Chapitre 2

(1)

2.1 Introduction

De nombreux travaux de recherche ont été effectués pour la synchronisation des systèmes chaotiques. La synchronisation de deux systèmes chaotiques peut être effectuée par couplage unidirectionnel ou bidirectionnel. En 1983, Chua a abordé la question en utilisant le circuit Chua précédemment présentée [32].

Quelques années plus tard, Peccora et Carroll [28], [29] ont montré la possibilité de synchronisation des sources chaotiques à l'aide d'un signal pilote commun. En 1990, Parlitz a proposé le couplage deux attracteurs étranges identiques avec un but de démontrer la possibilité de masquer un message en l'empilant dans un signal chaotique et de le récupérer à la réception. De ce constat la synchronisation des systèmes chaotiques a été largement exploitée à la cryptographie et la transmission sécurisée de l'information [2],[38]. Intuitivement, la synchronisation du chaos consiste en un système chaotique appelé "Emetteur" auquel l’information à transmettre est mélangée avec l’enveloppe chaotique et un autre système, également chaotique, appelé "Récepteur" et dont le but est de récupérer l’information envoyée. Pour ceci, il est nécessaire de synchroniser le récepteur et l’émetteur c’est-à-dire faire converger l’état du récepteur vers l’état de l’émetteur quelles que soient les conditions initiales. C’est ce problème que l’on appelle la synchronisation du chaos.

Un concept formulé par Nijmeijer comme un problème de synthèse d’observateurs [27]. Le chaos étant un comportement non-linéaire, la synchronisation est en général un problème d’observation non linéaire avec une entrée inconnue. La nécessité d’une convergence globale fait que ce problème est très difficile à résoudre dans le cas général.

Cependant, des résultats intéressants ont été obtenus pour la classe de systèmes chaotiques linéaires par morceaux dont le circuit Chua fait partie.

Dans ce chapitre nous sommes intéressés à la synchronisation des deux systèmes identiques à l'aide d'un observateur.

2.2 Synchronisation

(2)

La synchronisation de deux systèmes dynamiques signifie que chaque système évolue en suivant le comportement de l'autre. Les méthodes traditionnelles de synchronisation sont en général basées sur l'utilisation des circuits identiques. Supposons deux systèmes chaotiques identiques oscillant de façon totalement indépendante, si par moyen quelconque, on leur permet d'échanger de l'énergie, action que l'on nomme "couplage", les deux systèmes finiront par céder la place à un comportement commun.

2.2.1 Systèmes couplés:

Le couplage peut être mis en œuvre de différentes manières:

Couplage bidirectionnel: dans ce cas l'élément de couplage permet l'échange de l'énergie dans les deux sens. L'utilisation d'une résistance, en pratique, permet d'assurer ce type de couplage.

Couplage unidirectionnel: dans le cas d'un couplage unidirectionnel, l'énergie est transférée d'un système à l'autre, à l'aide d'un élément de couplage fonctionnant dans un seul sens comme par exemple un serveur.

En pratique, par exemple, un simple schéma électronique à base d'amplificateur monté en suiveur réalise cette tâche.

Pour illustrer ces deux concepts, soit les deux systèmes chaotiques identiques a et b de dimension 3 decrits par x´a=f(xa) et x´_b=f(x_b) le schéma de couplages possibles des deux systèmes est donnée par la Fig.2.1.⁽^a⁾

b) (

a x1a , x2a , x3a

b

x1b , x2b, x3b

x1a

a x1a, x2a, x3a

b x1a, x2a, x3a

x1b

x1a

(3)

Fig.2.1: Schéma de couplage: (a)unidirectionnel, (b) bidirectionnel.

2.2.2 Différents types de synchronisation:

Le rôle de la synchronisation est d'estimer certains états du système dynamique ou parfois des entrées inconnues. Il ya plusieurs types de synchronisations proposés dans la littérature tels que la synchronisation identique, la décomposition du système proposé par Pecora et Carroll [28], [29], la synchronisation à l'aide d'observateurs [27], la synchronisation par l'inversion du système [40], …etc.

Dans ce travail, nous nous intéressons à la synchronisation à base d’un observateur à modes glissants. Ce choix est motivé entre autre par l’efficacité ainsi que la robustesse de la technique de modes de glissement. Des qualités qui souvent mentionnées dans la littérature de l’automatique.

