Espaces vectoriels

le 26 F´evrier 2013 UTBM MT12

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Espaces vectoriels

1 Exemples et d´ efinitions.

1.1 Introduction.

Soit Rⁿ :=R×R×...×R (n fois) l’espace g´eom´etrique usuel (de dimension n). Ses ´el´ements sont des vecteurs, symbolis´es par des fl`eches (pour n = 2 ou 3), ayant un sens, une direction et une longueur.

Dans Rⁿ, on sait faire la somme de 2 vecteurs, on sait multiplier par un r´eel :

−

→u +−→v ∈Rⁿ, λ.−→u ∈Rⁿ pour−→u ,−→v ∈Rⁿ,λ∈R.

De plus ces op´erations ont des ”bonnes” propri´et´es (associativit´e, commutativit´e, distributivit´e, ...).

Un ensemble qui v´erifiera les mˆemes propri´et´es sera dit espace vectoriel.

1.2 D´ efinition.

K=Rou C(on peut g´en´eraliser `a un corps quelconque).

D´efinition 1.1 (lois) Soit E un ensemble.

1) On appelle loi interne ∗ sur E une application :

∗_E : E×E −→ E (x, y) 7→ x∗_Ey 2) On appelle loi externe de K sur E, une application :

·_E : K×E −→ E (λ, x) 7→ λ·_E x D´efinition 1.2 (Espace vectoriel)

Soit E un ensemble non-vide muni de 2 lois :

a) une loi interneappel´eeaddition (souvent not´ee +ou +_E) telle que (E,+) est un groupe commutatif :

– +_E communative : ∀x, y ∈E, x+_E y=y+_Ex,

– +_E associative : ∀x, y, z ∈E,(x+_Ey) +_E z =x+_E (y+_E z), – +_E admet´el´ement neutre : ∃0_E ∈E/∀x∈E, x+_E 0_E =x,

– tout ´el´ement x de E admet un oppos´e x⁰ dans E (not´e -x) pour +_E : ∀x∈E,∃x⁰ ∈E/x+_E x⁰ =x⁰+_E x= 0_E.

b) une loi externe appel´ee multiplication (souvent not´e · ou ·_E) v´erifiant : – ∀x∈E,1.x=x,

– ∀x∈E,∀y ∈E,∀λ ∈K, λ.E(x+Ey) =λ.Ex+Eλ.Ey, – ∀x∈E,∀λ ∈K,∀µ∈K,(λ+_Kµ)._Ex=λ._Ex+_Eµ._Ex, – ∀x∈E,∀λ ∈K,∀µ∈K,(λ×_Kµ)._Ex=λ._E(µ._Ex).

On dit alors que (E,+_E, ._E) est un espace vectoriel sur K ou un K-espace vectoriel ou un espace vectoriel r´eel si K=R, complexe si K=C.

Les ´el´ements de E sont appel´es vecteurs.

Les ´el´ements de K sont appel´es scalaires.

1.3 Exemples.

1.3.1 Exercices.

a)Rⁿ etCⁿ munis des lois classiques sont des R-espaces vectoriels.

b)Cⁿ muni des lois classiques est unC-espace vectoriel.

c) (K[X],+, .) est un K-espace vectoriel.

d)U :={suites numeriques´ (u_n)n∈N ⊂R}, U⁽⁰⁾ :={(u_n)n∈N ∈U convergentes vers0}munis des lois (u_n)_n∈N+_U (v_n)_n∈N := (u_n+_Rv_n)_n∈N et λ._U(u_n)_n∈N := (λ._Ru_n)_n∈N sont des R-espaces vectoriels.

Par contre l’ensemble des suites num´eriques r´eelles convergentes vers 1 n’est pas un espace vectoriel (pourquoi ?).

e) M_n,p(K) est un K-espace vectoriel, {A ∈ M_n,p(K)/a₁₁+a₁₂ = 0} est un K-espace vectoriel (n, p >1).

