Modélisation des plasmas froids I François Vidal 17 novembre 2000

Modélisation des plasmas froids I François Vidal

17 novembre 2000

1. Introduction

1.1 - Pourquoi modéliser les plasmas froids ?

1.2 - Structure générale des codes de simulation de réacteurs 1.3 - Ce qu’il y a à modéliser

1.4 - Évolution des codes de simulation

2. Méthodes de modélisation

2.1 - Vue d’ensemble du plasma 2.2 - Hiérarchie des modèles

- Modèles cinétiques (Boltzmann) - Modèles fluides

- Modèles de dérive-diffusion 2.3 - Un modèle simple de la gaine 2.4 - Chimie du plasma

2.5 - Réactions sur le substrat 3. Méthodes numériques

3.1 - Solutionner les équations fluides 3.2 - Calcul numérique des dérivées

3.3 - Cas stationnaire (méthode de Runge-Kutta) 3.4 - Équation du type diffusion

3.5 - Équation du type convection

3.6 - Combinaison des deux types d’équations 4. - Exemple: Magnétoplasma d’argon

1. Introduction

1.1 - Pourquoi modéliser les plasmas froids ?

• Intérêts scientifiques :

Les plasma froids comportent plusieurs phénomènes fondamentaux mal connus.

• Intérêts commerciaux :

Les plasmas froids jouent un rôle majeur en micro-électronique, dans la fabrication des circuits intégrés.

Plus de 30 % des étapes de fabrication des micro-circuits font intervenir des procédés par plasmas. Le plasma est responsable des processus suivants:

- Gravure anisotrope dûe aux impacts ioniques sur le substrat.

- Synthèse des radicaux réactifs activée par les impacts électroniques dans le plasma.

Les enjeux commerciaux importants de la micro-électronique et le coût croissant des réacteurs justifient de plus en plus des investissements dans la compréhension des plasmas froids. Cette compréhension passe nécéssairement par la modélisation et la conception de codes en raison de la complexité des phénomènes physico-chimiques qui se produisent dans les réacteurs à plasma.

Les objectifs des efforts de modélisation des réacteurs à plasma commerciaux sont:

- Réduire le temps de commercialisation des nouveaux réacteurs.

- Augmenter l’efficacité et la flexibilité des réacteurs.

- Améliorer la capacité de tester rapidement de nouveaux procédés.

- Prédire l’évolution des réacteurs.

1.2 - Structure générale des codes

On distingue 3 sous-modèles distincts:

A - Physique des décharges (activation des électrons par une source externe).

B - Chimie du plasma (réactions dans la phase gazeuse).

C - Physico-chimie du substrat (réactions en surface, i.e. dépôt, gravure).

Le but ultime du modèle est de bien décrire ce qui se passe au niveau du substrat.

Cependant les autres parties (A et B) du modèle peuvent être étudiées d’une manière

indépendante dans la limite où on néglige la contamination du plasma par les produits de gravure.

1.3 - Ce qu’il y a à modéliser

Les plasmas utilisés pour les procédés industriels sont très différents et exigent des techniques de modélisation diverses.

• Sources d’excitation et géométries très diverses :

- PECVD (parallel plate Plasma-Enhanced Chemical Vapor Deposition);

- RIE (capacitively coupled Reactive Ion Etch);

- ICP (Inductively Coupled Plasma);

- ECR (Electron Cyclotron Resonnance);

• Chimies très diverses:

- fluorocarbones pour la gravure par oxidation;

- chimies du chlore pour la gravure métalique et poly-Si;

- chimies des silanes pour les dépôts de plasma.

• Pression du gaz: 4 ordres de grandeur

< 0.1 mTorr (magnetron sputter system) à > 1 Torr (dépôt de plasma).

• Densité électronique: 3 ordres de grandeur

~ 10⁹ cm^-3 (PECVD) à ~10¹² cm^-3 (gravure à haute densité).

1.4 - Évolution de la modélisation des réacteurs à plasmas

¾ Chronologie:

Années 70 (préhistoire) :

• 1971 – Brevet sur la gravure du Si par du CF4/O2.

• Fin 70 - La technologie des plasmas devient indispensable à la fabrication des micro- circuits.

Années 80 (vrais débuts de la modélisation des réacteurs à plasma):

• Chimie des plasmas de fluorocarbones en volume moyen (0 dimension).

• Modèles cinétiques de gaines en 1-D servant à prédire la distribution d’énergie des ions vers le substrat.

• Modèles 1-D de décharges dans des gaz rares entre des plaques parallèles.

• Quelques modèles sur la chimie des dépôts de a-Si:H.

Années 90 (puissance de calcul plus abordable):

• Développement de modèles en 2-D pouvant couvrir l’ensemble des processus (A, B et C).

• Modèles 3-D.

¾ Difficultés liées à la modélisation des procédés par plasma:

• La faiblesse des connaissances sur les processus fondamentaux : - plasmas en présence de champs magnétiques;

- phénomènes de recombinaison atomique sur les parois.

• Le manque de bases de données :

- sections efficaces des impacts électroniques;

- taux de réactions associés aux réactions chimiques;

- coefficients entrant dans la description de la gravure, des dépôts.

• Le manque d’outils de calcul (ordinateurs) puissants et abordables.

2. Méthodes de modélisation

2.1 - Vue d’ensemble des plasmas froids

• Les plasmas concernés sont faiblement ionisés (fraction < 10^-2 des atomes sont ionisés).

Les électrons et les ions entrent en collision surtout avec les neutres et très peu entre eux tant que leur densité ne dépasse pas typiquement 10¹² cm^-3.

