Universit´e de Lyon Pr´eparation au CAPES
Universit´e Claude Bernard Lyon 1 2009-2010
G ´EOMETRIE´ 5 :GEOM´ ETRIE DANS L´ ’ESPACE,UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES
Exercice 5.1 (Groupe des isom´etries du cube) — Soit C un cube dans l’espace affine euclidien E, c’est-`a-dire un parall´el´epip`ede rectangle dont toutes les arˆetes son isom´etriques. On d´esigne par S l’ensemble des sommets de C et l’on pose
G= { f ∈ Isom(E) | f (C) = C}.
Il s’agit manifestement d’un sous-groupe du groupe Is(E) des isom´etries de E.
1. (i) Pour toute isom´etrie f de E, d´emontrer que les conditions f(C) = C et f (S ) = S sont ´equivalentes.
(ii) D´emontrer que tout ´el´ement f de G fixe le centre O de C.
2. On d´esigne par∆1,∆2,∆3,∆4les quatre diagonales de C.
(i) D´emontrer que tout ´el´ement f de G transforme une diagonale en une diagonale.
(ii) En d´eduire qu’il existe un homomorphisme de groupes Σ: G→ S4 f7→Σf
tel que f(∆i) =∆Σf(i)pour tout i∈ {1, 2, 3, 4}.
(iii) Pour tout transpositionτ∈ S4, d´emontrer qu’il existe une isom´etrie f ∈ G telle queΣf =τ. En d´eduire que l’applicationΣest surjective.
3. (i) D´emontrer que le noyau deΣest constitu´e de l’identit´e et de la sym´etrie de centre O. En d´eduire que G est d’ordre 48.
(ii) Dresser la liste de toutes les r´eflexions apparaissant dans G. Mˆeme question avec les rotations.
Exercice 5.2 (Relation d’Euler & t´etra`edre) — Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine euclidien E.
1. Si A, B, C et D ne sont pas coplanaires, d´emontrer qu’il existe une unique sph`ere passant par ces quatre points.
2.
(i) D´emontrer la relation d’Euler :(−→
AB|−→
CD) + (−→
AC|−→
DB) + (−→
AD|−→
BC) = 0.
(ii) En d´eduire que les hauteurs d’un triangle non plats sont concourantes.
(iii) Montrer que, si un t´etra`edre poss`ede deux couples d’arˆetes oppos´ees orthogonales, il en va de mˆeme pour le troisi`eme couple.
Exercice 5.3 (Th´eor`eme de l’angle droit) — Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 et soit P un plan de E. On d´esigne par p la projection orthogonale de E sur P.
On consid`ere des points A, B, C et D dans E tels que (−→
AB|−→
CD) = 0. D´emontrer que les vecteurs−−−−−−→
p(A)p(B) et−−−−−−→
p(C)p(D) sont orthogonaux si et seulement si−→
AB∈−→ P ou−→
CD∈−→ P .
Exercice 5.4 (Extrait de la seconde ´epreuve de 1988) — SoitΠun plan euclidien, que l’on identifie l’en- semble C des nombres complexes via le choix d’un rep`ere orthonorm´e(O; −→e1, −→e2).
Soit t une application deΠdans lui-mˆeme fixant le point O et soit T l’application de C dans lui-mˆeme telle que, pour tout point M d’affixe z, T(z) soit l’affixe du point t(M).
1. D´emontrer que les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1
2
(i) l’application t est affine ; (ii) l’application T est R-lin´eaire ;
(iii) il existe des nombres complexes a et b tels que T(z) = az + bz.
2. On suppose que les propri´et´es ci-dessus sont v´erifi´ees.
(i) Expliciter a et b en fonction des coefficients de la matrice de T dans la base(−→e1, −→e2).
(ii) D´emontrer que t est une bijection si et seulement si|a| 6= |b|.
Exercice 5.5 (Extrait de la seconde ´epreuve de 2009) — Soit r1, r2, r3 trois nombres complexes distincts et soit f = (X − r1)(X − r2)(X − r3) ∈ C[X]. On suppose que les points M1, M2et M3d’affixes respectives r1, r2 et r3ne sont pas align´es.
Montrer que f′(X) poss`ede une racine doubleωsi et seulement si le triangle M1M2M3est ´equilat´eral.
Exercice 5.6 — Soit ABCD un quadrilat`ere convexe dans un plan euclidien. Soient M1, M2, M3et M4les points du plan ext´erieurs `a ce quadrilat`ere et tels que les triangles AM1B, BM2C, CM3D et DM1A soient isoc`eles rectangles en M1, M2, M3et M4respectivement.
A B
D
C M1
M3
M4
M2
1. D´emontrer que les quatre bases (−−→
M1A,−−→
M1B), (−−→
M2B,−−→
M2C), (−−→
M3C,−−→
M3D) et (−−→
M4D,−−→
M4A) d´efinissent la mˆeme orientation du plan.
2. On se propose de d´emontrer que les droites(M1M3) et (M2M4) sont perpendiculaires et M1M3= M2M4. (i) Donner une premi`ere preuve utilisant les nombres complexes.
(ii) Donner une seconde preuve n’utilisant pas les nombres complexes.
(Indication (pour les deux questions) : on pourra introduire la rotation r1 de centre M1telle que r1(A) = B, ainsi que les rotations analogues r2, r3et r4.)