1.3.2 Les applications num´eriques.

Soit I ⊂K. On note E :=F(I,K) :={f :I −→K}.

On d´efinit sur E les lois suivantes :

- loi interne :

f +_Eg : I −→ K

x 7→ f(x) +_Kg(x) - loi externe :

λ.Eg : I −→ K x 7→ λ×_Kg(x) Alors (E,+, .) est unK-espace vectoriel.

1.4 Combinaisons lin´ eaires.

D´efinition 1.3 Soit E un espace vectoriel sur K. w ∈ E est un combinaison lin´eaire de u₁, u₂, ..., u_n ∈E (n ∈N) si il existe λ₁, λ₂, ..., λ_n ∈K tels que w=Pn

i=1λ_i.u_i.

Exemples 1.4 i) ln(x³−x²) = 2.ln(x) + ln(x−1) donc, dans F(]1,+∞[,R), ln(x³−x²) est combinaison lin´eaire de ln(x) et ln(x−1).

ii) Tout vecteur de R³ est combinaison lin´eaire de



 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1



.

iii) Soit A:={combinaisons lin´eaires dans M₂(R) de

1 0 0 1

,

0 −1

−1 0

}.

Exercice 1.5 Montrer que

M₂(R) = {comb. lin. ´a coef f icients r´eels de

2 0 0 3

,

2 0 0 2

,

1 1 0 1

,

1 1 1 1

}.

1.5 Propri´ et´ es des espaces vectoriels.

Proposition 1.6 Soient (E,+, .) un espace vectoriel sur K, λ∈K, x∈E Alors λ.x= 0_E ⇐⇒(λ= 0_K ou x= 0_E).

Preuve.

⇐=)

- 0_K.x= 0_E car :

x+ 0_K.x= (1 + 0_K).x=x donc x+ 0_K.x+ (−x) =x+ (−x) = 0_E dons 0_K.x= 0_E. - λ.0E = 0E car :

poury ∈E,λ.y+λ.0_E =λ.(y+ 0_E) =λ.y, doncλ.0_E = 0_E.

=⇒) Supposons λ.x= 0E (on veut montrer (λ= 0_K ou x= 0E)).

- Si λ6= 0 alors λ⁻¹.(λ.x) =λ⁻¹.0_E = 0_E, donc (λ⁻¹ ×_Kλ).x= 0_E, d’o`u 1.x=x= 0_E. - Si λ= 0, on a fini.

CQFD

Corollaire 1.7

∀u∈E K-e.v., l’oppos´e de u est (−1).u.

Preuve.

En effet, u+_E(−1).u= (1 +_K(−1)).u= 0_K.u= 0_E CQFD

2 Sous-espaces vectoriels.

2.1 D´ efinition-propri´ et´ es.

(E,+, .) espace vectoriel sur K.

D´efinition 2.1 Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si (F,+, .) est un espace vectoriel pour la restriction `a F des lois + et . de E.

Proposition 2.2 Soit F ⊂E. F est un sous-espace vectoriel de E ssi : 1) 0_E ∈F,

2) ∀(u, v)∈F², u+v ∈F, 3) ∀λ ∈K,∀u∈F, λ.u∈F

Remarque 2.3 On peut regrouper les propri´et´es 2) et 3) dans une propri´et´e unique : 2⁰) ∀λ ∈K,∀u, v ∈F, λ.u+v ∈F.

Preuve.

Preuve de la proposition.

Les autres propri´et´es proviennent du fait qu’elles sont v´erifi´ees dansE.

CQFD

Exemples 2.4 1) {0_E} est un sous-espace vectoriel de E, espace vectoriel.

2) F ={



 x y z



∈R³/x+y+z = 0} est un sous-espace vectoriel de R³.

3) {



 x y z



∈R³/x+y= 1} n’est pas un sous-espace vectoriel de R³.

4) Rn[X] := {P(X)∈R[X]/deg(P(X))≤n} pourn ∈N est un sous-espace vectoriel de R[X]

(avec la convention deg(0) =−∞).

