ou un sous-ensemble ouvert (pour une topologie

d'espace vectoriel topologique) sont quasi-denses.

Rappelons qu'une sélection d'une multi-application

AîE —»-F est une application (univoque) A;D(A) —-»P telle

que Ax&Tbc )lx C,D(A), D'après l'axiome du choix» toute

multi-application possède une sélection.

PROPOSITION 3.1. Soit TîE-^F un opérateur monotone

qui n'est pas univoque en x s:D (T). S± x est quasi-interne

dans D(T)b alors T ne possède pas de sélection hêmicontinvie

DEMONSTRATION» Supposons que T possède une sélection

Î*:D(T)—>F hémicontinue en x. T n’étant pas univoque

en Xe il existe x*ÆTx avec x* ^x. Soit y tel que

x+ty(£D(T) Vt C-jjbfflI. Puisque T est monotone» on a

<^(x+ty) » X» T(x+ty) - x*)> O Vté£o»l]»

d'où

^ y, T(x+ty) » x*y O Vte^O<,iJ.

Conune ¥ est hémicontinu en x» on en déduit lorsque t'Vo

y» Tx - X* > ^ O.

L'ensemble des y pour lesquels ceci a lieu engendre dans E

un c5ne convexe Q'(E»P)-dense» d’où la contradiction

Tx = x*.Q.E.D.

REMARQUES. 1. Au cours de la démonstration précédente»

on a prouvé qu’un opérateur monotone héraicontinu T:E—vF

ayant un domaine D(T)=D quasi-dense est monotone maximal

de D dans P (c£. |idj). Ceci contient en particulier le

lemme 1.1.

2. Une hypothèse du type x quasi-interne dans D(T) est

nécessaire dans la proposition 3.1; prendre E=*F=R, D(T)=[o»l^»

i8.

aussi quo l*hypothèse x presque^interne dans D(TÎ (voir

ci-descousl ne suffit pas.

COROZJliAXRE 3,1, jSgüit X un espace de Banach, Si.

1°application do duaUté J n^est_j5aa_uni^og^ x, alors

J ne possède pas de sélection hèmicontinuc en x,

REMARQUE. Certains théorèmes de point fixe concernant

les applications non^^expansives dans un espace de Banach X

supposent l’existence d'une sélection de J séquentiellement

continue de X,«’(X,X*) dans X*„(T(X*.X) (cf.£i2]). Le

corollaire 3.1 implique que cette hypothô»® ne peut être

satisfaite que si J est univoque. L'univocité de J équivaut

à la différentiabilité au sens de Gâteaux de la norme de X

(c£. ahff lorsque X est réflexif (ce qui est le cas

dans lés théorèmes de point fixe en question)„ à la stricte

convexité de X* (cf. (45^ ).

Un point x d’un sous°enseroble D de £ est dit oresauo»-

interne dans D si l’enseoû>le des y tels que le segment

J^XoX*5yJ soit contenu dans D sépare les points de P. Un

point quasi^interne est presque<=-interne « mais l’inverse

Une multl^applioation Aest dite hêmi^aenti”

continue inférieurement {en abrégé hémi<-S.C.I.) en 3CCD(A^

si la restriction de A à chaque segment de D(A) passant

par 3c est S.C.I. en sc à valeurs dans F^CTCFoEK

PROPOSITION 3.2, Soit T:E ~^P vm opérateur monotone

oui n°est pas univooue en k€D(tK Si x est presaue-interne

dans D(T) p alors T n°est pas hémi°S.C.I. en 3C.

DEMONSTRATION. Par translationp on se ramène au cas

X O. T n” étant pas univoque en Op TO contient x| et x^

avec x^ ^ x|. Puisque O est presque»interne dans D(tK il

existe y CD (T) tel que le segment |0{>y3 soit contenu dans D(TÎ et

(3.1) ^ yp xJ » xJ ^ O .

Notons 6 la droite rSR^p i 1° injection naturelle de

6 dans E et i* Inapplication duale de F sur 6^. L°opérateur

S:G —de domaine D(S) *» ^«yj défini par Ss « i*Tiz

V 2 £ tEonotone? il n^est pas univoque en O car

i*xj C SOp i*x| € SO etp diaprés (3,Dp i*x* i*x| .

En orientant convenablement les droites G et G^p on trouve

20

< i*x| „

i*x| ^ Sz Vk€]o„2^c

ce qui entraîne que S n"est pas hémi^S.C»!. en O. Csci

montre que T n®est pas hénti°S.C.I. en O. Q»E«Do

remarque. Une hypothèse du type x point presque»

interne dans D(T) est nécessaire dans la proposition 3.2:

prendre D(T) « |yêE; <fy,3t*'^»* oi avec 3î* fixé non nul

dans P et Ty *= |rx* s r€.R

COROLLAIRE 3.2. Soit X un espace de Banach. Si

1°application de dualité J n^’est pas univoque en x, alors

J n^est pas hémi»S.C.I. en x.

COROLLAIRE 3.3. Soit f une fonction convexe propre

e.c.i. sur 1°espace localement convexe séparé E. On suppose

que f est ïnaiorêe sur un ouvert de E. Soit x s rad f »

l*ensenûîle des points internes de dom f. Si. "i^frE-^E* est

hêmi~S.C.I. en x, alors f est différentiable au sens de

Gâteaux en x.

DEMONSTRATION. Il est classique que la fonction £„

sur l’intérieur (visiblement non vide) de dom f. Cet

vide en les points y où f est continue (conséquence du

théorème de Hahn-Banach), x est point intérieur (d’où

presque-interne) de D(^f), La proposition 3,2 appliquée

à l’opérateur monotone î’E* montre alors que

est univoque en x. Ï1 résulte de cela et de la continuité

de £ en X que f est différentiable au sens de Gâteaux

en X (cf. [36j). Q.E.D.

Ce corollaire apporte un complément au résultat de

qui dit que (sous les hypothèses du corollaire 3.3) f est

différentiable au sens de Gâteaux en x ei et seulement si

On en déduit que (sous les hypothèses du corollaire 3.3)

f est différentiable au sens de Gâteaux en x si et seuleme-it

si ^£ est hémi-S.C.I. en x.

