I.U.T d’Aix-Marseille Deuxi`eme ann´ee 2021/2022 D´epartement Mesures Physiques
Math´ematiques - TD no1
Transformation de Laplace Exercice 1Applications directes du cours
1. Pour chacune de ces fonctions, d´eterminez la transform´ee de Laplace et pr´ecisez le domaine d’existence.
t7→2e−3t U(t), t7→t3 U(t), t7→(t−2)2 U(t)
2. Soit g la fonction en retard de 2 sur t 7→ t2U(t). comment s’´ecrit la fonction g ? Repr´esentez dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e ces deux fonctions. Calculez la transform´ee de Laplace de la fonctiong (justifiez).
3. Soith la fonction d´efinie par
h(t) =
0 t <0 2 0≤t <3
−2 t≥3
a) Repr´esentez graphiquement la fonction h puis donnez son expression en utilisant la fonction ´echelon unit´eU.
b) Calculez la transform´ee de Laplace de h.
Exercice 2
1. On consid`ere la fonction f d´efinie par
f(t) =
0 t <0 1
3 0≤t <1 0 t≥1
a) Repr´esentez graphiquement la fonction f puis donnez son expression en utilisant la fonction ´echelon unit´eU.
b) Calculez la transform´ee de Laplace de f
3. Reprendre les questions a) et b) avec la fonctionϕd´efinie par
ϕ(t) =
0 t <0 t 0≤t <2
−t+ 4 2≤t <4 0 t≥4 Exercice 3
On rappelle que U d´esigne la fonction ´echelon unit´e. On consid`ere les fonctions f1, f2, f3
d´efinies par
f1(t) = (t−2)U(t) f2(t) = (t−2)U(t−2) f3(t) =tU(t−2)
a) Repr´esentez graphiquement ces trois fonctions dans un mˆeme rep`ere.
b) Une seule de ces trois fonctions est une fonction en retard. D´eterminez cette fonction (on pr´ecisera la fonction de r´ef´erence par rapport `a laquelle elle est en retard).
c) D´eterminez la transform´ee de Laplace de ces trois fonctions.
Exercice 4
1. Pour chacune de ces fonctions, d´eterminez la transform´ee de Laplace et pr´ecisez le domaine d’existence.
t7→
cos(3t) + 2 sin(3t)
U(t), t7→
ch(3t) + sh(3t)
U(t), t7→etsintU(t) t7→e−tcos2(t
2) U(t), t7→tcos(t) U(t), t7→e2t(t−1)2 U(t).
2. Faites un r´esum´e de toutes les propri´et´es utilis´ees dans cet exercice (propri´et´es qui ont facilit´e le calcul des transform´ees de Laplace). A faire seul !
Exercice 5Signaux p´eriodiques
On consid`ere les fonctions 2-p´eriodiques sur R+,f1,f2. d´efinies de la fa¸con suivante :
f1(t) =
0 t <0 1 0≤t <1
−1 1≤t <2
f2(t) =
0 t <0 t 0≤t <1
−t+ 2 1≤t <2 1. Repr´esentez graphiquement chacune de ces fonctions sur [−4,4].
2. D´eterminez leur transform´ee de Laplace.
Exercice 6Originaux : transformation inverse 1. D´eterminer les originaux des fonctions suivantes : p7→ p
p2+ 4, p7→ 4
p2+ 4, p7→ 2p+ 1
p2+ 9, p7→ 1
p2, p7→ 2
p+ 3, p7→ p−1
p2+ 2p+ 5, p7→ 1 (p+ 3)2. Note: on pourra remarquer que chaque fraction est un ´el´ement simple.
2. D´eterminer les originaux des fonctions suivantes : p7→ 1
p2−4, p7→ pe−3p
p2+ 2, p7→ 1
p2−2p+ 1, p7→ p+ 1
p2−4p+ 8, p7→ p−1 p2−2p. Exercice 7produits de convolution
1. D´eterminer l’original de la fonctionp7→ p (p2+ 1)2. 2. D´eterminer l’original de p7→ p2
(p2+ 1)2. 3. En d´eduire l’original dep7→ p2+ 3p+ 1
(p2+ 1)2 .