• Le libre parcours moyen,λ ≈1/ (n₀σ_s), où n0 est la densité de neutres et

σ

^{s est la}

section efficace, est comparable pour les électrons et les ions (σs ≈^{10-15 cm2). A 1} mTorr (pression typique des réacteurs à plasma), il est donc de l’ordre de la dizaine de centimètres, i.e. comparable aux dimensions du système. La fréquence de collision des électrons ou des ions sur les neutres est donnée par νxn = uxT/λ (x = électron ou ion) et uxT = (kT/mx)^1/2 est la vitesse thermique.

• Le champ électromagnétique (source externe) transfère de l’énergie principalement aux électrons par le mécanisme d’absorption collisionnelle (les ions gagnent moins en raison de leur masse élevée):

_en

e e

m e dt

dE ν

ω ε

2 2

≈ 2

Ee = énergie d’un électron;

ω = fréquence du champ électrique appliqué;

ε

² = carré moyen du champ électrique appliqué;

νen = fréquence de collision élastique électron-neutre.

(Lorsqu’il y a un champ magnétique, l’absorption collisionnelle dépend de la fréquence du champ électrique de l’onde et de sa polarisation. L’absorption est maximum lorsque la fréquence de giration ω^c = eB/me des électrons dans le champ magnétique est égale à la fréquence ω de l’onde. (Il faut aussi que l’angle de polarisation de l’onde tourne dans la même direction que les électrons!) Dans ce cas, les électrons voient un champ

électrique constant (et maximum) et gagnent de l’énergie lors des collisions avec les neutres comme s’il n’y avait pas de champ magnétique.)

• Les électrons qui gagnent ainsi une énergie supérieure au potentiel d’ionisation peuvent ioniser les neutres et ainsi créer de nouvelles paires électron-ion. Les électrons et les ions vont se recombinent sur les parois du réacteur. La recombinaison en volume est

généralement négligeable en raison de la faible densité du plasma (et de la haute température des électrons).

• Le profil de densité électronique affecte le profil du champ électromagnétique dans le plasma (et donc la distribution de puissance déposée) par l’intermédaire de la constante diélectrique locale du plasma qui est modifiée par les électrons principalement.

• Les neutres sont à la température de la pièce (300 K ou 0.03 eV) en raison de leur bonne conductivité thermique et du contact thermique avec le milieu extérieur.

• Aux faibles pressions, les électrons perdent leur énergie surtout par les collisions inélastiques avec les neutres: (excitation des états de rotation, vibration, excitation électronique, dissociation, ionisation des neutres). Les collisions élastiques électron- neutre sont inefficaces en raison du grand rapport de masse mn/me > 1836. Comme ils sont alimentés en énergie par le champ externe et que leur libre parcours moyen est comparable au dimensions du réacteur, ils ont une température élevée (typiquement Te

= 1-10 eV).

• La température des ions est généralement moins élevée que celle des électrons mais plus élevée que celle des neutres:

Te > Ti > Tn ~ 0.03 eV

Les collisions élastiques ion-neutre sont très efficaces car leur masse est comparable.

Malgré ceci, Ti peut atteindre quelques 0.1 eV à faible pression.

• Les réactions chimiques dépendent en grande partie des impacts électroniques et de la distribution en énergie des électrons. Il est donc souhaitable de connaître avec assez de précision cette distribution en énergie. Ces informations sont difficiles à obtenir en raison du fait que les électrons ne sont pas en équilibre entre eux.

2.2 - Hiérarchie des modèles

On considère ici 3 types de modèles allant du plus précis au plus approximatif, i.e.

les modèles cinétiques, les modèles fluides (hydrodynamiques) et le modèle de dérive- diffusion.

2.2.1 – Modèles cinétiques :

C’est l’approche la plus précise mais la moins praticable. L’équation de base (L.

Boltzmann, 1872) est

∂

∂ f t

q

m c f f C

a a

a a ab

b

+  + ×

 

 ⋅ ∇ + ⋅ ∇ =

∑

E v B

v v r

f_a( , , )r v t = fonction de distribution pour l’espèce a;

a = espèce (électron, ion, neutre (si a = neutre alors E = B = 0));

r = position en espace des particules;

v = vitesse des particules (non pas la vitesse moyenne).

f_a( , , )r v t d³r d³v = nombre de particules d’espèce a à la position r et à la vitesse v, dans l’élément de volume d³r d³v de l’espace de phase.

densité de l’espèce a au point r: n_a( , )r t =

∫

f_a( , , )r v t d v³

E(r,t), B(r,t) = champ électromagnétique (sources externes) et champ ambipolaire qa = charge de l’espèce a.

Cab= Cab (fa , fb) = intégrale de collisions entre l’espèce a et l’espèce b.

types de collisions exemple: cas des électrons élastiques électron-neutre (sans excitation)

inélastiques excitation d’un neutre par impact électronique pertes attachement, recombinaison

création ionisation, détachement

Dans le cas particulier où les champs externes sont négligeables, alors la fonction de distribution maxwellienne est une solution de l’équation de Boltzmann,

f n m

kT k T

a a a

a

a B a

= 

 

 −

2

3 2

π ε

/

exp( / )

où εa= mav²/2 (énergie cinétique) na = densité

Ta = température (définition).

¾ Solutionner l’équation de Boltzmann :

Il est toujours nécéssaire de simplifier l’équation générale et de chercher des solutions approximatives. Ces simplifications peuvent porter sur les points suivants:

• Nombre de dimensions:

Dans le cas général, la fonction de distribution fa est décrite dans l’espace de phase (r, v) comportant 6 dimensions, ce qui est en général impossible à résoudre à l’aide de

méthodes analytiques et encore très exigeant pour les ordinateurs d’aujourd’hui. Il est

nécéssaire de réduire le nombre de dimensions en imposant des symétries dans le problème.