COROLLAIRE 3,4. Soit £ une fonction_çpnvexe propre

», sur,_1 ’espace localeiaent convexc_oépjiré E que l’on

suppose tonne lé. Soit x C. rad f. Si ^£:E—>E* est

hémi-S.C.l. en Xj, alors f est différentiable au sons de

Gâteaux en x.

intérieur coïncide avec rad f. Comme ^£(y) n’est pas

DEMONSTRATION. D*après » «ne fonction convexe

propre s.c.i. sur un espace localeittent convexe séparé E

est |i(E,E*)“Continue en chaque point de rad f. Cowme

E est tonnelé, la topologie de E coïncide avec la topologie

forte P>(E,E*). Les conditions du corollaire 3.3 sont donc

Soit X im espace de Banach. La régolvante (Xj + T|

d^un opérateur B»notoae T:X—>X* a été étudiée d° abord ix3ur

X Hilbertien puis pour X réfleKif* Le résultat d®existence

obtenu n®est plus vrai sans l’hypothèse de réfle>sivitê.

Dans ce chapitre on introduit pour chaque £>0 une résolvante

approchée (Kjg^ t T)”^o et on dêaaontrô pour l\J^ <■ dans

le cas X quelconque un résultat d’existence analogue à celui

connu pour (AJ ïj dans le cas réflo:ïif.

Considérons d'abord l’caiemple (important} du cous»

différentiel d’une fonction f convexe propre SoCoi.

sur X, Si X est un espace de Hilbert (identifié à son dualK

alors d’après |34| „ Xl •fr'bf s X—^X est surjectif

MX>0

(cf. |S2j pour un cas particulier}. Ce résultat a été

étendu aux espaces de Banach réflexifs par BROWDER |^17j quip

en »© basant sur [39j , prouve qu’a lors Xj v'«>f : est

surjectif VX>0 (cf. pour un cas particulier}. On taontre

au N®3 que quel que soit l’espace de Banach X, Xj^ -s*sX»-^X*

34.

Considérons plus généralement vm opérateur monotone

maximal T:X*~ï>3C*. On sait que Xï T:X~’^X est surjectif

la condition d®être de tvne dense. Cette conditions

introduite au tî”! et étudiée au est essentiellement

liée à la non=réflexivité (éventuelle^ de 1"espace X. Eli®

apparaît dans l’étude des prolongements soonotones T’îX*2^X*

d°un opératexsr monotone TïX--^X*« On verra qu’elle est

satisfaite eritre autres par les sous^différentiels.

Les applications de dualité approchées ^convergent”

vers l’application de dualité J lorsque £ 4 O. Au N®4 on

effectue ce passage â la limite dans la résolvante approchée;

cela permet de retrouver les résultats rappelés ei°dessus

concernant la résolvante et de mieux comprendre le rSle

joué par la réflexivité dans ces résultats (comparer les

corollaires 4.1 et 4.2K

Enfin le N*5 donne une réponse affirmative mais

partielle au problème (réciproque) de savoir si un opérateur

i&onotone T:X—>X* tel que R(Xj^+T) ® X*' VX>Op T^o est do

Dorénavant X désignera xm espace de Banach rôelt, X*

son dual et X** son bidual» X s “identifie à mi sous='espaee

d© X** qui est dense dans X** pour la topologie la taoins

fine sur X*’*' rendant continues les applications

X**-3^Rï X**î--- V3C*<S.X*„

X**-^Rï ---s>jjx**|j

Cia densité se déduit du fait que la boule unité de X est

Ç’(X**oX*)«dense dans la boule unité de X**K Cette topologie

sur X**o noté© %>^o est plus fine que <T(X**oX*) et îooins

fine que | | ; ce n'est généralement pas une topologie

d® espace vectoriel topo logique o On désigne par

topologie sur X**ît X* produit de et de ^ |f «

Soit G un sous°ensemble monotone de X»X*. D'après

l'axiome de Zorn^ G est contenu dans (au moins} un sous=-

ensemble monotone naaiciiaal G' de X**x X*..

DEFINITIONS. Un sous~ensemble monotone G de X«.X* est

de tvpe_dgnjg® s'il existe un sous«ensembl@ monotone

irtaximal G° de X*’*j^ X* contenant G tel que G soit dense dans

D 3 ^

9q.xnufq.u00 :tBd e uo '(ç-ç) ofjxxfA (j*^x%çX)

xe *quaHJ9SÆOAUi *(ç*f) anfofidinf 0 3 anb quapfA9 qso jr. ^©uoqouow queqf* ^ ’aqfnsug '©nsaop-fo quatnamiosfejr np aqins^q SRïraax np ofqjred asçfuojîcï &i *iïOIJiVHÆSNCWaa

■03 O < = ^7Z "iS- ç«iX>

fs quenainae

^“fs O 3 |;çtX%.;pX) snt«ï“©â “<iX suep o ap afetaifXBia

ôuoqouow uofsuaqxa anjDfuUoT ^ea o e^oxv X ®P asuap ^Xq €>p oüdqoudbi ax^™^<’U9'‘°)B'no8 xm o qfog Sîi^^ai

•r^K XyçX SWBp

'XBrafxam auoqouosn qsa ^ fs quaœax^s® '^9 T® asuap ©d^q ®p

ouop qs© 0 *0 quafquoo 9 ®p swep ®x®®?-sera auoqouora

uofsuaqssa aqnoq ^jo^p ‘’avïoqouora qaa auoqouora sxcpaasua

un„p ©.xnqeyszïsg: ®x Jcnoa ^x'î^^çiX nufqî,îOD qea <'' >

©3fex®93 qfïipojocT ©x swlbsfud jmod j^x^w-X eusp a^mqaraaaj

es 9 qo aiX ^ X 9p auoqouoQ m 0 quaf og

»P asu©p ad^q ©p ©uoqouosa ©Xqaiasua-snos un qa© ^ |s 3t& i^\x) î C^3s®x)1 -dsaÆ)

”SZ

ce qui laaontre que (a:**,x*)CG puisque G est loaximal. QoE.D.

On note T la fermeture de T pour «2* gr T = gr T.

L'opérateur monotone TsX—est donc de type dense si et

eeulenent si l'opérateur Ksonotonc "TiX**—^ X* est masciiaal.

Notations analogues poxxr un opérateia: S:X*~-^X,

REMîUïÛUESo i. Si l'espace de Banach X est réflestif,

tout ox>érateur monotone maaîiaal T*X~»X* est visiblement

de type dense; de plus T « T.