5) C²(R,R) est un sous-espace vectoriel de F(R,R).

L’ensemble des solutions dans C²(R,R) de l’´equation diff´erentielle (E) a(x).y⁰⁰ + b(x).y⁰ + c(x).y = 0 (avec a(x), b(x), c(x)∈ C²(R,R)) est un sous-espace vectoriel de C²(R,R).

2.2 Sous-espace vectoriel engendr´ e.

Proposition-d´efinition 2.5 (sous-espace vectoriel engendr´e) Soit (E,+, .) un espace vectoriel sur K.

Soit F ={u₁, u₂, ..., u_n} une famille de vecteurs de E. L’ensemble des combinaisons lin´eaires des u_i (1 ≤ i ≤ n) est un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le sous-espace vectoriel engendr´e par u₁, u₂, ..., u_n. et on le note vect(u₁, u₂, ...u_n) ou < u₁, u₂, ..., u_n>.

Remarque 2.6 En reprenant les notation ci-dessus, vect(u₁, u₂, ...u_n) est le plus petit sous- espace vectoriel de E contenant F.

Preuve.

Preuve rapide.

Il est clair qu’un sous-espace vectoriel de E qui contient F contient ´egalement vect(u₁, ..., u_n) (car un sous-espace vectoriel est stable pour les lois + et .).

De plus, il est clair ´egalement que vect(u₁, ..., u_n)⊂E (car E est stable pour + et .).

Il suffit donc de montrer quevect(u₁, ..., u_n) est un sous-espace vectoriel de E, ce qui est facile.

CQFD

Exemples 2.7 E e.v. sur K. u, v ∈E.

i) vect(u) ={λ.u, λ∈K}.

Donc vect(0_E) ={0_E} et, si u6= 0, vect(u) est la droite vectorielle engendr´ee par u.

ii) vect(u, v) = {λ.u+µ.v, λ, µ∈K}.

- si u et v sont colin´eaires (i.e. u = α.v ou v = α.u, α ∈ K) vect(u, v) = vect(u) si u 6= 0, vect(u, v) =vect(v) si v 6= 0 ou vect(u, v) ={0} si u=v = 0.

- si u et v sont non colin´eaires alors vect(u, v) est le plan vectoriel engendr´e par u et v.

2.3 Somme de sous-espaces vectoriels.

D´efinition 2.8 (E,+, .) K-e.v.

Soient F₁, F₂, 2 sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de F₁ et F₂, l’ensemble F₁+F₂ :={x₁+x₂, x₁ ∈F₁, x₂ ∈F₂}.

Exercice 2.9 F₁+F₂ est un sous-espace vectoriel de E.

D´efinition 2.10 (E,+, .) K-e.v.

Soient F₁, F₂, 2 sous-espaces vectoriels de E.

i) On dit que F₁+F₂ est la somme directe de F₁ et F₂, not´ee F₁⊕F₂ ssi F₁∩F₂ ={0_E}.

ii) On dit que F₂ est un suppl´ementaire de F₁ ssi F₁⊕F₂ =E.

Exemples 2.11 E =R³. F₁ =vect{



 0 0 1



,



 1 1 0



}={



 a a b



, a, b ∈R},

F2 =vect{



 1 0 0



}={



 a 0 0



, a∈R},

Th´eor`eme 2.12 (E,+, .) K-e.v.

Soient F₁, F₂, 2 sous-espaces vectoriels de E. Alors :

F₁ ⊕F₂ =E ⇐⇒ ∀x∈E,∃!x₁ ∈F₁,∃!x₂ ∈F₂/x=x₁+x₂. Preuve.

=⇒) Supposons F₁⊕F₂ =E.

Alors, ∀x∈E,∃x₁ ∈F₁,∃x₂ ∈F₂/x=x₁+x₂. Il suffit donc de montrer l’unicit´e.