Exemple: Plasma entre deux électrodes planes. La coordonnée x est la postion axiale.

On suppose que les électrodes sont des plans des dimension infinie, ce qui rend le système uniforme transversalement. Il ne reste donc qu’une seule dimension en espace (x) et deux en vitesse v =(v v_x, _⊥) où v_⊥² = v_y² +v_z^{2. Donc} f_a( , , )r v t = f_a(x,v_x,v_⊥,t). Le nombre de dimensions est donc passé de 6 à 3.

• Termes de collisions:

Les intégrales de collision “exactes” sont souvent très complexes. On peut les simplifier de diverses façons:

a) Approximation de diffusion ou équation de Fokker-Planck qui est valide lorsque les collisions à faible transfert d’impulsion dominent comme par exemple dans les plasmas où les collisions coulombiennes élastiques dominent (ce qui n’est pas le cas dans les réacteurs à plasmas en général).

b) Modèles du type B-G-K (Bhatnagar-Gross-Krook) où l’on fait intervenir des fréquences de collisions. Par exemple, pour les collisions élastiques électron-neutre, on pose

C_en =ν_en(F_e − f_e)

où ν^en est la fréquence de collision électron-neutre, fe est la fonction de distribution des électrons et

F n m kT

m

e e e kT

n

e n

n

( ) ^/ exp ( )

v v u

= 

 

  −

 



2 2

3 2 2

π

où un est la vitesse moyenne des neutres et Tn leur température.

• Développement en polynômes de Legendre:

Une autre simplification souvent employée est de faire un développement limité de la fonction de distribution dans l’espace des vitesses en polynômes de Legendre Pn, i.e, f v f v P_{n n}

n N

( , )θ = ( ) (cos )θ

∑

= 0

,

où θ est l’angle par rapport à une direction privilégiée du problème (par exemple la direction du champ électrique), et de résoudre le système d’équations couplées pour les différents termes du dévelopement. Le plus souvent on pose N = 1, i.e. que

f = f0 + f1 cosθ, et on espère que f2 << f1.

Exemple: Ce problème peut être résolu exactement pour un gaz faiblement ionisé soumis à un champ électrique constant E, en 0 dimension (on néglige l’ionisation et l’excitation des neutres). La solution approximative de l’équation de Fokker-Planck est

f

k T k T

B

B 0

2 2

6

2

( ) exp( / )

/

ε ε γ ε

γ

∝ +

 

 −

^f1( )ε = −^f0( )ε

(

^eEλ /^{k T}B

)

où ε est l’énergie cinétiques des électrons et γ =(eEλ/k T_B ) M m/ _e où M est la masse des atomes du gaz. Pour un champ fort (γ >> 1) on retrouve le résultat classique de la distribution de Druyvesteyn.

(Voir E. M. Lifshitz et L. P. Pitaevskii, “Physical Kinetics”, Pergamon 1981, p. 93)

• Codes à particules:

Une façon indirecte de résoudre l’équation de Boltzmann consiste à imiter la nature et à simuler sur ordinateur les trajectoires et les collisions de toutes sortes d’un nombre déterminé de particules (typiquement 10⁷) ou de groupes de particules, ce nombre étant limité par la mémoire disponible et par la vitesse de calcul de l’ordinateur. C’est ce que font les codes PIC (Particle In Cell) qui forment un sous-ensemble des méthodes dites Monte-Carlo ainsi nommées en raison de l’utilisation des nombres aléatoires pour simuler les collisions entre particules.

Les algorithmes sont assez simples, cependant il est nécéssaire d’avoir beaucoup de particules pour faire de bonnes statistiques, ce qui devient très couteux en temps de calcul.

2.2.2 - Modèles fluides (hydrodynamiques):

Les modèles fluides sont les plus couramment utilisés pour modéliser les plasmas froids (i.e. pour résoudre approximativement les équations de Boltzmann) en raison de leur grande souplesse et de la rapidité relative des calculs qu’ils permettent. Cependant, ils sont rigoureusement valides seulement lorsque λ/L << 1 (nombre de Knudsen) où λ est le libre parcours moyen et L est la dimension du système (ou plus exactement la longueur du gradient local). Bien que cette condition ne soit pratiquement jamais satisfaite, les modèles fluides donnent la plupart du temps des résultats sensés.

Il s’agit de décrire le plasma en fonction des quantités macroscopiques locales:

nom symbole nombre de composantes densité n 1 (scalaire)

vitesse moyenne ui 3 (vecteur)

pression pij 6 (tenseur symétrique d’ordre 3) flux de chaleur qi 3 (vecteur)

^____

total 13

Note : la température s’obtient par l’intermédaire de l’équation d’état kT = p/n

où p = (p11 + p22 + p33)/ 3 = pression scalaire.

Les quantités macroscopiques se définissent en termes de la fonction de distribution:

n( , )r t =

∫

f( , , )r v t d³v u_i( , )r t =n⁻¹

∫

v f_i ( , , )r v t d³v

p_ij( , )r t = m

∫

(v_i −u_i)(v_j −u_j) ( , , )f r v t d³v

q t m

v u f t d

i( , )r = 2

∫

(v−u) ( i − i) ( , , )r v v

2 3

Il y a en fait une infinité de ces moments de la fonction de distribution et ils conduisent à une infinité d’équations fluides couplées.