2. Un opératetir monotone de type dense n'est pas nécessairement

maximal* prendre X»R<, D|T) *»|x<C.R; xÿfo ]; et Tst=0 VsscdCTK

2. EXEMPLES.

THEOREME 2«i, Soit f une fonction convexe oroorc^ s^c.i.

sur X. Son sous-différentiel ^£:X—?*X* est un opératem:

monotone de type dense. De plus ^f =

Ce théorème précise un résultat de [^4oJ qui dit que

2B

généralisée d'éléments de gr c>f qui

converge vers (x**e,x*î> dans X**k X* pour la topologie

produit de a^(X**aX*î et de (| || et telle que i<sï].

soit borné dans X.»

liEMîŒ 2.10 Soit f une fonction convexe propre s.c.i.

sur X. Pour tout x**dX**<, il existe jme suite généralisée

|x^; ^ dans X telle que

x^~-3«x** pour (r(X**„X*K (2.1Î

et f{x.}—=ï*f**(x**K

•X

On sait [*36^ que f** est la régularisée s.c.i. de f

sur X** pour CT(X**,X*). Le lemiae 2.1 montre que f** est

aussi la régularisée s.c.i. de f sur X** pour la topologie

(plus fine) *4^.

DEMONSTRATION DU LEMME 2.1. On note K= dom f, K' la

fermeture de K dans X et K la fermeture de K dans X** pour

r(X**»X*). Soit x**ÆX**. Si f**(x**) = la conclusion

du lemme suit de ce que^ pour X est dense dans X** et

f** est s.c.i. Supposons donc f**(x**) fini® d'oü x**CK.

existe une suite généralisée

(

2

.

2

)

[x., iê.l]i (f. I } dans X telle qvîe

pour (T(X**,X*), l|x^l|^|x^*| -5-a l/iCi

et f (x^)f ** (x**)

Tout d’abord il existe xê.K avec ||x|5 < ||x** | + é , En

effets coimne x**^Kp un tel x existe si inf l|y| qui vaut y eK

inf fjyll est égal à inf

yfeK’ y^»4 l?

c'est-à-dire si

inf g(y) = inf h(y**) y&X y**c.X**

oà g(y) =

f}yf|

V

“

-v'- V^(y**)c

(resp. Y|-) étant la fonction indicatrice de K“ dans X

(resp. K dans X**); mais cette égalité est satisfaite

puisqu'on appliquant le lemmc X.1.2« on trouve g** « h.

Désignons par B (resp. B) la boule unité dans X (resp. X**)

de centre O et de rayon ||x**|| + g. « et calculons (f-î-Yg)**,

Puisqu®il existe x^EK avec |x|| 51+ î; » on peut

appliquer le lenaae I.l,2e ce qui donne (f+Ys^**® Y‘b“ En particulier

f**(x**) » (£ -5- y_)*’*'(x**). •• £>

Couane (f+ est la régularisée s.c.i. de (ft sur

X** polir 0'(X**cX*)o on déduit de cette égalité Inexistence

d'une suite généralisée dans X vérifiant (2.2),

30,

fino rendant continues les applications

X**~9>R; Vy*<£X*,

ÿ.R: y**v—^.|y**| .

x**-«ÿJ«o5,vcç] : y*Wf**(y**>.

La serai^continuité inférieure de la norme sur X** pour

r(X**j,X*| et (2.2) impliquent que tout voisinage V de x**

pour cette topologie contient un point de X. La suite

généralisée V voisinage de 3c**| répond alors aux

conditions du leznme. Q.B.D.

COROLLAIRE 2.1, Soit C un ensecûjle convexe de X.

Les fermetureo de C dans X** pour (T(X**„X*) et pour

coïncident.

DE^K)HSTRATION. Appliquer le letome 2.1 en prenant

f =» fermeture de C dans X, Q.E.D.

DEMONSTRATION DU THEOREME 2.4. Puisque (^fX*

est un opérateur monotone maximal5 il suffit de prouver que

àf, la fermeture de pour *î»2« coïncide avec

On vérifie aisément que gr d£ c. gr («>£*) . En effet.

gr converge pour ^2 vers (x**çX*î ^ on a

f{X|^î f*(xj) » <x^^x£’> Vie.1,

d“où

f**(x**î + f*(x'*^î 4 (f (x^|‘î“f*(xp5 '^x**px*^p

CG qui montre que x**£. c)f*(x*K

Znversémontfi soit x**4 ^f*(x*). Considérons une

suite généralisée vérifiant la condition (2,1)

du lemme 2.1 et posons

6,^ « f(x^) * f*(x*î >“ <X^oX*>^ O .

Pour chaque iêl» x*é ^ £(x.)t, d"oiX diaprés le lemme I.1.3o Ç J dm

il existe et y?i£,X* satisfaisant

y*e^f(y^K 11 y^ “ x^li 4 „ jlYi “ 5«*S!4\f£r * D®autre part ^ O car 6^—=^. f**(x**5 £*(x*) “ <(^x**ffX*^

qui est nul puisque x**^ c)f*(x*). On en déduit que la

suite généralisée ifel| d^êléments de gr

converge vers (x**e,x*) pour ^2* conséquent

gr c. gr Q.E.D.

PROPOSITZOH 2,1. Soit S:X*~~ÿ»X un opérateur monotone

hémicontinu de domaine D(S) »» X*. Alors S est monotone de

32

DEMONSTRATION. Il suffit de vérifier que S:X*-^X**

est monotone maximal,, ce qui résulte â°im argument bien

connu basé sur 1”hémicontinuité de S (voir lemme lol.D.Q.E.Oo

Considérons un exemple simple. Soit A = (A^„...,A^) : N N

R —^ R un opérateur monotone hémicontinu de domaine

N 1

D(A) =» R , L^opérateur S: 1 —<ïui applique (u^„.. pU^o«»)

sur (A^(u^p. o^Ujj) 0..«Ajj(u^p.. „Ujj) , «.) satisfait

les hypothèses de la proposition 2.1. De plus on vérifie

que S est un soua»différentiel si et seulement si A en est

un. En prenant par exemple A linéaire antisymé^triqueg on

obtient un opérateur S *X* —>> X monotone de type dense

(avec X non réflexif) qui n'^est pas un sous°>différentiel.

On rencontre aussi des opérateurs vérifiant les

hypothèses de la proposition 2.1 (àHec X non réflexif) dans

l’étudê de certaines inéquations variationnelles elliptiques

[7^0 aiAsi que dans 1”étude des problèmes aux limites

elliptiques pour des équations dont les coefficients ont

une croissance non polynomiale 013.46^ . \ f. ; .»■ i A . •• V..fc ’\.i

j * ' ‘

j'i' ■

REMARQUE. Les résultats précédents suggèrent la

conjecture suivante: tout sous^enoentble monotone maximal

3. KESOLVAOTE i^PPROCHEB.

Lorsque X est réflexif„ la résolvante (XJ + T)“ o,\>0,

d“un opérateur monotone maximal T:X—VX* est partout

définie (cf. ^47^5. La proposition suivante montre qu*cn

général ce résultat n“est plus vrai sans l^hypothèce d©

réflexivité.