Supposons x=x₁+x₂ =x⁰₁+x⁰₂, alors x₁−x⁰₁ =x⁰₂−x₂.

Mais x₁−x⁰₁ ∈F₁ etx⁰₂−x₂ ∈F₂ etF₁ ∩F₂ ={0} donc x₁−x⁰₁ =x⁰₂−x₂ = 0.

Donc x₁ =x⁰₁ et x⁰₂ =x₂

⇐=) Supposons ∀x∈E,∃!x1 ∈F1,∃!x2 ∈F2/x=x1+x2. Alors, il est clair que F₁+F₂ =E.

Il suffit donc de montrer que F₁∩F₂ ={0}.

Soit x∈F1∩F2, alors x= 0 +xavec 0 ∈F1 etx∈F2 etx=x+ 0 avec x∈F1 et 0∈F2. Mais on a l’unicit´e de la d´ecomposition donc ces ´ecritures sont les mˆemes d’o`u x= 0.

CQFD

3 Famille g´ en´ eratrice, libre - Base.

3.1 syst` emes g´ en´ erateurs.

Soit E un e.v. surK.

Soit F ={u_i, i∈I} ⊂E avec I ⊂N.F estune famille, un syst`eme ou une partie de E.

Il peut arriver que vect(F) = E.

D´efinition 3.1 On dit qu’une famille de vecteurs de E est un syst`eme g´en´erateur de E si le sous-espace vectoriel de E engendr´e par cette famille est E.

i.e. {u₁, ..., u_n} (cas d’un syst`eme fini) est g´en´erateur de E si tout ´el´ement v de E est une combinaison lin´eaire de u₁, ..., u_n :

v =

n

X

i=1

λ_i.u_i pour λ_i ∈K.

Exemples 3.2 i) {



 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1



} est g´en´erateur deR³.

ii) {



 1 2 3



,



 1 2 2



,



 1 0 0



,



 1 1 1



} est g´en´erateur de R³.

iii) {



 1 2 3



,



 1 2 2



,



 0 0 1



} n’est pas g´en´erateur de R³.

iv) {1, X, X², X³, X⁴} et {1 +X, X²−X, X²,1 +X⁴,1 +X³} sont g´en´erateur de R4[X].

Remarque 3.3 (exo.)

Toute partie contenant une partie g´en´eratrice est g´en´eratrice.

3.2 syst` emes libres.

E e.v. sur K.

D´efinition 3.4 (syst`eme libre)

On dit qu’une famille de vecteurs F de E est un syst`eme libre ou ind´ependant de E si un

´

el´ement de vect(F) s’´ecrit de fa¸con unique comme combinaison lin´eaire de vecteurs de F.

i.e. {u₁, ..., u_n} (cas d’un syst`eme fini) est libre dans E si

λ₁.u₁+λ₂.u₂+...+λ_n.u_n =λ⁰₁.u₁+λ⁰₂.u₂+...+λ⁰_n.u_n =⇒λ_i =λ⁰_i,∀i∈ {1,2, ..., n}.

Si F n’est pas libre on dit qu’elle est li´ee.

Exemples 3.5 i) {,1,1 +X², X²} est-elle libre ds R²[X]? ii) {

0 1 0 0

,

2 2 0 0

,

0 0 3 2

} est-elle libre dans M2(R)? Remarque 3.6 (exo.)

i) Toute partie contenue dans une partie libre est libre.

ii) Toute partie contenant une partie li´ee est li´ee.

Proposition 3.7 Un syst`eme F ={u1, u2, ..., un} ⊂E fini est libre ssi

(λ₁.u₁+λ₂.u₂+...+λ_n.u_n = 0_E) =⇒(λ₁ =λ₂ =...=λ_n= 0).

Remarque 3.8 L’autre implication est toujours v´erifi´ee.

Preuve.

Preuve rapide.