En prenant les moments de l’équation de Boltzmann, on obtient les 5 équations exactes suivantes (somme sur les indices répétés):

∂

∂

∂

∂ n

t

nu x ^k n

k

+ ( )= .

densité

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(mnu ) ( )

t

mnu u x

p

x mng

k j k

j

jk j

+ = − + k impulsion

∂ε

∂

∂ ε

∂

∂

∂

∂

∂ t

u x

q x

p u

x mng u Q

k k

k k

kj j k

j j

+ ( )= − − ( )+ + .

énergie

où ε =  +

 

n 3kT mu 

2

1 2

2 est la densité d’énergie;

n .

= génération ou pertes de particules ( n. _In

=ν dans le cas de l’ionisation);

mng

= forces exercées localement sur le fluide: mng=q(E+ ×u B)−mνu où ν est la fréquence de collisions avec les neutres;

Q.

= gains - pertes d’énergie par unité de temps (par exemple: puissance fournie par la source externe - énergie perdue à cause des collisions inélastiques par unité de temps).

Note: Comme ces équations fluides décrivent des espèces chargées, elles doivent être complétées par l’équation de Poisson qui donne le champ électrique en fonction

de la densité de charge:

∇ ⋅ =^{E 4π}

∑

^{q nk k}

k

¾ Approximations sur la viscosité et le flux de chaleur:

Les 5 autres composantes indépendantes du tenseur de pression et les les 3 composantes du flux de chaleur font généralement l’objet de simplifications. Lorsque

λ

/L << 1, on peut alors faire les approximations suivantes:

• 2^e partie du tenseur de pression (en l’absence de champ magnétique):

On exprime le tenseur de pression comme:

p_ij = pδ +_ij σ'_ij

où la partie “visqueuse” (telle que

∑

= 3 =

1

0 '

j

σ jj ) est











 − −

≈

j k k

j i

i kj

kj x

u x u x p u

∂

∂

∂

∂

∂ δ ∂ σ ν

3

' 2 . ( =

ν

p viscosité)

La plupart du temps on ne tient pas compte de la viscosité et on pose que pij = p δij. Par contre, dans les codes, on inclut souvent une viscosité artificielle (viscosité de von Neumann) afin de réduire les instabilités numérique.

• Flux de chaleur (en l’absence de champ magnétique):

q p m

T

k x

k

≈ −5

2 ν

∂

∂ ^.

Note: Les dérivées premières qui interviennent dans les expressions pour la viscosité et le flux de chaleur peuvent donner des valeurs beaucoup trop grandes lorsque les gradients sont raides (i.e., lorsque

λ

^{/L > 1}). Il est alors nécéssaire de limiter ces quantités selon

des critères physiques. Dans le cas de la viscosité, cette limite est la pression scalaire, alors que dans le cas du flux de chaleur, il s’agit du free streaming (= puk).

2.2.3 – Modèles de dérive-diffusion:

Ici on suppose que la température est constante, qu’il n’y a pas de champ magnétique et on néglige la viscosité. En combinant l’équation fluide pour la densité et pour l’impulsion, on remarque que cette dernière se met sous la forme générale:

mndu

dt mn u

t u qnE p

x mn u

k k

j u

x k

k

k

k j

=  +





= − −

∂

∂

∂

∂ ν

∂

∂

Si on peut négliger duk/dt devant le terme de collisions

ν

uk, alors l’équation pour le courant de densité (ou flux de particules) devient:

J nu nE D n

k k k x

k

≡ = ±µ − ∂

∂ où µ

= | |qν

m = mobilité;

_D ^kT m

kT

= = q

ν µ = coefficient de diffusion.

En substituant ceci dans l’équation pour la densité, on obtient, ∂

∂

∂

∂ µ ∂

∂ n

t x nE D

x n n

j

j

j

+ ± −

 

 = . ,

Sur les 13 équations différentielles initiales, il n’en reste donc que deux: une pour la densité et une pour l’énergie. Pour cette dernière équation, on se limite parfois à établir un bilan global:

0 .

.

. 3 =

∫

3 −

∫

3 =

∫

^{Qd r Qind r Qoutd r}

qui exprime l’égalité entre la puissance fournie aux électrons et l’énergie qu’ils perdent par unité de temps par l’intermédiaire des collisions (ionisation des neutres, excitation des neutres, collisions élastiques).

On peut simplifier encore davantage le système d’équations en faisant l’hypothèse de quasi-neutralité n_e =n_i qui nous épargne le fardeau de résoudre l’équation de Poisson.

L’hypothèse de quasi-neutralité implique que Ji = Je (en l’absence de champ magnétique) et donc que

E= −

+



 

∇

D D n

n

i e

i e

e

µ µ e

J_i =J_e = − ∇D_a n_e

D D D

D T

a e i i e T

i e

i e

i

= − +

+ ≈  +

 



µ µ

µ µ 1

où Da est le coefficient de diffusion ambipolaire.

Note: En général, on ne fait pas les mêmes approximations pour toutes les espèces:

• Les électrons sont préférablement traités de façon plus détaillée (souvent même avec un modèle cinétique) car ils ne sont pas en équilibre et ils jouent un rôle majeur dans les réactions chimiques.

• Certaines espèces d’ions peuvent être traités d’une façon détaillée dans la gaine au niveau du substrat en raison de leur rôle important dans l’interaction avec la surface.

• Les nombreuses espèces qui interviennent dans les réactions chimiques dans le plasma, surtout les neutres, sont généralement traitées d’une manière simplifiée.

2.3 - Un modèle simple de la gaine dans un plasma collisionnel

(K.-U. Riemann et H. P. van den Berg, “Comments on Structure of the plasma sheat in collisional to weakly collisional plasmas”, Phys. Fluids. B3 (5), 1300 (1991).)