PROPOSITION 3.4. JîX—>X*

est surjective 8i_et__8euloatent si X est réflexif.

DEMONSTRATION. C’est essentiellement une conséquence

du théorème de JAMES |j24”] qui dit qu’un espace de Banacîi Y

est réflexif si et seulement si toute forme linéaire

continue sxir Y atteint son supremum sur la boule unité

de Y. Q.E.D.

Par contre» on vérifie facilement que l’application de

dualité approchée Jg^;X—^X* est toujotars surjective. Ceci

suggère do définir dans un espace de Banach ngn {néçeasa iretp.ent

•“4

réflexif la notion de résolvante aipproghée (XJ^ <- T}

THEOREME 3.4. Soit T*X“^X* un opérateur monotone de

La démonstration du théorème 3ai utilise le leirtme de

prolongement de DEBRUNNER et PLOR

généralisé par BRCWDER |”i6^ (voir

1^19^ tel qu“il a été

aussi |^13o33j)o

LEMME 3,1 (cf. [le] >. Soient E âS. S* deuK espaces

localement convca<eg séparés mis en dualité par un produit

scaj aire < ^ > que, _1 °_on suppose mntXnu _aur_lea produits _de

compacta. Soient K mjspiXV'^Ke- compact do E gt G ua-Sous“

ensemble_ monotone do K%P, Soit A:K—^P une multi°

application, S^C,S_, telle crue hx

QQUg_ «chaque x « K et jç ^ soit contenu dana un convexe

compact de F. Mors il cxiate (x„x*î dans le graphe, de A

tel que G (J J(XpX* «oit_en_coge monotone.

DEMONSTRATION DU THEOREME 3,1. Pour X>0 et x*€X*o

l'opérateur x l—^ (Tx ■= x*î vérifie les mêmes hypothèses

que T, Il suffit donc de montrer que O <S + T) V£>0.

Soit S" l'ordonné filtrant croissant des sous'^espaces

P de dimension finie de X. On note ij, l'injection naturelle

de P dans X et i* l'application duale de X* sur P*, Prenons

P€.^ etr>0« D'après le lemme 3,1 appliqué a\ix espaces

finidimensionnels P et F*, au compact convexe |^x£E*; ||x||4r

monotone et ScCoS.» il oKistc x_ P et x* _ê.X* i? fl t i. fl jT vérifiant jj <. r.

<*F,r - -*l.r - y*> > °

pour tout (y<,y*) 6 gs^ ^ avec yé. P et Hy|| r» On passe

aisément à la limite lorsque r —car la coercivité de

J implique que x_ reste borné dans l'espace finiclim©nsion“ K cZ

nel (fixé) P. Il existe donc s P et vérifiant

x| € JXp et

(3.1) <*p - V . -=‘1 - Y*> >0

pour tout (y<>y*) c ^ avec y€.Pc La coercivité de J

entraîne que Xp et x^ restent bornés dans X et X^

respectivement lorsque P parcourt 3” « D®oîi en prenant une

suite généralisée partiellej, on peut supposer

(3.25 X** X* €1 X* pour pour <r(x**,x*| « (r(x*,x)c

Montrons que x**(^D(t5 et oü T désigne la

fermeture de T pour ^2* ^'owt d"abord on a

4 lim inf

^Xp^x*)-puisqu'il suit de (3.2Î et de x*€JXp « ^j(Xp) que

<x^*.x*> 4 j^*(x**5 + j*(x*5

On en déduit «jue

-X* “ ^ O V(ypy*^€gr T

car (3,i) et (3.2) entraînent

(3.3| iiro sup <^3SpcK|) ^<[yoy*) H-<(yp5c*> *=■ <;:{*y

pour tout (y/pÿ^^Cgr T. Conaae T est raonotone d© type d&nBQv

on conclut au eaoyen du I.enæie l.i que “K*c^**«

Montrons maintenant que "dj*(5c*K Tout d^abord

on a

lim 3Up <2îpvX|> ^ <35**.

Bn effetç le produit scalaire < » > étant continu poux

il suit de (3.2) que

lira SUp <3Cpo3£p> <y**oy*> -5- <y**e3C*> “

pour tout (y**,,y*) 6. Tr en y remplaçant (y**®y*) par

(x**e‘»3î*) € gr Te on obtient la relation cherchée. On déduit

alors de

<X**o3î*> ^ .•i**CSE**) j*(x*)

✓ lim inf

4 lim SUp <Xp„x|> 4 <2€**„X*>

que }c**i« c)j*(«*).

; i<ÊÏ J d° éléments de gr T gui converge pour

vers Or les fonctions j** et j* sont continues

sur X**fl et X*, î| lll respectivement. D®où

O 4 + j*(3sp ”

3**(x**î -S- j*(x*î » <2€**„X*>

qui est nul car x**& c>j*(x’'*K Etant donné £ > il

existe donc un indice tel que

O 4 j(5£i ) j’"(3c| î » <x^ oxl > 4 ^

O O O O

ce qui montre que x| ê . Comme par ailleurs

O O

-xl C Tx^ 0 on oÎ3tient O € J x^ •{• Tx. , Q.E.D.

O O ‘^O O

COROLLAIRE 3.4. Soit f une fonction convexe propre

SoC.i. sur X. Alors R(Xjg^ + bfj « x* VX>0» Vf.>o.

4. PROPRIETES DE LA RESOLVANTE APPftQgHF.R.

les propositions suivantes fournissent des indications

sur l°ensemble des solutions x de l°équation x* € (XJg -s* T)x

38.

PROPOSITION 4.1. Soit T:X-^X* \m opérateur raonotone.

L°enaanble des solutiona x de x*é (XJg^ + T)x est borné

daos

X,

x*, X

û

varient tout en ^/éxXMsï\t (Jx*|j 4 X ^\>o et e ^

DEMONSTRATION. Soit X C(\J^ + T)"°^x* c'est-à-dire

X* «Xy* + Z* avec y*€.J£X et z*êTx. Fixons (UoU*)cgî: T.

La monotonie de T implique

<X-UpZ*-U*^

ou

<3Cpy*^ ,< ^x-u P x*-u*> + <[upy*> .

Or ^Xpy*^ jjy*î( -£ car y*^J^x, Par conséquent

lorsque x*, X et fe varient suivant 1'énoncé„ on a

iiy*i| 4 lixll + C2 II y* Il + C3

où Cj, C2 et C3 sont des constantes positives. Comme y*C Xo

|x(|-~^+«« si et seulement si j|y*jj —ÿ +«« (lemme 1.2.1).

