2011-2012 AnalyseNum´erique ENSIIE 1 Ann´ee

(1)

ENSIIE 1î`êre Année

Analyse Num´erique

2011-2012

(2)

(3)

Table des mati` eres

1 Background sur les matrices 7

1.1 Exercices . . . 14

1.2 Elements de correction/ remarques . . . 16

2 Conditionnement 29 2.1 Introduction . . . 29

2.2 Conditionnement d’une matrice . . . 29

2.3 Majoration des perturbations . . . 30

2.5 El´ements de correction . . . 34

3 Résolution numérique de systèmes linéaires 41 3.1 Cas des matrices triangulaires . . . 41

3.2 M´ethode de Gauss . . . 41

3.3 Exemples . . . 43

3.3.1 Résumé pour la méthode de Gauss . . . 43

3.3.2 Interpolation par splines cubiques . . . 43

3.3.3 R´esolution d’un syst`eme tridiagonal . . . 44

3.3.4 Equation de diffusion 1D . . . 45

3.4 La m´ethode de Cholesky . . . 46

4 M´ethodes it´eratives 57 4.1 Introduction . . . 57

4.2 Tests d’arrˆet . . . 58

4.3 Convergence . . . 58

4.4 Vitesses de convergence . . . 59

4.5 Les matrices hermitiennes d´efinies positives . . . 60

4.8 Sujet Contrˆole Terminal 2009/2010 . . . 75

5 Résolution numérique d’équations différentielles ordinaires 77 5.1 Quelques problèmes . . . 77

5.1.1 Thermodynamique . . . 77

5.1.2 Dynamique des populations . . . 78 3

(4)

5.1.3 Le probl`eme du pendule . . . 78

5.2 Le probl`eme de Cauchy . . . 78

5.2.1 D´efinition . . . 79

5.2.2 Probl´ematique des solutions num´eriques . . . 79

5.2.3 Solution locale . . . 79

5.3 Premiers exemples : les m´ethodes d’Euler . . . 80

5.4 Int´egration num´erique . . . 80

5.4.1 Principe . . . 81

5.4.2 Formule de quadrature . . . 81

5.4.3 Intervalle . . . 81

5.4.4 Formules composites . . . 81

5.4.5 Formules de Newton-Cotes . . . 81

5.4.6 Degr´e de pr´ecision . . . 82

5.4.7 Formules de Gauss . . . 82

5.5 Sch´emas `a un pas explicites . . . 83

5.6 Consistance, stabilit´e et convergence . . . 85

5.7 Sch´emas implicites . . . 89

5.8 Stabilit´e absolue . . . 90

5.9 M´ethodes multi-pas . . . 90

5.10 M´ethodes multi-pas (compl´ement) . . . 91

5.10.1 M´ethode d’Adams explicite . . . 91

5.10.2 M´ethode d’Adams implicite . . . 92

5.10.3 M´ethode pr´edicteur correcteur . . . 93

5.11 Méthodes géométriques pour les EDO hamiltoniennes . . . 93

5.12 Exercices . . . 95

6 Projets 2010 109 6.1 Cin´etique de l’oxydation du sulfite de cuivre . . . 109

6.2 Syst`eme proie-pr´edateur . . . 111

6.3 Calcul de trajectoires de plan`etes . . . 112

6.4 Diffusion de la chaleur dans une barre conductrice . . . 113

6.4.1 Description . . . 113

6.4.2 Mod´elisation . . . 113

6.4.3 Discr´etisation . . . 114

6.4.4 Equations approch´ees . . . 114

6.5 Récupération des données d’un site internet . . . 116

6.5.1 Analyse en composantes principales . . . 116

6.5.2 Problème à étudier . . . 116

6.6 Classement de pages web . . . 117

6.7 Résolution numérique du problème de la chaˆınette . . . 119

6.7.1 Un peu d’histoire . . . 119

6.7.2 Mod´elisation . . . 119

6.7.3 Discr´etisation . . . 120

6.7.4 R´esolution num´erique . . . 120

6.8 Comptabilit´e nationale . . . 122

6.8.1 Le mod`ele lin´eaire de Leontiev . . . 122

(5)

TABLE DES MATI `ERES 5

6.8.2 Equilibre de la croissance . . . 122

6.9 Mod`eles de trafic routier . . . 124

6.9.1 Objectifs . . . 124

6.9.2 Mod`eles microscopiques . . . 124

(6)

(7)

Chapitre 1

Background sur les matrices

Théorème 1 (Théorème du rang). Pour toute matrice A∈R^N×N, on a rg(A) + dim(KerA) =N

Changement de base

Soit E = (e1, . . . , eN) une base de R^N et E⁰ = (e⁰₁, . . . , e⁰_N) une autre base. La matrice de passage deE `a E⁰ est donn´ee parS=PE→E⁰ = (S_i,j) avec

e⁰_j =

N

X

i=1

Si,jei.

Proposition 1 (Effet d’un changement de base sur les composantes d’un vecteur).

Si PN

i=1xiei =PN

i=1x⁰_ie⁰_i, et x= (x1, . . . , xN)^t, x⁰= (x⁰₁, . . . , x⁰_N)^t, on a x=Sx⁰.

D´emonstration. On ´ecrit

N

X

i=1

x_ie_i=

N

X

i=1

x⁰_ie⁰_i=

N

X

i=1

x⁰_i

N

X

j=1

S_jie_j =

N

X

j=1 N

X

i=1

S_jix⁰_ie_j,

et doncx_j =P_N

i=1S_jix⁰_i.

Proposition 2(Effet d’un changement de base sur les éléments d’une matrice). SiA est une matrice représentant une application linéaire de E dans F dans une base E (base de E) et F (base de F) et si A⁰ est une matrice représentant cette même application dans une base E⁰ (base de E) etF⁰ (base deF), on a

A⁰=T⁻¹AS, avecS =PE→E⁰ etT =PF →F⁰. Pour m´emoriser, on a

AF⁰→E⁰ =PF⁰→FAF →EPE→E⁰. 7

(8)

D´emonstration. On note g l’application correspondante et on a g(e_j) =

N

X

i=1

A_i,jf_i, g(e⁰_j) =

N

X

i=1

A⁰_i,jf_i⁰. On en d´eduit

g(e⁰_j) =

N

X

i=1

Si,jg(ei) =

N

X

i=1

Si,j N

X

k=1

Ak,ifk=

N

X

i=1

Si,j N

X

k=1

Ak,i N

X

`=1

(T⁻¹)`,ke`, et donc

A⁰_`,j =

N

X

i=1

Si,j N

X

k=1

A_k,i(T⁻¹)_`,k =

N

X

k=1

(T⁻¹)_`,k

N

X

i=1

A_k,iSi,j

! .