Les effets de gaine sont liés à la présence de surfaces dans le plasma (sonde, paroi, substrat). Ils se rencontrent donc dans tous les réacteurs à plasma. Le problème traité ici illustre l’emploi d’un modèle fluide pour le plasma.

On considère un plasma idéal de dimension infinie et on s’intéresse seulement à ce qui se passe au voisinage d’une paroi plane. On suppose que la source d’ionisation est située à

x= −∞ ^{et que} T_i ≈0et que la température électroniqueT_e est uniforme et connue. On a les équations suivantes au voisinage de la paroi:

d

dx(n u_{i i})=0, ^d

dx(n u_{e e})= 0^{, (densité)} u du

dx e

m E u

i i

i

= −νin i, (vitesse des ions) u du

dx

T m n

dn dx

e

m E u

e

e e

e e e

e

= − − −νen e, (vitesse des électrons) dE

dx =4πe n( _i −n_e) (équation de Poisson)

On fait l’approximation

u

_e²

<< k T

_{B e}

/ m

_e, i.e., que la vitesse moyenne des électrons est beaucoup plus faible que leur vitesse thermique et on néglige le terme de collisions

ν

^enue.

On obtient T dn

dx en E en d

e e dx

e e

= − = φ _où

φ

est le potentiel.

=> ⁿe =ⁿ₀exp (

(

^e φ φ− ₀) /^kTe

)

(électrons de Boltzmann) où on pose φ0 = 0. On définit les quantités suivantes:

u_s = kT_e /m_i = vitesse du son dans le plasma;

λ

=u_s /

ν

_in = libre parcours moyen des ions près de la gaine;

χ =eφ / (kT_e), y = ¹₂(u_i /u_s)²,

ε λ

= _D /

λ

,

ξ

= x /

λ

où λ_D =(kT / 4πn e_e ^{2 1 2}) ^/ est la longueur de Debye. L’équation pour la vitesse des ions et l’équation de Poisson deviennent

2 /

)1

2 ( '

' y

y−χ =− , (2y)^{−1 2/} −exp( )χ =ε ψ² '^,

ψ χ

= ',

où le prime dénote une dérivée par rapport à

ξ

. On a donc 3 équations différentielles du premier ordre où

ε

² est le seul paramètre du modèle.

Dans la limite où

ε → 0

, i.e. où le libre parcours moyen des ions est grand en comparaison de la longueur de Debye, on trouve la solution

χ = −cosh (⁻¹ 1−ξ/ )2 , y = ₂¹exp(2χ).

On voit qu’il n’y a pas de solution lorsque ξ > 0. En fait, le cas où

ε → 0

+ correspond à l’absence de gaine.

Lorsque

ε

n’est pas nul, on doit résoudre les équations numériquement. On utilise la solution analytique ci-dessus comme condition de frontière en

ξ

→ −∞^.

On trouve une famille de solutions (dépendantes de

ε

) qui sont indépendantes de la position de la paroi. Ceci indique que la position de la paroi doit être spécifiée à l’aide d’une condition supplémentaire, i.e. une condition de frontière.

On peut établir cette condition de frontière à l’aide d’arguments cinétiques. On sait que les électrons qui arrivent sur la paroi se recombinent aux ions. Sur la paroi, la fonction de distribution électronique et ne contient aucun électron de vitesse négative, i.e., venant de la paroi. La vitesse moyenne sur la paroi est donc:

2 2

2

0 0

π

π

n dv v dv v f v v kT

x x x me

/ ( , ) e

∞

⊥ ⊥ ⊥

∫

∞

∫

^{≈ ,}

où le membre de droite découle de l’hypothèse que la distribution est maxwellienne (c’est à peu près la vitesse thermique des électrons). Sur la paroi, on a donc que

u u

m m

e s

i e

≈ 2

π (paroi).

C’est ce rapport qui détermine la position de la paroi dans notre modèle.

Résultats (voir les figures):

• La région où n_e ≠ n_i ^{(x > 0)} correspond à la gaine.

• Assez loin de la paroi (x < 0), n_e ≈n_i(quasi-neutralité).

• On trouve que ni > ne près de la paroi.

• Le potentiel décroit près de la paroi, donc le champ électrique croît. Ceci fait que les ions sont accélérés vers la paroi, alors que les élecrons sont repoussés.

• A l’entrée de la gaine, les électrons et les ions ont approximativement la vitesse du son (y = 1/2): c’est le critère de Bohm.

• Dans la gaine les ions et les électrons peuvent être notablement supersoniques.

• La gaine s’élargit à mesure que

ε λ

= _D /

λ

augmente.

2.4 - Chimie du plasma

Les espèces considérées dans un plasma peuvent être des espèces chimiques distinctes (Cl2, O2, Ar, etc.) mais peuvent être aussi des états excités (vibration

moléculaire, excitation électronique) d’une même espèce chimique. En pratique, on s’en tient généralement aux espèces chimiques distinctes pour les neutres mais les ions sont d’abord caractérisés par leur charge électrique.

Les équations qui servent à décrire la densité des espèces chimiques sont de la forme générale (on n’inclut pas ici les termes de mobilité et de diffusion):

∂

∂ n

t^a n k_e n k n n n n k k n

b ab

e

b abc

b c

b c a e bc

e

ab b b b

= + −  +

 



∑

^{( )}

∑ ∑ ∑

,

( )

(1) (2) (3) (4)

(1) = formation de l’espèce a due aux impacts électronique sur les autres espèces (excitation, dissociation, ionisation, attachement);

(2) = formations de l’espèce a due aux réactions chimiques entre les ions ou les neutres;

(3) = perte de l’espèce a due aux impacts électroniques sur l’espèce a (excitation, dissociation, ionisation, attachement);

(4) = perte de l’espèce a due aux réactions chimiques entre l’espèce a et des ions ou des neutres.