On en déduit que x reste borné dans X. Q.B.D.

PROPOSITION 4.2, Soit T:X—?'X* un opérateur monotone

maximal. Soient x*€.X*p X > O ^t £ >0. L'ensemble des

DEMONSTRATION. Soit i&Z^ une suite généralisée

bornée d'éléments de (XJg + T) x* qui cewiverge en norme

vers X. Posons x* ** Xy? *5* zt avec yfCJpX. et z*CTx..

D'après le letome 1.2.1, yt reste borné dans K*, â'oè en

prenant vine suite généralisée partielle, on peut supposer

que y| —^y* pour 6^(X*<,X). Comme Jg est fermé de X,|j |1

dans X*, {? (X*,X), on a y*c.Jg3c» En passant à la limite

dans les inégalités qui expriment que T est monotone

maximal, on déduit de x*-Xy|[ que x*-Xy*CTx, Par

conséquent, x G(Xjc + T)”^x*. Q.E.D.

REMARQUES. 1. En général l'ensemble (XJg. + T)” x*

n'est pas convexe, même si T est un sous«*di££érentiel. 2

En effet, M construit sur X » L (0,1) une fonction f

convexe propre s.c.i. telle que D(ôf) ne soit pas convexe.

Soient alors x et yGD(^f) avec ^^^D(^f). En choisissant

6. suffisamment grand, on a

X et y ê(J£+’^£)~^0 = |^ze.X; “^(z) A JgZ ^ vide

mais il est évident que ^ t"àf )°°^0,

2, Les propositions 4.1 et 4.2 valent aussi, avec les mêmes

40

Lorsque ^ ^ 0„ les graphes des Jg, diminuent p et leur

intersection coincide avec le graphe de J« En passant à la

limite lorsque £ io dans la résolvante approchéep on

trouve le résultat suivant oû J désigne la fermeture de J

pour ^2» c®©st=>à«=dire (théorème 2«1) 1“inverse de Inapplication

de dualité t>j*.

PROPOSITION 4,3. Soit T:X—^X* \m opérateur monotone

de type dense. Soient x*<S.X* gt X>0. Pouy ê>0 prenons

<Sans (Kjg + % reste borné .dans X

lorsque £ i O. De plus il existe ur.e suite généralisée

partielle telle que pour (T(X**„X*Î et |!xç »

35** satisfaisant x**G(K<Xg+ T) âî 3C** est strictement convexe., ce qui précède a lieu lorsque £^Op sans prendre

de suite généralisée partielle.

Un exemple simple d'espace de Banach non réflexif

ayant un bidual strictement convexe est donné par 1“espace

c_ muni de la norme o 00 sup n=lp2 U n«

+ (

hâl )

DEMONSTRATION DE LA PROPOSITION 4.3. Il suffit de

considérer le cas x*=0 et X =!• On a donc S {+ T) ^O

c’est-à-dire ^ avec ^

Puisque reste borné dans X lorsque i.^0 (proposition 4.1)

y* reste borné dans X* (lemtce 1.2.1 ) « d’où en prenant une

£

suite généralisée partielleon peut supposer

{x_----î^x**S.X** pour r(X**„X*), y* ^y*€.X* pour r(X*,X).

Montrons que x**êD(T), -y*<&Tx** et y*É.Jx**, Tout

d’abord on a

/x**ay*> ^ lim inf <Xg^„y* >

puisqu’il suit de (4.1) et de y|^Jj.3Cg “

■<^x**By*^ 4:, j**(x**) + j*(y*)

4: lira inf ( j (x^)+j* (y*) )

4 lira inf «x^oy*> +&) - lim inf<Xg,y^.

On en déduit, comme dans la démonstration du théorème 3.1,

que -y*4T^**. On prouve alors, comme précédemment, que

lira sup<x^,y|> <x**,y*>

et que y*€, Jx**.

En prenant éventuellement une nouvelle suite généralisée

42.

j**<x**) + j*(y*) » lim^Xgoy*'),

lim inf ( j (Xg^)•^j* (x|)» & )

;j.lim inf j (x^^) •> j*(y*) <,

d*où j**(x**) ^ lim inf jCx^K Vu la formo explicite do

on en déduit ||x**|j lim inf llx^lj* ce qui entraîne

fjx**|| *a lim inf |xg^(Jc d®où l“6noncé.

Enfin si X*’*'' est strictement convexe1®opérateur

j' +’t est strictement monotone car J l®eot X* est

dit strictement monotone si ■^u**-v**oU*“V*>- > O lorsque

u*feJu**» v*€.Jv** et u**^v**). Il existe donc au plus

un X** solution de O é(J *î- T)x**« ce qui achève la

démonstration. Q.E.D.

COROLLAIRE 4,1. Soit TrX-^'X* un opérateur monotone

de type dense. Alors X J + "t : X**—%»X* est suriectif V X>0.

COROLLAIRE 4,2 (cf.|^17"||. On suppose 1°espace de Banac'h

X réflexif. Soit T:X*~^X* un opérateur monotone maximal.

5. AUTRES RESULTATS

On dit qu®un opérateur T®: X**-«^X* est injectif

si U** V** implique T®u*^* H T®v** « vide? o®est le cas

par exemple si T® est strictement monotone. La proposition

sxîivante établit une réciproque partielle du tbéorêrae 3.1.

PROPOSITION 5.1. Soit T:X-~>X* un opérateur monotone

tel que R(KJfe T) =* X* VX>Oî, Vê>0. On a_up]:x>3e que T

admet un prolongement T*:X**-~^X* monotone maximal iniectif.

Alors T est de type dense.

DEMONSTRATION. Il faut montrer que gr T est dense

dans gr T' pour %2* Soit x*€.R{T’), Par hypothèse

x*êR(XJj, + T) VX>0 c’est-à*=dire x* + 2^ avec

*^1

y* ^ et z^(6T x^. Pour chaque x**C(T') x*o on a

<^x** - X* - 2j> > O

ou

<***. >y ■

ce qui entraîne j**(a:**) 3

-X

en déduit j**(x**) lira sup j (xj^) c d’où» vu la forme

44

“1

chaque x**G,(T*) x*, on obtient

(5.1) inf |^|x**|\; x** C (T'lira sup ||x^||o

Il suit de (5.1) que x^ reste borné dans X lorsque Xl' O.