D´efinition 1.

Matrice transpos´ee : A^t= (a_j,i) Matrice adjointe : A^∗ = (a_j,i) Matrice sym´etrique :A^t=A Matrice hermitienne : A^∗ =A Proposition 3. On a

(AB)^t=B^tA^t, (AB)^∗ =B^∗A^∗, (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹, (A^∗)⁻¹ = (A⁻¹)^∗, (A^t)⁻¹= (A⁻¹)^t. Lemme 1. SoientL⁽¹⁾ etL⁽²⁾deux matrices d’ordreN triangulaires inf´erieures. AlorsL⁽³⁾= L⁽¹⁾L⁽²⁾ est triangulaire inf´erieure et `⁽³⁾_i,i =`⁽¹⁾_i,i`⁽²⁾_i,i.

D´emonstration. Voir exercices.

Lemme 2. Soit L une matrice carrée régulière (i.e. inversible) et triangulaire inférieure.

Alors L⁻¹ est aussi triangulaire inf´erieure et

`⁻¹_i,i = 1

`_i,i. D´emonstration. Voir exercices.

Proposition 4. Soit A une matrice carrée triangulaire par blocs (les blocs diagonaux A_i,i sont supposés être carrés). On a

det(A) =

p

Y

i=1

det(Ai,i).

D´efinition 2. Une matrice bande est une matrice telle queai,j = 0 pourj < i−cetj > i+c; cest appel´e demi-largeur de bande.

Pourc= 1, on a une matrice tridiagonale ; pourc= 2, on a une matrice pentadiagonale.

Proposition 5. Soit A une matrice rectangulaire (M, N). Alors pour tout x ∈ K^N et y ∈ K^M, on a

(Ax|y) = (x|A^∗y).

(9)

9 D´emonstration. Voir exercices.

Th´eor`eme 2. Soit A une matrice rectangulaire (M, N). Alors KerA^∗ = (ImA)^⊥, ImA^∗= (KerA)^⊥.

Théorème 3(Orthogonalisation de Gram-Schmidt). A partir d’une suite de vecteurs linéairement indépendants de K^N (f₁, f₂, . . . , f_k), on peut construire une suite de vecteurs (p₁, . . . , p_k) 2à 2 orthogonaux tels que

V ect(f1, . . . , fj) =V ect(p1, . . . , pj), j= 1, . . . , k.

Lemme 3. Une matrice carrée Ahermitienne est telle que(Ax|x) est réel pour toutx∈C^N. Définition 3. Une matrice hermitienne est définie positive si pour tout x∈C^N\ {0}, on a

(Ax|x)>0.

Une matrice hermitienne est semi-d´efinie positive si pour tout x∈C^N \ {0}, on a (Ax|x)≥0.

Soit A une matrice rectangulaire de format (M, N). Alors A^∗A est une matrice carrée d’ordre N qui est hermitienne. Elle est semi-définie positive. Si le rang de A vaut N alors A^∗A est définie positive.

Proposition 6. Les sous-matrices principales d’une matrice hermitienne et définie positive sont hermitiennes et définies positives. Les éléments diagonaux deA sont strictement positifs.

Définition 4. Une matrice Q de format (M, N) avec M ≥N est unitaire si les colonnes de Q sont des vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme unité, i.e. Q^∗Q=I.

Lemme 4. Une matrice unitaire v´erifie kQxk₂ =kxk₂ D´emonstration. Voir exercices.

Lemme 5. Le produit de deux matrices unitaires est unitaire.

Une matrice unitaire `a coefficients r´eels est dite orthogonale.

Proposition 7. Soient A matrice de format (M, N) et B de format (N, M), avec M > N. Alors

det(λI−BA) =λ^M−Ndet(λI−AB).

Les valeurs propres non nulles de deux matrices AB et BAsont les mˆemes.

D´emonstration. On part de I_N 0

−B µIM

µI_N A B µIM

=

µI_N A

0 µ²IM−BA

et

µI_N −A

0 I_M

µI_N A B µI_M

=

µ²I_N −AB 0

B µI_M

(10)

Les valeurs propres de A^∗ sont les conjugu´ees des valeurs propres deA.

Les valeurs propres de A^t sont les mˆemes que les valeurs propres de A.

Théorème 4. Soit ui un vecteur propre de A correspondant à λi. Soit vj un vecteur propre gauche correspondant à λj. Alors, si λi 6=λj, on a

(u_i|v_j) = 0

En particulier si A est hermitienne, les vecteurs propres correspondant `a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Proposition 8. Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants.

Théorème 5. Soit A une matrice carrée d’ordreN.

Aest diagonalisable ssiApossèdeN vecteurs propresu_i linéairement indépendants. Alors A peut se factoriser sous la forme

A=SDS⁻¹,

où D est la matrice diagonale formée des valeurs propres. La i-ième colonne de S est un vecteur propre u_i associé à la valeur propre λ_i. La j-ième colonne de (S⁻¹)^∗ est un vecteur propre à gauche vj associé à la valeur propreλj.

Corollaire 1. Si toutes les valeurs propres de A sont distinctes, alorsA est diagonalisable.

D´efinition 5. Un bloc de JordanJ_k(λ) d’ordre kest une matrice d’ordre kavec des 1 sur la sur-diagonale et λ sur la diagonale.

Définition 6. On appelle matrice de Jordan, une matrice diagonale par blocs, où chaque bloc est un bloc de Jordan J_k_i(λ_i). Lesλ_i ne sont pas nécessairement distincts.

Théorème 6. Toute matrice est semblable à une matrice de Jordan.

Théorème 7. Une condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices diagonalisables commutent est qu’elles aient les mêmes vecteurs propres.

D´emonstration. Pour un sens, voir exercices.

Théorème 8 (Théorème de Schur). Toute matrice carrée A peut s’écrire A=U T U^∗,

avecU unitaire et T triangulaire sup´erieure.

D´efinition 7. On dit qu’une matrice est normale si A^∗A=AA^∗

Th´eor`eme 9. A est une matrice normale ssi il existe une matrice U unitaire telle que A=U DU^∗

D est la matrice diagonale form´ee des valeurs propres. Ainsi, une matrice normale est diagonalisable et les vecteurs propres sont orthogonaux.

(11)

11 Corollaire 2. Une matrice hermitienne est diagonalisable. Ses valeurs propres sont r´eelles et ses vecteurs propres sont orthogonaux.

Corollaire 3. Une matrice symétrique et réelle est diagonalisable. Ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres sont orthogonaux.