2.5 - Réactions sur le substrat

Le plasma agit sur le substrat de 2 façons distinctes:

• par l’intermédiaire des produits réactifs créés dans le plasma;

• par les impacts ioniques.

Dans beaucoup de cas les impacts ioniques sur le substrat augmentent d’une façon importante le taux de gravure et sont responsables de l’anisotropie de la gravure.

Dans certains cas les impacts ioniques ne causent pas d’effets apréciables (par exemple pour la gravure de l’Al dans du Cl2) et peuvent même réduire le taux de gravure (par exemple pour la gravure du cuivre dans du Cl2 au dessus de 2000 degrés).

Les réactions en surface sont complexes et non complètement comprises. La gravure du Si par un plasma de chlore est supposée se dérouler comme suit:

1) Les molécules de Cl2 et les atomes de Cl (qui proviennent de la dissociation du Cl2 par les impacts électroniques) adsorbées à la surface du Si forment du SiCln où n =1-4.

2) Les molécules de SiCln sont éjectées par les impacts d’ions énergétiques en provenance du plasma.

Pour la gravure du Si par un plasma de chlore, le bilan des réactions sur une couche de Si dépend du flux des neutres (Cl2 ou Cl) Γ n et des ions (Cl2+

ou Cl⁺) Γ i qui

arrivent sur la surface ainsi que du flux des produits de réaction (SiCln) Γ p qui reviennent sur la surface.

Plusieurs facteurs compliquent le calcul des flux:

• Les effets d’ombrage qui font que certaines parties de la surface à graver sont inaccessibles au flux de particules provenant de certains points de l’espace.

• Les effets “non-locaux” qui font que les particules qui arrivent en un point du substrat peuvent provenir en bonne part d’un autre point du substrat en plus de celles qui viennent du plasma.

• L’effet de la gaine qui accélère les ions positifs vers le substrat et affecte la distribution angulaire du flux ionique.

3. Méthodes numériques

3.1 - Solutionner les équations fluides:

Il n’est pas possible en général de résoudre d’une manière analytique les équations différentielles qui décrivent le plasma, à moins de faire des approximations excessives. Il est donc nécéssaire de faire appel à des méthodes numériques.

• Pour le problème stationnaire, les équations fluides forment un système d’équations différentielles ordinaires (ODE) qu’il est possible de ramener sous la forme d’un système d’équations différentielles du premier ordre. Ce genre de système peut se résoudre à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta (voir plus loin). Le fait que certaines conditions de frontières se trouvent au centre du plasma et d’autres sur les parois (dans une géométrie cylindrique par exemple) complique la résolution numérique: il est nécessaire d’accomplir plusieurs itérations pour tendre vers la solution.

Malheureusement, la convergence n’est pas assurée !

• Pour les problèmes dépendant du temps, on bénéficie d’une longue expérience acquise dans plusieurs branches différentes de la mécanique des fluides.

Dans l’approximation de diffusion, la densité de particules est donnée par l’équation

^∂_∂ⁿ

(

^µ

)

t + ∇ ⋅ ± nE− ∇ =D n n .

. (3.1)

Le problème se pose comme suit: étant donné un profil initial n(r, t=0) qui satisfait les conditions de frontières appropriées, on désire connaître l’évolution de ce profil dans le temps, i.e. n(r, t).

Pour simplifier, considérons un problème en une dimension cartésienne:

∂

∂

∂

∂ µ ∂

∂

∂

∂ n

t x En

x D

xn n

± − = .

(3.2) Cette équation aux dérivées partielles comporte en fait deux types distincts d’équations dont nous allons discuter séparément:

1. – une équation du type convection dont l’expression la plus simple est

∂

∂

∂

∂ u

t v u

+ x = 0

(3.3)

où la vitesse v= ±µE est indépendante de la position. (Par exemple des électrons à faible densité dans un champ électrique uniforme et à faible température (ce qui permet de négliger le coefficient de diffusion D);

2. – une équation du type diffusion dont la forme la plus simple est

∂

∂

∂

∂ u

t D u

− x²₂ =0 (3.4)

(Par exemple la diffusion ambipolaire ou la diffusion des particules neutres (Loi de Fick)).

La première étape pour résoudre numériquement toute équation différentielle consiste à diviser la coordonnée continue x où 0 < x < L en un nombre N+1 de positions, et le temps 0 < t < T en un nombre M+1 d’instants:

x_j = −(j 1)∆x j = 1, 2, ..., N + 1 t_n =(n−1)∆t n = 1,2, ..., M + 1

où où le pas en espace (maille) est ∆x = L/N et le pas en temps est ∆t = T/N. Nous allons chercher la solution u(x, t) aux points xj, et aux temps tn,

u x( _j,t_n)=uⁿ_j.

Cette discrétisation de la position et du temps entraîne nécéssairement une erreur sur la solution de l’équation originale mais on s’attend à obtenir une solution proche de la solution exacte lorsque ∆x et ∆t sont “assez” petits. (En pratique on sait que ∆x et ∆t sont

“assez” petits lorsque la solution obtenue numériquement ne change pas sensiblement lorsqu’on diminue ∆x et/ou ∆t par un facteur 2 par exemple.)