Le r´esultat provient de l’´equivalence

λ₁.u₁+λ₂.u₂+...+λ_n.u_n =λ⁰₁.u₁ +λ⁰₂.u₂+...+λ⁰_n.u_n

⇐⇒(λ₁−λ⁰₁).u₁+ (λ₂−λ⁰₂).u₂+...+ (λ_n−λ⁰_n).u_n = 0.

CQFD

Exercice 3.9 Soient u₁ =



 1 0 1



, u₂ =





−1 1 0



, u₃ =



 2 1 1



.

1) Montrer que ces vecteurs sont lin´eairement ind´ependants.

2) Exprimer u=



 5 3 1



 en fonction de u₁, u₂, u₃.

3) Montrer que {u₁, u₂, u₃} est un syst`eme g´en´erateur de R³.

Exercice 3.10 1) A quelle condition une famille de 1 vecteur est-elle li´ee ? 2) A quelle condition une famille de 2 vecteurs est-elle li´ee ?

3) Touver, dans R³, une famille {u, v, w} li´ee telle que {u, v}, {v, w} et {u, w} soient libres.

3.3 Base.

E e.v. sur K.

D´efinition 3.11 (base)

Une partie F de E est appel´ee base de E si elle est `a la fois libre et g´en´eratrice de E.

Si F est une base de E alors toutvecteur de E s’´ecrit de fa¸con unique (`a l’ordre des termes pr´es) comme combinaison lin´eaire d’´el´ements de la base F.

Exemples 3.12 1) {



 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1



} est une base de R³, dite base canonique.

2) {



 1 0 1



,



 0 1 1



,



 1 1 0



} est-elle une base de R³?

3) {1, X, X², ..., Xⁿ} est-elle une base de Rn[X]?

4){E_1,1 :=





1 0 0 0 0 0 0 0 0



, E_1,2 :=





0 1 0 0 0 0 0 0 0



, E_1,3 :=





0 0 1 0 0 0 0 0 0



, E_2,1 :=





0 0 0 1 0 0 0 0 0



, E_2,2 :=





0 0 0 0 1 0 0 0 0



, E2,3 :=





0 0 0 0 0 1 0 0 0



, E3,1 :=





0 0 0 0 0 0 1 0 0



, E3,2 :=





0 0 0 0 0 0 0 1 0



, E3,3 :=





0 0 0 0 0 0 0 0 1



} est une base de M₃(R).

Coordonn´ ees dans une base finie.

Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel.

Soit B={b1, b2, ..., bn} une base finie de E.

Soit V ∈E alors ∃!λ₁, λ₂, ..., λ_n ∈K tels que

V =λ₁.b₁+λ₂.b₂+...+λ_n.b_n. Les coordonn´ees de V dans la base B sont alors

coord_B(V) = V_B =















 λ₁ λ₂ ...

...

λ_n















 .

Remarque 3.13 (importante)

Etant choisie une base´ B de n ´el´ements de E, les ´el´ements de E peuvent ˆetre repr´esent´es par un vecteur (unique) `a n coordonn´ees (donc de Kⁿ) dans cette base.

R´eciproquement, dans cette mˆeme base, chaque ´el´ement deKⁿcorrespond `a un ´el´ement (unique) de E.

On a donc une bijection

coordB : E −→ Kⁿ V 7→ VB

Exercice 3.14 On v´erifiera que la bijection pr´ec´edente se comporte bien avec les lois de E et Kⁿ.

i.e. ∀V₁, V₂ ∈E,∀λ∈K,

coord_B(V₁+_EV₂) =coord_B(V₁) +_Kⁿcoord_B(V₂), coord_B(λ._EV₁) = λ._Kⁿcoord_B(V₁), coord_B(0_E) = 0_Kⁿ.

4 Espaces vectoriels de dimension finie.

4.1 Dimension.

Th´eor`eme 4.1 Soit E un espace vectoriel admettant une base de n vecteurs alors toute partie libre de E poss´edant n vecteurs est une base.

Preuve.

Soit B={e₁, e₂, ..., e_n} une base de E.