Corollaire 4. Une matrice unitaire est diagonalisable. Ses valeurs propres ont pour module 1 et ses vecteurs propres sont orthogonaux.

Théorème 10. Une matrice hermitienne (ou symétrique réelle) est définie positive ssi ses valeurs propres sont strictement positives.

Théorème 11. Une matrice hermitienne (ou symétrique réelle) est définie positive ssi ses mineurs principaux sont strictement positifs.

Proposition 9. Une matrice anti-hermitienne est diagonalisable. Ses valeurs propres sont imaginaires pures et les vecteurs propres sont orthogonaux.

Définition 8. Soit A une matrice rectangulaire de format (M, N). On appelle valeurs sin- gulières (µ_i) de A les racines carrées positives ou nulles des valeurs propres de la matrice A^∗A d’ordre N.

Théorème 12. Soit A une matrice rectangulaire de format (M, N). Il existe deux matrices carrées unitaires U et V d’ordre respectivementM etN telles que

U^∗AV = Σ,

o`u Σ est une matrice rectangulaire de format (M, N), avec σ_i,i = µ_i, i = 1, . . . , N et les autres termes sont nuls. Lesµi sont les valeurs singuli`eres de la matrice A.

Corollaire 5. Le rang de A est ´egal au nombre de valeurs singuli`eres non nulles.

Corollaire 6. SoitA=UΣV^∗ la d´ecomposition en valeurs singuli`eres de A. Appelons ui les colonnes deU et vi les colonnes de V. Alors

A=

r

X

i=1

µ_iu_iv_i^∗,

A^∗A=

r

X

i=1

µ²_iuiv^∗_i. Normes

D´efinition 9. D´efinition de la norme

Une norme est une application de E K-espace vectoriel dansR⁺ qui v´erifie 1. kxk= 0⇔x= 0n

2. kλxk=|λ|kxk pour tout λ∈K etx∈E, 3. kx+yk ≤ kxk+kyk pour tout x, y∈E.

Théorème 13. DansC^N toutes les normes sont équivalentes

(12)

D´efinition 10. Norme matricielle induite

kAk=max_kxk=1kAxk Lemme 6. Pour toute norme matricielle induite, on a

kAxk ≤ kAkkxk

Th´eor`eme 14. Une norme matricielle induite est bien une norme pour les matrices Remarque 1. Pour toute norme induite par une norme vectorielle, on a

kIk= 1.

Proposition 10. Pour deux matrices A et B de format (M, N) et (N, P), on a kABk ≤ kAkkBk

D´efinition 11. On appelle rayon spectral de A, la quantit´e ρ(A) = max

i=1,...,N|λ_i(A)|.

A est une matrice de format (N, N) etλi(A), i= 1, . . . , N sont les valeurs propres de A.

Th´eor`eme 15. Pour quelimk→∞A^k= 0, il faut et suffit que ρ(A)<1.

Démonstration. SiA est une matrice élémentaire de Jordan Jp d’ordreNp. On a J_p =λI_N_p+E.

On peut v´erifier que Eⁿ= 0, pourn≥Np. On a alors pour k≥Np

J_p^k=

Np−1

X

i=0

C_k”λ^k−i_p Eⁱ Pour ifix´e et k→ ∞, on a

k→∞lim |C_kⁱλ^k−i_p |= 0,

si |λ_p|<1 et vaut∞ sinon. On voit alors queJ_p^k tend vers 0 ssi|λ_p|<1.

Dans le cas général, on écritA^k =SJ^kS⁻¹. Théorème 16. pour toute norme matricielle, on a

k→∞lim kA^kk^1/k =ρ(A)

D´emonstration. On a ρ^k(A) =ρ(A^k)≤ kA^kk (cf exercices), ce qui donne ρ(A)≤ kA^kk^1/k.

Soit > 0. On consid`ere la matrice suivante A() = _ρ(A)+¹ A, dont le rayon spectral est ρ(A()) = _ρ(A)+^ρ(A) <1. Donc limk→∞A^k() = 0. Donc il existek() tel que pour toutk≥k(), on ait

kA^k()k ≤1.

Or, commekA^k()k= _(ρ(A)+)^kA^k^k _k, on obtient

kA^kk^1/k≤ρ(A) +

(13)

13 Théorème 17. La série I+B+B²+. . . converge vers (I−B)⁻¹ ssi ρ(B)<1.

D´emonstration. Siρ(B)<1, 1 n’est pas valeur propre deB doncI−B est inversible. Posons A_k=I+B+. . . B^k.

On a alors

BA_k=B+· · ·+B^k+1. En prenant la diff´erence, on obtient

(I −B)A_k=I−B^k+1, soitA_k= (I−B)⁻¹(I−B^k+1), puis

kA_k−(I−B)⁻¹k ≤ k(I−B)⁻¹kkB^k+1k, qui tend vers 0 et donc

k→∞lim Ak = (I−B)⁻¹

Reciproquement, si limk→∞A_k existe, on a limk→∞B^k= 0 et doncρ(B)<1.

(14)

1.1 Exercices

Exercice 1. Soit E ⊆R⁴ le sous-espace vectoriel engendr´e par les colonnes de la matrice

B =







1 2 0 1

2 3 1 0

−1 3 3 1

−2 −1 1 0







Calculer la dimension de E.

Exercice 2. Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de R^p d’´equation







a11x1 + · · · + a1pxp = 0 ... + · · · + ... = 0 an1x1 + · · · + anpxp = 0 en fonction du rang r de la matrice A= (ai,j)1≤i≤n

1≤j≤p

.

Exercice 3. Soit (e1, e2, e3) une base de R³. Soit f ∈ L(R³) telle que f(e₁) =e₁+e₂+e₃,

f(e2) =e2+ 5e3, f(e₃) = 2e₃.

Montrer que f est inversible et calculer f⁻¹(e₁), f⁻¹(e₂) et f⁻¹(e₃) en fonction de e₁, e₂ et e₃.

Exercice 4. 1) Prouver que u1 = (0,1,2)^t, u2 = (1,3,5)^t et u3 = (5,4,6)^t forment une base deR³ et calculer les coordonn´ees de u= (7,4,7)^t dans cette base.

2) On consid`ere l’application lin´eaire

f : R⁴ −→ R⁴

(x, y, z, t)^t −→ (x⁰, y⁰, z⁰, t⁰)^t

o`u x⁰=x+ 2y+ 7z+ 4t, y⁰ =x−y+z+t, z⁰ =−x+y−z−t et t⁰ =x+ 3z+ 2t.

D´eterminer une base deKerf et une base de Imf.

3) Pour chacune des matrices R et S, calculer son inverse ou montrer qu’elle n’est pas inversible.