En prenant iine suite généralisée partielle^ on peut donc

supposer que x^ z** pour 0*’(X**pX*)« Diaprés le lerarae Io2,l„

yjj' reste borné dans X* lorsque X^O. En passant à la

limite dans les inégalités qui expriment que T° est monotone

iQ2ixiroal« on déduit alors de x*-Xy£€.T"Xj^ que x^Ê-î^z**.

Cecio joint à (5.4) „ implique que jjx^|| —En résumé*,

(x^ezpcgr T converge pour ^2 vers (z**oX*)€.gr T".

Par conséquent*, lorsç[ue T® est injectif*, gr T est dense

dans gr T® pour ^2» Q-E-D.

On peut aussi étudier la résolvante approchée d®un

opérateur S:X*—^ Désignons par S l'opérateur translaté

de S par x€.X (S î X*«-»>X8 y*MP-Sy* + x) et par G«

l®opêrate\ar inverse de (D(6^) ■ X*). Le résultat suivant

se démontre de la même façon que le théorème 3.1.

THEOREME 5.1. Soit S:X*—ç^X un opêrateiar monotone

tel que soit de type dense pour chaque xCX. Alors

COROLLAIRE 5.1. Soit S un opérateur monotone

domaine D(S)=X*« Alors R(XGg^ •{• S) a X

VX>0, Va>o.

COROLLAIRE 5.2. Soit f une fonction convexe propre

X. AJLosis. R(\Gg^ + » X VX>0, Vfe>0.

DEMONSTRATION. Poser S » et appliquer le

théorème 2.1 à S « (ôf oè f est défini par f (yî=f(y"XÎ

A X ^ X

CHAPITRE XXI

APPLICATIONS

Dans ce chapitre on utilise la résolvante approdiée

pour étendre aux espaces de Banach quelconques plusieurs

propriétés des opératetirs monotones connues dans les espaces

de Banach réflexifs. Las opérateurs ïoonotones considérés

seront toujours supposés de type dense.

Le N**l établit quelques estimations liées à la résolvante

approchée qui contiennent comme cas particuliers les

estimations de [22J relatives â la résolvante. Consme dans

[22I. on en déduit des propriétés de convexité qui

généralisent certains résultats de £43}.

Le N^2 étudie 1°extension du théorème disant qu°un

opérateur monotone maximal coercif d’un espace de Banach

réflexif dans son dual est surjectif (cf. |[l5^ dans un cas

particulier^ [iT^ dans le cas général}. Sous certaines

conditions0 on montre que 1“image de 1®opérateur est

(fortement} dense dans le dual; on retrouve en particulier

fermé borné démontrée par BISHOP et PHELPS

W

Aw N®3 on utilise leo résultats de conveasitê du N®4

pour généraliser plusieurs théorèmes de ROCî^^FELLAR (41

relatifs aux opérateurs roonotoncs localement bornés.

io PROPRIETES DE COMVEXITE.

les éléments de 1’’image d’un opérateur monotone maximal

d“un espace de Banach réflexif dans son dual» On étend ici

ce résultat au cas non réflexif on utilisant la résolvante

approchée.

PROPOSITION 1.4. Soit T:X--^X* un ooérateur_.moKotone

de type dense» Soit x^C^C*. Fixons f. >0 et prenons ^

X > 0(, x^Ç.(XJ|. T) ^x*. Alors x*CîR(T) ai et seulement ai

reste îjorné dans X lorsque X v|f O,

Supposons d’abord que x* €.r(t) : x*C;Tx**. la cîonotonis

48

de t’ implique

- x^c 3£* - 2jf> >0

c'est-à-dire

<***. y{> >/ <«v ïx> "

ce qui entraîne j**(x*‘*) ^ ^ - ^. On en déduit que

reste borné dans X indépendamment de X > 0«

Inverséaentj si x^ reste borné dans X lorsque X

on peut supposerc en prenant une suite généralisée partielle^

que x^—^ X** pour <r'(X**„X*). La monotonie de T implique

<x-,^ - U# (x* - Xy^ ) - u*^ O V(ujU’^) dgr T„

d'oà à la limite , puisque

^x** - Uj, X

reste borné dans X* (lemme î<>2.1)

* - u*> O V(UrU*)€gr T.

0

ce qui„ d'après le lemme 11.1.1, entraîne x*{S.Tx**. Q.E.O.

Appelons simplexe l’enveloppe convexe d'un nombre fini

de points et désignons par conv C l’enveloppe convexe

de C. Pour simplifier^ on va utiliser ci^^dessous la jauge

particulière ^(r) « r; donc ^j oû j (x) = J ||x|s w

et I liscff “ Il x*| I 4 lorsque x*«2.Jgj_x. La proposition

suivante, qu’il est intéressant de comparer à la précédente,

PROPOSITION lc2. Soit T:X—Î^X* un c»jêgatoTO: monotone

de type dense. Soit x*£X*o Fixona £ > O et prenonsr, x^w.

X > O

32^6. (X

^ t

si x*Ê.

R(

5

r:oBfce borné dann S loroque X If et cette maioration est

uniforme lorsque x* x>arcotu:t un aimplexe de conv R (T) «

DEMONSTRATION. Considérons x* dans un simplexe fixé

S de conv R(T)s x*C S N i=i N X? X 1. ri 1=1 = i

oCl x?êR(T), On peut écrire (théorème II.3.1) x* “ t

avec y^feXxv et z? ê.Txv ainsi que x? = Xy? v + 2*

A ^ A A A 1 X (1^ XfX

avec ^ *^€^1 \ X ” proposition

l.lo chaque x. . reste borné dans X lorsque X4^0. Coaarie

XoA

T est monotone P on ©a pour chaque i*»lp...oN«

<=‘5. - =‘iA "

-

K-

s'tx’ > ^

En multipliant la première inégalité (i®i) par JJL^g la

deuxième (i«2î par et en additionnante on obtient

50.

d“où

ci-dessus les constantes Cc dépendent de

x|a...oX* (c’est-à-dire de S) mais ne dépendent ni de x*e S

ni de X > O, CoRune y* 6.avec Jg. = J H

on en déduit

^ 4 «5

Xcg

Xc^

avec de nouvelles constantes CgpCg et c^. Il en résulte

que 11^x11 ^®ste borné lorsque X ^O, uniformément

lorsque x* parcourt S. Q.E.D.

THEOREME 1.1. Soit T:X~?X* un opérateur monotone de

type dense. Alors cl R(TÏ est convexe (cl désigne la

fermeture tx>\ar la norme I.