Définition2.1: la synchronisation peut être décrite par la définition suivante:

Considérons les deux systèmes

{

^´^´^x=f^y=f¹²⁽⁽^x)^y) ^(2.1)

avec ^{x , y}^∈^{R , f}1et f₂ deux fonctions non linéaires définies de Rⁿ→ Rⁿ . Les deux systèmes sont dites synchronisés si :

lim

t → ∞

‖

^y^(t^)−x^(t⁾

‖

⁼⁰ ^(2.2)

Où y(t)−x(t) représente l'erreur de synchronisation pour toutes conditions initiales x(0) et y(0) .

2.2.2.1 Synchronisation identiques

Pour illustrer la méthode de synchronisation par couplage entre deux systèmes chaotiques on a choisi de présenter, dans un premier temps, la synchronisation identique proposée par Pecora et Carroll [28], [29]. Cette synchronisation est basée sur la notion de "Maître-Esclave". Un signal

(4)

Esclave a pour but de reproduire fidèlement le signal Maître. Le système

"Maître" est aussi appelé émetteur et le système "Esclave" est dit récepteur. La figure suivante représente le processus de décomposition en sous-systèmes.

Fig.2.2- Structure de synchronisation par décomposition en sous système.

La synchronisation en utilisant la décomposition en sous-systèmes a été étudiée expérimentalement avec le circuit de Chua dans [20] et avec le système de Lorenz dans [27].

Nous prenons, à titre d'illustration, le premier exemple de synchronisation avec le circuit de Chua évoqué dans le chapitre précédant. Nous faisons intervenir le circuit de la Fig.1.7 en tant qu'émetteur, et cela après ajuster la valeur de R afin d'obtenir le double roulement, et celui de la Fig.2.3 en tant que récepteur, nous ajustons la commande du paramètre de récepteur R pour obtenir également le double roulement. Les deux circuits sont alors capables de travailler en leur mode chaotique (double roulement). Le couplage est réalisé entre les deux circuits par l'intermédiaire de la tension électrique V_C₁ de l'émetteur. Ce signal provenant de l'émetteur passe dans un amplificateur opérationnel suiveur avant d'être utilisé pour réaliser le couplage avec le récepteur r(t) .

Système initial

Sous système s_m¹

´x1=f1(x1, x2) Sous système S²m x^.1=f1(x1,x2

(

Système maître

Système esclave Sous système

S²m

x^.2=f2(x1,x2

(

x2

Sous système S²m

x^.1=f1(x1,x2

(

y=x1

x^.(t)=f(x(t ((

x2

(5)

Le récepteur est divisé en deux sous-systèmes clairement indiqué sur la Fig.2.3. Ces deux sous-systèmes sont reliés entre eux par un amplificateur opérationnel suiveur pour découpler les deux sous- systèmes. Le premier sous-système comprend la capacité ^C2 , la résistance R , et l'inductance L . Le second est formé de la résistance

R , la capacité C₁ et la résistance de Chua N_R .

Le comportement du premier sous-système RL du récepteur est donné par le système d'équations suivant:

(2.3

{

^C²^{d V}^dt^L^{d i}²^dt⁼^L^R¹^=−V^(r^(t²⁾⁻ⁱ^L⁾ )

Fig.2.3 Récepteur de Chua décomposé en sous-système.

La tension ^V1 pilote le second sous-système RC . Son comportement est donné par l'équation suivant:

(2.4) C₁d V₁

dt =1

R

(

V₂−V₁

)

−f(V₂)

Lorsque les valeurs des composants électronique et de la résistance de Chua sont les même, nous observons un phénomène de

- +

Sous système 1

Sous système 2 Signal de

couplager(t (

- +

R

IR

NR

VR

C1

V1

V2

C2

R0

R

L

(6)

synchronisation entre l'émetteur et le récepteur. En effet, la tension V₁ de récepteur se synchronise avec la tension ^V1 de l'émetteur. Elles présentent les mêmes variations temporelles.

2.2.2.2 Synchronisation à l'aide d’un observateur

Après la découverte de Pecora et Carroll [28], [29] le problème de synchronisation est rapidement relié au problème plus général qu’est celui de l'observation d'état non linéaire. Dans cette approche, le système Maître est un système chaotique quelconque et le système Esclave est un observateur d'état. La Fig.2.4 illustre ce principe de synchronisation.

Fig.2.4-Principe de synchronisation à l'aide d'observateur.

Pour ce principe, nous disons que l'émetteur et le récepteur se synchronisent si le système observateur ´^x=^f( ^x , u) converge vers le système ´x=f(x ,u), y=h(x) .