R=





0 −1 2

1 0 3

−2 −3 0



 et S=





1 2 3 1 3 2 2 3 8



. Exercice 5. Soit une matrice A= (ai,j)1≤i,j≤n v´erifiant

∀i∈ {1, ..., n}, |a_i,i|>

n

X

j=1,j6=i

|a_i,j|

(matrice `a diagonale strictement dominante). Montrer que A est inversible.

(15)

1.1. EXERCICES 15 Exercice 6. Soit A la matrice :

A=





2 0 4

3 −4 12 1 −2 5



. Calculer Aⁿ, pour tout n∈N.

Exercice 7. [Rappels fondamentaux d’alg`ebre lin´eaire]

(a) SoitA une matrice sym´etrique. Montrer que A hermitienne ≡ A r´eelle.

(b) Montrer que(Ax|y) = (x|A^∗y) dans C^N et (Ax|y) = (x|A^ty) dans R^N.

(c) Montrer que si A est définie positive alors ses éléments diagonaux sont strictement positifs.

(d) Montrer que si A est une matrice unitaire ou orthogonale alors kAxk₂ = kxk₂ et

|det(A)|= 1.

(e) Montrer que deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique (f ) Montrer que si A est hermitienne alors ses valeurs propres sont toute réelles

(g) Montrer que toute matrice symétrique réelle est définie positive ssi toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

(h) Soient A et B deux matrices diagonalisables. Montrer que si elles ont les mˆemes vecteurs propres, alors elles commutent entre elles. Trouver un contre exemple de deux matrices ne commutant pas.

Exercice 8. [Normes vectorielles et normes matricielles]

(a) Montrer quekxk₁=P_N

i=1|x_i|, kxk_∞= max_i=1,...,N|x_i|et kxk₂ = (P_N

i=1|x_i|²)^1/2 sont des normes surR^N.

(b) Montrer l’´equivalence des normes i. kxk_∞≤ kxk₁≤Nkxk_∞

ii. kxk_∞≤ kxk₂≤√

Nkxk_∞ iii. kxk₂ ≤ kxk₁≤√

Nkxk₂

(c) Soit A une matrice carr´ee A= (ai,j) Montrer que i. kAk₁= max_j=1,...,NPN

i=1|a_i,j| ii. kAk_∞= max_i=1,...,NP_N

j=1|a_i,j|

iii. Soit B r´eelle et sym´etrique. Montrer que λmin(B) ≤ ^(Bx|x)_kxk2 2

≤ λmax(B) (quotient de Rayleigh). En d´eduire quekAk₂ =p

ρ(A^tA) (ρ est le rayon spectral) iv. Montrer queρ(A)≤ kAk pour toute norme matricielle k · k.

Exercice 9 (A propos des matrices triangulaires). Dans tout cet exercice, A d´esigne une matrice triangulaire inf´erieure.

(a) Quelles sont les valeurs propres deA et à quelle condition A est-elle inversible ? (b) Pour une matrice A inversible de taille N, résoudre AX =b. En déduire alors que si b_i= 0 pour i < k et b_k6= 0 alorsx_i = 0 pour i < k et x_k6= 0

(c) Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires inf´erieures est stable par produit et par inverse.

(16)

1.2 Elements de correction/ remarques

Exercice 1

Si le déterminant deB vaut 0, le rang deB qui est égal à la dimension ddu sous espace engendré par les colonnes est de dimension au plus 3. Maintenant, si on enlève une colonne et une ligne (i.e. on considère un mineur, mais pas nécessairement un mineur principal) et que l’on trouve donc un déterminant non nul, on aurad≥2.

Dans ce cas, on a det(B) = |B| (on note le determinant comme cela parfois) |B|= 0, si on le calcule (en développant par rapport à la dernière colonne, qui a le plus de zéros par exemple).

|B|=

2 3 1

−1 3 3

−2 −1 1

+

1 2 0

2 3 1

−2 −1 1

= 4−4 = 0.

et

2 3 1

−1 3 3

−2 −1 1

= 4

doncd= 3. Remarquons, qu’il y a ici deux mineurs d’ordre 3 qui sont non nuls.

Est-ce qu’il ne suffirait pas de voir certains mineurs ? (si on doit v´erifier pour tous les mineurs, cela peut ˆetre long !) par exemple les mineurs diagonaux ? A voir...

Exercice 2

On utilise le th´eor`eme du rang. Ce que l’on cherche, c’estdim(Ker(A)) (la dimension du noyau)

On rappelle queKerA={x, Ax= 0}.

Donc on sait que

dim(E) =dim(Ker(A)) +dim(Im(A)) E c’est l’espace de d´epart.Im(A), c’est l’image deA.

On a Im(A) ={Ax}.

On a par d´efinition dim(Im(A)) =rang(A).

Donc au final, on ap=dim(Ker(A)) +rang(A), i.e.

dim(Ker(A)) =p−rang(A).

Exercice 3

On regarde la matrice associée à l’application linéaire

A=





1 0 0 1 1 0 1 5 2





Cette matrice est inversible, car son determinant est non nul ; il est ´egal au produit des termes diagonaux, comme la matrice est triangulaire.

On l’inverse facilement l’inverse qui est aussi une application linéaire en résolvant le système triangulaire

e₁ =g₁+g₂+g₃, e₂ =g₂+ 5g₃, e3 = 2g3,

(17)

1.2. ELEMENTS DE CORRECTION/ REMARQUES 17 avec gj =f⁻¹(ej), j = 1,2,3. On remarquera que l’on est en train de montrer que l’inverse d’une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure et que pour trouver son inverse, il suffit de résoudre un système triangulaire supérieur ( !) On trouve donc

A⁻¹=





1 0 0

−1 1 0

2 −5/2 1/2





puisqueg₃ = 1/2e₃,g₂ =e₂−5g₃ =e₂−5/2e₃ etg₁=e₁−g₂−g₃ =e₁−e₂+ 5/2e₃−1/2e₃= e1−e2+ 2e3.