3.2 – Calcul numérique des dérivées:

Pour calculer numériquement les dérivées, on part du développement en série de Taylor,

f x x f f f x

j j j jk kk

k

( )

! + ≡ ₊ = + ( )

=

∑

∞

∆ ∆

1

1

La dérivée première est donc

^{fj( )1 =}

(

^{fj+1− fj}

)

^{/∆x+ fj( )2 ∆x/2+...}

Si on garde seulement le premier terme du membre de droite, on fait une erreur de l’ordre de ∆x (i.e. le terme suivant). Une meilleure approximation est

^{f( )1j=}

(

^{fj+1− fj−1}

)

^{/2∆x+ fj( )3 ∆x2 / ! ...3 +}

car si on ne garde que le premier terme du membre de droite, l’erreur est maintenant de l’ordre de ∆x². Pour la dérivée seconde, on a que

^{fj( )2 =}

(

^{fj−1−2fj + fj+1}

)

^{/∆x2 + fj( )4 ∆x2 / ! ...4 +}

On peut diminuer l’erreur en exprimant les dérivées en fonction de plus de points.

Cependant on accepte généralement une erreur de l’ordre de ∆x ou de ∆x². Les formules plus précises entraînent généralement des problèmes lors de la résolution numérique.

3.3 – Cas stationnaire (méthode de Runge-Kutta):

On peut résoudre l’équation différentielle du premier ordre f(x,y)

dx dy =

en appliquant itérativement

y_j+1 = y_j +∆xf(x_j,y_j) j = 1, 2,..., N

où le point y1 ou yN (condition de frontière) est supposé connu. L’erreur qu’on fait avec cette méthode est de l’ordre de ∆x² à chaque pas. Il est possible de réduire cette erreur en employant une méthode plus évoluée (méthode de Runge-Kutta).

Par exemple:

y_j+1 = y_j +∆xf(x_j +₂¹∆x,y_j +¹₂∆xf(x_j,y_j)) où l’erreur est maintenant de l’ordre de ∆x³ à chaque pas.

3.4 – Équation du type diffusion:

Pour l’équation du type (3.4), on peut tenter la discrétisation suivante:

(uⁿ_j⁺¹−uⁿ_j ) /∆t =D u( ⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1) /∆x². (3.5) On obtient donc uⁿ⁺¹_j à partir, de uⁿ_j−1, uⁿ_j et uⁿ_j+1, c’est-à-dire à partir de la solution au temps actuel tn. Cette opération est répétée M fois pour parvenir au temps tn = T.

La façon particulière de discrétiser une équation différentielle s’appelle un schéma numérique. Ici le schéma (3.5) est du premier ordre en temps et du deuxième ordre en espace.

En pratique on constate qu’il est possible d’obtenir une solution de (3.5) seulement si le pas en temps ∆t est plus petit qu’une certaine valeur critique (pour un coefficient D et un pas en espace ∆x donnés). Autrement, le profil spatial ondule et “saute” en des points isolés (un comportement qui n’a généralement rien de commun avec la solution exacte).

On dit alors que le schéma numérique est instable.

La condition de stabilité peut être établie à l’aide du critère de von Neumann qui s’exprime comme suit: si on substitue

uⁿ_j =ξⁿexp(ikj x∆ )

où i= −1 , dans l’équation discrétisée, alors le schéma est stable pourvu que

ξⁿ⁺¹/ξⁿ ≤1 pour toutes les valeurs réelles de k.

Dans le cas de (3.5), on trouve que

4 sin ( /2)

1 ²

2 1

x k x

t D

n

n ∆

∆

− ∆

+ = ξ

ξ .

La condition de stabilité est donc ici∆t≤∆x² /2D (remarquer que ξⁿ⁺¹/ξⁿ peut être négatif), ce qui est très restrictif en raison du ∆x². Ceci nous oblige à prendre un pas en temps très petit si on désire avoir une résolution spatiale suffisante.

On peut obtenir une schéma numérique comportant des propriétés de stabilité plus avantageuses en modifiant le schéma (3.5) d’une façon plutôt artificielle (schéma de Dufort-Frankel):

(uⁿ_j⁺¹−uⁿ_j) /∆t = D u( ⁿ_j+1−(uⁿ_j +uⁿ_j⁺¹)+uⁿ_j−1) /∆x². (3.6) On trouve maintenant que ξⁿ⁺¹/ξⁿ =1 pour tout k, i.e. le schéma est

inconditionnellement stable. En pratique, il est cependant nécéssaire d’avoir un pas en temps assez petit afin d’obtenir une solution précise (indépendante de ∆t).

Lorsque le problème ne comporte pas de variations temporelles brusques, le schéma numérique le plus recommendable est dans le genre du suivant:

(uⁿ_j⁺¹−uⁿ_j) /∆t =D u( ⁿ_j+⁺₁¹−2uⁿ_j⁺¹+uⁿ_j−⁺₁¹) /∆x². (3.7) L’analyse de stabilité montre que ce schéma est ici aussi inconditionnellement stable. On doit maintenant résoudre un ensemble d’équations couplées à chaque pas en temps:

−u₁ⁿ⁺¹+u₂ⁿ⁺¹(1+2D t∆ ∆/ x²)−u₃ⁿ⁺¹ =u₂ⁿ

−u₂ⁿ⁺¹+u₃ⁿ⁺¹(1+2D t∆ ∆/ x²)−u₄ⁿ⁺¹ =u₃ⁿ

−u₃ⁿ⁺¹+u₄ⁿ⁺¹(1+2D t∆ ∆/ x²)−u₅ⁿ⁺¹ =u₄ⁿ

...

−u_Nⁿ⁺₋¹₁+uⁿ_N⁺¹(1+2D t∆ ∆/ x²)−u_Nⁿ⁺₊¹₁ =u_Nⁿ

Il y a donc N équations pour N+2 inconnues. Ceci signifie qu’on a besoin de conditions de frontières aux deux extrémités du profil spatial (i.e. sur u₁ⁿ⁺¹ et u_Nⁿ⁺¹). Le système d’équations résultant est un système d’équations tridiagonal, lequel peut se résoudre assez rapidement à l’aide d’un algorithme basé sur la méthode d’éliminations de Gauss.