(2.5) lim

t → ∞

‖

^x^(t^{)−^}^x^(t⁾

‖

⁼⁰

2.3 Observabilité et l'observateur 2.3.1 Observabilité

L'observabilité d'un processus est un concept très important en automatique. En effet, pour reconstruire les états inaccessibles d'un système, il faut savoir, a priori, si les variables d'état sont observables ou non annexe B.

2.3.2 Observateur

Emetteur Générateur)

chaotique (

x^.=f(x,u (

Récepteur ) Observateur

d'état (

x^{^}(t)=f^{^}(x^{^},u (

Le signal chaotique transmis

Entrée ^y

u

(7)

^x^(t^{)−^}^x^(t⁾

‖

^→⁰ ^(2.8)

Le schéma de principe de l’observation d’état est donné par la Fig.2.5.

Fig.2.5-Schéma de principe de l’observation.

2.3.2.1 Construction de l’observateur

La construction d'un observateur en temps continu ou en temps discret se décompose en deux phases, à savoir une phase de synthèse ou de

S

(u(t (y(t

x^{^}(t O (

(8)

conception (choix de la dynamique de l'observateur), et une phase d'analyse la convergence de l'état de l'observateur vers l'état du système.

La synthèse de l'observateur exploite les informations disponibles, à savoir le modèle dynamique du système étudié, ses entrées et ses sorties.

Lorsqu’une partie ou la totalité des entrées n'est pas disponibles, l'observateur est dit observateur à entrées inconnues.

2.3.3 Observateur non linéaire

La conception d'observateur pour les systèmes linéaires observables est un concept bien connu chez la communauté des automaticiens. Pour les non automaticiens des exemples d’observateurs linéaires tels que ceux de Luenberger [23] .

Pour un système non linéaire, le problème est beaucoup plus difficile.

Dans ce contexte, plusieurs types d'observateurs non linéaires ont été rapportés dans le littérateur, tel que l'observateur à grand gain [6], l'observateur de Kalman-étendu [16]et l'observateur à mode glissant[3], [7], [29], [33], …, etc.

2.3.3.1 Observateur non linéaire à l'entrée inconnue

Dans la transmission de donnée (analogique ou numérique) par synchronisation chaotique en temps continu ou discret, il est important de pouvoir d'estimer l'entrée inconnue du système en plus de synchronisation des états. En effet, l'entée inconnue peut être un défaut, une perturbation ou dans notre travail, un message confidentiel. Le schéma de la Fig.2.6 illustre un problème classique d'estimation d'état non linéaire à l'entrée inconnu: il faut reconstruire l'état x(t) du système émetteur et également l'entrée inconnu w . Différents techniques de synthèse d'observateur à l'entrée inconnues ont été utilisées dans les littérateurs, et pouvant être utilisées à des fin de cryptage [26].

On considère en générale le système non linéaire suivant:

(9)

{

^x^´⁽^t^)=fy(t⁽)=h(^x⁾⁺^px⁽)^x)^w (2.9) avec l'entrée inconnue (perturbation) w est considérée être bornée, et les champs de vecteurs f , p:U⊂Rⁿ→ Rⁿ et h:U⊂Rⁿ→ R sont des champs de vecteurs analytiques. Dans ce cas on considère que w est continu, ou moins continu par marceaux.

Fig.2.6- Observateur à entrées inconnues

2.3.4 Observateur à mode glissant

Un système à structure variable est un système qui peut changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs, suivant le signe d’une fonction des coordonnées du système dans l'espace de phase. Le réglage par mode de glissement est un mode de fonctionnement particulier des systèmes à structure variable [7].

2.3.4.1 Principe des modes glissants

Le principe des observateurs à modes glissants consiste à contraindre, à l'aide de fonctions discontinues, les dynamiques d'un système d'ordre n à converge vers une variété S de dimension (n−p) dit surface de glissement. ( p étant la dimension du vecteur de mesure).

La variété de glissement est définie par:

S=

{

x∈Rⁿ:s(x)=0

}

^(2.10)

Dans le but de maintenir l'état représentatif de l'évolution du système sur une variété S , on définit le vecteur de commande u qui commute

Emetteur chaotique x(t)

Récepteur :

Observateur à entrées inconnues (y(t

Signal transmis

(w(t (w^{^}(t), x^{^}(t

(10)

entre deux valeurs +¿

−¿, u^¿ u^¿

¿

selon le signe de la surface de commutation s(x) :

+¿(x ,t)si s(x)>0

¿ u^¿u^−¿⁽^{x ,t}⁾^{si s}⁽^x⁾^<0

u(x , t)=¿

(2.11)

+¿(x ,t)

u^¿ et −¿(x , t)

u^¿ étant des fonctions discontinues pour contraindre la trajectoire du système à atteindre la surface de glissement et d'y rester au voisinage de celle-ci malgré la présence de perturbations.