Exercice 4

1.On consid`ere la matrice associ´ee

A=





0 1 5 1 3 4 2 5 6





On v´erifie que le d´eterminant n’est pas nul. On cherche ensuite x= (x₁, x₂, x₃)^t



 7 4 7



=x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃=Ax

On résoud ensuite le système linéaire ; attention le premier pivot est nul. On fait donc un

´echange de ligne, par exempleL2↔L1





1 3 4 0 1 5 2 5 6







 4 7 7





puis L₃ ←L₃−2L₁





1 3 4

0 1 5

0 −1 −2







 4 7

−1





enfin L₃←L₃+L₂





1 3 4 0 1 5 0 0 3







 4 7 6





On résoud ensuite par remontée. On trouve (le résultat se vérifie en prenant la solution) x1= 5, x2=−3, x₃= 2,

ce qui donne

u= 5u₁−3u₂+ 2u₃. 2.On consid`ere la matrice associ´ee

A=







1 2 7 4

1 −1 1 1

−1 1 −1 −1

1 0 3 2







(18)

A priori, on peut déjà calculer le déterminant, pour voir si la matrice est inversible, mais cela est assez long. En fait on peut commencer à faire une factorisation de Gauss (on parle parfois de factorisation de gauss incomplète).

On fait L2 ←L2−L1,L3 ←L3+L1,L4 ←L4−L1, ce qui donne

L⁽¹⁾A=







1 2 7 4

0 −3 −6 −3

0 3 6 3

0 −2 −4 −2







et donc (cf cours sur méthode de gauss ; interprétation opération sur les lignes et multiplication

`

a gauche par une matrice L⁽¹⁾ et inverse deL⁽¹⁾)

A=







1 0 0 0

1 1 0 0

−1 0 1 0

1 0 0 1













1 2 7 4

0 −3 −6 −3

0 3 6 3

0 −2 −4 −2







On voit que cette matrice est de rang 2 : les lignes sont générées par les vecteurs indépendants (1,2,7,4), (0,1,2,1).

Doncdim(Ker(A)) =rang(A) = 2 (tout ceci sans calculer le d´eterminant, ou des mineurs...) Pour une base deIm(f), on peut prendre

(1,1,−1,1)^t, (4,1,−1,2)^t.

(ces vecteur sont ind´ependants car non colin´eaires et obteuns en prenant respectivement x= 1, y=z=t= 0 etx=y=z= 0, t= 1 donc sont bien dans l’image (Im(f)).

Pour le noyau (finalement, on a par eu besoin d’expliciter (L⁽¹⁾)⁻¹, mais cela pourra peut- ˆetre servir ailleurs...), on cherchex= (x1, x2, x3, x4)^t tel queAx= (0,0,0,0)^t. On obtient en utilisant les op´erations sur les lignes que l’on vient de faire

x2+ 2x3+x4 = 0, x1+ 2x2+ 7x3+ 4x4 = 0 En prenantx₁ = 1, x₂= 0, on obtient

2x3+x4= 0, 1 + 7x3+ 4x4= 0 soit

8x3+ 4x4 = 0, 1 + 7x3+ 4x4= 0,

puis x3 = 1 et x4 = −2 ; ce qui donne le vecteur (1,0,1,−2)^t. D’autre part, si on prend x₁= 0, x₂ = 1, on obtient

4 + 8x3+ 4x4= 0, 2 + 7x3+ 4x4= 0, soit

x3=−2, x₄=−1−2x3 = 3

ce qui donne le vecteur (0,1,−2,3)^t; (ces vecteurs v´erifient bien les ´equations).

(19)

1.2. ELEMENTS DE CORRECTION/ REMARQUES 19 3.On peut ´ecrire

−x₂+ 2x₃=b₁ x1−3x3=b2

−2x1−3x2=b3

on fait L2 ↔L1

x₁−3x₃=b₂

−x₂+ 2x₃=b₁

−2x1−3x2=b3

puis L₃ ←L₃+ 2L₁

x1−3x3 =b2

−x₂+ 2x₃ =b₁

−3x₂−6x₃=b₃+ 2b₂ puis L₃ ←L₃+ 3L₂

x1−3x3 =b2

−x2+ 2x3 =b1

0 =b₃+ 2b₂+ 3b₁

Cela implique donc que la première matrice n’est pas inversible (on remarque aussi que par cette méthode on trouve la relation que doit vérifier le second membre (b₁, b₂, b₃) pour que l’on puisse résoudre le système).

Pour la deuxi`eme matrice, on a

x1+ 2x2+ 3x3 =b1

x1+ 3x2+ 2x3 =b2

2x1+ 3x2+ 8x3 =b3

On fait L2 ←L2−L1 etL3 ←L3−2L1, ce qui donne x₁+ 2x₂+ 3x₃ =b₁ x2−x3 =b2−b1

−x2+ 2x3=b3−2b1

puis L3 ←L3+L2

x₁+ 2x₂+ 3x₃ =b₁ x2−x3 =b2−b1

x3=b3−3b1+b2

(20)

On trouve

x₃ =−3b₁+b₂+b₃

x₂ =x₃+b₂−b₁ =−4b₁+ 2b₂+b₃

x₁ =−2x₂−3x₃+b₁ = (1 + 8 + 9)b₁+ (−4−3)b₂+ (−2−3)b₃ = 18b₁−7b₂−5b₃

La matrice inverse est donc





18 −7 −5

−4 2 1

−3 1 1





Exercice 5 On cherchex tel que Ax= 0 ; pour montrer que A est inversible, il suffit de montrer quex= 0. On a, comme Ax= 0,

n

X

j=1

a_i,jx_j = 0,

pour touti= 1, . . . , n, ce qui donne

ai,ixi=−

n

X

j=1, j6=i

ai,jxj, puis

|a_i,i||x_i|=| −

n

X

j=1, j6=i

a_i,jx_j| ≤

n

X

j=1, j6=i

|a_i,j||x_j|,

pour touti= 1, . . . , n. Prenons maintenant itel que|x_i|= maxj=1,...,n|x_j|. On a alors

|a_i,i||x_i| ≤

n

X

j=1, j6=i

|a_i,j||x_i|,

puis

|x_i|



|a_i,i| −

n

X

j=1, j6=i

|a_i,j|



≤0 or|a_i,i| −Pn

j=1, j6=i|a_i,j|>0, donc|x_i|= max_j=1,...,n|x_j|= 0. Cela veut dire quex= 0.

Exercice 6 Pour calculer Aⁿ, on cherche `a diagonaliser A (si c’est possible ; sinon, on cherche une forme de Jordan).

On cherche les valeurs propres deA. Pour cela, on peut calculer le polynˆome caract´erististique qui vaut

P(λ) =det(A−λId) =−2λ+ 3λ²−λ³ =−λ(λ−1)(λ−2).

Donc les valeurs propres qui sont les racines du polynˆome charact´eristique valent 0,1 et 2.

On peut donc ´ecrire

Aⁿ=P





0 0 0

0 1 0

0 0 2ⁿ



P⁻¹.