DEMONSTRATION. Il suffit de prouver que conv R(T) C

cl R(T). Soit X* Ê conv R(T). Fixons €>0 et écrivons

(théorème II.3.1) x* = Xy* + avec z^eTx

en utilisant la jauge particulière <|?(r)=r. D’après la

proposition précédente « x^ reste borné dans X lorsque

X 4^ O» d'oè \/X y * reste borné dans X* lorsque Xio. On en é\

zéro lorsque

X i-

COROLLAIRE 1.1 (cf.[43j). On SUPPOSA X réflexif.

T:X—^X* un opégateur monotone maximal. Alors cl D(T) et

cl R(T) font convexes.

Banach réflexif Y possède une norme équivalente pour

laquelle Y et Y* sont strictement convexes. La démonstration

On peut étudier de la même façon un opérateur SîX*—>X

et démontrer les résultats suivants (la proposition 1.4

suppose que l®on utilise la jauge particulière <b(r)=r).

PROPOSITION 1,3. Soit S:X*—'pX un opérateur monotone

maximal tel que S soit de type dense pour chaque xcX.

Soit x<tX. Fixons c > O et prenons. pour X>®«

Alors x£R(S) si et seulement si reste borné dans X* donnée ici s 'inspire directement de {22

PROPOSITION 1.4O Soit S:X*—un opérateur ntonotcnQ

tel cjue S soit de type dense _POur chaque Soit x€Xc

V *“4

Fijcona £>0 et prenons^ pour \>0c Ê, (Xg^ t S) x.

Si xcconv R(SÎ , alors reste borné dans X* lorsque Ot,

et cette majoration est uniforme lorsque x parcourt un

simplexe do conv R{SK

THEOREME 1.2. Soit S:X*—un opérateur monotone

tel que S_. soit de type dense povu: chaque x€X. Alors

JÇ «OMaMwwsa.

cl D(S) ^ cl R(S) sont convexes.

COROLLAIRE 1.2. Soit S:X*—»X lan opérateur monotone

hémicontinu de domaine D(S)«X*. Alors cl R(S) est convexe.

COROLLAIRE 1.3 (cf. [cj). Soit f une fonction convexe

propre s.c«i. sur X. Alors cl D(^fî et cl R(9fî sont 52 O

2. PROPRIETES DE SURJECTIVITE.

Iiorsque X est réflexif» im opérateur taonotone maximal

T:X—»X* est surjectif s'il est coercif (cf. Ce résultat

n^est plus vrai sans 1"hypothèse de réflexivité» même si

T est héraicontinu et partout défini: appliquer la proposition

II.3.1 à l'espace muni de la norme (équivalente à la

norme usuelle de c ) duale de

O

|(Uj,U2,..)|j = |« j ■'•(Il

n=»i n=l

4

oû *^^2 * * “ * ^ ^ ^ ®

THEOREME 2.1, Soit T:X—^X* un opérateur monotone de

type dense. On suppose T coercif c'est-à-dire,, pour un

certain x € X» ■ -î- &> lorsque x€. D (T) » x*C Tx

O Hx(|

et [|x|J—^ +CO, Alors R(T) est dense dans X^ cour la

norme de X*. De plus R (T} =» X*.

DEMONSTRATION. Il suffit de montrer que R (T) == X*»

la densité de R(T) résultant alors de la définition de T,

Soit x*G X*. Fixons ^>0. D'après le théorème II.3.1» on

peut écrire x* = \ y* + sf avec yfé.J«x, et .

A A A ^ ^ X A

54

<x^-Xo,x*> = * <V='o'=|.>

^ ^ Xj*(yJ) =“ Xe ^ Xj(x^5 ° Xj*(y^î

<x^~x^„3^> » X£ “• Xj(x^K

ce quip joint à la coercivité de T„ entraîne que k,. resta

A borné dans X lorsque X i O» D'après la proposition lol<,

x*ê.R(T). Q.E.D.

REMARQUE. Soit T:X-“ÿ'X* un opérateur monotone de

type dense. Soient k*ê X* et <S„ (Xj^ -î* ï)” x*. En général

ne reste pas borné dans X lorsqu© X 'h O. Cela arrive

cependant lorsque ï est coercif (cf. démonstration du

théorème 2,1) ou lorsque x*c.R(T) (cf. proposition i.i),

COROLLAIRE 2.1 (cf. ^17^). On suppose X réflexif. Soit

T:X—^X* opérateur monotonejnaximal coercif. Alors

R (T) *= X*.

Un énoncé plus précis que ce corollaire a été obtenu

par ROCKAFELLAR |4i^ qui donne une condition nécessaire et

suffisante pour que, X étant réflexif» l’opérateur monotone

maximal TîX~^X* soit surjectif (voir au K*3 une extension

COROLLAIRE 2.2. Soit f une fonct_io_n_ convexe propge

s.c.i. sxir X. On suppose que f (x)/ ||x|| + Oî? lorsque

xC'âom f et |x|—4v + «©. Alors R(^f) est dense dans pour

la norme de X*. De plus D(^f*) =» X*.

DEMONSTRATION. L“opérateur étant monotone

de type dense (théorème II.2.1)^ il suffit de vérifier qu°il

est coercif. Soit x^£E dom f. Lorsque x*ê: ^f(x)ç on a

ce qui entraîne que est coercif. Q.E.D.

REMARQUE. Voici une démonstration directe du corollaire

2.2. La condition de croissance sur f entraîne que doc*, f X*o

continu sur X*, |3(X*eX)^ c'est-à-dire sur X*^ || .

Il suit alors du théorème de Hahn-Banach que DOf*) = X*.

COROLLAIRE 2.3. L'image de X par l'application de

dualité J est dense dans X* pour la norme de X*. <x - x^, x*y f(x) - f(x^) „

R(^f) est dense dans

X*, 15 î| . Par ailleurs on déduit de [^38^ que f* est

fermé C de X est un élément x*£ X* tel que la forme linéaire

:;ontinue x* atteigne son aupreraum sur C. Cela revient à

dire que x* appartient à 1®image du souc^différontiel de la

fonction indicatrice de C.

COROLLAIRE 2,4 (cfofsj). Soit C un en3emb],e__.convexe

fermé borné de X. L®enseroible_d63 hvperolans d®«ppui de C

\

est dense dans pour la norme de X*.

La proposition suivantet, forme locale du théorème 2,i(,

a été donnée dans [^42^ dans le cas particulier où X est

réflexif et T monotone maximal.

PROPOSITION 2.4, Soit T:X—^X* un opérateur taonotone

de type dense. On suppose gu® il existe x^c. X et c( > O tels

que ||x|| > cC o x6D(T| et x*CTjî impliquent <^X“X^i,x*^ 0,

Alors O £. cl R(TK De plus 0€R(TK

DEMONSTRATION. Il suffit de montrer que OGR(ï).