S=

{

x∈Rⁿ:s(x)=0

}

est une variété de surfaces de glissement qui divise l'espace d'état en deux parties disjointes s(x)>0 et s(x)<0.

Dans le cas des observateurs à mode glissants, les dynamiques concernées sont celles des erreurs d’observation e(t)=x(t)−^x(t) . A partir de leurs valeurs initiales e(0) , ces erreurs convergent vers les valeurs d'équilibre en deux phases:

-Dans une première phase, la trajectoire des erreurs d'observations évolue vers la surface de glissement sur laquelle les erreurs entre la sortie de l'observateur et la sortie de système réel (les mesures) e_y=y− ^y sont nulles. Cette étape, qui est généralement très dynamique, est appelée mode d'atteinte ou d’approche.

-Dans la seconde phase, la trajectoire d'erreur d'observation glisse sur la surface de glissement avec des dynamiques imposées de manière à annuler toutes les erreurs d'observation, c'est le mode de glissement.

Les deux modes d’évolution sont connues et clairement identifiées dans la Fig.2.7.

Mode de glissement

Surface de glissement

Mode de convergence

x2

(11)

Fig.2.7-Différents modes de convergence pour la trajectoire d'état.

2.3.4.2 Condition d'existence du mode de glissement

Selon Filippov [13] l’existence du mode de glissement est conditionnée, au voisinage de S(x)=0, par l’opposition en signe entre la fonction de la surface S et sa dérivée par rapport au temps :

S →0^−¿S´>0 S →0^+¿S´<0etlim

¿

¿ lim

¿ ¿

(2.12)

Par la suite, si les conditions du théorème de Filippov sont vérifiées, on en déduit que:

SS<´ 0 (2.13)

La condition (2.13) est appelée souvent condition de glissement, d’existence ou d’attractivité pour rapprocher du concept physique de la définition. Cette condition illustrée par Fig.2.8 représente l'intégralité fondamentale pour la synthèse d’un contrôleur ou un observateur à base de mode de glissement.

2.3.4.3 Représentation mathématique de l'observateur à mode glissant

L'observateur à mode glissant est défini avec la structure suivante:

{

^x^{´^}^=f^{^}^{y=h( ^}^{( ^}^{x ,u)−K Γ}^x) ^s ^(2.14)

Où

K est la matrice de gain de dimension (n × p) .

x1

(12)

Γ_s est un de vecteur de dimension (p ×1) donné par Γs=[sign( ^y1−y1)… sign( ^yp−yp)]^T .

Fig.2.8-Attractivité de la surface.

Nous définissons également les vecteurs relatifs aux erreurs d'observation:

e=^x−x: le vecteur d'état des erreurs d'observation.

S=e_y=^y−y: la surface de glissement.

2.3.4.4 Observateur à mode glissant étape par étape

⁾

5)

S(x)=0

-f

+f

^{−^}^xⁿ⁻¹

⁾

^(2.16)

^x^{, … ,}¹^{, x}²^x^{^}^{, … , x}ⁿ⁻¹^,uⁿ

⁾ ⁾

^(2.18)

L'entrée u et les états sont bornés. Par conséquence les états du système ne divergent pas et les erreurs d'observation sont aussi bornées.

On considère la fonction de Lyapunov V₁=1

2e₁², alors:

V₁=¿e₁(e₂−λ₁sign

(

^e1

)

⁾

´¿

(2.19) En choisissant λ₁>

|

^e2

|

max l'erreur d'observation ^e1 converge vers zéros en un temps fini t₁. Après cette instant e₁ reste égale à zéros et on

obtient alors

x (¿¿1−^x1) e₂=λ₁sign¿

²^x

⁾

^{, … ,}^=e¹^{, x}³²⁻^x^{^}^{,… , x}ⁿ⁻¹^λ²^sign^,uⁿ

⁾ ⁾ ⁽

^e²

⁾

^(2.20)

En choisissant la fonction de Lyapunov V₂=1 2e₁²+1

2e₂² on aura:

´

(2.21)

(15)

Si λ₂>

|

^e3

|

max , alors e₂ converge vers zéros après un temps fini t₂>t₁ . L'erreur d'observation est strictement décroissante durant la période

[

^t1, t₂

]

ce qui implique que la condition imposée dans la première étape sur ^λ1 doit être vérifiée aussi après ^t1. En fin, on aura ^~^x3=x₃ .