(21)

1.2. ELEMENTS DE CORRECTION/ REMARQUES 21 Effectivement On aA=P∆P⁻¹, avec ∆ matrice diagonale form´ee par les valeurs propres de A. On a ensuite

Aⁿ= (P∆P⁻¹)ⁿ=P∆P⁻¹P∆P⁻¹. . . P∆P⁻¹ =P∆ⁿP⁻¹.

Il reste `a trouver P. On cherche d’abord un vecteur e1 tel que Ae1 = 0. Notons e1 = (x1, x2, x3)^t. On a

2x₁+ 4x₃ = 0 3x₁−4x₂+ 12x₃ = 0 x1−2x2+ 5x3 = 0 On fait L₂ ←L₂−3/2L₁ et L₃←L₃−1/2L₁, ce qui donne

2x1+ 4x3 = 0

−4x₂+ 6x₃ = 0

−2x₂+ 3x₃ = 0

On peut prendre x₃ = 2, x₂= 3 etx₁=−4 et ainsie₁ = (−4,3,2)^t convient.

On cherche ensuite un vecteure2 tel queAe2 =e2. Notonse2 = (x1, x2, x3)^t. On a x₁+ 4x₃ = 0

3x1−5x2+ 12x3 = 0 x1−2x2+ 4x3= 0.

On fait L₂ ←L₂−3L₁ etL₃ ←L₃−L₁, ce qui donne x₁+ 4x₃= 0

−5x₂= 0

−2x₂= 0 On peut donc prendre e₂ = (4,0,−1).

On cherche enfin un vecteure3 tel queAe3= 2e3. Notonse3 = (x1, x2, x3)^t. On a 4x3 = 0

3x1−6x2+ 12x3 = 0 x₁−2x₂+ 3x₃= 0.

On peut donc prendre e3 = (2,1,0)^t. La matrice de passageP vaut donc P =





−4 4 2

3 0 1

2 −1 0





On peut alors calculer l’inverse de P P⁻¹=





−1/2 1 −2

−1 2 −5

3/2 −2 6





(22)

puis calculerAⁿ=P∆ⁿP⁻¹

Aⁿ=





3·2ⁿ−4 −4·2ⁿ+ 8 12·2ⁿ−20 3·2ⁿ⁻¹ −2ⁿ⁺¹ 6·2ⁿ

1 −2 5



. Exercice 7

(a)A sym´etrique :A=A^t

A hermitienne :A=A^t. Donc si l’on suppose Asym´etrique, on a A=A^t⇔A^t=A^t⇔A=A⇔A∈ M_n(R).

En effet, un nombre est réel ssi il est égal à son conjugué (si z=a+ib, ¯z=a−ib) (b) Dans C^N

(Ax|y) =X

i,j

a_i,jx_jy_i=X

j

x_j(X

i

a_i,jy_i) = (x, A^ty).

(c) A définie positive : (Ax|x) > 0 pour x 6= 0. Pour x = ei (où ei est le vecteur ei = (0, . . . ,1,0, . . . ,0), avec le 1 à la i-ème place) on a

(Ax|x) = (Ae_i|e_i) = (

N

X

j=1

aj,iej|e_i) =

N

X

j=1

aj,i(ej|e_i) =ai,i>0,

puisque (ej)j=1,...,N est une base orthonormale, c’est-`a-dire : (ei|e_i) = 1 et (ei|e_j) = 0, sii6=j.

(d)A matrice orthogonaleAA^t=I_n

kAxk²₂= (Ax|Ax) = (A^tAx, x) =kxk²₂.

On a aussi (on rappelle que le d´eterminant d’un produit de matrices est le produit des d´eterminants)

det(I_n) = 1 =det(A^tA) =det(A)det(A^t) =det(A)².

Cela reste valable siAest unitaire (on remplace la transposition par l’adjoint et on utilise la même propriété (b)).

(e) P et R sont semblables si P =Q⁻¹RQ. Le polynôme caractéristique de R est donné par

det(λ−R) =det(Q⁻¹(λ−R)Q).

(f)A hermitienne (Ax|x) =λ(x|x) = (x|A^tx) = (x|λx) =λ(x|x).

(g) SiA def. positive, soit λvaleur propre etevecteur propre associ´e. Cel veut dire que Ae=λe,

ete6= 0. On a

(Ae|e) = (λe|e) =λ(e|e)>0,

en utilisant la linéarité du produit scalaire par rapport à son premier argument ; donc λ >0, puisque (e|e)>0 (en effet e6= 0, don (e|e)>0).

(23)

1.2. ELEMENTS DE CORRECTION/ REMARQUES 23 Réciproquement, comme A est symétrique réelle, elle diagonalise dans une base ortho- normée. On admet ce résultat fort utile et valable pour toute matrice normale (i.e. qui com- mute avec son adjoint).

Dans le cas des matrices symétriques réelles, on sait de plus que les valeurs propres sont réelles.

En effet, sie est vecteur propre deA associ´e `a la valeur propre λ, on a

Ae=λe, (Ae|e) =λ(e|e), (Ae|e) = (e|A^te) = (e|Ae) = (e|λe) = ¯λ(e|e), et donc λ= ¯λ.

Dire que A diagonalise dans une base orthonorm´ee veut dire qu’il existeN vecteurs orthogonaux f_j, j= 1, . . . , N tels que

Afj =λjfj.

Notons qu’une famille de vecteurs orthogonaux est toujours libre. N ´etant la dimension de l’espace (la matrice Aest de dimensionN), les vecteurs propres forment une base deR^N.

On suppose que les valeurs propres sont strictement positives. On peut écrirex=P x_if_i, avec fi vecteur propre et xi scalaire (xi est un nombre réel ou complexe ; réel dans ce cas précis). On a alors

(Ax|x) = (X

i

λixifi|X

j

xjfj) =X

i

λix²_i >0, pour x6= 0, car les f_j sont orthogonaux.

D´etaillons un peu : on a (X

i

λixifi|X

j

xjfj) =X

i,j

λixix¯j(fi|f_j) =X

i

λi|x_i|².

La quantité de droite est positive. Supposons qu’elle soit nulle, alors tous les termes qui la composent sont nuls (puisque chacun des termes est positifs et la somme est nulle) et donc λ_i|x_i|² = 0 ; commeλ_i >0, on en déduit que|x_i|² = 0 et doncx_i = 0. Cela est valable pour toutes les valeurs de i, doncx = 0. Or x est un vecteur propre, donc x n’est pas nul. Cela veut donc dire que la quantité de droite est strictement positive.

(h) D_A = Q⁻¹AQ, D_B = Q⁻¹BQ et comme D_AD_B = D_BD_A (les matrices diagonales commutent : la matrice produit étant formée de la diagonale des produits des termes diagonaux de chacune des matrices et dansR ouC, on aab=ba), on en déduit queAB=BA.