Soit P ={a₁, a₂, ..., a_n} une partie libre de E.

On veut montrer que P est une base de E. Il suffit donc de montrer queP est g´en´eratrice.

a) a₁ = λ_1,1e₁ +λ_1,2e₂+...+λ_1,ne_n. On peut supposer λ_1,1 non-nul (sinon a₁ = 0_E et P est li´ee).

On peut donc ´ecrire (en divisant parλ_1,1) :e₁ =λ⁰_1,1a₁+λ⁰_1,2e₂+...+λ⁰_1,ne_n, donc {a₁, e₂, ..., e_n} est g´en´eratrice.

b)a2 =λ2,1a1+λ2,2e2+...+λ2,nen. On peut supposer λ2,2 non-nul (sinona2 =λ2,1a1 et P est li´ee).

On peut donc ´ecrire (en divisant parλ_2,2) :e₂ =λ⁰_2,1a₁+λ⁰_2,2a₂ +λ⁰_2,3e₃+...+λ⁰_1,ne_n, donc {a1, a2, e3, ..., en} est g´en´eratrice.

c) En r´ep´etant le proc´ed´en fois, on voit que{a₁, a₂, a₃, ..., a_n} est g´en´eratrice.

Donc P est une base.

CQFD

Proposition 4.2 Dans un espace vectoriel E poss´edant une base de n ´el´ements, toute base poss`ede n ´el´ements.

Preuve.

Soit U = {u₁, u₂, ..., u_n} et V = {v₁, v₂, ..., v_m} deux bases de E. Supposons m > n alors la famille {v₁, v₂, ..., v_n} est libre et poss`ede n ´el´ements donc est une base d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

Donc v_n+1 est combinaison lin´eaire dev₁, ...v_n donc V n’est pas libre.

Contradiction.

CQFD

Le r´esultat pr´ec´edent permet de d´efinir : D´efinition 4.3 (dimension)

Soit (E,+, .) un K-e.v.

On appelle dimension de l’espace vectoriel E, le nombre commun des ´el´ements des bases deE. On la note dim_KE. Un Espace vectoriel qui n’admet pas de base finie est dit de dimension infinie.

Corollaire 4.4 (important)

Dans un espace vectoriel de dim. n, toute partie g´en´eratrice admet au moins n ´el´ements.

Preuve.

Soit F ={u1, ..., up}, famille g´en´eratrice de E.

Supposons p < n.

- Si F est libre, c’est une base, d’o`u une contradiction.

- Si F est li´ee alors il existeuk combinaison lin´eaire des autres ´el´ements de F.

AlorsF₂ ={u₁, ..., uk−1, u_k+1, ..., u_p}est g´en´eratrice.

- Si F₂ est libre, c’est une base, d’o`u une contradiction.

- Si F2 est li´ee alors on recommence jusqu’`a obtenir une sous-famille de F libre et g´en´eratrice, ce qui am`ene une contradiction.

CQFD

Exemples 4.5 i) Kⁿ est de dimension n sur K. ii) C³ est de dimension6 sur R.

iii) dim_K(M_n,p(K)) = np.

iv) dim_KKn[X] =n+ 1.

v) dim_KK[X] = +∞.

vi) dim_K({0}) = 0.

vii) dim_K(vect_K({a})) = 1 (a6= 0).

Coordonn´ ees dans deux bases diff´ erentes.

Soit E unK-espace vectoriel de dimension n.

Soient B={b₁, b₂, ...b_n} et B⁰ ={b⁰₁, b⁰₂, ...b⁰_n} 2 bases de E.

Soit V ∈E :

∃!λ₁, λ₂, ..., λ_n∈K/V =λ₁b₁+λ₂b₂+...+λ_nb_n (∗)

∃!λ⁰₁, λ⁰₂, ..., λ⁰_n∈K/V =λ⁰₁b⁰₁+λ⁰₂b⁰₂+...+λ⁰_nb⁰_n.