2e₂²+…+1

2e_n² on obtient : V_n=¿e_n

(

⁻^λnsign

(

e_n

) )

¿´

(2.23)

Ainsi, e_n converge vers zéros en un temps fini t_n>t_n−1 pour toutes les valeurs de ^λn>0 , si évidement toutes les conditions sur ^λk , k<n sont aussi vérifiées.

2.4 Exemples d'application

Dans cette section, nous synchronisons deux circuits de Chua à l'aide de deux observateurs, observateur de Parlitz et puis observateur à mode glissant étape par étape.

(16)

Donc, nous considérons la dynamique de circuit de Chua donnée par (2.24):

(2.24

{

^{d x}^dt^{d x}^dt¹^{d x}^dt⁼²⁼³^C¹⁼^C¹¹

⁽

^L¹²^x

⁽ ⁽

²^x^x^−x^R¹²⁻⁻^R¹^x^R⁻²⁰⁺^x^f³^x

⁽ ⁾

^x³

⁾

¹

⁾ ⁾

)

Avec ^y=x1 , le système (2.24) est localement faiblement observable [15], et linéarités par injection de sortie [19].

Exemple 2.1 : Observateur de Parlitz

Parlitz a proposé le couplage de deux attracteurs étranges identiques dans le but de camoufler un message confidentiel en le superposant à un signale chaotique et en le restaurant à la récepteur par un circuit identique [28]. Soit la dynamique de cet observateur :

{

^d^dt^{^}^x^d^d^dt^dt¹^x^{^}^x⁼^{^}²³⁼⁼^C⁻¹¹^C^L¹¹^R^y=²

⁽

^{−^}

⁽ ⁽

^{^}^y^{^}^{y−^}^x^x^{−^}¹²^R^−R^x^x²²

⁾

^{+ ^}⁺⁰^x^{^}^x^f^C³³^{( ^}

⁾ ⁾

^y¹⁾ ^(2.25)

où, ^x=

(

^{^}^x1,^x₂,^x₃

)

^T est l'état d’estimé de x et ^y est l’état d’estimé de la sortie

Exemple 2.2 : Observateur à mode glissant étape par étape de circuit de Chua

Nous allons concevoir l'observateur à mode glissant étape à étape pour le système (2.24) suivant:

(17)

{

^d^d^d^dt^dt^dt^x^{^}^x^{^}^x^{^}²³¹⁼⁼⁼^C¹^L¹^C¹²

⁽

¹^−~

⁽ ⁽

^y−~^x^x^{^}²^R²⁻^R⁻^x²^R^y^{+ ^}⁰⁻^y=^~^x^x^f³³

⁾ ⁾

⁽^x⁺⁺^y¹^E^E⁾

⁾

²⁺¹^λ^λ^λ³²¹^sign^sign^sign

⁽ ⁽

^~⁽^x^~^x^y³²^{−^}^{− ^}^{− ^}^x^x^y³²⁾

⁾ ⁾

^(2.26)

Avec les relations suivant:

Si ^{^}^x1=x₁ alors ^E1=1 sinon E₁=0

Si [ ^x₂=~x₂ et E₁=1 ] alors E₂=1 sinon E₂=0 . D'ailleurs, nous définissions avec les états

états auxiliaires qui sont nécessaire pour concevoir l'observateur à mode glissant étape par étape sont données

:

{

^~^x^~^x³²^{= ^}^{=^}^x^x³²⁺⁺^E^E²¹^C^C²¹^{R λ}^{R λ}²¹^sign^sign(^(~^x^{y−^}²^{−^}^x^y²⁾⁾

) 2.27

(

Conclusion 2.5

Dans ce chapitre nous avons abordé le concept de synchronisation et présenté par la suite le principe de couplage des systèmes chaotiques à savoir le couplage unidirectionnelle et le couplage bidirectionnel. Pour ce cas nous avons présenté quelconque exemples sur l’observateur. Tout d'abord, nous avons expliqué le choix et le principe de fonctionnement de l'observateur à mode glissant étape par étape. Ainsi l’approche est composée de deux parties la première permettant l'approche jusqu'a l'arrivée à la surface de glissement, et la deuxième permet le glissement le long de cette surface. Enfin nous avons donné des exemples applications sur les observateurs du circuit Chua. Dans le chapitre suivant nous allons exploiter ces concepts pour réaliser la transmission sécurisée des données.