En effet, on a

DADB=Q⁻¹AQQ⁻¹BQ=Q⁻¹ABQ, DBDA=Q⁻¹BQQ⁻¹AQ=Q⁻¹BAQ et doncQ⁻¹ABQ=Q⁻¹BAQ, puis AB=BA.

PrenonsA=

0 1 1 0

etB=

1 0 0 2

Lorsque l’on calculeBA, on multiplie les lignes de la matriceApar les termes diagonaux de la matrice diagonaleB(la multiplication à gauche correspond à une opération sur les lignes), doncAB=

0 1 2 0

Lorsque l’on calculeAB, on multiplie les colonnes par les termes diagonaux, doncAB=

0 2 1 0

. On a bien AB6=BA.

(24)

Exercice 8

(a) Il faut v´erifier `a chaque fois kxk ≥ 0 ; kxk = 0 ⇔ x = 0 ; kx+yk ≤ kxk+kyk et kλxk=|λ|kxk.

Pour la norme 1, on utilise l’in´egalit´e triangulaire dansR(ou C)

|x_i+yi| ≤ |x_i|+|y_i|

Une somme de termes positifs est nulle ssi chacun des termes est nul.

Pour la norme infinie, on a

|x_i+y_i| ≤ |x_i|+|y_i| ≤ kxk∞+kyk∞

donc

kx+yk_∞≤ kxk_∞+kyk_∞

Si le maximum de termes positifs est nul, chacun des termes est nul.

Pour la norme 2, on utilise l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz

|(x, y)| ≤ kxkkyk,

qui est valable pour toute norme qui previent d’un produit scalaire (ce qui n’est pas le cas de la norme 1 ou de la norme∞)

On a alors

kx+yk² =kxk²+kyk²+ 2Re(x|y)≤ kxk²+kyk²+ 2kxkkyk= (kxk+kyk)², et donc

kx+yk ≤ kxk+kyk.

(b.i.) Soit il’entier tel que|x_i|=kxk_∞ On a kxk_∞=|x_i| ≤

N

X

j=1

|x_j| ≤

N

X

j=1

|x_i|=N|x_i|=Nkxk_∞, ce qui donne le r´esultat.

(b.ii.)Soit il’entier tel que|x_i|=kxk_∞ On a kxk²_∞=|x_i|² ≤

N

X

j=1

|x_j|²≤

N

X

j=1

|x_i|²=N|x_i|² =Nkxk²_∞, (b.iii.) Soitil’entier tel que|x_i|=kxk∞On a

kxk²₂ =

N

X

j=1

|x_j|² ≤

N

X

j=1 N

X

k=1

|x_j||x_k|=





N

X

j=1

|x_j|





2

On a aussi 2|x_j||x_k| ≤ |x_j|²+|x_k|², ce qui donne





N

X

j=1

|x_j|





2

=

N

X

j=1 N

X

k=1

|x_j||x_k| ≤ 1 2

N

X

j,k=1

(|x_j|²+|x_k|²) =N

N

X

j=1

|x_j|²,

(25)

1.2. ELEMENTS DE CORRECTION/ REMARQUES 25 et on obtient le r´esultat.

(c.i.) Rappelons quekAk= max_kxk=1kAxk.

Soit xtel quekxk₁ = 1. On a kAxk₁ =

N

X

j=1

|(Ax)_j|=

N

X

j=1

|

N

X

k=1

ajkxk| ≤

N

X

j=1 N

X

k=1

|a_jk|x_k|=

N

X

k=1





N

X

j=1

|a_j,k|



|x_k|

Soit maintenant`tel que

N

X

j=1

|a_j,`|= max

k=1,...,N N

X

j=1

|a_j,k|.

On obtient donc

kAxk₁ ≤

N

X

k=1





N

X

j=1

|a_j,`|



|x_k|=

N

X

j=1

|a_j,`|

N

X

k=1

|x_k|=

N

X

j=1

|a_j,`|

Soit maintenantx= (x₁, . . . , x_N)^t, avec x_` = 1 etx_j = 0, si j6=`. On a bien kxk₁= 1 et kAxk₁ =

N

X

j=1

|

N

X

k=1

a_jkx_k|=

N

X

j=1

|a_j,`|.

(c.ii.)Soit x et`tels que kxk∞=|x_`|= 1. On a

|(Ax)_j|=|

N

X

k=1

ajkxk| ≤

N

X

k=1

|a_jk||x_k| ≤

N

X

k=1

|a_jk||x_`|=

N

X

k=1

|a_jk| ≤

N

X

k=1

|a_pk|,

avecPN

k=1|a_pk|= maxj=1,...,NPN

k=1|a_jk|.

On en d´eduit donc que

kAxk_∞≤

N

X

k=1

|a_pk|.

Soit maintenantx= (x1, . . . , xN)^t, avecxj = _|a^a^p,j

p,j|, siap,j 6= 0 et xj = 1, si ap,j = 0. On a bienkxk_∞= 1 et

kAxk_∞= max

j |

N

X

k=1, ap,k6=0

a_j,k ap,k

|a_p,k|| ≥ |

N

X

k=1, ap,k6=0

a_p,k ap,k

|a_p,k||=

N

X

k=1

|a_pk|.

c.iii.B est symétrique réelle ; elle fait donc partie des matrices normales. Elle diagonalise donc dans une base orthonormée. Les valeurs propres sont aussi réelles. Cela veut dire qu’il existe une base e₁, . . . , e_N de vecteurs propres de R^N orthogonaux. On a

Aej =λjej, λj ∈R, (ej|e_k) = 0,6=k, (ej|e_j) = 1.

Soit maintenant x ∈ R^N, on a x = P_N

j=1x_je_j (x se d´eveloppe dans la base des vecteurs e₁, . . . , e_N). Donc

Bx=

N

X

j=1

x_jBe_j =

N

X

j=1

λ_jx_je_j,

(26)

puis

(Bx|x) = (

N

X

j=1

λjxjej|

N

X

k=1

xkek) =

N

X

j,k=1

λjxjxk(ej|e_k) =

N

X

j=1

λj|x_j|². On aussi

(x|x) =

N

X

j=1

|x_j|². On obtient donc

λmin(x|x)≤(Bx|x)≤λmax(x|x), ce qui donne le r´esultat.

Soit A une matrice réelle ; A^tA est symétrique réelle (raisonnement identique pour une matricce complexe en considérantA^∗A).

On a donc pour xtel quekxk₂ = 1

λmin(A^tA)≤(A^tAx|x) = (Ax|Ax)≤λmax(A^tA), On en d´eduit quekAk²₂ ≤λmax(A^tA) =ρ²(A^tA).