Donc VB =







 λ1

λ₂ ...

λn









etVB⁰ =







 λ⁰₁ λ⁰₂ ...

λ⁰_n







 .

Question :Comment passe-t-on de l’un `a l’autre ? B⁰ est une base de E donc

b₁ =a_1,1b⁰₁+a_2,1b⁰₂+...+a_n,1b⁰_n b₂ =a_1,2b⁰₁+a_2,2b⁰₂+...+a_n,2b⁰_n ...

b_n =a_1,nb⁰₁+a_2,nb⁰₂+...+a_n,nb⁰_n. Si on remplace dans (∗), on obtient : λ⁰₁ =λ₁a_1,1+λ₂a_1,2+...+λ_na_1,n λ⁰₂ =λ₁a_2,1+λ₂a_2,2+...+λ_na_2,n ...

λ⁰_n =λ₁a_n,1+λ₂a_n,2+...+λ_na_n,n.

Donc







 λ⁰₁ λ⁰₂ ...

λ⁰_n









=A.







 λ₁ λ2

...

λ_n







 avec

A=









a_1,1 a_1,2 ... a_1,n a_2,1 a_2,2 ... a_2,n ... ... ... ...

a_n,1 a_n,2 ... a_n,n









∈ M_n,n(K).

Remarque 4.6 La matrice

A=









a_1,1 a_1,2 ... a_1,n a2,1 a2,2 ... a2,n

... ... ... ...

a_n,1 a_n,2 ... a_n,n









∈ Mn,n(K).

s’appelle la matrice de passage de B⁰ `a B (attention `a l’ordre des bases !). Elle donne les coordonn´ees d’un vecteur dans B⁰ et fonction de celles du mˆeme vecteur dans B. On la note souvent PB⁰,B.

VB⁰ =PB⁰,B.VB.

4.2 Bases dans un espace vectoriel de dimension finie.

Th´eor`eme 4.7 (TBI : Th´eor`eme de la base incompl`ete) Soit E un K-esp. vect. de dim. finie n.

Soit P ={a₁, a₂, ..., a_p} une partie libre de E (donc p≤n).

Alors, il existe une partie {ap+1, ..., an} telle que {a1, a2, ..., an} soit une base de E.

Preuve.

a) Si p=n, c’est fini d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

b) Si p < n alors vect(P)6=E.

Soit a_p+1 ∈E\vect(P).

Alors{a₁, a₂, ..., a_p+1} est libre (exo.).

c) Si p+ 1 =n, c’est fini d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

d) Si p+ 1 < n, on r´eit`ere le proc´ed´e jusqu’`a avoir une famille libre `a n ´el´ements (donc une base).

CQFD

Th´eor`eme 4.8 (important)

Dans un espace vectoriel de dimension n, les 3 propositions suivantes sont ´equivalentes : (i) P est une base.

(ii) P est une partie libre de n ´el´ements.

(iii) P est une partie g´en´eratrice de n ´el´ements.

Preuve.

(i)⇐⇒(ii) d´ej`a vu.

(i) =⇒(iii) d´ej`a vu.

(iii) =⇒ (i) : Soit P = {p₁, p₂, ..., p_n}. Supposons que P ne soit pas libre. Alors il existe p_k combinaison lin´eaire des autres ´el´ements de P.

Donc {p1, ..., pk−1, pk+1, ..., pn} est g´en´eratrice, ce qui est contradictoire avec le corollaire 4.4.

Donc P est libre, donc est une base.

CQFD

4.3 Dimension et sous-espaces vectoriels.

Proposition 4.9 (admise) (E,+, .) K-espace-vectoriel.

Si E est de dimension finie et F est un sous-espace vectoriel de E alors F est de dim. finie et dimF ≤dimE.

De plus si dimF = dimE alors E =F.

Remarque 4.10 Attention aux espaces vectoriels de dimension infinie !

ex. F(R,R) = {f onctions de R dans R} est de dimension infinie ainsi que P(R,R) = {f onctions paires de R dans R} mais F(R,R)6=P(R,R).