4. Mettre en ´evidence une m´ethode pour d´eterminer l’original dep7→ p+ 4 (p2+ 6p+ 10)2. On ne demande pas tous les calculs.
Facultatif : `a l’aide de la propri´et´e du cours donnant un lien entre les transform´ees des fonctionsf ett7→tnf(t), d´eterminez une autre m´ethode pour r´epondre `a la question 1.
Exercice 8Extrait devoir surveill´e d´ecembre 2019
Les questions 1 et 2 sont ind´ependantes.
1. D´eterminez l’original de F d´efinie par F(p) = p (p2+ 1)2.
2. On consid`ere la fonctiongd´efinie parg(t) =etsin2(t) U(t). D´eterminez la transform´ee de Laplace de g.
Exercice 9Extrait devoir surveill´e d´ecembre 2020 On consid`ere la fonction t7→Π(t) d´efinie par
Π(t) =
0 si t <0 1 si 0≤t <1 0 si t≥1 On note F la fonction d´efinie par F(p) = 1
p(p2+ 9) et G la fonction d´efinie par G(p) = e−pF(p). Enfin on consid`ere l’´equation diff´erentielle (avec conditions initiales) suivante :
y00+ 9y = Π(t) y(0) = 0 y0(0) = 1
1. Calculer la transform´ee de Laplace de la fonctiont7→Π(t).
2. D´eterminer les originaux respectifs deF etG.
3. R´esoudre, en utilisant la transform´ee de Laplace, l’´equation diff´erentielle donn´ee ci-dessus.
Exercice 10Application `a la r´esolution de syst`emes diff´erentiels avec conditions initiales R´esoudre le syst`eme diff´erentiel (avec conditions initiales) suivant en utilisant la trans- form´ee de Laplace.
x0(t) = 2x(t)−y(t) y0(t) = x(t) +y(t) et
x(0) = 1 y(0) = 0 Bilan : ce que je dois savoir `a la fin du chapitre sur Laplace
1. Je connais le tableau des transform´ees de laplace des fonctions usuelles dans les deux sens i.e. je sais passer de f `a sa transform´ee et de F `a son original.
2. Je connais et je sais utiliser toutes les propri´et´es de la transform´ee de Laplace (lin´earit´e, retard, multiplication dans le domaine du temps par une exponentielle ou par une puissance det, dilatation dans le temps). Je sais utiliser les propri´et´es dans les deux sens pour passer def `aF ou pour passer deF `af etsurtout je ne confonds pas le domaine du temps et le domaine de Laplace. En particulier je ne confonds pas :
a) si je translate dans le temps (ce qui correspond `a un retard), que se produit-il dans le domaine de Laplace ?
b) si je translate dans le domaine de Laplace, que se passe-t-il dans le domaine du temps ?
c) si une exponentielle apparaˆıt dans le domaine de temps, `a quoi cela correspond dans le domaine du Laplace ?
d) si une exponentielle apparaˆıt dans le domaine de Laplace, `a quoi cela correspond dans le domaine du temps ?
3. Je connais les propri´et´es liant la transform´ee de laplace de f et de sa d´eriv´ee. Je sais les appliquer correctement pour r´esoudre par exemple une ´equation diff´erentielle lin´eaire ou un syst`eme diff´erentiel lin´eaire.
4. Je ne confonds pas la d´erivation dans le domaine temporel et la d´erivation dans le domaine de Laplace.
5. Je connais la d´efinition du produit de convolution et je sais correctement l’appliquer, je sais surtout identifier pour quel type de probl`eme je dois utiliser le produit de convolution.
6. Je sais exprimer certains signaux particuliers `a l’aide de la fonction ´echelon unit´e ou de ses translat´es et je sais calculer leur transform´ee de Laplace.
7. Je sais calculer la transform´ee de laplace d’une fonction T-p´eriodique en utilisant le th´eor`eme appropri´e.