Il reste à voir que la valeur est atteinte. On prend un vecteur propre de A^tA de norme 1 (en norme 2) associé à la valeur propre maximale. On obtient

A^tAx=λmax(A^tA)x, puis

(Ax|Ax) = (A^tAx|x) =λmax(A^tA).

On obtient donc le r´esultat.

c.iv.Soit λune valeur propre et xun vecteur propre associ´e. On a kAxk=kλxk=|λ|kxk ≤ kAkkxk,

donc commex6= 0, on obtient|λ| ≤ kAket doncρ(A)≤ kAk, puisqueρ(A) est la plus grande des valeurs propres deA en module.

Exercice 9

(a)Les valeurs propres sont les éléments diagonaux.Aest inversible ssi 0 n’est pas valeur propre. Atrement dit, tous les termes diagonaux doivent être différents de 0.

(b)On ´ecrit le produit matrice vecteur

j

X

k=1

a_jkx_k=b_j

En particulier, pourj= 1, il n’y a qu’un terme. On obtient donc x_j = 1

aj,j

b_j−

j−1

X

k=1

a_j,kx_k

!

, j = 1, . . . , N,

ce qui permet de calculerx1, puisx2, puisx3, . . . , x_N. Sibi= 0, pour touti < k, on en d´eduit que x₁, . . . , xk−1 = 0, d’apr`es la formule que nous venons de voir. Et on a aussi x_k 6= 0, puisquebk6= 0.

(27)

1.2. ELEMENTS DE CORRECTION/ REMARQUES 27 (c)Si l’on r´esoud

Ax=b,

on remarque que x_j s’´exprime en fonction de b₁, . . . , b_j. Cela veut donc dire que A⁻¹ est triangulaire inf´erieure.

Pour le produit, on a

(AB)i,j =

N

X

k=1

ai,kbk,j.

On sait queb_k,j = 0, sij > k eta_i,k = 0, sik > i. Donc si j > i, soit j > k, soit i < j≤k, dans tous les casa_i,kb_k,j= 0, et donc (AB)_i,j = 0, ce qui veut dire que le produit de matrices triangulaires inf´erieures est triangulaire inf´erieure.

(28)

(29)

Chapitre 2

Conditionnement

2.1 Introduction

Il est rare que la solution d’un système linéaire Ax = b puisse être obtenue sans être entachée d’erreurs.

Les erreurs peuvent provenir des incertitudes surAetb, mais aussi des erreurs d’arrondis.

Ainsi au lieu de r´esoudre

Ax=b, on r´esoud en fait

(A+ ∆A)y= (b+ ∆b)

On cherche alors `a majorer la diff´erencex−y en fonction des majorations de ∆A et ∆B.

Exemple

A=







10 7 8 7

7 5 6 5

8 6 10 9

7 5 9 10





 , b=





 32 23 33 31





 .

A+ ∆A=







10 7 8.1 7.2

7.08 5.04 6 5 8 5.98 9.89 9 6.99 4.99 9 9.98







, b+ ∆b=





 32.01 22.99 33.01 30.99





 .

La solution de Ax=best x= (1,1,1,1)^t.

La solution deAy= (b+∆b) esty= (1.82,−0.36,1.35,0.79) La solution de (A+∆A)z=b est z= (−81,137,−34,22)^t

2.2 Conditionnement d’une matrice

Définition 12. Soit k · kune norme matricielle ; le conditionnement d’une matrice régulière A associé à cette norme est le nombre

cond(A) =kAkkA⁻¹k,

parfois not´e K(A).E n particulier, on note condp(A) =kAk_pkA⁻¹k_p. 29

(30)

Théorème 18. On a les propriétés suivantes

1. cond(αA) =cond(A), pour toute matrice r´eguli`ere A et tout scalaire α6= 0.

2. cond(A)≥1, si le conditionnement est calcul´e par une norme induite.

3. cond2(A) = ^µ_µ^max

min o`u µmax et µmin sont respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs singuli`eres de A

4. cond₂(A) = 1si et seulement si A=αQ, avec α un scalaire etQune matrice unitaire.

D´emonstration.

1.en appliquant la d´efinition 2.I =AA⁻¹

3.On a kAk₂= maxi=1,...,N|λ_i(A^tA)|^1/2 =µmax. Dans le cas o`uA est sym´etrique, on a cond2(A) = |λ_max(A)|

|λ_min(A)|, avec

|λ_max(A)|= max

j |λ_j(A)|, |λ_min(A)|= min

j |λ_j(A)|.

On remarque que les valeurs singulières coincident aves les les valeurs propres dans le cas où A est symétrique et les valeurs propres (qui sont réelles) sont positives. Dans le cas oùA est symétrique les valeurs singulières sont les valeurs absolues des valeurs propres.

4.Pour toute matriceA, il existe deux matrices unitairesU etV et une matrice diagonale Σ, dont les coefficients diagonaux sont les valeurs singuli`eresµ_i de Atelles que

A=UΣV^∗

On a alors cond2(A) = 1 ssi toutes les valeurs singulières sont égales entre elles. Soitα leur valeur. On a donc Σ =αI etA=αU V^∗=αQ oùQ=U V^∗ est une matrice unitaire.

Remarque 2. On dit qu’une matrice est ”bien conditionn´ee”, si son conditionnement n’est pas beaucoup plus grand que1. On voit donc que les matrices unitaires sont les mieux conditionn´ees possibles.

Remarque 3. La valeur du d´eterminant ne donne pas d’indications sur le conditionnement.

Voir exemples ci-apr`es.

Exemple 1. A matrice diagonale a_1,1 = 1, a_i,i= 0.1, i= 2, . . . , N = 100. On a kAk₂ = 1 et kA⁻¹k₂ = 10, donc cond₂(A) = 10, bien que det(A) = 10⁻⁹⁹.

Exemple 2. A bidiagonale avec des 1 sur la diagonale et des 2 sur le surdiagonale. Voir exercices.

2.3 Majoration des perturbations

Théorème 19. Soit Aune matrice inversible. Soient x et x+ ∆x les solutions des systèmes linéaires :

Ax=b, A(x+ ∆x) =b+ ∆b.

On a k∆xk

kxk ≤cond(A)k∆bk kbk .

(31)

2.3. MAJORATION DES PERTURBATIONS 31 Théorème 20. Soit Aune matrice inversible. Soient x et x+ ∆x les solutions des systèmes linéaires :

Ax=b, (A+ ∆A)(x+ ∆x) =b.

On a k∆xk

kx+ ∆xk ≤cond(A)k∆Ak kAk .