3. Soit I et J les milieux respectifs des segments[BD] et [AC].
Si I= J, d´emontrer qu’alors M1M2M3M4est un carr´e.
Exercice 5.7 (Point de Fermat-Torricelli) — Soit ABC un triangle dans un plan euclidien dont tous les angles sont inf´erieurs `a23π.
On cherche `a d´eterminer l’ensemble F des points M du plan tels que la quantit´e f(M) = MA + MB + MC soit minimale.
Soit A′, B′et C′les points du plan tels que les triangles A′BC, AB′C et ABC′soient ´equilat´eraux et ext´erieurs
`a ABC.
1. D´emontrer que le minimum de la fonction f ne peut pas ˆetre atteint en un point ext´erieur au triangle. En d´eduire que l’ensemble F est non vide et contenu dans l’enveloppe convexe de A, B et C.
3
2. Orientons le plan de telle sorte que le triangle ABC soit indirect et fixons un rep`ere orthonormal direct.
Cela permet d’introduire les nombres complexes en rep´erant les points par leur affixe relativement `a ce rep`ere.
On pose j= e2iπ/3et l’on d´esigne par a, b, c les affixes respectives des points A, B, C.
(i) D´emontrer l’in´egalit´e
MA+ MB + MC > |a + b j + c j2| pour tout point M du plan. On pourra utiliser la relation 1+ j + j2= 0.
(ii) ´Etablir les ´egalit´es :
AA′= BB′= CC′= |a + b j + c j2|.
(Indication : On commmencera par exprimer l’affixe de−−→
AA′en fonction de a, b et c.)
(iii) ´Etant donn´es trois nombres complexes z, z′et z′′, d´emontrer que l’in´egalit´e|z + z′+ z′′| 6 |z| + |z′| + |z′′| est une ´egalit´e si et seulement si arg(z) = arg(z′) = arg(z′′).
(iv) Si M est un point tel que f(M) = |a + b j + c j2|, d´emontrer qu’alors M appartient `a l’intersection des cercles circonscrits aux triangles A′BC, AB′C et ABC′.
(v) Conclure.
Exercice 5.8 (Extrait de la seconde ´epreuve de 1994) — Soit Π un plan affine euclidien orient´e et soit R= (O;−→
i,−→
j) un rep`ere orthonorm´e direct. Les coordonn´ees et les affixes des points deΠsont d´efinies par rapport `a R.
Si D1et D2sont deux droites deΠde vecteurs directeurs respectifs −→v1 et −→v2, on rappelle qu’un nombre r´eelϑ est une mesure de l’angle orient´e du couple de droites(D1, D2) si, et seulement si,ϑ ouϑ+π est une mesure de l’angle orient´e du couple de vecteurs(−→v1, −→v2).
Etant donn´e trois droites D, D´ 1, D2du planΠ, on dit que D1et D2sont sym´etriquement inclin´ees sur D si, et seulement si, les angles orient´es des couples de droites(D, D1) et (D, D2) ont des mesures oppos´ees moduloπ. 1. Soit D1et D2deux droites deΠde vecteurs directeurs respectifs −→v1et −→v2. On note z1, z2les affixes de
−
→v1et −→v2. Soitϑ un nombre r´eel.
(i) Donner, sans d´emonstration, une propri´et´e du nombre complexe zz2
1e−iϑ qui soit ´equivalente `a l’´egalit´e (−→v1, −→v2) ≡ϑ (2π).
(ii) En d´eduire une propri´et´e du nombre complexe zz2
1e−iϑ qui soit ´equivalente `a l’´egalit´e(D1, D2) ≡ϑ (π).
2. Soit trois droites D, D1, D2du planΠ, −→v un vecteur directeur de D d’affixe z, −→viun vecteur directeur de Did’affixe zi, 1 6 i 6 2.
Montrer que D1et D2sont sym´etriquement inclin´ees sur D si, et seulement si, z1zz22 est r´eel.
En d´eduire que, lorsque D1et D2sont parall`eles, elles sont sym´etriquement inclin´ees sur D si, et seulement si, elles sont soit parall`eles `a D, soit perpendiculaires `a D.
3. Soit A1, A2, A3, A4quatre points distincts d’un cercle C du planΠ. Pour 1 6 j 6 4, on note zjl’affixe de Aj. On suppose que les droites(A1A2) et (A3A4) sont sym´etriques inclin´ees sur une droite D deΠ.
(i) Montrer que (z(z3−z4)(z2−z1)
3−z1)(z2−z4) est un nombre r´eel.
(ii) Montrer que les droites(A1A3) et (A2A4) sont sym´etriquement inclin´ees sur D. En est-il de mˆeme pour les droites(A1A4) et (A2A3) ?
4. Soit A1, A2, A3trois points distincts d’un cercle C du planΠet T la tangente en A1 `a C. Pour 1 6 j 6 3, on note zj l’affixe de Aj. On note t l’affixe d”un vecteur directeur de T, et on suppose que les droites(A1A2) et (A3A4) sont sym´etriquement inclin´ees sur une droite D deΠ.
(i) Montrer que (z (z3−z2)t
3−z1)(z1−z2) est un nombre r´eel.
(ii) Montrer que les droites T et(A2A3) sont sym´etriquement inclin´ees sur D.