L’expérience montre cependant qu’il n’est pas nécéssaire d’utiliser un pas en temps aussi petit que pour le schéma (3.6) afin d’obtenir une précision acceptable, ce qui fait que le schéma (3.7) est aussi (sinon plus) avantageux que (3.6).

Lorsque le membre de droite de l’équation discrétisée s’exprime en termes de la solution au temps suivant (tn+1) le schéma est dit implicite (par exemple (3.7)) alors que lorsque le membre de droite s’exprime en termes de la solution au temps actuel (tn) le schéma est dit explicite (par exemple (3.5)). Les schémas explicites sont plus simples à résoudre mais comportent toujours des restrictions sur la stabilité.

3.5 – Équation du type convection:

La solution générale de l’équation du type (3.3) est u(x,t) = f(x – vt) où f(z) est une fonction arbitraire. Malgré sa simplicité apparente, sa solution numérique présente plusieurs difficultés. Par exemple, on peut vérifier que le schéma naturel suivant,

(u_jⁿ⁺¹−uⁿ_j) /∆t = −v u( ⁿ_j+1−u_jⁿ₋₁) /2∆x (3.8) est instable pour tout ∆t, i.e. il est inconditionellement instable. Cependant, le simple fait de substituer uⁿ_j →(uⁿ_j+1+uⁿ_j−1) /2 va donner un schéma stable à la condition que ∆t≤ ∆x v/

ce qui est la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (ou simplement condition de Courant) Le schéma ainsi obtenu, ou schéma de Lax, n’est cependant pas vraiment acceptable car il entraîne une forte diffusion numérique, i.e. le profil s’étale peu à peu dans l’espace et n’a bientôt plus rien à voir avec la solution exacte.

Des schémas plus sophistiqués que le schéma de Lax donnent des solutions plus acceptables. Ils impliquent tous que la condition de Courant soit satisfaite. Cependant, chacun comporte ses défauts. Certains schémas sont très peu diffusifs mais n’assurent pas la positivité de la solution (ce qui est gênant lorsqu’il s’agit d’une densité) et ont tendance à générer des oscillations parasites (le schéma de Lax-Wendroff par exemple).

Le schéma FCT (Flux Corrected Transport) est certainement l’un des meilleurs choix à faire bien qu’il soit assez complexe. Parmi les avantages qu’il présente on peut citer:

1. la positivité de la solution;

2. l’absence d’oscillations parasites;

3. diffusion numérique minimale;

4. caractère conservatif (i.e. que par exemple s’il s’agit d’une densité, le nombre de particules est conservé);

5. permet de calculer l’évolution de profils comportant des variations spatiales très brusques (gradients raides) et se prête donc bien aux problèmes d’ondes de choc ou d’ondes d’ionisation (streamers);

6. schéma explicite (donc rapide).

Parmi les défauts du schéma FCT on peut citer:

1. la tendance à former de petites “marches d’escalier” dans les profils;

2. le manque de cohérence dans l’évolution des différents moments (densité, énergie, impulsion) dans les régions de faible densité;

3. ne convient pas aux problèmes stationnaires.

Les schémas implicites ne conviennent pas bien à l’équation du type convection car, malgré leur grande stabilité, il est généralement nécéssaire de respecter la condition de Courant afin d’obtenir une solution assez précise. Comme la solution des schémas

explicites demandent plus d’opérations, ils ne sont donc pas avantageux.

3.6 - Combinaison des équations des types convection et diffusion

La solution de l’équation (3.2), qui est une somme des deux types d’équations (diffusion et convection), peut s’obtenir numériquement de plusieurs façons. Ici nous en mentionnons deux: le “time splitting” et le schéma de Sharfetter-Gummel.

• Time splitting:

C’est une méthode générale où les différentes parties de l’équation originale sont résolues séparément et successivement à chaque pas en temps. Par exemple, pour l’équation (3.2), on peut résoudre successivement les trois équations suivantes, en substituant dans chaque équation la solution de l’équation précente (pour chaque pas en temps):

∂

∂ n

t =n. ^∂

∂

∂

∂ µ n

t ± x En=0

∂

∂

∂

∂

∂

∂ n

t x D

xn

− =0

La même méthode peut s’appliquer aux problèmes en plusieurs dimensions: pour chaque pas en temps on résout successivement une équation dans chaque direction de l’espace (méthode des directions alternées).

• Schéma de Sharfetter-Gummel:

C’est un schéma numérique qui est utile dans les cas où les parties convectives et diffusives sont également importantes, ce qui est généralement le cas dans les plasmas froids. L’équation (3.2) se discrétise comme,

^nnj+1_∆t^{−nnj +} _∆¹_x

[

^{Jjn++1 21/ −Jnj−+1 21/}

]

^=n.

^{Jnj++1 21/ =}₁₋^σ_exp(^{j+1 2/}_σj^/₊^∆_{1 2/}^x ₎

[

^{Dj+1nnj++11−D nj jn+1exp(σj+1 2/ )}

]

σ µ

j

j

j j

D xE

+ +

+ +

= ±

 



1 2

1 2

1 2 1 2

/

/

/ ∆ /

où l’évaluation en j+1/2 signifie la valeur moyenne entre les points j et j+1. Dans les limites où µj = 0 et Dj = 0, on obtient :

lorsque µj = 0 : Jⁿ_j+⁺_{1 2}¹_/ = −D_j+1nⁿ_j+⁺₁¹+D n_{j j}ⁿ⁺¹