4.4 Dimension des sommes de sous-espaces vectoriels.

Th´eor`eme 4.11 (E,+, .)K-espace-vectoriel de dimension finie. SoientF1, F2 deux sous-espaces vectoriels de E de bases respectives B₁ ={b₁, ..., b_p} et B₂ ={b⁰₁, ..., b⁰_q}.

Alors on a l’´equivalence suivante :

F₁ +F₂ directe (i.e. F₁⊕F₂)⇐⇒ B₁∩ B₂ =∅ et B =B₁∪ B₂ base de F₁+F₂. Preuve.

=⇒) On suppose F₁⊕F₂.

i) B₁∪ B₂ est clairement g´en´erateur.

ii)B₁∪ B₂ est-elle libre ? Supposons Pp

i=1λ_i.b_i+Pq

j=1λ⁰_j.b⁰_j = 0 donc Pp

i=1λ_i.b_i =−Pq

j=1λ⁰_j.b⁰_j ∈F₁∩F₂ donc Pp

i=1λ_i.b_i =−Pq

j=1λ⁰_j.b⁰_j = 0.

Or B₁ et B₂ sont libres donc λ₁ =...=λ_p =λ⁰₁ =...=λ⁰_q = 0.

Donc B₁∪ B₂ est libre.

⇐=) Supposons queB₁∪ B₂ soit une base de F₁+F₂. Il suffit de montrer queF₁∩F₂ ={0}.

Soit x∈F₁∩F₂ alors x=Pp

i=1λ₁.b₁ =Pq

j=1λ⁰_j.b⁰_j donc Pp

i=1λ_i.b_i−Pq

j=1λ⁰_j.b⁰_j = 0

orB₁∪ B₂ est libre donc λ₁ =...=λ_p =λ⁰₁ =...=λ⁰_q = 0 donc x= 0.

CQFD

Corollaire 4.12 (E,+, .) K-espace-vectoriel.

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E et si la somme de F et G est directe alors :

dim(F ⊕G) = dimF + dimG.

Remarque 4.13 Attention, la r´eciproque est fausse.

dim(E) = dimF + dimG6=⇒F ⊕G=E.

(exo. trouver un contre-exemple) Proposition 4.14 (admise) Dans le cas g´en´eral

dim(F +G) = dimF + dimG−dim(F ∩G).

4.5 Rang d’une famille de vecteurs.

D´efinition 4.15 Soit (E,+, .) un K-esp. vect. de dimension finie.

Soit F ⊂E une famille de E.

On appelle rang F, l’entier

rang(F) = dim_K(vect(F)).

Remarque 4.16 Le rang deF est le nombre maximal de vecteurs deF qui forment une famille libre.

En effet F constitue une famille g´en´eratrice devect(F). On peut donc en extraire une base de vect(F) (c’est une famille libre de taille maximale).

Recherche de rang grˆ ace ` a la m´ ethode du pivot de Gauss.

Exemples 4.17 Dans R⁵, soit

F ={u₁ =











 1 3 1 2 1











 , u₂ =













−1 2 1 3 2











 , u₃ =













−4 18 8 22 14











 , u₄ =











 4

−3

−2

−7

−5











 }.

On cherche le rang de cette famille :

- S’ils sont libres, la seule solution au syst`eme

λ₁.u₁+λ₂.u₂+λ₃.u₃+λ₄.u₄ = 0

est λ1 =λ2 =λ3 = λ4 = 0, donc, apr`es r´eduction, le syst`eme doit ˆetre de Cramer (autant de lignes que d’inconnues).

- S’ils sont li´es, apr`es r´eduction, le syst`eme admet une forme de Cramer avec moins de lignes non-nulles que d’inconnues.

Le nombre de ligne est le rang du syst`eme.

Dans l’exemple ci-dessus, apr`es calculs, on trouve : rang(F) = 2.