Fixons ^.>0. Pour rappel, où j (x) =* c^(\\x*5) •

Choisissons suffisamment grand pour que ^ et

^ (|î) - Ê - ^ ^ théorème II.3.4, on

Si » alors par hypothèsct, ^Oo

c'est-à-dire <(Xy-x^oY^y ^ 0« Mais par ailleurs si

on a

5^X> “ <'‘X* ^>.> ■ <*o‘

~ â » j(x^) "j*(y^)

^ ÿ(f^) - €. - j(x^) > O .

D’où 4 ^ pour tout A >0» En particulier Xj^^ reste

borné dans X lorsque X ^ 0„ ce qui* d'après la proposition

i.le entraîne que OfeR(T). Q.E.D.

On peut aussi; en utilisant la résolvante approchée

(Xg^ -}• s) démontrer des résultats analogues aux précédents

pour un opérateur S:X*—9-Xc entre autres démontrer que si

K.

S est un opérateur lîionotone maximal coercif tel que S

soit de type dense povtr chaque xaX; alors R(S) = X. On

58

3. OPERATEURS MONOTONES, LCK^A BQRWP.H.

Considérons pour un opérateur roonotono T:X--^X* la

condition

(3.i) int conv D(T) vide

(int désigne 1®intérieur pour la norme)o Les opérateurs

monotones vérifiant (3.1) ont été étudiés par ROCKAFELLAR

qui a prouvé entre autres le résultat suivant oü T est

appelé localement îaorné J25^ en x s’il existe un voisinage

(pour la norme) V de x tel que TV = U Ty soit borné y Ê;V

dans X*.

PROPOSITION 3,1 (cf. [41"]). Si l’otaérateur

monotone

maxima 1 T:X—?>X* vérifie (3,1) c alors T est localement

borné en xccl D(T) si et seulement si x cl int D(T).

De plu3„ l^lj montre que lorsque X est réflexif^ la

condition (3.1) est satisfaite par l’opérateur monotone

maximal T:X—^>X* s'il existe un point de cl D(T) où

T est localement borné. On va étendre ici ce résultat au

cas non réflexif.

Désignons i^ar ï l’opérateur translaté de T par

PROPOSITION 3,2. Soit un opérateiJr monotone

maximal ..T soit de type .de^ pour chaque

■ ■-I t» r7-—~-“-«I \~wni

Si T e3t_ localement borné en un point x de ci D(T) » .alors

xÊint D(T) (d°oft la condition (3,1^ est satisfaite).

DEMONSTRATION, Lorsque X est réflexif (dans c© cas

est automatiquement de type dense pour chaque x&X)^

cette proposition est prouvée dans [41^ . I4ais la réflexivité

n“intervient effectivement dans la démonstration de [41^

que par l'intermédiaire de pour montrer que cl D(T)

est convexe. Ici cette convexité est assurée par le

théorème 1.2. Q.E.D.

Au moyen des propositions 3.1 et 3.2, on peut établir

diverses propriétés de 1®image d’un opérateur S:X*~=^X.

Les corollaires suivants ont été donnés dans dans le

cas particulier oè X est réflexif. Ils s’appliquent

entre autres à un opérateur monotone hémicontinu S:X*-^X

de domaine D(SÎ = X*.

COROLLAIRE 3.1. Soit S:X*~»î»X .\m_jopératcur monotone

60

Alors O S int R (S) si, «at ssiilaraeT>t si O C cl R (S) et il existe c(> O tels crue x e Sx* et ||x*|| ^ c( irnplivment

1!^

W

^

DEMONSTRATION, Posons T=S , D'après les propositions 3.1 et 3.2(, O € int D(T) si et seulement si O S; cl D(T) et T est localement borné en 0. Cette dernière condition signifie qu'il existe ci( > o et ^>0 tels que x*£Tx et ||x| impliquent |fx*|| < . Q.E.D.

COROLLAIRE 3.2. Soit S;X*-»>X un opérateur monotone tel que S soit de type dense ix>ur chaque Xi£âX« S'il existe

x^ C Sx| (i=>i »2 «... ) vérit iant |j x| 5| —+ 00 ^ ^ x dans Xj, n [IJ alors x est point frentière de R(S).

DEMONSTRATION. Posons T=S . L'hypothèse entraîne que X C cl D\T) et que T n'est pas localement borné en x.

Soit T*:X—^ X* l'unique extension monotone maximale de T (l'unicité résulte du fait que T est de type dense); il est clair que T' est de type dense pour chaque x^iX, D'après

la pi'oposition 3.2„ x int D(T') car T' n'est pas

COROLLAIRE 3o3. Soit Sî2î*-^>X un oii74»ratevu: roonotono Pia^imal tel que soit de type dense pour chaque x^X. -Alora R (S) = X ni et seulement si la condition suivant®

est vérifiée; C Sx| (i=:i;2,...) et ||x||| —

entraînent que la suite x^,X

2

0

-1

DEMONSTRATION. Posons T=S . La condition de 1“énoncé signifie exactement que T est localement borné en chaque point de cl D(T). D’après la proposition 3.2^ ceci implique que cl D(T) = int D(T), d’où D(T) «* X, Inversément la

proposition 3.1 montre que si D(T) = X„ alors T est localement borné en chaque point de X. Q.E.D.

La condition nécessaire et suffisante du corollaire 3.3 est satisfaite lorsque x^ £ Sx| (i=»l„2,.,.) et ||x?||—ssts entraînent |jx^{| —9»“» en particulier lorsque l’opérateur S est coercif. On retrouve ainsi un résultat qu’on aurait pu obtenir directement à partir de la résolvante approchée

(KGç + s) en raisonnant comme dans la démonstration du théorème 2.1.

opérateurs monotones ne sont pas SoC.I.o cf. N®3 du chap,

'L

PROPOSITION 3.3. Soit T:X—»X* tan opérateur monotone maximal. Alors T est S..C.S. sur int D

{T} o

DEMONSTRATION. On peut supposer int D(ï)

^

D’après la proposition 3.1, T est localement borné en chaque point de int D(T), d’où transforme un compact de int D{T)p en un relativement compact de X*» 6^(X*bX). Il suffit donc de vérifier que le graphe de la multi-application

T: int D(T> .-T—3P*X* est fermé.

Soit |(x. eXŸ); ie.iv une suite généralisée telle que

t, ^ J

Xj^jcint P(T)„ x^—>x feint D(T) pour |\ \\ et